Part 6

§ 75. Demgemäss kann die Länge einer unverkürzten Wagrechten auf eine rechtwinklig zu ihr stehende, d. h. nach dem Augpunkt gehende Wagrechte übertragen werden, indem entweder von einem Endpunkt der gegebenen unverkürzten Wagrechten eine Linie nach einem der beiden Diagonalpunkte gezogen wird, welche die nach dem Augpunkt gehende Linie schneidet: _B C_ Fig. 77 wird = _A B_ gemacht durch eine Linie von _A_ nach _Dg_, welche die Linie _B P_ in _C_ schneidet; oder indem man eine Linie von einem Diagonalpunkte durch einen Endpunkt der gegebenen unverkürzten nach der verkürzten Wagrechten zieht: so wird _E A_ = _C E_ mittels einer Linie von _Dg_ durch _C_ nach _A_. _A B C E_ ist somit die perspectivische Form eines wagrecht liegenden Quadrats.

Ebenso kann die Länge einer nach dem Augpunkt gehenden Linie auf eine anstossende unverkürzte Wagrechte übertragen werden: durch _Dg C A_ wird _A B_ = _B C_, durch _A C Dg_ wird _C E_ = _A E_ gemacht.

§ 76. Ist in Fig. 77 die Distanz = 2 mal _P A_, so ist _D_/2 die Hälfte, _D_/3 ein Drittel, _D_/4 ein Viertel der Distanz. Ebenso ist _B a_ die Hälfte, _B b_ oder _B e_ ein Drittel und _B c_ ein Viertel von _A B_. Ziehen wir, statt von _A_ nach _Dg_, eine Linie von _a_ nach _D_/2 oder von _b_ nach _D_/3 oder von _c_ nach _D_/4, so wird von der aus _B_ nach _P_ gehenden Linie dieselbe Länge _B C_ abgeschnitten; gehen wir von der verkürzten Linie _B C_ aus, so erhalten wir durch eine aus _D_/2, _D_/3 oder _D_/4 durch _C_ gezogene Linie auf der durch _B_ gehenden Wagrechten die Hälfte, ein Drittel oder ein Viertel von _B C_.

Da ein Diagonalpunkt stets ausserhalb der Zeichnung liegt, so bedarf man eines Ersazmittels, welches durch jene Teilpunkte gegeben ist: soll _B C_ = _A B_ gemacht werden, so zieht man eine Linie von _a_ nach _D_/2, von _b_ nach _D_/3 oder von _c_ nach _D_/4, soll _A B_ = _B C_ gemacht werden, so erhält man durch eine Linie von _D_/2 nach _a_, _D_/3 nach _b_ u. s. w. zunächst die Hälfte, ein Drittel oder Viertel von _A B_ und kann hienach mit dem Zirkel die ganze Länge _A B_ leicht ergänzt werden. Statt der Linie _b D_/3 könnte auch eine Linie von _e_ nach dem rechts vom Augpunkt liegenden Drittel der Distanz gezogen werden, sowie man statt der rechtsseitigen Punkte _D_/2 und _D_/4 die entsprechenden Teilpunkte links vom Augpunkt benüzen und mittels derselben rechts von _B_ die Hälfte oder ein Viertel von _A B_ abschneiden könnte.

§ 77. Hienach ist es leicht, auch einer nach einem Distanzpunkt gehenden Linie jedes beliebige Grössenverhältnis zu einer anstossenden unverkürzten Wagrechten zu geben oder umgekehrt. Wird z. B. in Fig. 77 die Senkrechte _B F_ = _A B_ gemacht, so ist das Dreieck _A B F_ = _A B C_ (da auch _B C_ = _A B_ ist); _A C_ ist = _A F_ = _A g_; _A f_ ist = _A d_ = _A n_, _A h_ = _A i_. Es kann also ein beliebiger Teil der Linie _A z_ mit dem Zirkel auf _A F_ oder ihre Verlängerung und von hier mittels einer Senkrechten und einer nach dem Augpunkt gehenden Linie auf die Linie _A Dg_ übertragen werden.

Soll die Länge der nach einem Distanzpunkt gehenden Linie _A C_ auf die durch _A_ gezogene Wagrechte übertragen werden, so zieht man eine Linie von _P_ durch _C_ nach _B_, eine Senkrechte _B F_ = _A B_ und macht mit dem Zirkel _A g_ = _A F_ = _A C_.

Das unverkürzte Dreieck kann natürlich ebensowohl oberhalb als unterhalb der Linie _A B_ gebildet werden. Um z. B. _A o_ auf _A B_ zu übertragen, kann _P o g_ gezogen, die Senkrechte _g p_ = _A g_ errichtet und _A z_ = _A p_ gemacht werden.

Oder sei in Fig. 78 _A B_ die zuerst gegebene Linie, _D_/2 die Hälfte, _D_/3 ein Drittel der Distanz. _B e_ ist die Hälfte, _B d_ ein Drittel von _A B_; somit wird _B C_ = _A B_ mittels einer Linie von _D_/2 durch _e_, oder von _D_/3 durch _d_. _B f_ ist = _A B_, also ist _A B f_ = _A B C_; _A f_ ist = _A C_; _A h_ ist = _A B_, also erhält man auf _A C_ den Teil _A i_ = _A B_, indem man eine Senkrechte von _h_ nach _A B_, und durch den Punkt, in welchem sie _A B_ trifft, eine Linie von _P_ aus zieht.

§ 78. Mit Hilfe desselben Verfahrens kann nun das perspectivische Grössenverhältnis jeder verkürzten wagrechten Linie zu einer andern bemessen werden. Nehmen wir an, dass in Fig. 79 _D_/2 als Hälfte der Distanz, die perspectivische Richtung der (nicht nach einem Diagonalpunkt gehenden) Linien _A B_ und _A C_, sowie die perspectivische Länge _A B_ gegeben und die Aufgabe gestellt sei, leztere auf _A C_ zu übertragen, so wird durch _A_ eine unverkürzte Wagrechte und nach dieser aus dem Augpunkt eine Linie durch _B_ gezogen. _B b_ steht somit rechtwinklig zu _A b_; da _D_/2 die Hälfte der Distanz ist, so ist _b f_ = die Hälfte von _B b_; _b c_ ist = 2 mal _b f_, also = _B b_, folglich ist _A c_ = _A B_. Hierauf ist durch einen beliebigen Punkt _o_ der zweiten Linie gleichfalls eine Linie aus _P_ und aus _D_/2 gezogen und hiedurch gefunden, dass _o n_ = _m n_ (= 2 mal _n p_) ist; _A d_ wird nun = _A c_ gemacht und schliesslich eine Senkrechte von _d_ nach _a_ und eine Linie von hier nach _P_ gezogen, wodurch sich die Länge _A C_ = _A B_ ergibt.

Wäre _A F_ statt _A B_ als Mass gegeben, so dass eine von _D_/2 durch _F_ gezogene Linie die durch _A_ gehende Wagrechte nicht mehr innerhalb der Zeichenfläche treffen würde, so können 2 Senkrechte _A g_ und _F h_ bis zum Horizont und die Diagonalen _F g_ und _A h_ gezogen und kann von ihrem Schnittpunkt aus durch eine Senkrechte der perspectivische Halbierungspunkt von _A F_ gefunden werden, um auf dem angegebenen Wege zunächst die Hälfte von _A F_ auf die Linie _A a_ zu bringen. Ist angenommen, dass die beiden verkürzten Linien einen rechten Winkel darstellen, so wird auf kürzerem Wege _A C_ = _A B_ gemacht, indem mit dem Winkel (Fig. 9) _A d_ = _A c_ rechtwinklig zu _A c_ gezeichnet und hierauf _d a_ und _a P_ gezogen wird.

In Fig. 80 sind die Wagrechten _A B_ und _A C_, deren Richtung von _A_ aus gegeben ist, = der in gleicher Fläche liegenden _E F_ gemacht. Zu diesem Zweck ist zunächst _A G_ = _E F_ gemacht mittels einer Linie von _F_ durch _A_ nach _z_ und einer zweiten von _z_ nach _E_ und ist hierauf von _P_ eine Linie nach einem beliebigen Punkte _b_ der Linie _A B_ gezogen. _D_/2 sei die Hälfte der Distanz; also ist _a c_ = 2 mal _a n_, _a b_ = 2 mal _a m_, das wagrechte Dreieck _A a c_ ist somit = dem senkrechten _A a e_, _A a b_ ist = _A a g_ (_a e_ = 2 mal _a n_, _a g_ = 2 mal _a m_). Nachdem nun _A f_ und _A h_ = _A G_ gemacht sind, werden die Senkrechten _f m_ und _h i_ gezogen und ergeben die von _P_ nach _m_ und durch _i_ nach _B_ gezogenen Linien die Länge _A C_ und _A B_ = _A G_ = _E F_.

Fig. 81 zeigt die Anwendung des Vorangegangenen auf eine geöffnete Thüre. Es ist angenommen, dass die Länge _A B_ und die Richtung _A D_ gegeben, die Richtung _D E_ beliebig und die Breite der Thüre = _A C_ sein soll. In beliebiger Richtung ist aus _P_ nach der durch _A_ gehenden Wagrechten die Linie _a b_ gezogen, welche, wenn _D_/3 ein Drittel der Distanz darstellt, = 3 mal _b c_, also = _b d_ ist; _A e_ ist = _A C_, somit ist auch _A D_ = _A C_. Nun ist eine Wagrechte durch _D_ gezogen und in gleicher Weise zuerst an beliebiger Stelle ein Dreieck _D m i_ = _D g i_ construiert (_i m_ = 3 mal _i h_), um sodann _D n_ = _D F_, _D E_ = _D n_ zu machen; _D F_ ist = _A C_, somit ist _E D_ ebenfalls = _A C_.

§ 79. Kann die Länge einer verkürzten auf eine unverkürzte Wagrechte übertragen werden und umgekehrt, so ist damit auch das Mittel gegeben, eine bestimmte Grösse von einer ~Senkrechten~ oder einer ~unverkürzten schrägen~ Linie auf eine verkürzte Wagrechte zu übertragen und umgekehrt, vgl. Fig. 81, wo die Linien _A D_ und _E D_ = der Senkrechten _A C_ gemacht wurden, oder Fig. 78, wo _A C_ = der unverkürzten schrägen Linie _A f_ und = der Senkrechten _A g_ ist.

Die Berechnung der perspectivischen Länge einer ~verkürzten schrägen~ Linie ist in Fig. 82 und 83 gezeigt. In beiden Beispielen ist die Richtung der Linien _c e_ und _b c_, sowie die Länge _b c_ als gegeben angenommen und soll _c e_ = _b c_ gemacht werden. Es ist zunächst die Länge _b c_ auf die durch _b_ gehende Wagrechte zu übertragen. In Fig. 82 geht _b c_ nach dem Augpunkt, folglich ist _b g_ die Hälfte von _b c_. Die von _c_ ausgehende schräge Linie ist bis zu einer in _b_ errichteten Senkrechten verlängert, _b i_ ist = 2 mal _b g_, d. h. = _b c_, somit ist das Dreieck _b i h_ = _b h c_; _i m_ ist = _b i_ = _b c_; zieht man eine unverkürzte Wagrechte von _m_ nach _n_ und von _n_ eine mit _b c_ parallele Linie nach _P_, so ist _c e_ = _i m_ = _b c_. Eine Senkrechte von _e_ nach _o_, eine Wagrechte von _o_ nach _k_ und eine Senkrechte von _k_ nach _f_ ergeben _f d_ als die mit _c e_ parallele Seite.

In Fig. 83 ist zuerst eine Linie von _P_ durch _c_ nach _o_ gezogen; _c o_ ist = 2 mal _o g_ = _x z_, _x y_ ist = _o b_; folglich ist das Dreieck _b o c_ = _x y z_ und _b c_ ist = _y z_ = _b i_, das Dreieck _b i h_ ist = _b h c_ u. s. w.

Ist statt _c e_ die Richtung der Linie _c k_ gegeben und soll auf leztere die Länge _c b_ übertragen werden, so kann _c p_ = _c b_ gemacht (vgl. Fig. 68) und links von _p s_ ein unverkürztes Dreieck = _c p s_ gebildet werden; oder kann, wenn der Raum dies nicht gestattet, _s h_ parallel mit _b p_ gezogen, der Punkt _n_ wie oben bestimmt und von hier aus mittels _n k_ die schräge Linie _c k_ = _b c_ gemacht werden.

Eine andere Lösung der Aufgabe wäre die Construction eines Halbkreises über _b p_, indem alle von diesem nach _c_ gezogenen Linien = _b c_ sein würden.

Das Quadrat in gerader Stellung.

§ 80. Die perspectivische Form eines wagrecht liegenden Quadrats in gerader Stellung ist gegeben durch den Augpunkt, welcher die Richtung der beiden verkürzten Seiten bestimmt (§ 32) und durch die Diagonalpunkte, welche Fluchtpunkte der beiden Diagonalen sind und hiemit das perspectivische Grössenverhältnis der Seiten zu einander angeben (§ 74); die Ausführung ist aus § 74--75 und aus Fig. 77--78 ersichtlich.

Auch in diesem Fall kommt es hauptsächlich darauf an, dass die Entfernung des betreffenden Diagonalpunkts vom Auge, welche gleichbedeutend ist mit der Distanz, nicht zu klein angenommen werde (§ 34). Die Folge wäre, dass die verkürzten Seiten zu lang erscheinen würden im Verhältnis zu den unverkürzten. _E F B D_ Fig. 84 kann ebensowohl ein Quadrat darstellen, als _E F G H_; der Unterschied ist nur, dass die leztere Form einen näheren Standpunkt voraussezt als die erstere. Sobald wir aber die Linie _G H_ näher nach dem Horizont hin rücken, z. B. nach _m n_, so erscheinen die beiden verkürzten Seiten länger als die unverkürzten. Denn _P D_/2 ist = _P F_ und 2 mal _P F_ ist in diesem Fall die kleinste Distanz, welche angenommen werden kann.

~Es ist daher im allgemeinen darauf zu achten, dass bei der besprochenen Stellung des Quadrats der Punkt, in welchem eine Linie von der Mitte der unverkürzten Vorderseite durch eine gegenüberliegende Ecke nach dem Horizont~ (_A G_ oder _A H_, Fig. 84) ~diesen trifft, wenigstens ebenso weit vom Augpunkt entfernt sein muss, als dieser von der entferntesten Ecke des Bildes.~

Das Quadrat in schräger Stellung.

§ 81. Ist die Stellung des Quadrats eine solche, dass die eine Diagonale eine unverkürzte Wagrechte ist, so steht die andere rechtwinklig zum Horizont, hat also ihren Fluchtpunkt im Augpunkt und die Seiten haben dieselbe Stellung, welche im vorhergehenden Fall die Diagonalen hatten, ihre Fluchtpunkte sind die beiden Diagonalpunkte, s. Fig. 77. Ist _A D_ in Fig. 84 als erste Seite eines solchen Quadrats gezeichnet, also angenommen, dass der Fluchtpunkt von _A D_ ein Diagonalpunkt sei, so ergibt sich _B_ dadurch, dass eine unverkürzte Wagrechte von _D_ nach rechts, eine Linie von _A_ nach _P_ gezogen und hierauf _k B_ = _D k_ gemacht wird, der Punkt _C_ durch _P D E_, _A E_ und eine Linie aus _E_ durch die Mitte von _D k_ nach _A P_. Oder man bildet das einschliessende Quadrat in gerader Stellung und bestimmt in diesem die Halbierungspunkte der Seiten.

§ 82. Wie die geometrisch gezeichneten Quadrate _a b c d_ und _e f g h_, Fig. 84 zeigen, entstehen, wenn durch Verbindung der Halbierungspunkte _a b c d_ ein kleineres Quadrat innerhalb des grösseren gebildet wird, zwischen beiden 4 gleichschenklige rechtwinklige Dreiecke von gleicher Grösse: _a f b_, _b g c_ u. s. w. Wird eine Quadratseite in zwei ungleiche Teile geteilt und dieselbe Teilung auf den 3 andern Seiten wiederholt, wie in Fig. 85 (_a f_ = _b g_ = _c h_ = _d e_ und folglich _a e_ = _d h_ u. s. w.), so bilden die Verbindungslinien der 4 Teilungspunkte, hier _a_, _b_, _c_ und _d_, gleichfalls ein Quadrat und entstehen wieder 4 rechtwinklige Dreiecke von gleicher Form und Grösse (_a f b_, _b g c_ u. s. w.) mit dem Unterschiede, dass dieselben nicht gleichschenklig sind. Zieht man aus _a_ und _c_ 2 Linien parallel mit _f g_, aus _d_ und _b_ zwei weitere parallel mit _e f_ je nach der gegenüberliegenden Seite des äusseren Quadrats, so ist _e m_ = _a f_, _m f_ ist = _a e_ und dieselben Verhältnisse ergeben sich auf allen 4 Seiten.

Ist nun ein verkürztes Quadrat in gerader Stellung z. B. _E F G H_ Fig. 85, gegeben und in demselben ein Punkt _A_ als vordere Ecke eines inneren Quadrats, dessen Ecken die Seiten des äusseren berühren sollen, so wird man _F M_ = _A E_ machen, _M P_ und _A P_ sowie eine Diagonale des äusseren Quadrats und durch die Schnittpunkte _y_ und _z_ oder _i_ und _k_ zwei Wagrechte ziehen, wodurch sich die Lage der Punkte _B_, _D_ und _C_ ergibt.

§ 83. Ist _A B_ als Seite eines Quadrats und zweimal _P F_ als Distanz angenommen, so zieht man eine Wagrechte durch _A_ und eine Linie aus _P_ durch _B_ nach _F_. Eine Linie aus _D_/3 durch _B_ ergibt _F p_ als ein Drittel von _B F_, _F M_ ist = 3 mal _F p_, also ist _F M_ = _B F_. Wird nun _A E_ = _F M_ gemacht, so kann _E P_ gezogen und das äussere Quadrat _E F G H_ entweder durch Verlängerung der Diagonale des Quadrats _M F B z_ oder durch eine Linie aus _D_/3, nach _s_, d. h. dem Drittel von _F E_ gebildet werden, worauf man wie oben verfährt.

Oder kann man, nachdem _P F_ gezogen, _F M_ = _B F_ und _A E_ = _F M_ gemacht ist, _E P_ und eine Linie von _D_/3 nach _m_, d. h. einem Drittel von _A F_ ziehen, wodurch das Quadrat _A F n y_ entsteht. Die verlängerte _n y_ ergibt den Punkt _D_, die verlängerte Diagonale _F y_ den Punkt _H_, von wo aus eine Wagrechte die Linie _M P_ in _C_ schneidet.

Die Quadrate _A F n y_ oder _E M k D_, durch welche der Punkt _D_ gegeben ist, lassen sich auch ohne die zweite von _D_/3 nach _s_ gezogene Linie durch Verlängerung der Diagonale _F z_ und die von _A_ und _M_ nach _P_ gezogenen Linien bilden.

§ 84. Die Anwendung des hier beschriebenen Verfahrens kann überhaupt eine mannigfaltige sein. Wäre statt _A B_ die Linie _A D_ als erste Seite gegeben, so würde man mittels einer von _D_/3 durch _D_ gezogenen Linie auf der nach links verlängerten _A E_ ein Drittel von _A D_ erhalten oder zieht man eine Linie aus _D_/3 durch _y_, wo sich _A P_ und die von _D_ nach rechts gehende Wagrechte schneiden, nach _o_, um _A o_ oder _E o_ als ein Drittel von _E D_ zu bestimmen und somit _E M_ = _E D_ zu erhalten. Hierauf wird _A F_ = _E M_ gemacht und mit der verlängerten Diagonale des Quadrats _E M k D_, welche von _F P_ in _G_ geschnitten wird, das grössere Quadrat gebildet.

Fig. 86 zeigt dasselbe Verfahren mit etwas veränderter Stellung des inneren Quadrats. Die Distanz ist = 4 mal _P A_ angenommen, also ist _B r_ ein Viertel von _B F_; _B m_ ist = 4 mal _B r_, also = _B F_, folglich ist das verkürzte Dreieck _E B F_ = dem unverkürzten _E B f_. _A H_ ist = 4 mal _A a_ = _A m_ und = _A h_, folglich ist _A H E_ = _A h E_ und man sieht deutlich, wie auch die übrigen Linien der zwei wagrechten Quadrate nach Grösse und Winkelstellung durch die Linien der senkrecht sich anschliessenden Quadrate _A B c d_ und _E f g h_ geometrisch wiedergegeben sind.

§ 85. Hiemit ist zugleich die genaue Berechnung der perspectivischen Form eines rechten Winkels in schräger Stellung gegeben, auf welche in § 33 verwiesen wurde.

Die Ausführung kann, wenn nur die 2 Linien des rechten Winkels verlangt sind, in wesentlich vereinfachter Weise stattfinden. Wenn z. B. in Fig. 86 von _E_ aus eine zu _E F_ rechtwinklige Linie gezeichnet werden soll, so genügt hiezu eine Linie von _D_/4 durch _F_, wonach _E A_ = 4 mal _B r_, d. h. = _B F_ zu machen ist, eine zweite Linie von _A_ nach _P_ und eine dritte von _D_/4, nach _a_, indem _A a_ ein Viertel von _E B_ und somit _A H_ = _E B_ ist. Ist _E H_ gegeben und soll eine rechtwinklig dazu stehende Linie gezeichnet werden, so bilde man das Rechteck _H A E y_, mache _E B_ = _A H_ (= 4 mal _A a_), ziehe _B P_ und eine Linie von _D_/4 nach _r_. Da _B r_ ein Viertel von _A E_ ist, so ist hiemit _F B_ = _A E_. Welcher Weg im einzelnen Fall der bequemste, ob der Teildistanzpunkt links oder rechts vom Augpunkt für die Ausführung geeignet ist, wird man bei einiger Übung leicht erkennen.

Bei der Construction ~senkrecht stehender verkürzter Quadrate~ handelt es sich nur um die Übertragung eines gegebenen Masses von einer senkrechten auf eine verkürzte wagrechte Linie oder umgekehrt, worüber in § 74--78 das Nötige angegeben ist; ebenso ist aus § 78 zu ersehen, wie ein verkürztes ~schräges Quadrat~ zu zeichnen wäre; doch kommt die leztere Aufgabe seltener vor.

Vergrösserung oder Verkleinerung eines Quadrats oder Rechtecks.

§ 86. Wenn man in Fig. 87, nachdem _g h i k_ gegeben ist, von _b_ aus die mit _g h_ und _h i_ parallelen _b f_ und _b e_ zieht, oder wenn man 4 Punkte der Diagonalen _g i_ und _h k_ durch Linien verbindet, welche mit den Seiten parallel sind, so entsteht bei _A_ wiederum ein Quadrat _f b e k_ oder _a b c d_, bei _B_ ein Rechteck _f b e k_ oder _a b c d_, dessen Seitenpaare dasselbe Verhältnis von 2 : 3 haben, wie _g h_ und _h i_. Wie auf die gleiche Weise aus einem kleineren ein grösseres Quadrat oder Rechteck durch Verlängerung der Diagonale gemacht werden kann, ist hienach leicht zu verstehen.

Aber während in _A_ die Linien des inneren Quadrats _a b c d_ überall gleich weit von _g h i k_ entfernt sind, ist dies bei den Rechtecken _a b c d_ und _g h i k_ in _B_ nicht der Fall: der Zwischenraum zwischen den kürzeren Seiten ist grösser, als zwischen den längeren. Soll auf einem Wege, der auch bei verkürzter Stellung des Rechtecks anwendbar wäre, innerhalb _g h i k_ ein (paralleles) Rechteck gezeichnet werden, so dass die Seiten beider überall gleiche Entfernung von einander haben, so muss auf einer längeren Seite z. B. auf _g h_ ein Teil = der Länge der kürzeren Seite abgeschnitten, also z. B. _g n_ = _g k_ gemacht und so ein Quadrat _g n m k_ gebildet werden, um dessen Diagonalen zu dem genannten Zwecke zu benüzen. Soll _f g_ die Breite des Zwischenraums sein, so wird von _f_ eine mit _g h_ parallele Linie gezogen, welche die Diagonale _g m_ in _o_ schneidet und hiemit den Punkt _p_ ergibt. Zieht man nun von _m_ durch den Schnittpunkt der Diagonalen _g i_ und _h k_ eine Linie nach _s_, so ist _g s_ = _n h_, _s h_ = _g n_ = _h i_; _s i_ ist somit die Diagonale eines Quadrats = _g n m k_, und können die Punkte _y_ und _z_ durch die mit _k i_ und _i h_ parallelen Linien bestimmt werden.

§ 87. Die Construction der verkürzten Quadrate und Rechtecke in Fig. 88 und 89 ist hiemit gegeben. In Fig. 89 dient dieselbe dazu, die 4 Tischbeine an die richtige Stelle zu sezen. Fig. 90 stellt in grösserem Massstab die Verjüngung der Tischbeine nach unten dar.

Fig. 91 zeigt einen Stuhl ohne Lehne. Der Siz bildet ein Quadrat, die Punkte _a b c d_, von welchen die Stuhlbeine ausgehen, ergeben sich daher durch die Diagonalen wie in Fig. 87 _A_ und Fig. 88. Da sie nach auswärts stehen, so ist senkrecht unter _a b c d_ das Quadrat _e f g h_ gebildet und mittels seiner Diagonalen vergrössert.

Stühle mit Lehnen sind gewöhnlich so geformt, dass der Siz hinten schmäler ist als vorn. Man kann deshalb, wenn beispielsweise _a b_ Fig. 92 die Vorderseite des Sizes sein soll, zunächst ein Quadrat _a b c d_ bilden, um sodann die Lage der geometrisch gleichweit von _c_ und _d_ entfernten Punkte _e_ und _f_ entweder auf früher beschriebene Weise oder nach dem Augenmass (_e c_ kleiner als _d f_) zu bestimmen. Für die Punkte, von welchen die Füsse ausgehen, sind nun die Diagonalen _a e_ und _b f_ massgebend.

V. Verkürzte Kreise, Achtecke und Sechsecke. Gewölbeformen.

Der Kreis in verkürzter Stellung.

§ 88. Die Berechnung der perspectivischen Form eines verkürzten Kreises kann nur darin bestehen, dass gewisse Punkte desselben gewonnen werden, mit deren Hilfe es leichter ist, die Kreislinie aus freier Hand zu zeichnen. Die zu diesem Zweck geeignetsten Punkte sind die Halbierungspunkte der Seiten eines den Kreis einschliessenden Quadrats und ferner die Punkte der Diagonalen in lezterem, welche von der Kreislinie durchschnitten werden, vgl. die geometrische Zeichnung von Quadrat und Kreis in Fig. 93.

Gewöhnlich kann man sich eines Quadrats in gerader Ansicht bedienen. Die Halbierungspunkte der Seiten, _a_, _b_, _c_ und _d_ Fig. 93, erhält man mittels einer unverkürzten Wagrechten und einer nach dem Augpunkt gehenden Linie, welche durch den Schnittpunkt der Diagonalen gezogen werden. Ein geübter Zeichner wird sich für gewöhnlich mit diesen 4 Hilfspunkten begnügen können.

Um die Punkte der Diagonalen, welche der Kreis durchschneiden muss, _m_, _n_, _o_ und _p_ Fig. 93, zu erhalten, wird über oder unter einer der unverkürzten Seiten oder der unverkürzten Mittellinie, also mit _A B_, _C D_ oder _b d_, ein senkrecht stehendes Rechteck halb so hoch als breit, z. B. _A B F E_ oder _C D G H_ gebildet und in diesem ein Halbkreis beschrieben. In Fig. 93 werden diese Halbkreise von den Diagonalen _a E_ und _a F_ oder _c G_ und _c H_ in _g_ und _h_, _y_ und _x_ durchschnitten. Zieht man nun die Senkrechten _g i_ und _h k_ oder _y z_ und _x s_ und 2 Linien von _P_ nach _i_ und _k_ oder durch _s_ und _z_, so ergeben sich auf den Diagonalen des verkürzten Quadrats die gesuchten Punkte _m_, _n_, _o_ und _p_. Es genügt auch nur eine der Linien nach dem Augpunkt zu ziehen, z. B. _i P_, um durch 2 unverkürzte Wagrechte von _m_ und _p_ aus die Punkte _n_ und _o_ zu erhalten.

§ 89. Ein anderes Verfahren beruht darauf, dass die Entfernung der Punkte _i_ und _k_ Fig. 93 von _a_, der Mitte der Linie _A B_, ebenso gross ist, als die Diagonale eines Quadrats, dessen Seiten je = ein Viertel von _A B_ sind. _A f_ ist ein Viertel von _A B_. Wird also _A e_ = _A f_ gemacht, so kann die Länge _e f_ von _a_ aus nach _i_ und _k_ übertragen und so die Lage dieser beiden Punkte und der Punkte _m_, _n_, _o_, _p_ bestimmt werden.

§ 90. In Fig. 94 ist gezeigt, wie mittels derselben Hilfspunkte ein Kreis innerhalb eines Quadrats in schräger Ansicht gezeichnet werden kann. Nachdem in _A B C D_ die Diagonalen und Halbierungslinien gezeichnet sind, ist eine Linie aus _P_ durch _B_ nach der durch _A_ gehenden Wagrechten gezogen und _A b_ ebenso geteilt, wie _A B_ in Fig. 93. Statt abwärts von _A_ aus ist hier seitwärts das Dreieck _b g f_ gebildet, in welchem _b g_ und _g f_ je = ein Viertel von _A b_ sind; _a i_ und _a k_ werden = _b f_ gemacht und dieselben Verhältnisse mittels _i P_ und _k P_ auf die Linie _A B_ übertragen.

Aus § 72 Fig. 72 und 75 erhellt, dass man statt _P_ auch einen beliebigen andern Punkt des Horizonts benüzen könnte, um von demselben eine Linie durch _B_ nach der Linie _A g_ zu ziehen und sodann wie oben weiter zu verfahren.