Part 1

Hinweise zur Transkription

Im Original gesperrter Text wird ~so dargestellt~.

Im Original kursiver Text wird _so dargestellt_.

Im Original fetter Text wird =so dargestellt=.

Weitere Hinweise zur Transkription befinden sich am Ende des Buches.

LEHRBUCH

DER

PERSPECTIVE.

MIT 118 IN DEN TEXT GEDRUCKTEN ZEICHNUNGEN

VON

G. CONZ,

MALER, PROFESSOR AM K. CATHARINENSTIFT IN STUTTGART.

STUTTGART.

VERLAG VON KONRAD WITTWER. 1888.

~Alle Rechte vorbehalten.~

Druck von ~Carl Hammer~ in Stuttgart.

Vorwort.

Wer das Schaffen unserer Künstler kennt, der weiss, dass auch der Talentvollste nicht ohne gewissenhaftes und gründliches Studium zum Ziele gelangt, und dass sie Mühe und Arbeit nicht zu scheuen pflegen. Woher kommt es nun, dass die Mehrzahl der Maler so wenig von der Perspective versteht, welche doch zweifellos eine so wichtige Grundlage ihrer Studien bildet? Die Meisten unterschäzen den Wert derselben nicht, nehmen auch wohl dieses oder jenes Lehrbuch zur Hand, aber gewöhnlich nur, um es bald wieder zur Seite zu legen, ohne ihren Zweck erreicht zu haben, und wenn man nach dem Grunde fragt, so heisst es, das möge alles ganz gut für Architekten sein, eigne sich aber nicht für Maler.

Allerdings ist die Art und Weise, in welcher der Architekt die perspectivischen Geseze anwendet, wesentlich verschieden von der des Malers und es mag wohl sein, dass die meisten perspectivischen Lehrbücher dem Standpunkt des Lezteren weniger als dem des Ersteren Rechnung tragen.

Der Architekt stellt sich die Aufgabe, das perspectivische Bild eines Gegenstands mathematisch genau zu berechnen auf Grund bestimmter Angaben über die wirkliche (geometrische) Richtung, Grösse und Winkelstellung sämtlicher Linien, wie sie ihm in seinem Grundriss und Aufriss vorliegen. Für den Maler dagegen ist das perspectivische Bild, welches in der Natur oder in seiner Fantasie vor ihm steht, das zuerst Gegebene. In den meisten Fällen ist er darauf angewiesen, zunächst die perspectivische Richtung und Grösse einzelner für die beabsichtigte Wirkung seines Bildes wesentlicher Linien, so gut die Übung seines Auges gestattet, festzustellen und dann erst die perspectivische Berechnung anzuwenden, um das Übrige mit jenen in richtige Übereinstimmung zu bringen. Für diese Berechnung fehlen ihm aber, da er selten in der Lage ist, Messungen an seinem Gegenstand vorzunehmen, die genauen und bestimmten Angaben, welche dem Architekten zu Gebote stehen, und welche die Auffassung auch eines geübten Auges nicht vollständig ersezen kann. Er muss daher in der Regel auf eine vollständige perspectivische Genauigkeit aller Teile seines Bildes verzichten und er bezweckt eine solche auch nicht. Man kann sagen, dass er in dieser Beziehung seiner Aufgabe genügt, wenn er ~perspectivische Fehler vermeidet, welche für das Auge eines kundigen Beschauers ohne Anwendung einer Berechnung wahrnehmbar und deshalb für die Wirkung des Ganzen störend wären~.

Hieraus ergeben sich einerseits gewisse Schwierigkeiten, welche ein für die Zwecke des Malers geeignetes Lehrbuch der Perspective zu berücksichtigen hat, anderseits bietet sich die Möglichkeit, in mancher Beziehung den Stoff zu vereinfachen und leichter verständlich zu machen.

Der Umgang mit Kunstgenossen, sowie eine langjährige Lehrthätigkeit haben dem Verfasser das Bedürfnis eines in dem erwähnten Sinne geschriebenen Lehrbuchs so oft nahe gelegt und ihm zugleich so vielfache Gelegenheit gegeben, die Mittel und Wege, welche sich hiebei darbieten, zu erproben, dass er vielleicht hoffen darf, mit dieser Schrift Vielen einen Dienst zu erweisen. Neben den Bedürfnissen des Malers sind zugleich diejenigen des Schulunterrichts ins Auge gefasst. Mit Rücksicht auf diesen sind auch die einfachen geometrischen Begriffe, welche in Betracht kommen, besprochen und ist die Anordnung des Stoffes eine solche, dass die für das Freihandzeichnen wichtigsten und unentbehrlichsten Lehrsäze, welche zugleich die verständlichsten sind, leicht von den schwierigeren Teilen getrennt vorgenommen werden können.[1]

[1]: Anm. Das Notwendigste und zugleich Einfachste sind ausser einigen Grundbegriffen (§§ 1--15) die allgemeinen Regeln über die Richtung der verkürzten parallelen und wagrechten Linien (§§ 20--29, § 37); nächst diesen die §§ 30--36, 41--64, 71--73, 86--92, 99--101, § 105. Der Grad von perspectivischer Genauigkeit, welcher mit Hilfe dieser Abschnitte zu erzielen ist, mag in vielen Fällen genügen.

Auch für den Künstler haben ohne Zweifel die weniger schwierigen Berechnungen, welche sich im Notfall mittels einiger aus freier Hand gezeichneter Hilfslinien ausführen lassen, den meisten Wert und Manchen wäre vielleicht eine noch kürzere und einfachere Fassung des Ganzen erwünscht und genügend gewesen. Aber abgesehen davon, dass ein grösserer Massstab des Bildes zuweilen genauere und ausführlichere Constructionen erfordert, haben dieselben auch den Wert, das Verständnis zu üben und zu schärfen, wie überhaupt der wichtigste Nuzen solcher Studien darin besteht, dass das Auge richtiger sehen und auch ohne Anwendung einer Berechnung die Formen der Natur rascher und sicherer auffassen lernt.

=Stuttgart=, im März 1888.

=Der Verfasser.=

Inhalt.

Seite

Vorwort III--VI

I. Geometrische Begriffe.

§ 1. Senkrechte, wagrechte, schräge und parallele Linien 1

§ 2. Winkel; rechte, stumpfe und spize 1--3

§ 3. Dreiecke; gleichseitige, gleichschenklige, rechtwinklige 3--4

§ 4. Vierecke; Quadrat, Rechteck, Raute, Trapez 4--5

§ 5. Der Kreis. Hilfsmittel zum perspectivischen Zeichnen 5--6

II. Grundbegriffe der Perspective.

§ 6--11. Unterschied der geometrischen und perspectivischen Form 7--14

§ 12--13. Der Standpunkt; Sehkreis, Augpunkt, Horizont 15--19

§ 14--20. Die Distanz 19--23

§ 21--24. Das Grundgesez der perspectivischen Formerscheinung. Verkürzte und unverkürzte Stellung der Flächen und Linien 24--27

III. Perspectivische Richtung verkürzter Linien.

§ 25--27. Verkürzte Parallellinien 28--31

§ 28--31. Verkürzte wagrechte Linien 31--37

§ 32--36. Rechtwinklige wagrechte Linien 37--45

§ 37. Verkürzte wagrechte Linien, deren Richtung nicht genau zu berechnen ist 45

§ 38--40. Wagrechte Parallellinien, deren Fluchtpunkt unzugänglich ist 46--51

§ 41--44. Verkürzte schräge Linien 51--57

§ 45--48. Berechnung der Richtung schräger Linien ohne Hilfe ihrer Fluchtpunkte 57--62

§ 49--61. Verschiedene Beispiele: Treppen, Dächer, Dachfenster, Turmhelme 62--80

IV. Die perspectivischen Grössenverhältnisse.

§ 62. Unterscheidung der verschiedenen Aufgaben 81

§ 63--70. Parallellinien von gleicher Länge in verschiedener Tiefe 82--90

§ 71--73. Teilung einer verkürzten Linie nach bestimmten Verhältnissen 90--94

§ 74--79. Perspectivisches Grössenverhältnis nicht paralleler Linien 95--105

§ 80. Das Quadrat in gerader Stellung 105--106

§ 81--85. Das Quadrat in schräger Stellung 106--111

§ 86--87. Vergrösserung oder Verkleinerung eines Quadrats oder Rechtecks 111--115

V. Verkürzte Kreise, Achtecke und Sechsecke; Gewölbeformen.

§ 88--90. Der Kreis in verkürzter Stellung 116--119

§ 91. Parallele und concentrische Kreise 119--120

§ 92. Teilung eines verkürzten Kreises 120--121

§ 93--95. Verkürzte Achtecke 122--127

§ 96--98. Verkürzte Sechsecke 127--130

§ 99--100. Weitere Beispiele: Rad, Wasserrad, Walze, Cylinder 130--133

§ 101--108. Tonnengewölbe, Kreuzgewölbe, Spizbogen, Kuppel 133--144

Druckfehler.

S. 17 Zeile 13 und 14 von oben ist zu lesen: je tiefer wir stehen, desto schmaler, je höher wir stehen, desto breiter erscheint uns dieselbe.

S. 26 Z. 14 v. o ist zu lesen: _b c_ ferner als _a d_.

S. 50 " 16 " " " " " _B_ statt _g_.

S. 57 " 1 v. u. " " " _F_ statt _E_.

S. 62 " 3 v. o. " " " _n a_ statt _m d_.

I. Geometrische Begriffe.

Gerade Linien.

§ 1. Eine gerade Linie ist ~senkrecht~, wenn sie die durch das Lot oder Senkblei angegebene Richtung hat, ~wagrecht~, wenn ihre beiden Endpunkte (und somit alle Punkte derselben) in gleicher Höhe liegen, ~schräg~, wenn sie nach irgend einer Richtung hin steigt oder fällt. Dies gilt sowohl von den wirklichen Linien im Raume, als von den Linien einer Zeichnung, wenn wir uns leztere senkrecht stehend denken.

Linien, welche dieselbe Richtung haben, so dass der Abstand zwischen ihnen, soweit man sie verlängern mag, überall gleich gross ist, heissen ~Parallellinien~, vgl. _A B_ und _C D_, _E F_ und _G H_ Fig. 1. Zieht man zwischen 2 parallelen Linien Verbindungslinien, welche unter sich gleichfalls parallel sind, so sind leztere gleich lang, vgl. die Linien _a_, _b_, _c_, _d_, _e_, _f_ Fig. 1.

Winkel.

§ 2. Linien, welche nicht parallel sind, stehen in einem ~Winkel~ zu einander. Treffen sie in einem Punkte zusammen, wie in Fig. 2 _b c_ und _c d_ in _c_ oder _a b_ und _b c_ in _b_, so heisst dieser Punkt die ~Spize~ des Winkels; die beiden den Winkel bildenden Linien heissen seine ~Schenkel~. Wenn man von der Grösse eines Winkels spricht, so ist damit der Grad gemeint, in welchem beide Schenkel desselben gegen einander geneigt sind; der Winkel bei _c_ ist z. B. kleiner, als der Winkel bei _b_; die Länge der Schenkel kommt hiebei nicht in Betracht.

Eine senkrechte und eine wagrechte Linie, oder 2 schräge Linien, welche in demselben Grade gegen einander geneigt sind, wie eine senkrechte und eine wagrechte, bilden einen ~rechten Winkel~, vgl. Fig. 2 _A B_ und _A C_, _e f_ und _c d_. Werden die Schenkel eines rechten Winkels über die Spize hinaus verlängert, so entstehen 4 rechte Winkel (z. B. bei _A_). Zwei Linien, welche weniger gegen einander geneigt sind, als die Schenkel eines rechten Winkels, bilden einen ~stumpfen~ solche, die stärker gegen einander geneigt sind, einen ~spizen~ Winkel. Ein stumpfer Winkel (_a b_ und _c b_, Fig. 2) ist also grösser, ein spizer Winkel (_b c_ und _c d_) ist kleiner, als ein rechter.

Dreiecke.

§ 3. _A_, _B_, _C_, _D_, _E_ Fig. 3 sind verschiedene Arten von Dreiecken: _A_, ein ~gleichseitiges~ Dreieck, hat 3 gleich lange Seiten, welche in den Ecken 3 gleich grosse spize Winkel bilden; _B_, _C_ und _E_ sind ~gleichschenklige~ Dreiecke, in welchen 2 Seiten gleich lang sind, während die dritte entweder länger oder kürzer ist, als jene beiden; leztere heisst die ~Grundlinie~. _D_ und _E_ sind ~rechtwinklige~ Dreiecke, d. h. einer der 3 Winkel ist ein rechter; _E_ ist also ein gleichschenkliges rechtwinkliges Dreieck: der Winkel bei _a_ ist ein rechter, _a b_ und _a c_ sind gleich lang; die Winkel bei _b_ und _c_ sind halbe rechte Winkel; durch eine Linie von _a_ nach _d_, der Mitte von _b c_, entstehen 2 rechtwinklige gleichschenklige Dreiecke: _a d c_ und _a d b_.

Vierecke.

§ 4. Fig. 4 ist ein ~Quadrat~, d. h. ein Viereck mit 4 gleich langen Seiten, welche in den Ecken 4 rechte Winkel bilden; in einem ~Rechteck~ oder Oblongum (Fig. 5) stossen die Seiten gleichfalls in rechten Winkeln zusammen, aber das eine Seitenpaar ist länger, als das andere. Fig. 6 ist eine ~Raute~ oder ein Rhombus: die 4 Seiten sind gleich lang und die gegenüberliegenden sind parallel, wie im Quadrat, aber sie bilden in den Ecken nicht rechte, sondern 2 spize und 2 stumpfe Winkel.

Vierecke, in welchen die gegenüberliegenden Seiten parallel sind, also Quadrat, Rechteck und Raute, heissen ~Parallelogramme~. Die Linien _a c_ und _b d_ in Fig. 4, 5 und 6, welche die gegenüberliegenden Ecken eines Parallelogrammes verbinden, heissen ~Diagonalen~. Die beiden Diagonalen eines Parallelogramms sind gleich lang, und schneiden sich im Mittelpunkt desselben. Zieht man durch den Punkt _e_, in welchem sie sich schneiden, Linien, welche mit den Seiten parallel sind, so werden leztere halbiert. Im Quadrat werden die rechten Winkel der Ecken durch die Diagonalen halbiert. Diese stehen zu einander in einem rechten, zu den Seiten des Quadrats in einem halben rechten Winkel. _e a b_, _e b c_, _e c d_ und _e d a_ Fig. 4 sind 4 rechtwinklige, gleichschenklige Dreiecke, welche durch die Linien _e f_, _e g_, _e h_ und _e i_ wieder in je 2 solche Dreiecke geteilt werden.

Ein Viereck, in welchem 2 Seiten parallel, die beiden andern nicht parallel sind, heisst ~Trapez~ (Fig. 7.)

Der Kreis; Hilfsmittel zum perspectivischen Zeichnen.

§ 5. Der ~Kreis~ (Fig. 8) ist eine gebogene Linie, welche überall gleich weit von einem Punkte, ihrem Mittelpunkt, entfernt ist. ~Durchmesser~ des Kreises heisst eine gerade Linie, welche von einem beliebigen Punkte der Kreislinie durch den Mittelpunkt hindurch nach dem entgegengesezten Punkt derselben gezogen wird, wie _a b_; eine gerade Linie vom Mittelpunkt nach einem beliebigen Punkt der Kreislinie, z. B. _c a_, _c b_, _c d_, _c e_, welche somit die Hälfte eines Durchmessers bildet, heisst ~Halbmesser~ oder ~Radius~. Alle Radien eines Kreises sind gleich lang. ~Concentrische~ Kreise sind Kreise, welche denselben Mittelpunkt haben.

Als Hilfsmittel sind zum perspectivischen Zeichnen erforderlich: ein grösseres Reissbrett, ein Zirkel, ein rechter Winkel (Fig. 9) und eine Reissschiene (Fig. 10); durch leztere erhält man, indem der kurze Teil an den Rand des Reissbretts angelegt wird, auf bequeme Weise die senkrechten und wagrechten Linien.

II. Grundbegriffe der Perspective.

Unterschied der geometrischen und perspectivischen Form.

§ 6. Einen Gegenstand perspectivisch zeichnen heisst ihn so zeichnen, wie er dem Auge erscheint, wenn wir ihn von einem bestimmten Standpunkte aus betrachten. Dieses scheinbare oder ~perspectivische Bild~ der Dinge ist vielfach verschieden von der Form, welche sie in Wirklichkeit haben, d. h. ihrer ~geometrischen Form~; während leztere unverändert bleibt, ändert sich die perspectivische Form eines Gegenstands mit jeder Veränderung unseres Standpunkts oder mit jeder Veränderung in der Stellung des betreffenden Gegenstandes.

Die geometrische Form eines Würfels (cubus) ist z. B. die eines Körpers, welcher von 6 gleich grossen quadratischen, rechtwinklig aneinanderstossenden Flächen begrenzt wird. Die Umrisslinien dieser Flächen sind geometrisch gleich lang, ihre geometrische Richtung ist, wenn wir den Würfel auf eine wagrechte Fläche stellen, teils senkrecht, teils wagrecht, sie stehen geometrisch teils parallel, teils rechtwinklig zu einander. Stellen wir aber mehrere in Wirklichkeit gleich grosse Würfel in verschiedener Stellung und Entfernung vor uns, oder betrachten wir denselben Würfel von verschiedenen Standpunkten aus, so erhalten wir sehr verschiedene Bilder, wie Fig. 11 zeigt: während einige Linien, wie _a b_, _b c_, _c d_ in _A_, ihre geometrische Richtung und Länge behalten, erscheint ein Teil der geometrisch wagrechten Linien schräg, wie _c e_ in _A_, _a b_, _a g_, _c d_, _c e_, _d f_ und _e f_ in _B_, zuweilen auch senkrecht, wie _d f_ in _A_; geometrisch parallele Linien erscheinen nicht mehr parallel, wie _c e_ und _d f_ in _A_, von den geometrisch gleich grossen Linien und Flächen erscheint bald die eine, bald die andere grösser oder kleiner u. s. w. Und während in Wirklichkeit die Gegenstände und ihre einzelnen Teile und Linien nicht nur neben und über einander, sondern auch in den verschiedensten Entfernungen vor und hinter einander liegen, sehen wir sie perspectivisch so, als ob sie in einer senkrechten Fläche sämtlich neben und über einander lägen, weshalb wir denn auch auf der Fläche des Papiers, der Leinwand u. s. w. das naturgetreue Bild eines Gegenstandes wiedergeben können. Die deutlichste Anschauung hievon gibt das fotografische Abbild oder das Spiegelbild. Wenn wir einen Gegenstand, ohne unser Auge von der Stelle zu bewegen, so wie wir ihn in einem Spiegel oder durch eine Fensterscheibe sehen, auf der Fläche des Glases nachzeichnen, so erhalten wir sein genaues perspectivisches Bild.

§ 7. Es ist die Erfahrung und Übung des Auges, welche bewirkt, dass wir die perspectivische Form, in der wir die Dinge sehen, nicht mit ihrer wirklichen oder geometrischen Form verwechseln, sondern uns auch da, wo die erstere von der lezteren abweicht, eine allerdings nicht immer genaue Vorstellung von der wirklichen Form des betreffenden Gegenstands machen können; dass wir z. B. bei Betrachtung von mehreren, wie _A_, _B_, _C_, _D_, _E_, _F_, _G_ Fig. 11 sich darstellenden Würfeln uns ihrer verschiedenen Entfernung von unserem Standpunkt, der geometrisch wagrechten und parallelen Richtung der Linien _c e_, _d f_ u. s. w. in _A_, der geometrisch gleichen Länge sämtlicher Umrisslinien der Würfel bewusst sind.

Ja, diese auf der Erfahrung unseres Auges beruhende Kenntnis der geometrischen Form bildet ein nicht unwesentliches Hindernis für die richtige Auffassung des perspectivischen Bildes.[2] Unbewusst halten wir in dem häufigen und mannigfachen Wechsel der perspectivischen Erscheinung die Vorstellung der geometrischen Form fest und der ungeübte Zeichner ist deshalb stets geneigt, auch wo das seinem Auge sich darbietende Bild eines Gegenstands von dessen wirklicher Form erheblich abweicht, die leztere an Stelle des ersteren zu sezen, oder wenigstens mehr als richtig ist, der geometrischen Form nahe zu bleiben. Er wird z. B. Flächen oder Linien, welche von dem angenommenen Standpunkt aus im Verhältnis zu andern kleiner erscheinen, als sie in Wirklichkeit sind, fast immer zu gross, in Fig. 12 z. B. _a b_ statt _i g_ (das linke Bild als das richtige angenommen), geometrisch rechtwinklige Linien, welche perspectivisch einen stumpfen oder spizen Winkel bilden, meist so zeichnen, dass sie wenigstens annähernd rechtwinklig zu einander stehen, vgl. _c_, _d_, _e_, _f_ statt _m_, _n_, _o_, _p_; erscheint eine geometrisch wagrechte Linie perspectivisch schräg, so wird er sie zu wenig von der wagrechten Richtung abweichen lassen, vgl. _a b_ u. s. w.

[2]: Mit dem Ausdruck »Bild« wird sowohl der perspectivisch gesehene Gegenstand selbst, als die perspectivische Darstellung desselben bezeichnet.

§ 8. ~Jede Berechnung einer perspectivischen Form muss zunächst ausgehen von der geometrischen Form des betreffenden Gegenstands~: um zu berechnen, welche Richtung und welche Länge eine bestimmte Linie unseres Bildes haben soll, müssen wir die wirkliche Richtung und Länge der betreffenden Linie kennen und nur soweit, als wir diese genau anzugeben vermögen, ist ein genaues Resultat unserer Berechnung möglich.

Aber, wie bereits angedeutet, ist unsere Beurteilung der geometrischen Form nicht eine unbedingt sichere und genaue, wenn wir (siehe Vorwort) voraussezen, dass wir ohne Hilfe von Messungen am Gegenstand die wirkliche Form desselben nur auf Grund unserer Anschauung und Erfahrung uns klar zu machen haben.

~Auch ein geübtes Auge vermag die geometrische Form der Dinge nur dann mit vollkommener Bestimmtheit und Genauigkeit zu erkennen, wenn dieselbe eine regelmässige, durch die Natur des Gegenstands notwendig bedingte und dem Auge aus Erfahrung bekannte, nicht aber, wenn sie unregelmässig, zufällig und willkürlich ist. Unsere Berechnung wird sich daher nur auf Formen der ersteren Art erstrecken.~

Teils aus diesem Grunde, teils weil wir bei Ausführung einer perspectivischen Berechnung auf das Lineal angewiesen sind, haben wir es zunächst nur mit geraden Linien zu thun. Doch ist damit die Anwendung der perspectivischen Regeln auf Formen, welche nicht geradlinige Umrisse haben, nicht ausgeschlossen, indem wir mittels gerader Linien die Lage einzelner wichtiger Punkte ihres perspectivischen Bildes berechnen können, von welchen aus das Übrige sich leicht aus freier Hand ergänzen lässt, wie dies z. B. bei der Darstellung eines von der Seite gesehenen Kreises geschieht, vgl. Fig. 93 und 94.

§ 9. Welche Linienrichtungen und Grössenverhältnisse sind nun als regelmässig und notwendig, welche als willkürlich anzusehen?

Bei aufmerksamer Betrachtung von Gegenständen der verschiedensten Art werden wir finden, dass es meist durch die Natur des betreffenden Gegenstandes bedingt und, auch wenn das perspectivische Bild von der geometrischen Form abweicht, deutlich wahrnehmbar ist, ob eine Linie geometrisch senkrecht, wagrecht, oder schräg ist, welche Linien geometrisch parallel, welche rechtwinklig zu einander stehen. Dasselbe gilt von den symmetrischen Grössenverhältnissen. (Da die Entfernung zweier Punkte von einander nach der Länge einer zwischen ihnen gezogenen geraden Linie bemessen wird, so bezieht sich das Gesagte auch auf die perspectivischen Entfernungen).

Wo dagegen Linien in einem spizen oder stumpfen Winkel zu einander stehen, ist die geometrische Größe dieses Winkels meist zufällig und willkürlich. (Eine Ausnahme bilden die Winkel, in welchen die Linien mancher geometrischen Figuren zu einander stehen, z. B. die Diagonalen eines Quadrats zu dessen Seiten, die Seiten eines gleichseitigen Dreiecks, eines Sechsecks, Achtecks u. s. w. zu einander). Alle Grössenverhältnisse, mit Ausnahme der symmetrischen, sind mehr oder weniger willkürlich.

§ 10. Nehmen wir z. B. an, dass das Haus Fig. 13 und das Zimmer Fig. 14 so, wie sie hier gezeichnet sind, in Wirklichkeit vor uns stehen und dass die geometrische Richtung und Länge der verschiedenen Linien angegeben werden soll.

Leicht erkennbar sind überall die senkrechten Linien, da ihre Richtung stets unverändert dieselbe ist. Beispiele geometrisch wagrechter Linien sind in beiden Figuren die mit _a_, _b_, _c_, _d_, _e_, _f_, _g_, _h_ bezeichneten Linien, geometrisch schräg sind in Fig. 13 _i_, _h_, _k_, _m_, _n_, _o_. Geometrisch parallel sind in Fig. 13 die Wagrechten _a a_ und _b_, sodann die mit _c_ und die mit _e_, ferner die mit _f_ bezeichneten Linien und die schrägen Linien _i i_, sowie _o o_. In Fig. 14 sind geometrisch parallel die mit _e_, sodann die mit _f_ bezeichneten Linien; ebenso _a_ und _b_, _c_ und _d_, _g_ und _h_. Geometrisch rechtwinklig stehen zu einander in beiden Figuren die Linien _a_ und _b_ zu _c_ und _d_, ferner die Linien _e_ zu _f_.

In Fig. 13 haben die 5 Fenster des ersten Stockwerks in Wirklichkeit gleiche Höhe, und Breite, die Entfernungen der Fenster von einander und von den Ecken sind je auf einer Seite geometrisch gleich gross, die Giebellinien _i_ und _k_ sind geometrisch gleich lang, ebenso in Fig. 14 die 4 Tischbeine, die 2 senkrechten Linien der Thüre (zwischen _g_ und _h_) u. s. w.