Part 4

Wenn in einem von 6 Quadraten oder Rechtecken umschlossenen Raume zwischen 2 entgegengesezten Ecken Diagonallinien gezogen werden, wie in Fig. 40 die Linien _a b_ und _B c_, so schneiden sich dieselben in der Mitte jenes Raums: _p_ Fig. 40 ist die Mitte von _A B b C c a G h_. Eine durch _p_ gezogene Senkrechte trifft also die Rechtecke _a G h c_ und _A B b C_ in dem Durchschnittspunkt ihrer Diagonalen. Ziehen wir nun in Fig. 33 von _A_, _B_ und _C_ bis zum Horizont die Senkrechten _A a_, _B b_ und _C c_, so entsprechen die Linien _B c_ und _C b_, welche sich in _e_ schneiden, den Diagonalen _B c_ und _a b_ Fig. 40 und eine von _e_ abwärts gezogene Senkrechte ergibt _o_ als perspectivische Mitte der Diagonale _C B_. Die Diagonalen _A b_ und _a B_ schneiden sich in _k_, _A c_ und _a C_ in _i_; _g_ und _m_ sind also die perspectivischen Halbierungspunkte von _A B_ und _A C_; _z_ ist Fluchtpunkt der Diagonale _A o_ und folglich auch der von _g_ nach der Mitte von _B D_ gehenden Linie, da beide geometrisch parallel sind. _g z_ und die verlängerte _m o_ schneiden sich in _n_, _A z_ und die verlängerte _B n_ in _D_, womit die Form des Rechtecks gegeben ist.

Die verlängerten Mittellinien _m n_ und _g o_ können sodann benüzt werden, um entsprechend Fig. 31 und 32 weitere mit _A B_ und _A C_ parallele Linien zu ziehen. Soll z. B. von _d_ nach links eine mit _A C_ parallele Linie gezeichnet werden, so schneidet man die verlängerte _m n_ durch _D d_ in _p_ und zieht von _B_ durch _p_ eine Linie nach _f_; _d f_ ist somit parallel mit _A C_ und _B D_.

§ 40. Muss eine grössere Anzahl von Parallellinien, deren Fluchtpunkt unzugänglich ist, gezeichnet werden, so würde es zu umständlich sein, jede einzelne genau zu berechnen. Man kann sich in diesem Fall begnügen, einige in passenden Zwischenräumen zu konstruieren, um mit Hilfe derselben ohne weitere Berechnung die übrigen zu zeichnen. So können in Fig. 21, wenn die Richtung _c d_ gegeben ist, mittels der senkrechten Halbierungslinie von _c d e f_ die von _g_, _h_ und _i_ ausgehenden Parallellinien genau berechnet und sodann die zwischen ihnen liegenden ohne weitere Berechnung gezeichnet werden.

Oder können von 2 beliebigen Punkten der zuerst gezeichneten Wagrechten 2 Senkrechte bis zum Horizont gezogen und beide in eine gleiche Zahl von gleich grossen Teilen geteilt werden wie in Fig. 30 _A P_, _B G_ und _C F_ in je 4 Teile geteilt sind. Durch die Verbindung der entsprechenden Teilungspunkte erhält man perspectivische Parallellinien, zwischen welchen dann weitere gezogen werden können, vgl. Fig. 75 die Teilung von _A D_ und _B C_ in je 9 Teile. Je nach Bedürfnis kann sodann dieselbe Einteilung nach oben oder unten in der Verlängerung jener Senkrechten fortgesezt werden.

Ein weiteres Verfahren, die Richtung verkürzter Parallellinien ohne Hilfe ihres Fluchtpunkts zu bestimmen, ist in § 70 angegeben.

Verkürzte schräge Linien.

§ 41. In Fig. 36 ist _a c_ eine nach der Ferne hin steigende, _a g_ eine dorthin fallende Linie. (Wenn im Folgenden von fallenden oder steigenden Linien die Rede ist, so sind immer Linien gemeint, welche in ~Wirklichkeit~ oder geometrisch nach der Ferne hin fallen oder steigen). Bilden wir das Massdreieck dieser Linien (vgl. § 23) mittels der Wagrechten _a b_ und der 2 Senkrechten _b c_ und _b g_, so ist klar, dass eine steigende Linie wie _a c_, soweit man sie verlängern mag, niemals einen Punkt treffen kann, der unterhalb der wagrechten Linie ihres Massdreiecks oder deren Verlängerung liegt und ebenso wenig eine fallende Linie wie _a g_ einen Punkt, der über jener Wagrechten liegt.

~Also liegt der Fluchtpunkt einer verkürzten schrägen Linie oberhalb des Horizonts, wenn sie nach der Ferne hin steigt, unterhalb des Horizonts, wenn sie nach der Ferne hin fällt~; vgl. die steigenden und fallenden Linien in Fig. 37.

§ 42. Es kann vorkommen, dass gemäss dieser Regel eine steigende Linie so gezeichnet werden muss, dass ihr fernerer Endpunkt tiefer liegt als der nähere, vgl. _a c_ Fig. 34. Häufiger ist der umgekehrte Fall, dass Linien, welche in Wirklichkeit nach der Ferne hin fallen, perspectivisch nach dorthin steigen, wie _a b_ und _c d_ Fig. 35.

In solchen Fällen ist es nötig, durch Hervorheben von geometrisch wagrechten Linien der nächsten Umgebung, welche zu den betreffenden schrägen Linien einen sichtbaren Gegensaz bilden, die Wirkung der lezteren zu unterstüzen, damit sie mit hinreichender Deutlichkeit das ausdrücken, was sie sein sollen. In Fig. 34 sind es z. B. die Balken der rechten Seite, in Fig. 35 die wagrechten Fugenlinien der anstossenden Mauer, welche es dem Beschauer deutlich machen, dass _a c_ dort eine in Wirklichkeit von _a_ nach _c_ steigende, _a b_ in Fig. 35 eine nach _b_ fallende Linie ist.

§ 43. In Fig. 36 sind _a b_ und _e f_ wagrechte Parallellinien, ebenso _a e_, _b f_ und _c d_; _a c_ und _e d_ sind schräge Parallellinien. Wenn zwischen parallelen Linien Verbindungslinien liegen, welche unter sich gleichfalls parallel sind, so sind leztere gleich lang (§ 1, Fig. 1); also sind _a e_, _b f_ und _c d_ gleich lang, d. h. die Entfernung der schrägen Parallellinien _a c_ und _e d_ und diejenige der wagrechten _a b_ und _e f_ von einander ist gleich gross. Da der Abstand dieser Parallellinien von einander nach der Ferne hin in gleichem Masse kleiner zu werden scheint, d. h. in gleicher Tiefe immer wieder derselbe ist -- _m n_ ist = _o p_ u. s. w. -- so müssen beide in gleicher Tiefe zusammentreffen, d. h. ihre Fluchtpunkte müssen in Einer senkrechten Linie liegen, wie Fig. 36 deutlich zeigt.

Dasselbe gilt selbstverständlich für die fallenden Linien _a g_ und _e h_. Mit andern Worten: ~der Fluchtpunkt einer verkürzten schrägen Linie liegt senkrecht über oder unter dem Fluchtpunkt der wagrechten Linie ihres Massdreiecks~.

So liegt in Fig. 37 der Fluchtpunkt der Linien _a_, _b_, _c_ und _d_ senkrecht über _n_, der Fluchtpunkt der Linien _g_ und _i_ senkrecht unter _n_, die Fluchtpunkte von _e_, _f_ und _k_ liegen in einer Senkrechten, welche durch den Fluchtpunkt der Wagrechten _o_ und _p_ geht.

Ist demnach _a c_ Fig. 36 als Richtung einer schrägen Linie, _a b_ als Richtung der wagrechten Linie ihres Massdreiecks angenommen, so ist auch die perspectivische Richtung aller mit _a c_ parallelen Linien gegeben, indem _a b_ bis zum Horizont, _a c_ bis zu der senkrechten durch den Fluchtpunkt von _a b_ gehenden Linie verlängert und so der die Richtung der parallelen Linien bestimmende Fluchtpunkt gefunden wird.

§ 44. ~Befinden sich in einer verkürzten senkrechten Fläche steigende und fallende Linien, welche in Wirklichkeit denselben Neigungswinkel haben, so liegen ihre Fluchtpunkte in gleicher Entfernung vom Horizont.~

Solche Linien sind z. B. _a c_ und _a g_ Fig. 36; _a_ und _g_, _d_ und _i_, _f_ und _k_ Fig. 37. In Fig. 36 ist _a c g_ in Wirklichkeit ein gleichschenkliges Dreieck, also muss eine von seiner Spize _a_ nach der Grundlinie _c g_ gezogene Wagrechte die leztere in ihrem Halbierungspunkt _b_ treffen; werden _a c_ und _a g_ verlängert und an beliebiger Stelle durch eine Senkrechte _s m_ verbunden, so wird leztere durch die verlängerte _a b_ gleichfalls halbiert, also muss auch _z_, der Fluchtpunkt von _a b_, in der Mitte liegen zwischen _x_ und _y_, den Fluchtpunkten von _a g_ und _a c_.

In Fig. 37 ist _h h_ parallel mit _i i_ (da beide denselben Fluchtpunkt haben) und die Senkrechte _y z_ wird von der Wagrechten _m n_ in der Mitte durchschnitten. Ebenso muss _n_ in der Mitte liegen zwischen den Fluchtpunkten der Linien _h_, _i_, _g_ und _c_, _d_, _a_; die Fluchtpunkte von _e_, _f_ und _k_ müssen gleich weit entfernt sein vom Fluchtpunkt der Wagrechten _o_ und _p_.

Berechnung der Richtung schräger Linien ohne Hilfe ihrer Fluchtpunkte.

§ 45. Man bedient sich jedoch, um die Richtung verkürzter schräger Linien zu berechnen, selten ihrer Fluchtpunkte, da dieselben in den meisten Fällen ausserhalb der Zeichenfläche liegen. Den nächstliegenden Ersaz bietet die senkrechte und wagrechte Linie ihres Massdreiecks. Ist Richtung und Länge der wagrechten sowie die Höhe der senkrechten Linie eines solchen Dreiecks gegeben oder leicht zu berechnen, so ist damit auch die Richtung (und Länge) der betreffenden schrägen Linien gefunden.

Nehmen wir z. B. an, dass in Fig. 38 die Linie _A C_ gegeben sei und darüber ein Giebel von beliebiger Höhe, dessen 2 Seiten mit _A C_ in Wirklichkeit ein gleichschenkliges Dreieck bilden, gezeichnet werden soll, so kann _k_ als perspectivische Mitte von _A C_ durch die Diagonalen eines Rechtecks _A C E D_ oder _A C g f_ gefunden und in _k_ eine Senkrechte errichtet werden, in welcher die Spize des Giebeldreiecks liegen muss. -- Ist das Dreieck _A B k_ gegeben, so dass der Punkt _C_ bestimmt werden muss, so bildet man mit _A k_ und einer beliebigen Parallellinie, z. B. _i D_, ein Rechteck _A k i D_ und zieht eine Linie von _D_ durch die Mitte von _i k_ nach der verlängerten _A k_, wodurch _C k_ = _A k_ gemacht ist.

Soll, nachdem _D F_ und _D E_ gegeben sind, von _E_ abwärts eine Linie gezeichnet werden, welche denselben Neigungswinkel hat, wie _D F_, so wird leztere verlängert bis _e_, wo sie die senkrechte Mittellinie trifft und von _e_ durch _E_ die Linie _E G_ gezogen. -- Oder kann von _F_ eine mit _D E_ parallele Linie nach links und die senkrechte Mittellinie von _E D f g_ gezogen, die von _y_ nach _H H_ gehende Senkrechte halbiert und hierauf durch eine Linie von _r_ durch diesen Halbierungspunkt der Punkt _G_ bestimmt werden.

§ 46. In Fig. 39 ist angenommen, dass die perspectivische Richtung und Länge der Linien _A B_ und _A C_, die Höhe _A a_ und die Breite _a c_ bestimmt seien, womit auch die Richtung der schrägen Linie _A c_ gegeben ist, in welcher die inneren Ecken der Stufen liegen müssen; die äusseren Ecken liegen in einer mit _A c_ parallel von _a_ ausgehenden Linie, deren Richtung gefunden wird, indem man _c d_ = _b c_ macht. Eine Linie von _d_ nach dem Fluchtpunkt von _A C_ ergibt _e_, eine Senkrechte von hier den Punkt _f_. Bildet man hierauf das Rechteck _A C h g_, so kann mittels seiner Diagonalen _m n_ als senkrechte Mittellinie gefunden werden; _C m n_ ist demnach = _A m n_ und die Ecken der ferneren Stufen können durch die von _a_ und _k_ nach dem Fluchtpunkt von _A C_ gezogenen Linien und die entsprechenden Senkrechten gefunden werden. (Übrigens kann dieselbe Aufgabe auch ohne Hilfe der zweiten schrägen Linie gelöst werden: man macht _a k_ und _k g_ = _A a_, zieht von diesen Punkten aus die mit _A C_ parallelen Linien und erhält die Punkte _d_ und _f_ durch die in _c_ und _e_ errichteten Senkrechten.) Die übrigen Linien der Figur sind teils senkrecht, teils sind sie parallel mit _A C_ oder mit _A B_.

§ 47. Ein Beispiel, wie die Richtung verkürzter schräger Parallellinien ohne Hilfe ihres Fluchtpunkts berechnet werden kann, ist auch in Fig. 31 enthalten, wo, um den Punkt _F_ zu finden, _B r_ und _C r_ gezogen und in _r_ eine Senkrechte errichtet wurde, welche auf der von _E_ ausgehenden Wagrechten den Punkt _F_ und hiemit die mit _D E_ parallele Richtung der Linie _G F_ ergibt. Auf dieselbe Weise kann in Fig. 40, wenn das Dreieck _A B D_ und die Wagrechte _A C_ gegeben sind, die Richtung der mit _A D_ parallelen Linie _C E_ berechnet werden, indem man von _C_ eine mit _A B_, von _d_ und _D_ zwei mit _A C_ parallele Linien zieht und in _e_ eine Senkrechte errichtet. Ebenso kann _F n_ gefunden werden durch die Linien _F m_ und _m n_.

In Fig. 38 kann von _p_ aus eine Linie parallel mit _A B_ gezeichnet werden mittels der Linien _k x_, _p x_ und einer in _x_ errichteten Senkrechten. Oder kann man in _A_ und _p_ 2 Senkrechte errichten, _B b_ parallel mit _A C_, _b o_ parallel mit _A p_ ziehen und hierauf durch eine weitere mit _A C_ parallele Linie von _o_ aus den Punkt _n_ bestimmen.

Soll von _D_ aus abwärts eine mit _A B_ parallele Linie gezeichnet werden, so kann durch die Verlängerung von _A B_, _A C_ und _D E_ ein Dreieck _A c d_ gebildet und _d h_ = _c d_ gemacht werden, wodurch _D h_ parallel mit _B A_ ist. Oder kann, nachdem das Dreieck _A B b_ gezeichnet ist, _D a_ = _A b_ gemacht und von _a_ eine mit _A C_ und _b B_ parallele Linie bis zu der Senkrechten _B k_ gezogen werden, wodurch _e D_ parallel mit _A B_ ist und von _D_ aus verlängert werden kann. Es könnte ferner, wenn _F z_ geometrisch = _y z_ ist, durch den Halbierungspunkt von _D z_ eine Linie von _i_ nach der verlängerten _y z_ gezogen werden.

§ 48. In Fig. 41 sei _A G a_ und _A o_ gegeben. Um die Richtung der parallel mit _A a_ von _B_, _i_ und _o_ ausgehenden Linien zu berechnen, ist durch den Halbierungspunkt der Senkrechten _n a_ eine mit _A G_ parallele Linie nach _f_ und von hier aus _f g_ als wagrechte Mittellinie des Daches gezogen, welche nun ähnlich wie die Mittellinien in Fig. 31 benüzt werden kann, um zwischen _A B_ und _a p_ beliebige mit _A a_ parallele Linien z. B. _B b_, _i k_ und _o p_ zu zeichnen: man zieht _a B_ und _A r b_, _b i_ und _B s k_ u. s. w. Die Richtung der Linie _C c_ ist auf die in § 45 Fig. 38 angegebene Weise berechnet: _d h_ ist = _n a_ gemacht und von _h_ eine Linie durch _C_ nach der verlängerten _m z_ gezogen. Der Punkt _F_ ergibt sich durch eine parallel mit _A G_ von _E_ nach der Verlängerung von _b B_ gezogenen Linie; eine Senkrechte von _F_ abwärts schneidet die von _c_ nach rechts gehende Wagrechte in _e_, womit _E e_ gegeben ist.

Sind auf solche Weise einige Parallellinien gezeichnet, so kann die perspectivische Richtung weiterer zwischen ihnen liegender Linien auch ohne genaue Berechnung jeder einzelnen ohne Schwierigkeit bestimmt werden.

Verschiedene Beispiele. Treppen, Dächer, Dachfenster, Turmhelme.

§ 49. Die Anwendung des vorangegangenen ist in Fig. 42--60 an weiteren Beispielen gezeigt. Der Gleichartigkeit des Gegenstands wegen befinden sich unter denselben auch solche, bei denen die im folgenden Abschnitt besprochene Form des verkürzten Quadrats als gegeben betrachtet werden muss.

Für die Construction der Treppe Fig. 42 nehmen wir die Höhe und Breite der untersten Stufe, also die perspectivische Länge der Linien _B b_ und _b c_, sowie die Linie _A B_ als gegeben an. Da leztere eine unverkürzte Wagrechte ist, so muss der Augpunkt Fluchtpunkt der Linie _b c_ sein. Wird nun _b m_ = _B b_ gemacht, in _c_ eine Senkrechte errichtet und von _m_ eine Linie nach _P_ gezogen, so ist _c n_ die perspectivische Höhe der zweiten Stufe und es ist durch _b n_ die Richtung der schrägen Linie gegeben, in welcher die vorderen Ecken der folgenden Stufen liegen müssen. Hierauf wird auf der verlängerten _B m_ die Höhe _B b_ mit dem Zirkel so oft wiederholt, als nötig ist, um die gewünschte Zahl von Stufen zu erhalten und werden von den Teilungspunkten Linien nach _P_ gezogen. Die Punkte, in welchen leztere die Linie _b d_ schneiden, sind die vorderen Ecken der Stufen, die hinteren dem Punkte _c_ entsprechenden Ecken ergeben sich durch die von _o_, _p_ u. s. w. abwärts gezogenen Senkrechten. Auf der andern Seite schneiden sich _a P_ und die von _c_ nach links gezogene Wagrechte in _y_, eine Wagrechte von _n_ nach links und eine in _y_ errichtete Senkrechte schneiden sich in _z_ u. s. w.

Um von _F_ aus die mit _a D_ und _b d_ parallele Linie des Geländers zu zeichnen, ist durch die Diagonalen eines Rechtecks _g h d D_ dessen wagrechte Mittellinie bestimmt, welche von der Linie _F d_ in _i_ geschnitten wird, worauf die von _h_ durch _i_ nach _D d_ gezogene Diagonale den Punkt _f_ und hiemit _F f_ als Parallele von _h d_ ergibt.

§ 50. Fig. 43 zeigt 2 häufige Formen von Dachfenstern. _m y_ und _n z_ sind parallel mit _A D_ zu zeichnen, _y z_, _o p_, _m n_ parallel mit _A C_; die Höhe _m o_ sowie die Länge _m y_ sind beliebig, vorausgesezt, dass _o y_ und _p z_ als nach _y_ und _z_ hin steigende Linien gezeichnet sind.

Bei der zweiten Form ist _d f_ parallel mit _A D_; die Höhe des Giebels kann beispielsweise in _i_ oder in _c_ angenommen werden; _e f_, _i k_, _c b_ sind parallel mit _A B_; die Punkte _b_ oder _k_ liegen sodann da, wo die von _c_ oder _i_ parallel mit _A B_ gezogenen Wagrechten sich mit einer schrägen Linie schneiden, welche von _a_, der Mitte von _d h_, parallel mit _A D_ aufsteigt. Durch den Punkt _b_, in welchem die leztgenannte Linie und die Firstlinie des Hauptdaches sich schneiden, ist _c b_ als grösste Höhe gegeben, welche für die obere Wagrechte des Dachfensters angenommen werden darf, d. h. eine von seiner Giebelspize parallel mit _A B_ gezogene Wagrechte darf die von _a_ parallel mit _A D_ ausgehende Linie nicht jenseits des Punktes _b_, nicht oberhalb der Firstlinie _D b_ treffen, es wäre denn, dass eine entsprechende Fortsezung auf der andern Dachseite angenommen würde.

§ 51. In Fig. 44 seien _a b_ und _b c_ als zwei Seiten eines quadratischen Turmes gegeben und soll darüber ein Dach gezeichnet werden, dessen Spize über der Mitte des ganzen Turmes, d. h. seiner quadratischen Grundfläche liegt. Zieht man die mit _a b_ und _b c_ parallelen Linien _d c_ und _a d_, so muss die Spize in einer Senkrechten liegen, welche in dem Schnittpunkte der Diagonalen _a c_ und _b d_ errichtet wird; die Höhe der Spize ist beliebig. Bequemer wird in den meisten Fällen die Mitte des Ganzen auf die § 39 angegebene Weise gefunden: man zieht an beliebiger Stelle die mit _a b_ und _b c_ parallelen Linien _e f_ und _f g_ (oder benüzt statt derselben die Horizontlinie), um mittels der Diagonalen _c e_ und _a g_ den gewünschten Punkt zu erhalten, in welchem jene Senkrechte zu errichten ist.

Häufig kann man sich auch damit begnügen, die 2 äusseren Senkrechten z. B. in Fig. 44 _e a_ und _g c_, nach oben zu verlängern und die Spize in die Mitte zwischen beide zu verlegen. Das Resultat stimmt zwar nicht immer vollständig mit dem der genauen Berechnung überein, doch ist die Abweichung eine so geringe, dass die richtige Wirkung nicht dadurch beeinträchtigt wird; vgl. Fig. 45.

§ 52. In Fig. 45 sind zuerst von _a_, _b_ und _c_ aus 3 Linien nach einem tiefer liegenden Punkte _o_ der senkrechten Mittellinie gezogen, hierauf an beliebiger Stelle die mit _a b_ und _b c_ parallelen Linien _k m_ und _m n_ und von den Punkten _k_, _m_ und _n_ 3 Linien nach der höher liegenden Spize _p_.

Die Construction von Fig. 46 ist hienach leicht zu verstehen. In Fig. 47 sind von _a_, _b_ und _c_ aus zuerst 3 Linien nach dem höher in der Mittellinie liegenden Punkt _p_, hierauf die mit _a b_ und _b c_ parallelen _d e_ und _e f_, und nach dem tiefer liegenden Punkt _o_ die Linien _d o_, _e o_ und _f o_ gezogen.

§ 53. Bei der in Fig. 48 und 49 dargestellten Dachform liegen die Punkte _E_ und _F_ senkrecht über den Punkten _m_ und _n_, welche ihrerseits in der Mittellinie _a b_ des Rechtecks _A B C D_ liegen. _m a_ ist in Wirklichkeit = _n b_; denken wir uns die senkrecht über _A B_ und _C D_ stehenden Giebelwände _A B d_ und _D C f_ hinzugezeichnet, so wäre auch _E d_ = _F f_. Gewöhnlich haben die beiden schrägen Dreiecke (_A B E_ und _D C F_) denselben Neigungswinkel wie die anstossenden Breitseiten des Daches. In diesem Fall müssen die senkrecht unter _E_ und _F_ liegenden Punkte _m_ und _n_ Mittelpunkte zweier Quadrate sein, deren Seiten = _A B_ sind, so dass _m a_ = _A a_ wäre. Doch ist die Form auch dann eine richtige, wenn angenommen wird, dass der Neigungswinkel jener Flächen (_A B E_ und _A E F D_) ein verschiedener sei. Die Hauptsache ist, dass _E_ und _F_ von _d_ und _f_ oder _m_ und _n_ von _a_ und _b_ gleich weit entfernt sind, mit andern Worten, dass die beiden Dreiecke _A B E_ und _C D F_ die gleiche Neigung haben. Zu diesem Zweck bestimme man in Fig. 48, angenommen, dass _A B E_ und _A D_ gegeben seien, die perspectivische Mitte der Firstlinie in _h_ (mittels _A C_ und _B D_ oder _B z_ und _D y_) bilde das Rechteck _E h e c_ und ziehe _c F_ durch die Mitte von _h e_, so ist _F h_ perspectivisch = _E h_. Oder man verbinde (Fig. 49) den Halbierungspunkt _r_ der Linie _A D_ mit _h_, der wie oben gefundenen Mitte der Firstlinie, ziehe die Diagonale _E D_ und durch den Punkt, in welchem _E D_ und _r h_ sich schneiden, eine Linie von _A_ nach _F_.

Oder auch man bestimme, nachdem _A B E_ und _A D_ (Fig. 49) gegeben sind, die perspectivische Mitte von _A B_ und _C D_, also die Punkte _a_ und _b_, ziehe von _a_ durch _E_ eine Linie nach der senkrechten Mittellinie des Ganzen (errichtet im Schnittpunkte der Diagonalen _B z_ und _D y_) und von _o_ eine Linie nach _b_, welche die Firstlinie in _F_ schneidet.

§ 54. Um das Dach Fig. 50 zu construieren, wird zuerst die einfache Dachform _C A a g h_ und an beliebiger Stelle die Wagrechte _e f_ parallel mit _A a_, sowie _e c_ parallel mit _A C_ gezeichnet. Die perspectivische Mitte von _A C_ ist _m_, eine Linie von hier durch den Schnittpunkt _i_ ergibt den Punkt _n_ als Mitte der Firstlinie. Die Lage des einen der beiden Punkte _D_ oder _d_ wird beliebig angenommen, die des zweiten durch die Diagonalen _D c_ und _e d_, wie in Fig. 49, § 53, gefunden.

Häufig wird es auch genügen, bei Darstellung von Dachformen wie Fig. 48--50 zuerst die gewöhnliche Dachform mit senkrechten Giebelwänden oder die perspectivische Mitte der Firstlinie anzugeben und nach dem Ermessen des Auges den ferneren der beiden geometrisch gleich grossen Teile kleiner zu zeichnen, als den näheren, also z. B. in Fig. 50 dafür zu sorgen, dass _n d_ kleiner sei als _D n_, _d h_ kleiner als _g D_.

§ 55. Wenn in einem Dach von der Fig. 48--50 dargestellten Form Dachfenster wie in Fig. 43 gezeichnet werden sollen, so muss die schräge Mittellinie der betreffenden Seite gesucht werden. In Fig. 51 z. B. muss die Linie _e d_ perspectivisch parallel sein mit _c D_; wäre das Dachfenster nicht in der Mitte von _A B D_, so müsste eine mit _c D_ parallele Linie entsprechend der Linie _a b_ in Fig. 43 gezeichnet und sodann wie dort weiter verfahren werden.

Auf der anstossenden Seite _A C E D_ müssen _a b_, _f g_ u. s. w. parallel sein mit der Mittellinie _m n_. In Fig. 53 wäre _f c_ am unteren, _c z_ am oberen Teil massgebend für die schrägen Linien eines Dachfensters.

§ 56. Fig. 52, ein Staffelgiebel, ist so construiert, dass zuerst die einfache Dachform _a b c g e_ und die parallel mit _a c_ von _f_ und _d_ ausgehenden Linien gezeichnet wurden (_d g_ kleiner als _f c_). Um die Höhe der einzelnen Absäze zu bestimmen, ist in _k_ eine über _a_ hinausreichende Senkrechte _k z_ errichtet und in die erforderliche Anzahl von gleichen Teilen geteilt. Durch die Teilungspunkte sind die Linien _m n_, _o p_ u. s. w. und nach dem Fluchtpunkt der andern Seite _m i_, _o h_ u. s. w. gezogen. Das Weitere ist aus den Constructionslinien der Fig. 52 leicht zu ersehen.