Part 5

§ 57. Die Form eines Mansardendaches Fig. 53 ist stets eine solche, dass die 4 Seiten des unteren und ihrerseits diejenigen des oberen Teiles denselben Neigungswinkel haben. Es muss daher, wenn _A B_ und _A C_ gegeben sind, von _A C_ ein Teil _A f_ abgeschnitten werden, welcher perspectivisch = _A B_ ist, so dass die senkrechte Linie, in welcher die Punkte _k_ und _d_ liegen müssen, über der Mitte eines Quadrats (_A B p f_) oder über dem Schnittpunkt der Diagonalen _B m_ und _f n_ errichtet werden kann. Nachdem nun _A a_, _a b_, _B b_, _a d_ und _b d_ gezeichnet sind (vergl. § 52, Fig. 47), so werden die von _a_, _d_ und _k_ parallel mit _A C_ ausgehenden Linien gezogen; _i_ ergibt sich auf die § 53, Fig. 48 gezeigte Weise (nachdem _z_ als Mitte der Firstlinie bestimmt ist), _e_ durch eine von _i_ abwärts gezogene Senkrechte, _g_ durch eine Linie von _i_ nach _C_.

§ 58. Der Turmhelm Fig. 54 und 55 ist eine an Bauten des romanischen Stils häufige Form: die 4 Seiten des quadratischen Turms schliessen oben mit 4 Giebeln ab, von deren Spizen 4 Linien nach der Turmspize gehen und so mit den Giebellinien 4 rautenförmige Flächen bilden. Zunächst müssen die Giebelspizen in gleicher Höhe liegen; angenommen, dass in Fig. 54 _a b d_ und _a c_ gegeben seien, so können die senkrechten Ecklinien von _a_ und _b_ nach oben verlängert werden, bis sie eine parallel mit _a b_ durch _d_ gezogene Wagrechte treffen; eine Wagrechte von _g_ aus parallel mit _a c_ und eine Senkrechte über der perspectivischen Mitte von _a c_ ergeben sodann den Punkt _f_, eine gleichfalls mit _a c_ parallele Linie von _h_ und eine mit _a b_ parallele Linie von _f_ aus den Punkt _e_ (vergl. Fig. 56).

In Fig. 55 ist die Stellung des Turmes eine solche, dass nur eine der oberen 4 Flächen und keine der Umrisslinien des dritten Giebelfeldes zu sehen ist. Die Höhe des zweiten Giebels ist hier dadurch gefunden, dass, nachdem _a c f_ und die Linie _a b_ gezeichnet waren, von _f_ eine mit _a b_ parallele Wagrechte bis zur senkrechten Mittellinie des ganzen Turmes, d. h. bis _o_ und von hier eine mit _a c_ parallele Linie bis zu der in der Mitte von _a b_ errichteten Senkrechten gezogen wurde, wodurch _d_ als Spize des rechtseitigen Giebels gegeben ist.

So könnte auch in Fig. 54 statt der oben angewendeten Construction von _d_ eine mit _a c_ parallele Wagrechte nach der senkrechten Mittellinie, durch den so gewonnenen Punkt _o_ eine mit _a b_ parallele Linie und hierauf _b e_ perspectivisch parallel mit _a f_ gezogen werden (vergl. Fig. 56).

Ferner muss, damit _a i_ eine gerade Linie, _a d i f_ eine Fläche sei, _a d_ und _a f_ = _d i_ und _f i_ sein; _a d f_ und _i d f_ sind in Wirklichkeit 2 einander gleiche Dreiecke, _o i_ muss daher = _k o_ sein. Oder kann zu demselben Zweck die senkrechte Mittellinie eines Giebelfeldes z. B. _m f_ benüzt werden: _f p_ wird = _m f_ gemacht und eine mit _a b_ parallele Linie von _p_ nach der senkrechten Mittellinie des ganzen Turmes gezogen.

§ 59. Soll ein viereckiges Türmchen an beliebiger Stelle auf ein Giebeldach gesezt werden, wie in Fig. 57, so geht die Construction am besten von der mit _a b_ parallelen Linie _c d_ aus, deren Länge nach Gutdünken bestimmt wird. Man errichtet über _c_ und _d_ 2 Senkrechte, bildet mit denselben ein Rechteck _m n o p_ und zieht aus _n_ durch den Halbierungspunkt von _m o_ eine Linie, welche in _f_ die verlängerte _o p_ trifft und damit die Breite der ganzen Seite angibt. Für die perspectivische Breite der anstossenden Seite _p g e c_ sind, wenn sie genau berechnet werden soll, die im folgenden Abschnitt enthaltenen Regeln über die Construction des Quadrats massgebend.

In Fig. 58 ist ein ähnliches Türmchen auf die Mitte eines Giebeldaches gesezt. Ist wie hier die Grundfläche ein Quadrat, d. h. _a b_ = _b c_, so ist wie bei Fig. 46 zu verfahren, nachdem von _i_, der Mitte der Firstlinie, die Linien _i a_, _i b_ und _i c_ gezogen sind. Ist _a b_ länger als _b c_ oder umgekehrt, so schneide man von der Mitte der Firstlinie aus 2 perspectivisch gleich grosse Teile _i d_ und _i e_ entsprechend der gewünschten Grösse des oberen Türmchens ab, ziehe von _d_ und _e_ 2 schräge Linien parallel mit den Seitenlinien des Dachs abwärts und verfahre wie bei Fig. 57.

In Fig. 59 ist zuerst der Turmaufsaz über _a b g h_ wie oben mittels der Linien _d a_, _d b_ und _d c_ construiert (vergl. Fig. 55, 56 und 57), die Punkte _f_ und _e_ ergeben sich sodann durch die senkrechten Mittellinien der beiden Seiten des Turmaufsazes.

§ 60. Fig. 60 ist zuerst geradlinig wie Fig. 47 construiert, wodurch die für die perspectivische Schweifung der Ecklinien wichtigen Punkte _n_, _m_ und _k_ gewonnen werden.

In Fig. 61 ist zuerst _a b c d_ gezeichnet, sodann (vergl. Fig. 45) die Lage der Punkte _k m n_ bestimmt, von welchen die geschweiften Linien ausgehen, ferner die Lage der 3 Punkte, an welchen sie ihre stärkste Ausladung haben. Diese Punkte liegen ebenso wie _k m n_ in 2 mit _a b_ und _b c_ parallelen Linien und ergeben sich, je nachdem die Ausladung eine stärkere oder schwächere ist, durch Verlängerung der senkrechten Ecklinien, wie _x y z_ oder dadurch, dass von andern in gleicher Höhe liegenden Punkten der Linien _a d_, _b d_, _c d_, oder ihrer Verlängerung, z. B. von _e_, _f_ und _g_, 3 Senkrechte und zwischen diesen in entsprechender Höhe 2 mit _a b_ und _b c_ parallele Wagrechte wie _o h_ und _o i_ gezogen werden.

§ 61. In Fig. 62 ist schliesslich gezeigt, wie auf Grund der bisher angewandten Constructionslinien vorspringende Dächer zu zeichnen sind.

Nachdem _A_ als vordere Ecke des Daches angenommen wurde, sind die mit _a b_, _b c_, _a c_ und _a t_[6] parallelen Linien _A B_, _B C_, _A C_ und _A D_ gezeichnet. _C d_ und _e f_ sind parallel mit _A D_, _m n_ und _o p_ mit _A C_. _z y_ ist geometrisch = _B b_, aber entfernter, muss also entsprechend kleiner sein als _B b_. Selbstverständlich wird die Mitte der Giebelseiten bezeichnet durch die von _b_ und _h_ abwärts gezogenen Senkrechten und dürfen hiezu nicht die Punkte _B_ und _g_ benüzt werden.

[6]: Statt des bei _k_ und _D_ stehenden Buchstaben _b_ ist ein _t_ zu sezen.

IV. Die perspectivischen Grössenverhältnisse.

Unterscheidung der verschiedenen Aufgaben.

§ 62. Wir sind in § 22 ausgegangen von dem wichtigsten Gesez in Betreff der perspectivischen Grössenverhältnisse, wonach jeder Gegenstand im Verhältnis seiner Entfernung vom Auge kleiner zu werden scheint. Ferner wissen wir aus § 8, dass wir es nur mit der perspectivischen Grösse solcher Linien zu thun haben, deren geometrisches Grössenverhältnis zu andern Linien ein symmetrisches, regelmässiges und notwendiges ist.

Es lassen sich in dieser Beziehung 3 Fälle unterscheiden: 1) Parallellinien, welche in Wirklichkeit gleich lang sind, aber verschiedene Entfernung vom Auge haben (in verschiedener Tiefe sich befinden), wie z. B. in Fig. 62 die senkrechten Umrisslinien der 3 grösseren Fenster. 2) Verkürzte Linien, auf welchen sich gleich grosse Masse wiederholen, oder welche nach bestimmten symmetrischen Verhältnissen geteilt sind, wie die Linie _i k_ Fig. 62, wenn die Fenster in Wirklichkeit gleiche Breite und gleiche Abstände haben. 3) Verkürzte Linien, welche zu einer nicht parallelen Linie in einem bestimmten Grössenverhältnisse stehen, wie die Seiten eines verkürzten Quadrats oder die Teile der Linie _i s_ Fig. 62, wenn die Fenster und Zwischenräume in Wirklichkeit auf beiden Seiten gleiche Breite haben.

Parallellinien von gleicher Länge in verschiedener Tiefe.

§ 63. Die Berechnung der perspectivischen Länge paralleler Linien, welche geometrisch gleich gross sind, aber in ungleicher Tiefe liegen, geschieht nach dem § 1 angeführten Geseze, dass parallele Linien, welche zwischen 2 gleichfalls parallelen Linien liegen, gleich lang sind.

Mehrfache Beispiele sind schon in den vorangegangenen Figuren enthalten, z. B. in Fig. 20 sind _i k_ und _c d_, _g h_ und _a b_ perspectivisch gleich lang (stellen Linien dar, welche geometrisch gleich lang sind), weil sie als unverkürzte Wagrechte unter sich parallel sind und die Linien _a P_ und _b P_, _c P_ und _d P_, zwischen welchen sie liegen, gleichfalls perspectivisch parallel sind, vergl. die gleich langen Linien _a i_, _b g_, _k e_ und _f h_, oder _a e_ und _c d_ in Fig. 36, ähnliche Linien in Fig. 40 und 41 und andere. Soll in Fig. 62 die Linie _r x_ massgebend sein für die Höhe der übrigen Fenster, so werden durch _r_ und _x_ 2 Linien parallel mit den wagrechten Linien dieser Seite bis zu der senkrechten Ecklinie gezogen und von lezterer aus auf der andern Seite parallel mit _a c_ fortgesezt, wodurch sämtliche zwischen diesen Parallelen liegende senkrechte perspectivisch gleich lang sind.

§ 64. In Fig. 63 sei die Aufgabe gestellt, die Höhe der Figur _a b_ auf die in derselben wagrechten Fläche liegenden Punkte _c_, _e_ und _g_ zu übertragen oder auf den leztgenannten Punkten Figuren von gleicher Höhe mit _a b_ zu zeichnen. Ziehen wir von _a_ durch _c_ eine Linie nach dem Horizont, und nach dem Punkte _x_, wo sie denselben trifft, eine zweite von _b_ aus, so sind alle senkrechten Linien, welche zwischen den 2 Parallellinien _a x_ und _b x_ liegen, perspectivisch gleich hoch. Eine Linie von _a_ durch _e_ oder von _g_ durch _a_ nach dem Horizont würde diesen in 2 weit ausserhalb der Zeichenfläche liegenden Punkten treffen. Man benüzt daher 2 von _a_ und _b_ nach einem beliebigen Punkt des Horizonts gezogene Linien, z. B. _a x_ und _b x_, zieht von _e_ eine unverkürzte Wagrechte nach _i_ und errichtet dort die Senkrechte _i k_, welche somit in gleicher Tiefe mit _e_ steht und mittels einer unverkürzten Wagrechten von _k_ aus auf die gewünschte Stelle übertragen werden kann. Da eine von _g_ aus nach der verlängerten _x a_ gezogene Wagrechte die leztere nicht mehr innerhalb der Zeichenfläche erreichen würde, so ist ein Punkt _y_ wie oben benüzt, von _g_ eine Wagrechte nach der verlängerten _y a_, d. h. nach _m_ gezogen, _m n_ = _a b_ gemacht und ist somit auch _g h_ = _a b_.

Liegt der Horizont in gleicher Höhe mit dem oberen Ende einer senkrechten Linie, z. B. in der Scheitelhöhe einer menschlichen Figur, so ist die Höhe aller gleich grossen senkrechten Linien oder anderer Figuren, welche in derselben wagrechten Fläche stehen, durch die Horizontlinie gegeben, vgl. Fig. 64.

§ 65. In Fig. 65 sei _A B_ gegeben und sollen 2 weitere Figuren in _f_ und _g_, d. h. in 2 Punkten gezeichnet werden, welche in gleicher Höhe und gleicher Tiefe mit den Punkten _a_ und _e_ liegen. Zu diesem Zweck sind die durch _a_ und _e_ gehenden Senkrechten verlängert bis zu der wagrechten Fläche, auf welcher _A B_ steht, also bis _o_ und _p_, und ist auf die oben beschriebene Weise _o c_ = _A B_ gemacht. Die Höhe _o c_ kann nun mit dem Zirkel nach _a d_ und von hier mittels einer Wagrechten nach _f k_ übertragen werden. _e p_ ist = _o c_ = _e b_, somit ist auch _g h_ = _A B_.

§ 66. In Fig. 66 ist angenommen, dass _A B_ als Höhe einer in _A_ stehenden Figur gegeben sei und der Punkt _C_, in welchem eine zweite Figur stehen soll, um 3 Stufen tiefer liege, als die obere Fläche. Man errichte eine Senkrechte in _g_, mache _i g_ = 3 mal _g e_, d. h. = _a g_, und _i p_ = _a b_, d. h. = _A B_, ziehe _i P_ und _p P_, eine Wagrechte von _C_ nach _m_ und errichte eine Senkrechte in _m_ bis _p P_, so ist _m n_ und folglich auch _C D_ = _A B_.

Wäre die Höhe _A B_ auf eine der beiden andern Stufen oder auf irgend einen Punkt der Fläche, in welcher _g_ liegt, zu übertragen, so würde man bei _b d_, _d f_ und _f h_ = _g e_, _e c_ und _c a_ machen, so dass _g h_, _e f_ und _c d_ je = _a b_ = _A B_ wären und könnte hierauf jede dieser Senkrechten auf einen beliebigen Punkt der Fläche, in welcher ihr unteres Ende liegen soll, wie oben übertragen werden.

§ 67. In Fig. 67 ist die mit _a b_ gleiche Höhe einer in _c_ stehenden Figur berechnet, indem von _c_ abwärts eine mit _d f_ und _g h_ parallele schräge Linie bis _i_, d. h. bis zu der wagrechten Ebene, in welcher _a_ liegt, gezogen, die Höhe _a b_ nach _i k_ und hierauf mittels der weiteren schrägen Parallellinien _k e_ nach _c_ übertragen wurde. In einem derartigen Falle ist vorauszusezen, dass der Fluchtpunkt oder das Massdreieck einer in der betreffenden schrägen Fläche liegenden schrägen Linie, wie hier _g m h_, bekannt sei. Ein ähnliches Beispiel zeigt Fig. 35: Die Höhe _g i_ ist zuerst mittels _g n_ und _i n_ nach _f_ übertragen, wo die wagrechte Fläche beginnt, in welcher eine zweite Figur stehen soll. Die Höhe der lezteren ergibt sich sodann durch _f P_ und _e P_.

Die perspectivische Grösse von Figuren oder irgend welchen Linien, welche auf unregelmässigem Terrain in verschiedener Tiefe sich wiederholen, kann nicht genau berechnet werden.

§ 68. Wie auf dieselbe oder ähnliche Weise ~wagrechte~ Parallellinien von gleicher Länge in verschiedener Tiefe zu zeichnen sind, ist in Fig. 68--70 gezeigt.

Es sei die Aufgabe gestellt, 2 Rechtecke von gleicher Grösse und in gleicher Stellung wie _A B C D_, Fig. 68, zu zeichnen, so, dass die linke vordere Ecke des einen in _E_, die des andern in _e_ liegt. Zieht man von _E_ eine unverkürzte Wagrechte nach _r_, so ist _r s_ = _A B_ und kann mit dem Zirkel von _E_ nach _F_ übertragen werden. Die Richtung der verkürzten Seiten ist durch _P_ gegeben, ihre Länge durch eine Linie von _E_ nach _z_, dem Fluchtpunkt der Diagonale _A C_ und folglich auch der mit _A C_ parallelen _E G_. Ebenso kann _e f_ = _a b_ gemacht und die Länge _f g_ durch die Diagonale _e g_ bestimmt werden.

Wären die Fluchtpunkte beider Diagonalen des gegebenen Rechtecks _A B C D_ unzugänglich, so könnten _A B_, _E F_ und _e f_ halbiert werden, um _y_ als Fluchtpunkt von _o C_ wie oben _z_ behufs Berechnung der Länge _F G_ und _f g_ zu benüzen. _e h_ könnte auch = _F G_ gemacht werden mittels einer von _F_ durch _e_ nach dem Horizont und einer zweiten von _G_ nach _y_ gezogenen Linie. Sollte auf diesem Wege die Länge _E H_ = _B C_ bestimmt werden, so müsste, da eine Linie von _B_ durch _E_ den Horizont ausserhalb der Zeichnung trifft, eine näher bei _E_ liegende Linie, z. B. _m n_ = _B C_ gezeichnet werden, um _m E y_ und _n H y_ ziehen zu können.

§ 69. In Fig. 69 ist von _a_ aus ein Rechteck = _E F G H_ gezeichnet, indem von _E_ eine Linie durch _a_ nach dem Horizont gezogen und hierauf die Lage von _b_, _c_ und _d_ durch die Linien _F P_, _G P_, _H P_ und die nach den betreffenden Fluchtpunkten gezogenen _a b_, _b c_, _a d_ bestimmt wurde. Wäre statt _a_ der Punkt _A_ als vordere Ecke des zweiten Rechtecks gegeben, welcher in gleicher Tiefe mit _E_ liegt, so könnte man von _E_, _F_, _G_ und _H_ unverkürzte Wagrechte nach links ziehen, in welchen auch die Punkte _B_, _C_ und _D_ liegen müssen und hierauf die Lage der lezteren ohne Hilfe ihrer Fluchtpunkte dadurch näher bestimmen, dass man nach einem beliebigen Punkt des Horizonts, z. B. nach _P_, Linien von _E_, _F_, _G_, _H_ und _A_ zieht, und hierauf _f g_ = _i k_, _f C_ = _i G_, _f e_ = _i h_ macht u. s. w. Ebenso ist _m n_ = _x y_, _n o_ = _y a_ u. s. w.

Wäre _A B C D_ und der Punkt _a_ gegeben, somit der Fluchtpunkt einer von _A_ durch _a_ gezogenen Linie unzugänglich, so könnte auf die zulezt angegebene Weise das erstere Rechteck leicht soweit als nötig zur Seite gerückt werden, wie oben die Linie _B C_, Fig. 68 nach _m n_.

§ 70. Aus dem Vorangegangenen ergibt sich ein weiteres in vielen Fällen bequemes Mittel, die Richtung verkürzter Parallellinien, deren Fluchtpunkt unzugänglich ist, zu berechnen. Wenn in Fig. 70 _E_ die vordere Ecke eines Rechtecks = _A B C D_ sein soll und wie oben eine Wagrechte durch _A_ sowie die Linien _A E z_, _B z_, _C z_ und _D z_ gezogen sind, so bilde man mit einer aus einem beliebigen Punkt des Horizonts z. B. aus _y_ durch _B_ gezogenen Linie ein Dreieck _a c B_ und ziehe _c z_. _b d_ ist nun = _a c_, eine Linie von _d_ nach _y_ macht _b F_ = _a B_, somit sind die Dreiecke _a c B_ und _b d F_ oder _A a B_ und _E b F_ einander gleich und ist _E F_ perspectivisch gleich gross und parallel mit _A B_. Die Lage der Ecke _G_ ist durch _C z_ und die Diagonale _E y_ gegeben, könnte aber gleichfalls dadurch berechnet werden, dass auf die angegebene Weise _F h g_ = _B f e_ gemacht und eine unverkürzte Wagrechte von _h_ nach _G_ gezogen würde. Um _K_ zu erhalten, ist schliesslich _D m_ gezogen, durch _m z_ _G n_ = _C m_ gemacht, und durch eine Wagrechte von _n_ nach _D z_ der Punkt _K_ bestimmt.

Da sowohl Richtung als Länge einer schrägen Linie durch die senkrechte und wagrechte Linie ihres Massdreiecks gegeben ist, so gilt das Gesagte auch für verkürzte gleich grosse ~schräge~ Parallellinien in verschiedener Tiefe.

Teilung einer verkürzten Linie nach bestimmten Verhältnissen.

§ 71. Die einfachste und häufigste Art einer solchen Teilung ist die Halbierung mittels der Diagonalen eines Rechtecks, dessen eine Seite die zu halbierende Linie bildet. Die vorangehenden Figuren, z. B. 38--41, bieten hievon mehrfache Beispiele. Ebenso von der Verdopplung einer Linie: in Fig. 48 z. B. ist, nachdem _E h_ gegeben, die zweite Hälfte _h F_ = _E h_ gemacht mittels eines Rechtecks _E h e c_ und einer Linie aus _c_ durch die Mitte von _e h_ nach _F_.

Soll in Fig. 71 die Länge _e f_ auf der Fortsezung dieser Linie wiederholt werden, so bilde man mit _e f_ ein beliebiges Rechteck _e f b a_, ziehe von _a_ eine Linie durch die Mitte von _b f_ nach _g_, von _b_ durch die Mitte von _c g_ nach _h_ u. s. w. Auf dieselbe Weise ist in Fig. 72 die Länge _a b_ nach _c_ u. s. w. übertragen. In Fig. 71 ergibt sich _f n_ als Hälfte von _e f_, wenn _m_ (vom Schnittpunkt der Diagonalen _a f_ und _e b_ aus) als Hälfte von _a b_ bestimmt und von da eine Linie durch _d_ gezogen wird.

In der Mitte des Rechtecks _a b c d_ Fig. 73 kann ein Fenster gezeichnet werden, indem die senkrechte Mittellinie _e f_ gezogen, _m n o p_ als nähere Hälfte angenommen und _n z_ durch die Mitte von _m p_ gezogen wird, vgl. die beigefügte geometrische Figur.

Soll auf der Linie _B P_ Fig. 68 von _b_ aus ein Stück = _B C_ abgeschnitten werden, so bilde man ein Rechteck _C b a D_, ziehe _D b_ und _C a_ und durch _i_ eine Linie von _A_ nach _c_.

§ 72. Die Teilung einer verkürzten Linie in eine grössere Anzahl von Teilen, welche in einem bestimmten geometrischen Verhältnis zu einander stehen, geschieht gewöhnlich zufolge dem Geseze, dass in einem Dreieck Linien, welche parallel mit einer Seite zwischen den beiden andern gezogen werden, auf lezteren Teile von gleichem Verhältnis ergeben.

In Fig. 74 ist z. B. die Linie _a b_ so geteilt, dass _a d_ und _e f_ gleich gross und je die Hälfte von _d e_ und _f b_ sind. Zieht man nun von _f_, _e_ und _d_ Linien parallel mit _b c_ nach _a c_, so erhält man auf lezterer Linie Teile von demselben Verhältnis. Ist die Aufgabe gestellt, die Linie _D C_ Fig. 75 so zu teilen, dass die Fenster je halb so gross als die Zwischenräume sein sollen, so wird durch _D_ eine unverkürzte Wagrechte gezogen, mit dem Zirkel, nachdem _D a_ als erster Teil beliebig angenommen ist, _a b_ = 2 mal _D a_, _b c_ = _D a_ u. s. w. gemacht und eine Linie von _f_, dem Endpunkt des letzten Teilabschnitts, durch _C_ nach dem Horizont gezogen, worauf die Linien _a p_, _b p_, _c p_ u. s. w. auf _D C_ die gewünschten Verhältnisse ergeben.

Statt auf _D f_ könnten die Teile auch auf einer höher gelegenen Linie, z. B. von _m_ aus in der Weise angetragen werden, dass eine Linie von _m_ durch _D_ nach dem Horizont, eine zweite von _p_ durch _C_ nach _n_ gezogen und _m n_ mit dem Zirkel nach den gewünschten Verhältnissen geteilt würde.

Auch in Fig. 72 könnte auf diese Weise die perspectivische Weite der Zwischenräume berechnet werden, wie auf der Linie _a d_ angedeutet ist.

Dasselbe Verfahren ist in Fig. 42 angewandt, um die verkürzte schräge Linie _b d_ in eine Anzahl gleicher Teile zu teilen und so die perspectivische Höhe der Stufen zu bemessen, mit dem Unterschied, dass die senkrechte Linie _b e_ hier die Stelle der unverkürzten Wagrechten in Fig. 75 vertritt.

§ 73. Ein anderes Verfahren ist das folgende: Wenn in Fig. 73 das Rechteck _a b c d_ gegeben ist und die Breite eines in der Mitte davon zu zeichnenden Fensters 1/5 der Linie _a d_ betragen soll, so wird _a b_ in 5 gleiche Teile geteilt und die Diagonale _a c_ oder _b d_ gezogen. Zieht man nun von _g_ und _h_ Linien parallel mit _a d_ und _b c_, so erhält man da, wo dieselben die Diagonalen schneiden, die Punkte, welche die Breite des Fensters bestimmen, vergl. die geometrische Figur. Auch die perspectivische Breite der Fenster und der Zwischenräume in Fig. 75 könnte dadurch bestimmt werden, dass _A D_ mit dem Zirkel in 9 gleiche Teile geteilt würde (vorausgesezt, dass das oben angegebene Verhältnis massgebend sein soll). Die Punkte, in welchen die von 1, 3, 4, 6 und 7 aus gezogenen Parallelen die Diagonale _D B_ schneiden, ergeben, wie die Figur zeigt, dasselbe Verhältnis wie die obige Berechnung.

Perspectivisches Grössenverhältnis nicht paralleler Linien.

§ 74. Wenn wir uns von unserem Auge eine Linie nach dem Augpunkt und 2 andere nach den beiden Diagonalpunkten (§ 18) gezogen denken, so entstehen 2 gleichschenklige rechtwinklige Dreiecke. Denn eine Linie vom Auge nach dem Augpunkt steht zum Horizont in einem rechten Winkel und die Entfernung der Diagonalpunkte vom Augpunkt ist gleich der Entfernung des Auges vom Augpunkt. Wenn in Fig. 76 _D_ unser Auge, _P_ der Augpunkt ist, so sind _Dp_ und _Dg_ Diagonalpunkte.

~Die beiden Linien vom Auge nach den Diagonalpunkten~ -- _D Dp_ und _D Dg_ -- ~stehen zum Horizont in einem halben rechten Winkel~, wie die Diagonalen eines Quadrats zu dessen Seiten, vergl. _a b c d_. Steht eine Linie unseres Gegenstands in einem halben rechten Winkel zu einer unverkürzten Wagrechten, so steht sie auch zum Horizont in einem halben rechten Winkel, sie ist also parallel mit einer Linie von unserem Auge nach einem der beiden Diagonalpunkte und dieser muss ihr Fluchtpunkt sein. ~Die Diagonalpunkte sind also die Fluchtpunkte aller wagrechten Linien, welche zu einer unverkürzten Wagrechten in einem halben rechten Winkel stehen.~

Umgekehrt, ~jede Linie des Bildes, deren Fluchtpunkt ein Diagonalpunkt ist, stellt eine Linie dar, welche zum Horizont und zu den unverkürzten Wagrechten derselben Zeichnung in einem halben rechten Winkel steht~.

Ist also in Fig. 77 die Distanz = 2 mal _A P_ = _P Dg_, so ist _Dg_ ein Diagonalpunkt und stellt _A C_ eine Linie dar, welche in einem halben rechten Winkel zu _A B_ steht; die Linie _B C_, welche ihren Fluchtpunkt im Augpunkt hat, ist demnach eine rechtwinklig zu _A B_ stehende Linie und _A B C_ ist die perspectivische Form eines gleichschenkligen rechtwinkligen Dreiecks = _a b c_ Fig. 76. _B C_ Fig. 77 ist = _A B_, wie in Fig. 76 _b c_ = _a b_ ist.