Part 3

Wie zu verfahren ist, wenn ein Fluchtpunkt ausserhalb der Zeichnung liegt, wie die Fluchtpunkte der Linien _a a_, _b b_, _n n_ in Fig. 21, wird später gezeigt werden. Häufig kann jedoch die genaue Berechnung in solchen Fällen dadurch ersezt werden, dass man einen Papierstreifen an das Zeichenblatt anlegt, um die betreffenden Linien bis zu ihrem Fluchtpunkt verlängern zu können, oder dass man wie in Fig. 21 und 22 sie wenigstens so weit als der Raum gestattet, fortsezt, da sich, je länger sie sind, desto deutlicher beurteilen lässt, ob sie die erforderliche Richtung nach Einem Punkte hin haben.

Verkürzte wagrechte Linien.

§ 28. Wenn wir am Ende eines Zimmers stehend Decke und Fussboden desselben betrachten, so scheint die erstere nach dem jenseitigen Ende des Zimmers hin zu fallen, der Boden scheint nach dorthin anzusteigen; ebenso scheinen alle wagrechten Flächen, welche höher liegen als unser Auge, nach der Ferne hin zu fallen, tiefer liegende scheinen zu steigen. Halten wir aber eine Fläche, z. B. ein dünnes Brett, ein Stück Pappe oder dergl. wagrecht in gleicher Höhe mit unserem Auge vor uns, so sehen wir weder die untere noch die obere Seite dieser Fläche, wir sehen sie nur als eine wagrechte Linie, welche, da der Horizont gleichfalls eine in der Höhe des Auges liegende wagrechte Linie ist, mit diesem zusammenfällt, vgl. Fig. 22. ~Alle wagrechten Flächen scheinen sich also nach dem Horizont hin zu neigen.~

Denn alle wagrechten Flächen sind parallel und sind verkürzt. Daher scheint der Zwischenraum zwischen 2 wagrechten Flächen, z. B. zwischen Decke und Fussboden, nach der Ferne hin immer kleiner zu werden, sie scheinen einander näher zu rücken, ebenso wie verkürzte parallele Linien. Wie diese nach Einem Punkte, so scheinen alle wagrechten Flächen nach Einer Linie hinzustreben und diese Linie kann nach dem Gesagten nur der Horizont sein: ~der Horizont ist die gemeinschaftliche Fluchtlinie oder Verschwindungslinie aller wagrechten Flächen~.

§ 29. Mit den wagrechten Flächen scheinen auch die in ihnen liegenden verkürzten Linien[5] zu steigen oder zu fallen; jede wagrechte Linie kann als Teil einer wagrechten Fläche gedacht werden; ~folglich müssen verkürzte wagrechte Linien, wenn sie tiefer liegen als unser Auge, d. h. unterhalb des Horizonts, von ihrem näheren nach ihrem entfernteren Endpunkte zu steigen; wenn sie höher liegen als unser Auge, d. h. über dem Horizont, so müssen sie nach der Ferne hin fallen; wagrechte Linien aber, welche mit dem Auge in gleicher Höhe liegen, bleiben wagrecht, auch wenn sie verkürzt sind~. Mit andern Worten: ~die Fluchtpunkte aller verkürzten wagrechten Linien liegen im Horizont~; jede muss so gezeichnet sein, dass sie, von ihrem entfernteren Ende aus verlängert, in irgend einem Punkte den Horizont trifft und dieser Punkt ist zugleich der Fluchtpunkt aller mit ihr parallelen Linien; vgl. Fig. 20, 21, 22.

[5]: In einer senkrechten Fläche können sowohl senkrechte als wagrechte und schräge Linien liegen, in einer schrägen Fläche nur schräge und wagrechte, in einer wagrechten Fläche nur wagrechte Linien, vgl. die Flächen _A_, _D_ und _C_, Fig. 19.

Haben wir also wagrechte Parallellinien in verkürzter Stellung zu zeichnen, so ist, sobald die perspectivische Richtung für eine derselben bestimmt ist, auch die Richtung der übrigen gegeben: man verlängert die erstere bis zum Horizont und nach dem Punkte, in welchem sie ihn trifft, werden die andern gezogen.

§ 30. Die Lage dieser Fluchtpunkte kann nun, wie schon die bisherigen Beispiele zeigen, eine sehr verschiedene sein. Es entsteht also die Frage, an welcher Stelle des Horizonts in diesem oder jenem Falle der Fluchtpunkt einer wagrechten Linie liegen muss, d. h. in welchem Grade die verschiedenen wagrechten Linien nach dem Horizont hin fallen oder steigen müssen.

Die allgemeine Regel in dieser Beziehung ist, ~dass der Fluchtpunkt einer verkürzten wagrechten Linie da liegt, wo eine parallel mit ihr vom Auge nach dem Horizont gezogene Linie diesen treffen würde~. Denn verkürzte Parallellinien haben denselben Fluchtpunkt.

Z. B.: _a_, _b_, _c_, _d_, _e_ Fig. 23 sind verkürzte wagrechte Linien, welche zu der unverkürzten Wagrechten _A B_ verschiedene Winkel bilden. Der Horizont ist parallel mit den unverkürzten wagrechten Linien unseres Gegenstandes (§ 22), der Winkel also, in welchem eine verkürzte wagrechte Linie in Wirklichkeit zu einer unverkürzten Wagrechten steht, ist derselbe, in welchem sie auch zum Horizont steht. Die geometrische Stellung der Linien _a_, _b_, _c_, _d_, _e_ zu _A B_ Fig. 23 ist in Fig. 24 angegeben. Dies ist auch ihre Winkelstellung zum Horizont. Denken wir uns nun, dass die 5 Stäbe in Wirklichkeit so wie sie hier gezeichnet sind vor uns liegen und dass parallel mit denselben 5 Linien von unserem Auge nach dem Horizont gezogen seien, so müssten die Punkte, in welchen die von unserem Auge ausgehenden Linien den Horizont treffen, die Fluchtpunkte der 5 Stäbe sein. Wenn man sich hievon eine deutliche Vorstellung macht, etwa indem man einen langen Stab parallel mit einer verkürzten Linie des zu zeichnenden Gegenstands vor's Auge hält, so wird man die Lage ihres Fluchtpunkts annähernd bestimmen können; man wird z. B. verstehen, dass der Fluchtpunkt von _e_ sehr weit nach rechts, der Fluchtpunkt von _d_ näher nach dem Augpunkt hin liegen muss u. s. w.

§ 31. Die Stellung einer Linie zum Horizont ist jedoch immer eine willkürliche, da die Richtung des lezteren von der zufälligen Wahl unseres Standpunkts abhängt. ~Wenn wir die Lage des Fluchtpunkts einer wagrechten Linie genauer berechnen, so geschieht dies nicht, damit ihre Stellung zum Horizont, sondern damit ihre Stellung zu andern Linien des Bildes eine richtige Wirkung mache. Nur wo es sich um eine bestimmte und notwendige Winkelstellung wagrechter Linien zu einander handelt, bedürfen wir einer genaueren Regel in Betreff der Lage ihrer Fluchtpunkte und können wir eine solche anwenden.~

Nehmen wir z. B. in Fig. 23 als Fluchtpunkt der Linie _d_ den Punkt _y_ statt _x_ an, so scheint der Winkel, in welchem _d_ zu _e_ steht, grösser, ihr Winkel zu _c_ kleiner zu sein, als wenn _x_ Fluchtpunkt ist. Aber die Winkelstellung dieser Linien zu einander und zu den übrigen Linien des Gegenstands ist ebenso willkürlich und zufällig, wie ihre Stellung zum Horizont. Mit blossem Auge würde der Beschauer auch nicht mit Bestimmtheit zu erkennen vermögen, dass ihre geometrische Stellung zu _A B_ und zum Horizont oder ihre Stellung zu einander genau die in Fig. 24 angegebene ist. Also können wir auch die perspectivische Stellung dieser Linien zum Horizont und zu einander nicht genau berechnen und ist es für die perspectivische Richtigkeit der Zeichnung ohne Belang, ob beispielsweise _y_ oder _x_ als Fluchtpunkt der Linie _d_ angenommen wird.

Ebenso ist in Fig. 14 die Winkelstellung der verkürzten wagrechten Linien _g_ und _h_, sowie der Linien _a_, _b_, _c_, _d_ zu den übrigen Linien des Bildes eine willkürliche. Notwendig ist nur, dass _g_ und _h_, _a_ und _b_, _c_ und _d_ als parallele Linien erscheinen und dass die Linien _a_, _b_, _c_, _d_ ein Rechteck darstellen. Wir überlassen es deshalb dem Auge des Zeichners, zuerst die Richtung für eine der Linien _g_ oder _h_ und für eine Seite des genannten Rechtecks zu bestimmen, natürlich mit Rücksicht darauf, dass die Fluchtpunkte dieser Linien im Horizont liegen müssen, da sie geometrisch wagrecht sind. Aber angenommen, dass _g_ und _a_ die zuerst gezeichneten Linien seien, so ist damit nicht nur die perspectivische Richtung der mit jenen parallelen Linien _h_ und _b_, sondern auch der rechtwinklig zu _a_ stehenden Linien _c_ und _d_ gegeben. Für die Lage des Fluchtpunkts der 2 lezteren sind ebenso wie für die Richtung der verkürzten Parallellinien bestimmte Regeln massgebend.

Unsere nächste Aufgabe soll demgemäss die Beantwortung der Frage sein, ~welche Stellung in unserer Zeichnung wagrechte Linien zu einander haben müssen, welche in Wirklichkeit rechtwinklig zu einander stehen~, wie _a_ und _d_ oder _e_ und _f_ in Fig. 14, mit andern Worten, nach welcher Regel der Fluchtpunkt einer verkürzten wagrechten Linie zu bestimmen ist, welche zu einer gegebenen Wagrechten geometrisch rechtwinklig steht.

Rechtwinklige wagrechte Linien.

§ 32. Man unterscheidet die ~gerade Ansicht eines rechten Winkels, Rechtecks oder Quadrats~, d. i. wenn nur eine der beiden Linien, welche einen rechten Winkel bilden, verkürzt, die andere aber unverkürzt ist, wie _A B_ und _B C_ oder _A D_ und _D C_ in Fig. 25 und die ~schräge Ansicht~, d. i. wenn beide Schenkel des Winkels verkürzt sind, wie _a b_ und _b c_ oder _a d_ und _d c_. Der Ausdruck »schräg« bezieht sich also in diesem Zusammenhang auf die Stellung wagrechter Linien zum Auge oder zum Horizont.

In § 12 Fig. 15 und 16 wurde gezeigt, dass eine vom Auge nach dem Augpunkt gezogene Linie einen rechten Winkel zum Horizont bilden würde, d. h. mit andern Worten: ~wenn wir uns eine Linie von unserem Auge nach dem Horizont gezogen denken, so dass sie rechtwinklig zu diesem steht, so trifft sie den Augpunkt, der Augpunkt ist ihr Fluchtpunkt~.

Steht nun eine verkürzte wagrechte Linie geometrisch rechtwinklig zu einer unverkürzten Wagrechten, wie in Fig. 25 _A D_ oder _B C_ zu _C D_, so steht sie auch zum Horizont in einem rechten Winkel, sie ist also parallel mit einer von unserem Auge nach dem Augpunkt gehenden Linie und muss mit dieser denselben Fluchtpunkt haben.

~Also ist der Augpunkt der Fluchtpunkt aller verkürzten wagrechten Linien, welche zu einer unverkürzten Wagrechten (zum Horizont) geometrisch rechtwinklig stehen~ oder welche, wie man häufig sagt, sich in gerader Linie von uns entfernen. Vgl. in Fig. 14 die Linien _f_, _f_, in Fig. 20 _a P_, _b P_, _c P_ u. s. w.

§ 33. Sind beide Linien, welche den rechten Winkel bilden, verkürzt, wie in dem Rechteck _a b c d_ Fig. 25, so ist die Frage, wie gross die Entfernung der beiden Fluchtpunkte von einander, d. h. das Stück des Horizonts, welches zwischen beiden liegt, sein muss. Denn je nachdem der Winkel, in welchem 2 verkürzte Linien zu einander stehen, grösser oder kleiner ist, wird auch die Entfernung ihrer beiden Fluchtpunkte eine grössere oder kleinere sein und umgekehrt, wie aus § 31 Fig. 23 zu ersehen ist.

Ausser der geometrischen Grösse des betreffenden Winkels ist jedoch auch die Grösse der Distanz von Einfluss auf den Abstand der Fluchtpunkte seiner beiden Schenkel. Eine vom Auge nach dem Horizont gezogene Linie, welche zu diesem rechtwinklig steht, trifft immer den Augpunkt und so kann auch die verkürzte Seite eines rechten Winkels in gerader Ansicht nur im Augpunkt ihren Fluchtpunkt haben, gleichviel, ob unsere Distanz grösser oder kleiner ist. Steht aber eine verkürzte Wagrechte in einem beliebigen andern Winkel zum Horizont oder zu einer unverkürzten Wagrechten, so liegt der Punkt, in welchem eine parallel mit ihr d. h. in demselben Winkel vom Auge nach dem Horizont gezogene Linie diesen treffen würde, näher am Augpunkt oder entfernter von ihm, je nachdem die Entfernung des Auges vom Augpunkt grösser oder kleiner ist. Dieselbe Linie, welche in Fig. 26 von _a_ aus gezogen die Linie _m n_ in _z_ trifft, trifft sie von _b_ aus in _p_, von _c_ aus in _n_ u. s. w. Und wenn wir 2 verkürzte wagrechte Linien vor uns haben, welche in Wirklichkeit rechtwinklig (oder in einem beliebigen Winkel) zu einander stehen, so werden die 2 Punkte, in welchen 2 parallel mit ihnen vom Auge ausgehende Linien den Horizont treffen, desto näher beisammen liegen, je kleiner die Distanz ist und desto weiter von einander entfernt sein, je grösser dieselbe ist, wie Fig. 26 deutlich zeigt: _o p_ ist grösser als _y z_, _m n_ grösser als _o p_.

Demnach kann der Abstand der beiden Fluchtpunkte eines rechten Winkels in schräger Ansicht ein sehr verschiedener sein. So zeigt Fig. 27 zwei verschiedene Ansichten eines Rechtecks, welche es in derselben Stellung, aus derselben Höhe und Richtung, aber aus verschiedener Entfernung gezeichnet darstellen. Mit zunehmender Distanz erscheint nicht nur das Ganze kleiner, sondern auch die Form der rechten Winkel wird eine verschiedene: da mit der Distanz die Entfernung der beiden Fluchtpunkte von einander zunimmt, so erscheinen die Seitenwinkel bei _b_ und _d_ in _B_ spizer, der Winkel bei _a_ und _c_ erscheint stumpfer als in _A_.

Natürlich ist die Wirkung dieselbe, wenn wir, statt die Entfernung unseres Standpunkts zu verändern, den betreffenden Gegenstand näher oder ferner rücken, vgl. Fig. 29.

Es muss daher die genaue Grösse der für eine Zeichnung angenommenen Distanz mittels eines Distanzpunkts angegeben und dieser zu Hilfe genommen werden, wenn der Abstand jener 2 Fluchtpunkte von einander genau berechnet werden soll. Wie lezteres geschehen kann, ist in § 81--85 gezeigt. Da jedoch die Grösse der vom Zeichner angenommenen Distanz mit blossem Auge aus den Linien einer Zeichnung nicht zu ersehen ist, so kann gewöhnlich diese genauere Berechnung entbehrt und durch Beobachtung der nachfolgenden Regel ersezt werden.

§ 34. ~Überall, wo die Grösse der Distanz von wesentlichem Einfluss ist auf die perspectivische Form, kommt es hauptsächlich darauf an, die falsche Wirkung zu vermeiden, welche aus einer zu klein angenommenen Distanz entsteht. Bei Darstellung eines rechten Winkels in schräger Ansicht entsteht diese falsche Wirkung, wenn die Entfernung der beiden Fluchtpunkte von einander zu klein ist.~

Betrachten wir in Fig. 28 _D_ als unser Auge, _P_ als Augpunkt, so bezeichnet die Linie _D P_ die Grösse der Distanz. Ziehen wir nun (mit Hilfe des Winkels Fig. 9) von _D_ aus in verschiedener Richtung je 2 rechtwinklig zu einander stehende Linien nach der durch _P_ gehenden Wagrechten d. h. nach dem Horizont, z. B. _D c_ und _D d_, _D a_ und _D b_, _D Dg_ und _D Dp_, so ergibt sich, dass die 2 Punkte, in welchen die verschiedenen Linienpaare den Horizont treffen, dann den geringsten Abstand von einander haben, wenn sich die beiden Linien in der Stellung zum Horizont befinden, welche _D Dg_ und _D Dp_ zeigen. Diese stehen zum Horizont, wie die Diagonalen eines Quadrats zu dessen Seiten, wie _m n_ und _m o_ zu _o n_, d. h. beide stehen in einem halben rechten Winkel zum Horizont. _Dg_ und _Dp_ sind Diagonalpunkte: ihre Entfernung vom Augpunkt ist gleich der Distanz und ihre Entfernung von einander doppelt so gross als die Distanz, _Dg--Dp_ ist gleich 2 mal _Dp_.

Bei jeder andern Stellung der beiden Linien zum Horizont ist der Abstand jener beiden Punkte ein grösserer und er wird immer grösser, je ungleicher die Stellung der beiden Linien zum Horizont ist: _c d_ ist grösser als _Dp--Dg_, _a b_ grösser als _c d_ u. s. w.

§ 35. Hieraus folgt, ~dass die 2 Fluchtpunkte eines rechten Winkels in schräger Ansicht wenigstens so weit von einander entfernt sein müssen, dass der zwischen ihnen liegende Teil des Horizonts doppelt so gross ist, als die Distanz~. Diese muss nach § 18 wenigstens doppelt so gross sein, als eine Diagonale des Bildes, oder als eine Linie vom Augpunkt nach dem von ihm entferntesten Punkte, ~also muss, wenn beide Schenkel eines aus 2 wagrechten Linien bestehenden rechten Winkels verkürzt sind, die Entfernung ihrer Fluchtpunkte von einander wenigstens 4 mal so gross sein, als eine Linie vom Augpunkt nach dem von ihm entferntesten Punkte der Zeichnung~. Z. B. in Fig. 31 müssen, wenn _A B_ und _A C_ geometrisch rechtwinklige Linien sind, _P_ Augpunkt und _f_ die von _P_ entfernteste Ecke des Bildes ist, die Fluchtpunkte der beiden genannten Linien einen Abstand von einander haben, der wenigstens = 4 mal _P f_ ist.

Kommen in demselben Bilde verschiedene rechte Winkel in schräger Stellung vor, so müssen sie selbstverständlich in übereinstimmender Weise behandelt, d. h. es muss überall dieselbe Distanz zu Grunde gelegt werden.

Die falsche Wirkung, welche entsteht, wenn gegen jene Regel gefehlt wird, zeigt Fig. 29. Die Entfernung der beiden Fluchtpunkte von einander ist = 4 mal _P f_; daher wirken alle rechten Winkel, welche innerhalb der Kreislinie _f f_ liegen, perspectivisch richtig, aber die Winkel bei _m_, _n_ und _o_ können nicht mehr als rechte Winkel gelten.

Andererseits zeigt Fig. 25, dass dem Zeichner innerhalb der angegebenen Grenze einige Freiheit gestattet ist: _a b e f_ wird auch dem geübtesten Auge ebenso als richtiges Bild eines Rechtecks erscheinen, wie _a b c d_.

§ 36. Allerdings ist nicht sofort ersichtlich, wie gross die Entfernung der beiden Fluchtpunkte ist oder sein muss, da niemals beide innerhalb der Zeichnung, häufig dagegen weit ausserhalb derselben liegen. Will man sich nicht mit der Aushilfe begnügen, welche § 27 in Betreff entfernter Fluchtpunkte angegeben wurde, so ist in Fig. 30 eine genauere Berechnung gezeigt. _A B_ und _A C_ seien 2 verkürzte wagrechte Linien. Eine von _A_ zum Horizont gezogene Senkrechte _A P_ ist in 4 gleiche Teile geteilt und vom oberen Teilungspunkt _a_ sind 2 Linien _a b_ und _a c_ geometrisch parallel mit _A B_ und _A C_ gezogen, indem an beliebigen Punkten der lezteren Linien z. B. in _D_ und _E_ 2 Senkrechte errichtet und _D d_ und _E e_ = _A a_ gemacht wurden. _c b_ kann nun als ein Viertel des Abstandes betrachtet werden, welchen die Fluchtpunkte der Linien _A B_ und _A C_ von einander haben und es lässt sich hienach bemessen, ob derselbe hinreichend gross ist. Wäre z. B. _f_ der von _P_ entfernteste Punkt der Zeichnung, so dürften die beiden Linien _A B_ und _B C_ nicht stärker als hier der Fall ist gegen einander geneigt sein, der Abstand ihrer Fluchtpunkte dürfte nicht kleiner sein als 4 mal _c b_; denn _c b_ ist = _P f_.

Oder: wenn _A B_ als erste Linie gezeichnet ist, so muss, nachdem _a b_ parallel mit _A B_ gezogen und _b c_ = _P f_ gemacht ist, die zweite von _A_ ausgehende Linie entweder parallel mit _a c_ oder nach einem ferner liegenden Fluchtpunkt gerichtet sein, d. h. eine flachere Richtung haben, als _A C_.

Würden bei einer Vierteilung der erstgenannten Senkrechten nicht beide den Punkten _b_ und _c_ entsprechenden Punkte innerhalb der Zeichnung fallen, so halbiere man das dem Horizont zunächst liegende Viertel und ziehe von hier aus die beiden Linien nach dem Horizont, also _i g_ und _i k_ statt _a b_ und _a c_. Die Punkte, wo sie den Horizont treffen, hier _g_ und _k_, müssen in diesem Fall einen Abstand haben, der wenigstens halb so gross ist, als eine Linie vom Augpunkt nach dem von ihm entferntesten Punkte.

Verkürzte wagrechte Linien, deren Richtung nicht genau zu berechnen ist.

§ 37. Wo die perspectivische Richtung einer verkürzten wagrechten Linie ohne genauere Berechnung gefunden werden muss, bietet die Vergleichung mit einer unverkürzten Wagrechten das beste Mittel, um den Grad, in welchem jene nach dem Horizont hin fallen oder steigen muss, richtig zu beurteilen. Man halte zu diesem Zweck den Rand des Zeichenblattes, ein Lineal oder dergl. in der Richtung einer unverkürzten Wagrechten so zwischen Auge und Gegenstand, dass ein Endpunkt der verkürzten Linie, welche man zeichnen will, davon durchschnitten wird, wie in Fig. 34 der Punkt _a_ von der Linie _e f_. Übrigens ist auch die perspectivische Länge einer verkürzten Linie von wesentlichem Einfluss auf die richtige oder unrichtige Wirkung ihrer perspectivischen Richtung. Je weniger die Stellung einer verkürzten Wagrechten zum Horizont von der Richtung des lezteren abweicht, desto weniger verändert sich ihr Grössenverhältnis zu andern Linien; je mehr sie der rechtwinkligen Stellung zum Horizont, ihr Fluchtpunkt dem Augpunkt sich nähert, desto kürzer scheint sie zu werden, vgl. Fig. 23. Es kommt nun häufig vor, dass die perspectivische Richtung verkürzter Linien, wenn sie ganz der Regel entsprechend angegeben ist, dennoch eine falsche Wirkung macht, weil ihr perspectivisches Grössenverhältnis verfehlt ist und zwar geschieht dies gewöhnlich in der Weise, dass sie zu lang gezeichnet wird (vgl. § 7).

Wagrechte Parallellinien, deren Fluchtpunkt unzugänglich ist.

§ 38. In Fig. 31--33 ist gezeigt, wie die Richtung verkürzter wagrechter Parallellinien, deren Fluchtpunkt nicht erreichbar ist, genau berechnet werden kann. Es seien in Fig. 31 gegeben die Wagrechten _A B_ und _A C_ sowie die Senkrechten _A D_ und _C E_ und sollen von _D_ und _E_ Linien parallel mit _A B_, von _D_ und _B_ 2 weitere parallel mit _A C_ gezeichnet werden. Man bilde über _A B_ mit der Horizontlinie und einer in _B_ errichteten Senkrechten das Rechteck _A B b P_ und errichte in _i_, dem Schnittpunkt seiner Diagonalen, eine Senkrechte, ziehe hierauf eine Linie von _D_ nach _b_ und von _P_ durch den Punkt _k_, in welchem _D b_ jene Senkrechte schneidet, eine Linie nach der verlängerten _B b_, so ist _D G_ perspectivisch parallel mit _A B_.

Ebenso ist auf der andern Seite durch die Diagonalen des Rechtecks _A C c P_ dessen perspectivischer Mittelpunkt gefunden und eine in diesem errichtete Senkrechte benüzt, um die Lage des Punktes _d_ und hiemit die Richtung der mit _A C_ parallelen Linie _D d_ zu bestimmen.

Um von _E_ eine mit _A B_ parallele Linie zu zeichnen, kann leztere bis zu der durch _E_ gehenden Senkrechten also bis _s_ verlängert und die perspectivische Mittellinie des Rechtecks _s A P c_ wie oben benüzt werden, um den Punkt _t_ zu erhalten. Oder kann seitwärts ein Rechteck _s o H c_ gebildet, mittels seiner senkrechten Halbierungslinie oben der Punkt _e_ gefunden und hierauf _e E_ nach rechts verlängert werden.

Wie auf gleiche Weise die mit _A C_ parallele Richtung der von _B_ ausgehenden Linie _B g_ und damit _B r_ mittels der Halbierungslinie eines Rechtecks _b a f h_ gefunden wird, ist aus den Linien der Figur zu ersehen. Statt der Linie _A C_ könnte auch eine andere mit ihr parallele Linie z. B. _d D_ verlängert und durch die Diagonalen _y h_ und _z b_ die Mittellinie von _b h z y_ gefunden werden.

Um schliesslich den Punkt _F_ zu erhalten, kann von _C_ eine mit _A B_ parallele Linie gezeichnet und in dem Punkte _r_, in welchem sie die verlängerte _B g_ trifft, eine Senkrechte errichtet werden, welche die parallel mit _A B_ von _E_ ausgehende Linie in _F_ schneidet.

Ist so das schräg liegende Rechteck _E D G F_ gegeben, so lässt sich die schräge Mittellinie desselben (welche sich durch Verbindung des perspectivischen Halbierungspunktes von _D G_ mit dem Schnittpunkt der Diagonalen _D F_ und _E G_ ergibt) verwenden, um von einem beliebigen Punkte der Linien _D E_ oder _G F_ eine mit _D G_ parallele Linie zu ziehen, z. B. _m n_.

§ 39. In Fig. 32 sollen, nachdem _A B_ und _A C_ als Seiten eines Rechtecks gegeben sind, die beiden andern Seiten gezeichnet werden. Da der Raum nicht gestattet, die genannten Linien wie in Fig. 31 bis zu den 2 von _C_ und _B_ abwärts gezogenen Senkrechten zu verlangen, so sind _A a_, _B b_ und _C c_ halbiert und durch die Halbierungspunkte die Linien _g f e_ und _h f k_ gezogen, welche perspectivisch parallel sind mit _A B_ und _A C_. Entsprechend § 38 ist nun eine Senkrechte durch _i_, den Schnittpunkt der Diagonalen _a e_ und _c f_ gezogen, welche von der Linie _f C_ in _m_ geschnitten wird. Eine Linie von _e_ durch _m_ ergibt auf der Senkrechten _A a_ den Punkt _p_ und die mit _A B_ parallele Richtung _C p_. In gleicher Weise ist die mit _A C_ parallele Richtung _B o_ durch die senkrechte Mittellinie des Rechtecks _a b k f_ gefunden; statt dessen könnte auch, wie die Figur zeigt, ein seitwärts gebildetes Rechteck zu demselben Zweck verwendet werden.

Bequemer wäre jedoch in diesem Fall das in Fig. 33 angewendete Verfahren, wo gleichfalls _A B_ und _A C_ die gegebenen Seiten eines zu bildenden Rechtecks sein sollen.