Part 27

*Green* betrachtet dann den Fall, daß zwei Kugeln von verschiedenem Radius durch einen dünnen langen Draht verbunden werden. Er untersucht das Verhältnis ihrer Ladungen beim Gleichgewicht. Die Rechnung ergibt, daß sich die mittleren elektrischen Dichtigkeiten umgekehrt wie die Radien der Kugeln verhalten. Läßt man den Radius der einen Kugel darauf unendlich klein werden, so hat man den besonderen Fall der Spitzenwirkung[535].

*Greens* Arbeit hatte ein merkwürdiges Schicksal. Da *Green* in ländlicher Abgeschiedenheit das Geschäft seines Vaters verwaltete und der gelehrten Welt unbekannt blieb, so wurden seine Abhandlungen weder in England noch auf dem Festlande beachtet. Sie gerieten in Vergessenheit, bis die in ihnen enthaltenen wichtigen Ergebnisse durch *Gauß* von neuem entdeckt wurden. Erst dann lenkte der Physiker *W. Thomson*, um seinem Lande die Priorität zu wahren, die Aufmerksamkeit auf *Greens* Abhandlungen und veröffentlichte die wichtigste von neuem[536]. Eine deutsche Übersetzung erschien in *Ostwalds* Klassikern[537].

Die neueste Entwicklung der Potentialtheorie als einer selbständigen mathematischen Disziplin beginnt im Jahre 1849 mit dem Erscheinen der grundlegenden Abhandlung von *Gauß*[538]. Dem großen Deutschen gelang es, nicht nur die wichtigsten von ihm gefundenen Sätze zum ersten Male streng zu beweisen, sondern die Theorie durch neue wichtige Sätze in solchem Grade zu bereichern, daß sie für die Physik und für die Funktionenlehre fortan die größte Bedeutung besaß.

*Gauß* entwickelte in jener Abhandlung allgemeine Sätze, die sowohl für die Gravitation als auch für die wichtigsten elektrischen und magnetischen Erscheinungen gelten. In dem Ausdruck (mm')/r^2 bedeuten also m und m' entweder ponderable Materie oder die Mengen einer magnetischen oder drittens die Mengen einer elektrischen Flüssigkeit, die aufeinander eine, sei es anziehende, sei es abstoßende Kraft ausüben. Ausgeschlossen blieb die Wirkung des galvanischen Stromes auf das magnetische Fluidum, weil hier die Kraft nicht in der verbindenden Geraden wirkt und weil ihre Stärke nicht allein von der Entfernung, sondern auch von einem Winkel abhängt. Ausgeschlossen blieb auch die Wirkung, welche zwei Stromelemente aufeinander ausüben. Und zwar geschah dies wegen der Abhängigkeit der Erscheinungen von der Richtung der Stromelemente, die im übrigen in der verbindenden Geraden und dem Quadrate der Entfernung umgekehrt proportional aufeinander einwirken. *Gauß* beschränkt sich also auf die drei zuerst genannten Fälle und versteht unter Masse nichts weiter als dasjenige, wovon Anziehung oder Abstoßung ausgeht.

Wirken solche anziehenden oder abstoßenden Kräfte m^0, m', m'' usw. auf denselben Punkt aus den Entfernungen r^0, r', r'' usw., so existiert eine Funktion V, die gleich der Summe aller m/r ist. Diese Funktion nennt *Gauß* das Potential der Massen. Es ist, in Worten ausgedrückt, die Summe aller wirkenden Massenteilchen, jedes durch seine Entfernung von jenem Punkte dividiert. Aus ihr lassen sich die Komponenten der ganzen auf den Punkt wirkenden Kraft ableiten. Diese Kraft p ist gegeben durch den Ausdruck:

p = √ ((δdV/δx)^2 + (δV/δy)^2 + (δV/δz)^2).

*Gauß* führte darauf einen Begriff ein, der in seinen und den späteren Untersuchungen für die Potentialtheorie von der größten Bedeutung wurde. Er dachte sich durch alle Punkte, in denen das Potential ein und denselben Wert hat, eine Fläche gelegt. Eine solche Fläche scheidet den Raum, in welchem das Potential kleiner ist von demjenigen, wo es größer ist als der in jener Fläche herrschende Wert. Die Richtung der Kraft wird ferner in jedem Punkte einer solchen »Gleichgewichtsfläche« gegen die Fläche selbst normal sein. Die von *Gauß* als Gleichgewichtsflächen bezeichneten Flächen konstanten Potentials werden heute als »Niveauflächen« und die senkrecht zu einer Folge solcher Flächen stehenden Linien (die orthogonalen Trajektorien) als »Kraftlinien« bezeichnet.

*Gauß* zeigte auch, daß für alle Punkte des Raumes, die außerhalb der wirkenden Massen liegen, die *Laplace*sche Gleichung gilt. Liegt ein Punkt von der Dichte k im Innern des Körpers, so ergab sich in Übereinstimmung mit *Green*, daß der *Laplace*sche Ausdruck die Form -4πk annimmt. Bis dahin bietet *Gauß* also wenig Neues, doch sind seine Ableitungen bekannter Sätze einfacher und strenger als die früheren.

Unter den vielen neuen Sätzen, die *Gauß* entdeckte, ist einer der wichtigsten derjenige, den man den Satz von der äquivalenten Massentransportation genannt hat. Er lautet: Anstatt einer beliebigen gegebenen Massenverteilung D, die entweder bloß auf den inneren von einer geschlossenen Fläche S begrenzten Raum beschränkt ist oder bloß auf den äußeren Raum, läßt sich eine Massenverteilung E bloß auf die Fläche selbst substituieren. Dies hat zur Folge, daß die Wirkung von E der Wirkung von D gleich wird in allen Punkten des äußeren Raumes für den ersten Fall oder in allen Punkten des inneren Raumes für den zweiten. Von diesem Satze hat *Gauß*, wie wir sogleich des näheren sehen werden, in seiner berühmten Abhandlung über die Intensität des Erdmagnetismus eine Anwendung gemacht.

Wir gelangen damit zu einer neuen Phase in der wissenschaftlichen Entwicklung des großen Forschers. Durch *Alexander von Humboldt* war *Gauß* mit dem Physiker *Wilhelm Weber* bekannt geworden. Nachdem *Gauß* bewirkt hatte, daß *Weber* nach Göttingen berufen wurde, entstand zwischen beiden Männern ein ähnliches Verhältnis, wie es später zwischen *Kirchhoff* und *Bunsen* geherrscht hat.

*Gauß* und *Weber* nahmen gemeinsam, ihren Fähigkeiten entsprechend und sich dadurch gegenseitig ergänzend, ein Gebiet in Angriff, das der wissenschaftlichen Bearbeitung noch wenig erschlossen war. Es war das Gebiet des Erdmagnetismus. Existierten doch für diese Kraft damals weder geeignete Meßapparate, noch zusammenhängende, planmäßig an verschiedenen Orten angestellte Beobachtungen. Eine Änderung wurde erst durch das Vorgehen von *Gauß* und *Weber* herbeigeführt. In Göttingen entstand das erste magnetische Observatorium. Im Verein mit *Humboldt* vermochten *Gauß* und *Weber* nicht nur die deutschen, sondern auch die auswärtigen Regierungen für die Sache zu gewinnen. Infolgedessen wurde ein magnetischer Verein gegründet und ein Netz von Observatorien, die sämtlich nach dem Vorbilde der Göttinger Anstalt errichtet waren, über die ganze Erde ausgebreitet. Die Übereinstimmung ging so weit, daß nicht nur mit den Apparaten und nach den Angaben von *Gauß* beobachtet wurde, sondern daß man sich auf allen Observatorien der Göttinger Zeit bediente und sämtliche Beobachtungsergebnisse nach Göttingen sandte, wo sie von 1836-1841 als »Resultate aus den Beobachtungen des magnetischen Vereins« veröffentlicht wurden. Auf diese Resultate baute *Gauß* seine allgemeine Theorie des Erdmagnetismus[539] auf. Es wurde zum ersten Male das magnetische Moment der Erde nach absolutem Maße bestimmt und für die Lehre vom Erdmagnetismus das geschaffen, was *Newton* in seinen »Prinzipien« für die Gravitationstheorie geleistet hatte. Ferner erschien auf Grund der vom magnetischen Verein gesammelten Beobachtungen im Jahre 1840 ein »Atlas des Erdmagnetismus.«

Die theoretische Grundlage für die sämtlichen, ein Jahrzehnt umfassenden und so viele Kräfte beanspruchenden erdmagnetischen Untersuchungen hat *Gauß* in seiner Abhandlung über die Intensität der erdmagnetischen Kraft geschaffen. Für die Messungen selbst schuf er in seinem Bifilarmagnetometer das geeignetste Werkzeug.

Die Abhandlung erschien im Jahre 1832. Sie besitzt nicht nur für das Gebiet des Magnetismus, sondern, da sie die Grundzüge des absoluten Maßsystems enthält, für die gesamte Physik eine solch außerordentliche Bedeutung, daß wir uns etwas eingehender mit ihrem Inhalt beschäftigen müssen[540].

Zur vollständigen Bestimmung der erdmagnetischen Kraft an einem gegebenen Orte sind drei Elemente erforderlich, die Deklination, die Inklination und die Stärke (Intensität). Die größte Aufmerksamkeit hatte man ihrer Bedeutung für die Schiffahrt wegen der Deklination geschenkt; geringere Beachtung hatte die Inklination gefunden. Auf die Stärke des Erdmagnetismus als drittes, zunächst übersehenes Element, wurde besonders von *Alexander v. Humboldt* hingewiesen. Dieser hatte auf seinen Reisen festgestellt, daß ein und dieselbe Magnetnadel an verschiedenen Orten schneller oder langsamer schwingt. Er hatte daraus geschlossen, daß die Intensität der die Schwingungen veranlassenden erdmagnetischen Kraft bald größer, bald geringer sei und im allgemeinen mit der Annäherung gegen die magnetischen Pole zunehme. Das von *Humboldt* vorgeschlagene Verfahren gestattete aber nur relative Messungen und war außerdem mit manchen Fehlerquellen behaftet. Infolgedessen konnte es auf wissenschaftliche Zuverlässigkeit keinen Anspruch machen. Die Anzahl der Schwingungen, die eine Nadel macht, hängt nämlich nicht nur von der erdmagnetischen Kraft, sondern ebensosehr von dem magnetischen Zustand der Nadel und endlich auch von dem jeder Nadel zukommenden Trägheitsmomente ab. Wählte man zu den Schwingungsversuchen auch dieselbe Nadel, um Verschiedenheiten des Trägheitsmomentes auszuschließen, so konnte doch bei längeren Reisen die magnetische Kraft der Nadel eine Schwächung erfahren. Dieser Umstand würde auch ohne eine Verminderung der Kraft des Erdmagnetismus eine Verlangsamung der Schwingungen herbeiführen und zu falschen Schlüssen Anlaß geben. Endlich ließ sich vermuten, daß nicht nur die Deklination und die Inklination, sondern daß auch die Intensität für ein und denselben Ort langsame Änderungen erfährt. Offenbar verlor, sobald es sich um diese Frage handelte, das *Humboldt*sche Verfahren jede Gültigkeit.

*Gauß* mußte daher, nachdem er diese Mängel der vergleichenden Methode erkannt hatte, an ihre Stelle eine neue setzen. Und zwar galt es, sich von den zufälligen Verschiedenheiten der Nadeln unabhängig zu machen und die Intensität des Erdmagnetismus auf feststehende Einheiten zurückzuführen. *Gauß* verfuhr dabei nach folgenden Gesichtspunkten. Die Anzahl der Schwingungen, die eine Nadel in einer gegebenen Zeit ausführt, hängt von drei Größen ab, nämlich von der Stärke des Erdmagnetismus, von dem Moment des in der Nadel enthaltenen freien Magnetismus und endlich von ihrem Trägheitsmomente. Besaß der schwingende Körper eine bestimmte Form und war er in seiner Masse überall von gleicher Beschaffenheit, so ließ sich das Trägheitsmoment nach bekannten Methoden berechnen. *Gauß* zog es jedoch vor, das Trägheitsmoment auf empirischem Wege zu bestimmen. Und zwar geschah dies, indem er die Nadel unter der Wirkung ein und derselben Kraft einmal im belasteten und dann im unbelasteten Zustande schwingen ließ. Die Verzögerung in der Schwingungsdauer, welche eine bekannte Last in einer bestimmten Entfernung von der Achse hervorrief, gab ihm ein Mittel an die Hand, das Trägheitsmoment der Nadel aufs genaueste zu bestimmen, auch wenn diese mit einer verwickelten Zurüstung, z. B. einem Spiegel zum Ablesen der Schwingungen, versehen war.

Größere Schwierigkeiten bot die Bestimmung des magnetischen Moments der Nadel. Sie ließen sich nur durch die Einführung des absoluten Maßsystems bewältigen. *Gauß* bediente sich hierbei der bekannten Vorstellung von den magnetischen Flüssigkeiten. Der hypothetische Charakter einer solchen Annahme hatte auf den Gang und die Ergebnisse seiner Untersuchung keinen Einfluß. Die magnetischen Flüssigkeiten lassen sich nur an ihren Wirkungen erkennen und messen. Diese Wirkungen sind bewegende Kräfte, die einer bestimmten Masse eine gewisse Beschleunigung erteilen. Als Grundeinheiten für Länge, Masse und Zeit wählte *Gauß* das Millimeter, das Milligramm und die Sekunde[541]. *Gauß* dehnte das für die Mechanik auf solche Grundeinheiten schon vor ihm aufgebaute System zum ersten Male auf magnetische Messungen aus. Er tat dies, indem er als Einheit der magnetischen Flüssigkeit diejenige Menge definierte, deren abstoßende Wirkung auf eine andere, ihr gleiche, in der Einheit der Entfernung befindliche Menge magnetischer Flüssigkeit gleich 1 ist, d. h. gleich der Wirkung der beschleunigenden Kraft 1 auf die Masse 1. Sind die Magnetismen verschiedenartig, so tritt unter im übrigen gleichen Verhältnissen an Stelle der Abstoßung eine gleich große Anziehung. Daß für diese Wirkungen der von *Coulomb* gefundene Ausdruck (mm')/r^2 gilt, wurde von *Gauß* zunächst vorausgesetzt, später aber durch seine Beobachtungen selbst bestätigt.

Für die Beurteilung des magnetischen Zustandes der Nadel war das von *Gauß* in seinen »allgemeinen Lehrsätzen« bewiesene Theorem der Massentransportation[542] ausschlaggebend. Es lautet in seiner Anwendung auf das in Frage stehende Gebiet: Wie auch immer die Verteilung des freien Magnetismus innerhalb eines Körpers sich verhalten mag, stets kann man an deren Stelle eine andere Verteilung an der Oberfläche des Körpers setzen, die auf ein außerhalb gelegenes Element magnetischer Flüssigkeit vollständig dieselben Kräfte ausübt wie jene vorhandene Verteilung.

Es galt, nach der Festsetzung der magnetischen Einheit die Intensität des Erdmagnetismus durch diejenige bewegende Kraft auszudrücken, welche der Erdmagnetismus auf jene Einheit ausübt. Man konnte sich dabei auf die Bestimmung der Horizontalintensität beschränken. Dividierte man diese durch den Cosinus der Inklination, so erhielt man den gesuchten vollen Wert für die Kraft des Erdmagnetismus.

Zu seinem Ziele gelangte *Gauß* durch folgenden Kunstgriff: Er verglich[543] die Wirkung des Erdmagnetismus auf eine bewegliche Nadel mit derjenigen Wirkung, die eine zweite Nadel auf die erste im Zustande der Bewegung oder im Zustande des Gleichgewichts hervorruft.

Als Wert der Intensität der horizontalen magnetischen Kraft ergab sich z. B. für Göttingen und für den 18. September des Jahres 1832

T = 1,7821.

Das bedeutet in Worten: Sie war für einen mit der Einheit des freien Magnetismus versehenen Magnetstab gleich dem Drucke, den 1,7821 Krafteinheiten an einem Hebelarme von einem Millimeter Länge bewirken. Unter Krafteinheit ist nach dem von *Gauß* aufgestellten absoluten Maßsystem diejenige Kraft zu verstehen, welche der Masse eines Milligramms in der Sekunde die Geschwindigkeit von einem Millimeter erteilt.

Um die ganze Intensität zu finden, war der gefundene Wert von 1,7821 Krafteinheiten noch durch den Cosinus der Inklination zu dividieren. Letztere betrug im Sommer des Jahres 1832 in Göttingen 68°22'52''.

Die auf Anregung von *Gauß* und *Weber* über alle Erdteile ausgedehnten Messungen der erdmagnetischen Kraft lieferten das allgemeine Ergebnis, daß diese Kraft mit der Annäherung gegen die Pole zunimmt und in der Nähe der magnetischen Pole etwa 1,5mal so groß ist wie am magnetischen Äquator. Auch zeigte sich, wie zu erwarten war, daß die Intensität an ein und demselben Orte wie die Deklination und die Inklination täglichen und säkularen Schwankungen unterworfen ist.

Mit Recht sagt *Gauß* am Schlusse seiner Abhandlung, indem er die *Ampère*sche Theorie des Magnetismus streift, welche Auffassung man auch künftig von den magnetischen Erscheinungen hegen werde, sie müsse zu demselben Ergebnis führen, zu dem er mit Hilfe der Theorie von den magnetischen Flüssigkeiten gelangt sei. »Was auf Grund dieser Theorie«, mit diesen Worten schließt er, »in der vorliegenden Abhandlung entwickelt wurde, kann nur in der Form, nicht aber im Wesen geändert werden«.

Ein Wort sei noch den technischen Schwierigkeiten gewidmet, die *Gauß* und *Weber* bei der Durchführung ihrer erdmagnetischen Messungen zu überwinden hatten. Vor allem mußten sich ihre Bemühungen darauf richten, daß sie die Schwingungszeiten und die Richtungen der Nadeln weit genauer bestimmten, als es bisher geschehen war. Sie erfanden daher die bei erdmagnetischen Messungen zuerst erprobte Methode der Winkelmessung mit Spiegel, Skala und Fernrohr, eine Methode, welche für die moderne Beobachtungskunst von bleibendem, unvergleichlich hohem Wert geworden ist. Ferner galt es, die zur Anwendung kommenden Meßapparate vor jedem Luftzug und vor allem vor der Einwirkung von Eisen zu schützen. Bei dem Bau von magnetischen Observatorien wurde deshalb dem Vorschlag von *Gauß* und *Weber* entsprochen und jede Verwendung von Eisen ausgeschlossen. Auf diese Weise gelang es ihnen, ihren Messungen, wie *Gauß* sich ausdrückt, die Schärfe astronomischer Beobachtungen zu geben.

Endlich sei noch einiges über den von *Gauß* für die Ausführung seiner Versuche geschaffenen Apparat, das Magnetometer, gesagt. Es besteht aus einem hängenden Magnetstabe (s. Abb. 57) und einem Fernrohr zum Beobachten der Schwingungen. Der Magnetstab ist mit einem Spiegel (a) versehen, der genau senkrecht zur Achse angebracht ist. Dem Spiegel gegenüber befindet sich in einiger Entfernung von dem Magneten das Fernrohr, dessen optische Achse gegen die Mitte des Spiegels gerichtet ist. Unter dem Fernrohr ist eine Skala (SS) angebracht. Sie bildet mit dem magnetischen Meridian einen rechten Winkel, ist also parallel zum horizontalen Durchmesser des Spiegels gerichtet. Der Mittelpunkt jener Skala und die optische Achse des Fernrohrs liegen in derselben Vertikalebene. Die Skala ist ferner so angebracht, daß ihre Teilpunkte durch den Spiegel in das Fernrohr geworfen werden.

Der Gebrauch dieses Apparates ist hiernach leicht verständlich. Man versetzt den Magneten durch Annäherung eines zweiten Magneten in kleine Schwingungen. In dem Fernrohr erscheinen dann nacheinander die Teilstriche der Skala. Die Dauer einer Schwingung ergibt sich, wenn man die Zeit bestimmt, die bis zum Wiedererscheinen eines bestimmten Teilstrichs im Fadenkreuz des Fernrohrs verfließt.

Neben der Astronomie und der Physik gibt es noch ein drittes Gebiet, welches durch das mathematische Genie von *Gauß* in hohem Grade gefördert wurde. Es ist die der Astronomie so nahe verwandte Geodäsie. *Gauß* wurde dieser Wissenschaft durch folgende Veranlassung zugeführt. Der ihm befreundete dänische Astronom *Schumacher* (1780 in Holstein geboren, also der Stammeszugehörigkeit nach ein Deutscher) hatte im Auftrage seiner Regierung eine Triangulation von Schleswig-Holstein vorgenommen. Man beschloß nun in Hannover die Fortsetzung dieses Unternehmens von Altona bis zu den südlichen Grenzen des Königreiches und beauftragte *Gauß* mit der Ausführung dieser gewaltigen, den Zeitraum von 24 Jahren in Anspruch nehmenden Arbeit, der sich *Gauß* von 1821-1827 fast ausschließlich widmete. Das Ergebnis war ein Verzeichnis von nicht weniger als 2578 festgelegten Punkten. Wichtiger als dieser praktische, nur einem kleinen Lande erwiesene Dienst war die Förderung, welche die Geodäsie durch die mit dieser Vermessung verknüpfte Bereicherung an neuen Methoden erfuhr. *Gauß* selbst bemerkt in dieser Hinsicht, daß er nicht nur in bezug auf die Art, wie die Messungen angestellt wurden, sondern noch mehr in bezug auf ihre nachherige Verarbeitung und mathematische Behandlung Wege eingeschlagen habe, die von den sonst gebräuchlichen erheblich abwichen[544].

Zunächst ist hervorzuheben, daß *Gauß* seine Methode der kleinsten Quadrate für geodätische Zwecke in die Form brachte, in der sie seitdem in der Geodäsie allgemein angewandt wird.

Mit den Aufgaben der höheren Geodäsie hängen zwei wichtige mathematische Abhandlungen zusammen, die *Gauß* in den zwanziger Jahren des 19. Jahrhunderts veröffentlichte. Die erste dieser Abhandlungen steht mit der Kartenprojektion in enger Beziehung. Sie wurde durch eine von der königlichen Gesellschaft der Wissenschaften zu Kopenhagen im Jahre 1822 gestellte Preisaufgabe veranlaßt und enthält die allgemeine Lösung folgender Aufgabe: Die Teile einer gegebenen Fläche sind auf einer anderen gegebenen Fläche so abzubilden, daß die Abbildung dem Abgebildeten in den kleinsten Teilen ähnlich wird. Diese für die Kartographie grundlegende Aufgabe hatte sich schon *Lambert* gestellt[545]. Er hatte sich jedoch auf die Kugeloberfläche und die Ebene beschränkt und eine allgemeine Lösung nicht zu geben vermocht. Sie blieb den großen Mathematikern *Lagrange* und *Gauß* vorbehalten[546]. Die geforderte Art der Abbildung hat *Gauß* als »konform« (neuerdings sagt man »winkeltreu«) bezeichnet. Nachdem *Gauß* die allgemeine Auflösung des Problems gegeben, betrachtet er einige besondere Fälle. Er untersucht die konforme Abbildung von ebenen Flächenstücken aufeinander und zeigt, wie man eine Karte, die in den Einzelheiten gut, im ganzen aber etwas verzerrt ist, in eine bessere verwandeln kann, wenn man die richtige Lage einer Anzahl von Punkten kennt. Es folgen die Darstellung eines Kegels, einer Kugel und eines Rotationsellipsoids in der Ebene. Den Schluß bildet die Darstellung des Rotationsellipsoids auf einer Kugelfläche. Durch diese Ableitungen von konformen Abbildungen wurden die umständlichen Rechnungen auf dem Erdsphäroid weit einfacher gestaltet als es bei den bisherigen Methoden möglich war.

In einem, wenn auch weniger engen Zusammenhange mit den Aufgaben der höheren Geodäsie steht die von *Gauß* im Jahre 1827 herausgegebene Flächentheorie[547]. *Gauß* beschäftigt sich in dieser Abhandlung besonders mit der Krümmung der Flächen. Er führt vor allem den Begriff des Krümmungsmaßes ein, indem er die Teile der krummen Fläche mit dem entsprechenden Oberflächenstück einer festen Hilfskugel vergleicht. Es ist leicht ersichtlich, daß letzteres Stück um so kleiner sein wird, je weniger das entsprechende Stück der krummen Fläche von der Ebene abweicht. Außer dem Krümmungsmaß betrachtet *Gauß* in der erwähnten Abhandlung die Konstruktion von Figuren auf krummen Flächen, die Winkel und den Flächeninhalt solcher Figuren, die Verbindung von Flächenpunkten durch kürzeste Linien usw., alles Aufgaben, die für die Geodäsie von der größten Bedeutung sind. Insbesondere gilt dies von der Untersuchung der durch kürzeste Linien gebildeten Dreiecke, durch welche die sphärische Trigonometrie gefördert wurde. Solche Linien hat man geodätische Linien und die aus ihnen gebildeten Dreiecke geodätische Dreiecke genannt. Von den *Gauß*schen Sätzen über geodätische Linien und Dreiecke sind vor allem folgende wichtig: Wenn auf einer krummen Fläche von einem Punkte aus ein System geodätischer Linien von gleicher Länge gezogen wird, so steht die ihre Endpunkte verbindende Linie zu allen Linien des Systems senkrecht[548]. Zieht man auf einer krummen Fläche eine beliebige Linie und läßt man von dieser Linie unter rechten Winkeln und nach derselben Seite hin ein System geodätischer Linien von gleicher Länge ausgehen. so schneidet die Kurve, welche ihre Endpunkte verbindet, sämtliche geodätische Linien rechtwinklig[549].

Besondere Erwähnung verdient auch der Satz, daß der Überschuß der Summe der Winkel eines aus geodätischen Linien gebildeten Dreiecks über zwei Rechte der Gesamtkrümmung des Dreiecks gleich ist[550]. Für eine ganze Reihe weiterer geodätischer Untersuchungen ist der am Schlusse der Abhandlung geführte Vergleich der geodätischen Dreiecke mit geradlinigen Dreiecken von gleicher Seitenlänge grundlegend gewesen.