Part 22

Schon *Platon* hatte es als die wichtigste Aufgabe der Astronomie bezeichnet, die beobachteten, scheinbar unregelmäßigen Bewegungen auf gleichförmige zurückzuführen, da, wie er sagte, keine Ursache dafür vorhanden sei, daß die himmlischen Körper sich anders als gleichförmig bewegen sollten. Der erste, der eine Lösung der von *Platon* gestellten Aufgabe versuchte, war sein Schüler *Eudoxos* von Knidos. Er bediente sich dazu der Theorie der homozentrischen Sphären; und es gelang ihm so, die zweite Ungleichheit als ein gesetzmäßig bestimmtes Bewegungsphänomen darzustellen. Nach *Eudoxos* ist jeder Planet auf einer rotierenden Sphäre befestigt. Die Pole dieser Sphäre liegen in einer zweiten Sphäre, die ebenfalls um eine Achse rotiert. Es kam nun darauf an, die Geschwindigkeiten jener Sphären und die Lage ihrer Achsen so zu wählen, daß dadurch dem tatsächlichen Verlauf der Erscheinungen möglichst Rechnung getragen wurde. Zu diesem Zwecke mußten für den Mond und für die Sonne je drei und für jeden Planeten vier Sphären angenommen werden. Am besten gelang es auf diese Weise, die Bewegungen der entfernteren Planeten Saturn und Jupiter gewissermaßen in eine Regel zu fassen. Die größten Schwierigkeiten bereitete der Mars, an dem später *Tycho* und *Kepler* den wahren Ablauf der Planetenbewegungen nach endlosen Mühen entdecken sollten.

Um die Theorie mit den Erscheinungen in besseren Einklang zu bringen, wurde später die Zahl der Sphären noch vermehrt[576]. Einen anderen Weg schlugen *Hipparch* und *Ptolemäos* ein. Sie benutzten zur Auflösung der ersten Ungleichheit exzentrische Kreise und zur Bewältigung der zweiten Ungleichheit den Epizykel[577]. *Hipparch* erklärte die Erscheinung, daß die Sonne auf ihrer jährlichen Bahn eine größte und eine geringste Geschwindigkeit annimmt, indem er die Erde aus dem Mittelpunkt rückte und die Sonne um sie in gleichförmiger Bewegung einen exzentrischen Kreis beschreiben ließ. Die Größe der Exzentrizität ließ sich nun leicht so wählen, daß damit dem Verlauf der Erscheinungen Rechnung getragen wurde. Die Annahme von exzentrischen Kreisen hatte aber nicht einmal die Bewegung des Mondes, geschweige denn diejenige der Planeten zu erklären vermocht. *Ptolemäos* griff deshalb einen Gedanken auf, den der Mathematiker *Apollonios* geäußert hatte, und nahm zwei oder mehr Kreisbewegungen zu Hilfe. Zur Erklärung diene Abb. 44. Es sei E die Erde, um die mit einem Radius R = Mm ein exzentrischer Kreis gezogen ist. Auf letzterem bewegt sich indes nicht der in Frage kommende Himmelskörper, sondern der Mittelpunkt der Kreisbahn p q t s, in der erst der Planet mit gleichförmiger Geschwindigkeit sich bewegt. Diese Kreisbahn wird der Epizykel, die Theorie daher die Epizyklentheorie genannt. Es ist ersichtlich, daß der Himmelskörper, von der Erde gesehen, sich in p rascher bewegt als in t, wo seine Bewegung derjenigen des Epizykels entgegengesetzt ist. Auch ist klar, daß trotz der gleichförmig gedachten Bewegung, mit deren Annahme der Forderung *Platons* Genüge geleistet war, scheinbare Stillstände und Rückgänge eintreten können. Es kam nur darauf an, das Verhältnis von r und ME zu R, sowie die Umlaufszeiten um M und m so zu wählen, daß dem Verlauf der Erscheinungen durch die hypothetischen Bewegungen Genüge geleistet war und erstere aus den angenommenen Verhältnissen berechnet werden konnten. Stimmten dann die Berechnungen mit neuen, auf Grund der Rechnung angestellten Beobachtungen nicht überein, so führte man einen dritten Epizykel ein, dessen Mittelpunkt den Kreis p q t s beschrieb. Durch eine Verknüpfung derartiger Kreisbewegungen läßt sich offenbar jede, nach einem bestimmten Gesetze auf beliebiger Bahn ablaufende Bewegung darstellen.

*Ptolemäos* wandte die Epizyklentheorie zunächst auf die Erklärung der Mondbewegung an. Daß die Entfernung des Mondes von der Erde beträchtlichen Schwankungen unterworfen ist, hatte sich ihm aus der Tatsache ergeben, daß der scheinbare Durchmesser des Mondes nach seinen Beobachtungen zwischen 31-1/3 und 35-1/3 Minuten schwankt. *Aristoteles* hatte also recht, wenn er behauptete, »daß derselbe Diskus, bei sich gleichbleibender Entfernung vom Auge, den Mond bald bedecke, bald nicht«.

Um die Ungleichheiten des Mondumlaufes zu erklären, ließ *Ptolemäos* das Gestirn einen Epizykel beschreiben, der sich innerhalb eines Zeitraumes vollziehen sollte, in welchem der Mond zu demselben Endpunkte seiner großen Bahnachse zurückkehrt. Der Mittelpunkt dieses Epizykels umlief die Erde in einem Kreislauf, der gegen die Ekliptik, der Neigung der Mondbahn entsprechend, schief gerichtet war. Die Zeitdauer dieses Kreislaufs währte bis zur Rückkehr zu den Knoten, den Punkten, in denen die Ekliptik und die Mondbahn sich schneiden. Auf diese Weise erzielte *Ptolemäos*, daß sich Rechnung und Beobachtung, wenigstens für den damaligen Stand der astronomischen Wissenschaft, in etwa deckten.

Dasselbe Ziel suchte *Ptolemäos* bezüglich der Planetenbewegung unter Zuhilfenahme der Epizyklen und der exzentrischen Kreise zu erreichen. Doch waren die Schwierigkeiten hier fast noch größer.

So lange man die Epizyklentheorie als bloße Hilfshypothese ansah und benutzte, ließ sich gegen sie nichts einwenden. Wir bedienen uns noch heute zur Beschreibung von Naturvorgängen mancher Fiktionen, die dem Fortschritt der Erkenntnis nur dann gefährlich werden, wenn wir uns daran gewöhnen, in ihnen den wahren Grund der Erscheinungen zu erblicken. Erinnert sei nur an die Annahme magnetischer und elektrischer Fluida, an deren wirkliches Vorhandensein kein Physiker glaubt, obgleich sie einer elementaren Beschreibung der magnetischen und der elektrischen Vorgänge zugrunde gelegt werden. Mit der zunehmenden Kompliziertheit solcher Hypothesen wird indes ihre Anwendung immer mehr erschwert. So trug schon aus dieser Ursache die Epizyklentheorie den Keim des Todes in sich, wenn auch ihre Herrschaft noch lange dauern sollte. Denn selbst *Koppernikus* war, nachdem er die Sonne, wie er sich ausdrückt, auf ihren königlichen Thron in die Mitte der sie umkreisenden Gestirne gesetzt hatte, sofort gezwungen, sich der Epizykel wieder als Hilfskonstruktion zu bedienen, weil er an der Vorstellung einer kreisförmigen Bewegung der Planeten festhielt.

Zwar kam bei Annahme der heliozentrischen Lehre die sogenannte zweite Ungleichheit in Fortfall, da sie ja daraus entsprang, daß man die Erde als den Mittelpunkt der Bewegungen betrachtete. Anders stand es mit der ersten Ungleichheit, welche daraus hervorgeht, daß die Himmelskörper sich nicht in Kreisen, sondern in Ellipsen bewegen. Da *Koppernikus* an die Möglichkeit einer anderen als der kreisförmigen Bewegung noch gar nicht dachte, so blieb ihm zur Erklärung der ersten Ungleichheit nichts anderes übrig, als auf sie die Epizyklentheorie anzuwenden. Das astronomische und das trigonometrische Wissen seiner Zeit legte *Ptolemäos*, nachdem es durch ihn eine beträchtliche Vermehrung erfahren, in einem Lehrbuche nieder, das von den Arabern Almagest[578] genannt wurde und dem gesamten Mittelalter in astronomischer Hinsicht als ein Evangelium galt.

Das Bedürfnis nach einer Verbesserung der von *Ptolemäos* mitgeteilten Planetentafeln machte sich schon im Mittelalter geltend. Um das Jahr 1250 berief daher König *Alfons* von Kastilien eine Anzahl Gelehrter, welche neue astronomische Tafeln, die sogenannten alfonsinischen, entwarfen, die einen wesentlichen Fortschritt gegenüber denjenigen des *Ptolemäos* bedeuteten. An der Epizyklentheorie wurde indes trotz ihrer wachsenden Kompliziertheit nicht gerüttelt, was *Alfons* zu dem Ausspruch veranlaßt haben soll, die Welt wäre einfacher geworden, wenn Gott ihn bei ihrer Erschaffung zu Rate gezogen hätte.

Außer der vorstehend skizzierten, dem damaligen Standpunkte der Astronomie genügenden Epizyklentheorie finden wir im Almagest die schon von den älteren alexandrinischen Astronomen sowie von *Hipparch* in Angriff genommene Bestimmung der Fixsternörter fortgesetzt[579]. Das von *Ptolemäos* entworfene Verzeichnis[580] umfaßt 1022 Sterne, die nach ihrer Lage innerhalb der von den Griechen angenommenen Sternbilder, sowie nach Länge und Breite bestimmt sind.

Auch die Untersuchung der von *Hipparch* entdeckten und ihrer Größe nach gleich etwa einem Grad für das Jahrhundert angegebenen Präzession der Tag- und Nachtgleichen wurde von *Ptolemäos* wieder aufgenommen. Eine Bestätigung dieser Erscheinung war nämlich sehr wichtig, da *Hipparch* sich nur auf die wenig genauen Beobachtungen der älteren Alexandriner stützen konnte.

Bevor wir die Schilderung der astronomischen Verdienste des *Ptolemäos* beenden, sei noch einiges aus dem Inhalt des Almagest mitgeteilt, woraus sich der Standpunkt, den die Sternkunde in Alexandrien erreicht hatte, ermessen läßt. Die Erde ist eine Kugel. Sie befindet sich in der Mitte des Himmels, kann aber im Vergleich zu den Himmelsräumen nur als ein Punkt betrachtet werden. Während die Erde unbeweglich feststeht, bewegen sich die Gestirne in kreisförmigen Bahnen. Dies sind die Sätze, welche an der Spitze des Werkes stehen. Die Länge des Jahres wird im Almagest zu 365 Tagen 5 Stunden und 55 Minuten angegeben. Die Erde ist 39 mal so groß wie der Mond, während die Sonne den Mond 6600 mal an Größe übertreffen sollte. Bezüglich der Entfernungen wird angegeben, daß der Mond 59, die Sohne dagegen 1210 Erdhalbmesser von uns entfernt sei.

Die Abstände der Gestirne von der Erde regeln sich nach *Ptolemäos* folgendermaßen: Auf den Mond folgt zunächst Merkur, dann Venus und darauf die Sonne. Die weitere Reihenfolge ist Mars, Jupiter und Saturn. Auf diese sieben Wandelsterne, deren Zahl erst durch *Herschels* Entdeckung des Uranus vermehrt wurde, folgen die Fixsterne.

An die Beschreibung dieses seinen Namen tragenden Weltsystems schließt sich eine Darstellung der Grundzüge der ebenen und der sphärischen Trigonometrie, der wichtigsten Hilfswissenschaft der Astronomen.

Hilfswissenschaften der Astronomie.

Die astronomischen Leistungen des *Ptolemäos* wurden dadurch ermöglicht, daß die beiden wichtigsten Hilfswissenschaften der Astronomie, die Mathematik und die Meßkunde, bedeutende Fortschritte aufzuweisen hatten. Die wichtigste Vorarbeit auf dem Gebiete der Mathematik lieferte der Astronom *Menelaos* von Alexandrien, dessen Sternbeobachtungen im Almagest Erwähnung finden. *Menelaos* verfaßte ein Werk über die Berechnung der Sehnen, das verloren ging, und ein zweites, »Sphärik« genannt, welches die Grundzüge der sphärischen Trigonometrie entwickelte, indessen nur in Übersetzungen bekannt geworden ist[581]. *Menelaos* bringt schon den Satz, daß in jedem sphärischen Dreieck die Summe der drei Winkel größer als zwei Rechte ist. Er zeigt, daß gleichen Seiten desselben sphärischen Dreiecks gleiche, ungleichen Seiten ungleiche Winkel gegenüberliegen, und zwar den größeren Seiten die größeren Winkel. Sein Werk enthält die wichtigsten Sätze über die Kongruenz sphärischer Dreiecke, ferner diejenigen Sätze über Transversalen im ebenen und im sphärischen Dreieck, die man noch jetzt als die Sätze des *Menelaos* bezeichnet. *Ptolemäos* vollendete, was *Hipparch* und *Menelaos* auf dem Gebiete der ebenen und der sphärischen Trigonometrie begonnen hatten. Er gab dieser Wissenschaft für den astronomischen Gebrauch eine Form, die sich, wie seine Lehre, länger als ein Jahrtausend erhalten hat.

Als der letzte unter den großen Mathematikern des Altertums ist *Diophant* von Alexandrien zu nennen. Dieser schrieb ein Werk über Arithmetik, das etwa zur Hälfte erhalten geblieben ist[582]. Er betitelte es ἀριθμητικά und erschloß damit ein bisher kaum betretenes Gebiet.

Bei *Diophant* begegnen uns schon gewisse Zeichen und Abkürzungen, während vor ihm die Rechnungen zumeist nur durch Worte auseinandergesetzt wurden und höchstens gewisse Fachausdrücke (wie bei den alten Ägyptern) wiederkehren. Für die Unbekannte (unser x) gebrauchte *Diophant* z. B. das Sigma, ς, den einzigen griechischen Buchstaben, der keine bestimmte Zahl bedeutete. Für die zweite Potenz lautet sein Zeichen δ^ῦ (δύναμίς = Quadrat), für die dritte k^ῦ (κύβος = Würfel). Für die sechste Potenz schrieb *Diophant* κ^ῦ κ^ῦ. Höhere Potenzen kommen bei ihm nicht vor. Für die Subtraktion verwendet er ein besonderes Zeichen (⋔ = umgekehrtes ψ). Zu addierende Größen dagegen werden ohne ein Zeichen nebeneinander gestellt. Selbst ein Gleichheitszeichen (ι als Abkürzung von ἴσοι, gleich) fehlt nicht[583]. Diese Beispiele zeigen zur Genüge, daß uns bei *Diophant* schon ein Verfahren begegnet, das seine hervorragenden Erfolge erklärlich macht. Ein wesentlicher Mangel der diophantischen Algebra besteht darin, daß sie den Gegensatz von positiv und negativ noch nicht kennt. Dies hat darin seinen Grund, daß *Diophant* nur Differenzen bildet, bei welchen der Minuend größer als der Subtrahend ist. Eine größere Zahl von einer kleineren abzuziehen, die algebraische Operation, die ja zum Begriff der negativen Zahl geführt hat, erschien ihm als etwas Unmögliches. Führte die Lösung einer Gleichung auf negative Werte, so erklärte *Diophant* einen derartigen Fall für unzulässig. Eine Rolle spielte diese Beschränkung besonders bei der Auflösung quadratischer Gleichungen, mit der *Diophant* sich sehr vertraut zeigt. Bei ihm begegnet uns auch die erste kubische Gleichung. Doch bleibt der Fall vereinzelt. Auch ließ sich die betreffende Gleichung auf einen niedrigeren Grad reduzieren[584]. *Diophant* gibt die Lösung, ohne jedoch sein Verfahren anzudeuten.

Was *Diophant* vor allem auszeichnet, ist die Art, in der er sich bei fast allen Problemen von den Einzelfällen loslöst und sich zur allgemeineren Betrachtung erhebt.

Die Stellung, die *Diophant* in der Entwicklung der Wissenschaften einnimmt, ist infolgedessen eine ganz einzigartige. Einmal treten uns seine Schöpfungen, die von allem, was vor ihnen liegt, so sehr verschieden sind, ganz unvermittelt entgegen. »Eine ganz andere Luft weht in den Schriften dieses Arithmetikers als in denjenigen der klassischen Geometer«[585]. Und wie es an nachweisbaren Vorstufen und Vorläufern fehlt, so mangelt es in dem auf *Diophant* folgenden Jahrtausend auch an Mathematikern, die das von ihm Begonnene fortgesetzt hätten. Erst zu Beginn der neueren Periode vermochte man an *Diophant* anzuknüpfen und eine höhere Mathematik zu schaffen, deren wichtigstes Element, wie bei *Diophant*, allgemeine Zahlen, für sich betrachtet und in ihrer Beziehung zu geometrischen und physikalischen Größen, sind.

*Diophant* lebte vermutlich im 3. nachchristlichen Jahrhundert, jedenfalls ist aber sein Werk später als die Schriften des *Ptolemäos* verfaßt. Auf die Entwicklung der alten Astronomie hat es keinen Einfluß ausgeübt[586].

Die Förderung, welche die Meßkunde bei den Vorgängern des *Ptolemäos* erfahren hatte, wußte dieser sich nicht weniger als die mathematischen Fortschritte zunutze zu machen. Im Jugendzeitalter der Astronomie wird man wohl die Entfernungen am Himmelsgewölbe nach Mondbreiten abgeschätzt und dabei wahrscheinlich zwei um ein Scharnier drehbare Stäbe, in deren Treffpunkt sich das Auge des Beobachters befand, gebraucht haben. Die Alexandriner benutzten zwei Arten von Winkelmeßinstrumenten. Bei der einen kam eine geradlinige, bei der anderen die Kreisteilung in Anwendung. Zur ersten Art gehört das parallaktische Lineal, auch Regula Ptolemaica genannt, das *Ptolemäos* im Almagest beschreibt. Es besteht aus einem lotrecht und drehbar aufgestellten Stabe, um dessen oberen Endpunkt sich ein gleich langer Stab mit Dioptern, zum Anvisieren des Gestirnes, bewegen ließ. Am unteren Ende des senkrechten Stabes war ein dritter drehbarer Stab mit Längseinteilung angebracht. Dieser Stab ließ sich in einer Rille des Diopterlineals verschieben. Bei jeder Höhenmessung konnte die Lage des Diopterlineals auf der Gradeinteilung des zweiten beweglichen Lineals abgelesen und danach der entsprechende Winkel aus der Sehnentafel entnommen werden.

Indessen bediente sich *Ptolemäos* nach dem Beispiel von *Aristyll* und *Timocharis* (300 v. Chr.) auch der mit Gradeinteilung versehenen, miteinander verbundenen Kreise, der sogenannten Armillen. *Eratosthenes* hatte 220 v. Chr. in Alexandrien Armillen von bedeutender Größe errichtet und vermittelst dieser Instrumente den Abstand der Wendekreise zu 11/83 des Kreisumfanges bestimmt. Eine der von *Ptolemäos* benutzten Armillen zeigt uns die Abbildung 46[587] auf S. 256. Sie bestand aus einem aus Kupfer oder Bronze verfertigten Ring, der in 360 Grade geteilt war. Der Ring war in senkrechter Lage auf einer Säule errichtet und fiel mit dem Meridian zusammen. Diesem Ringe war ein zweiter drehbarer Ring mit zwei diametral gegenüber befindlichen Vorsprüngen eingepaßt. Wollte man z. B. die Mittagshöhe der Sonne messen, so wurde der innere Ring gedreht, bis der Schatten des einen Vorsprunges auf den anderen Vorsprung fiel. Eine Armillarsphäre (Ringkugel) bestand aus zwei festverbundenen, rechtwinklig zueinander stehenden Kreisen, von denen der eine in der Ebene des Meridians, der andere in der Ebene des Himmelsäquators lag. In dem Meridiankreis war ein dritter Kreis drehbar angebracht, dessen Drehachse mit der Weltachse zusammenfiel. In diesem dritten Kreise befand sich, konzentrisch und verschiebbar, ein vierter. Durch Diopter wurde ein Anvisieren ermöglicht, während Gradeinteilungen ein Ablesen der Deklination und des Stundenwinkels gestatteten. Dem Instrument lag also der Gedanke zugrunde, die an der Himmelskugel erkannten Kreise und Kreisbewegungen im kleinen nachzubilden. Zum Messen von Winkeln diente auch wohl der astronomische Ring oder das Astrolabium[588]. Es bestand aus zwei konzentrischen, gegeneinander verschiebbaren Ringen, die mit je zwei gegenüberstehenden Dioptern versehen waren. Wollte man Horizontalwinkel messen, so wurde der Ring hingelegt. Handelte es sich um das Messen von Höhenwinkeln, so hing man ihn auf.

Außer den Armillen benutzte *Ptolemäos*, wie die chaldäischen Astronomen, auch aus Stein verfertigte Mauerquadranten, die in der Ebene des Meridians errichtet waren.

Wir erkennen, daß schon bei den frühesten astronomischen Beobachtungen der Forscher wesentlich auf die Geschicklichkeit des Mechanikers angewiesen war. Die Entwicklung der Astronomie ist daher mit der steten Vervollkommnung und mit der wachsenden Genauigkeit der Meßwerkzeuge Hand in Hand gegangen[589]. Schon die Herstellung der Ringinstrumente, welche die Alexandriner benutzten, erforderte eine hervorragende Fertigkeit. »Noch jetzt«, so lautet das Urteil eines hervorragenden Kenners der Präzisionsmechanik, »würde nur von einem geschickten, mit einer Drehbank ausgerüsteten Arbeiter die auch nur für primitive Beobachtungen genügende Genauigkeit solcher Meßinstrumente zu erwarten sein«[590].

Die für die Astronomie gleich wichtige Zeitbestimmung erfolgte, wie es schon bei den Chaldäern geschah, durch Wassermessung. Schon im 5. Jahrhundert v. Chr. begnügte man sich nicht mehr mit einer Abschätzung der Tagesstunden aus der Länge des Schattens, sondern man baute Wasseruhren (Klepsydren). Ja sogar solche mit Weckvorrichtung begegnen uns schon im 4. vorchristlichen Jahrhundert[591]. Die hierbei Verwendung findenden Instrumente vervollkommnete der um 270 v. Chr. lebende Alexandriner *Ktesibios*, der auch als der Erfinder der Feuerspritze, der Wasserorgeln usw. genannt wird, und der in *Heron* einen Fortsetzer seiner Arbeiten fand. Damit die Öffnung, durch welche das Wasser bei seinen Uhren strömte, unverändert blieb, stellte *Ktesibios* diese Öffnung nicht in gewöhnlichem Metall, sondern in Gold oder Edelstein her. Ferner sorgte er für ein konstantes Niveau des Wassers in dem Abflußgefäß, damit in gleichen Zeiten stets gleiche Mengen ausströmten. Mitunter wurden durch das ausströmende Wasser Gegenstände gehoben, die ihre Bewegung wieder auf ein Räder- oder Zeigerwerk übertrugen.

Fortschritte der Geographie.

Wie durch *Hipparch*, so erfuhr auch durch *Ptolemäos* die Geographie eine bedeutende Förderung. Das von letzterem um 140 n. Chr. geschaffene Lehrbuch[592] dieser Wissenschaft genoß, gleich dem Almagest, bis gegen das Ende des Mittelalters eine unbestrittene Herrschaft. Durch beide Schriften ist *Ptolemäos* einer der großen Lehrer für alle Zeiten geworden, da an den »Almagest« und die »Geographie« die großen Entdeckungen anknüpften, welche die Neuzeit auf astronomischem und geographischem Gebiete gemacht hat. Wie der »Almagest«, so enthält auch die »Geographie« eine erstaunliche Fülle von Tatsachen. Nicht weniger als 5000 Punkte des damals bekannten Teiles der Erdoberfläche werden nämlich in der »Geographie« nach Länge und Breite angegeben. Und zwar sind nicht nur Städte, sondern auch Flußmündungen, Berge und andere bemerkenswerte Orte berücksichtigt. Die Ermittelung der Breite geschah mit einer solchen Genauigkeit, daß die nach *Ptolemäos'* Angaben entworfenen Karten in meridionaler Richtung nur geringe Verzerrungen aufweisen. *Ptolemäos* selbst hat Anleitungen für die Ortsbestimmung und das Entwerfen von Karten gegeben. Die den alten Handschriften seiner Geographie beigegebenen Karten (10 über Europa, 5 über Afrika und 12 über Asien) entstammen indessen erst dem 6. Jahrhundert, wenn sie auch zweifellos auf antike Vorlagen zurückgehen. »Sie sind«, sagt *Ritter*[593], »die Grundlage aller neueren Landkarten geworden. Ohne sie würden die unserigen schwerlich ihren jetzigen Grad von Vollkommenheit erlangt haben.«

Das bei den Alten übliche Verfahren der Längenbestimmung wurde schon erörtert[594]. Es lieferte sehr unvollkommene Ergebnisse[595]. Auch wechselte man schon im Altertum mit der Lage des Nullmeridians. So rechnete *Ptolemäos* nicht nach dem durch die Insel Rhodos gezogenen Meridian, sondern er verlegte den Anfang der Zählung nach den »glücklichen Inseln« des äußersten Westens. Diese Einrichtung bot den Vorzug, daß für die in Betracht kommenden Gegenden der Erde die Unterscheidung zwischen westlicher und östlicher Länge in Wegfall kam.

Bei der kartographischen Darstellung des ihm bekannten Teiles der Erdoberfläche konnte *Ptolemäos* ihre Krümmung nicht mehr unberücksichtigt lassen. Es galt daher, eine Methode zu benutzen, welche Teile einer Kugelfläche in der Ebene zu zeichnen ermöglichte. Diese Aufgabe löste *Ptolemäos*, indem er eine Projektionsart empfahl, die grundlegend für die weitere Entwicklung der Kartographie gewesen ist.

*Marinus* von Tyrus, der Vorgänger des *Ptolemäos*, hatte die Parallel- und die Längenkreise sämtlich als gerade Linien und die letzteren parallel zueinander gezeichnet. Die Längengrade wurden dadurch für die nördlichen Gegenden der Erde viel zu groß, was *Ptolemäos* durch sein Projektionsverfahren zu vermeiden suchte. *Ptolemäos* erläutert es mit folgenden Worten: »Es wird richtig sein, zwar die Meridiane als gerade Linien zu zeichnen, die Breitengrade dagegen als Stücke von Kreisen, die um ein und dasselbe Zentrum gezogen sind. Dieses wird senkrecht über den Nordpol gedacht. Von dort aus wird man die Meridiane als gerade Linien zeichnen müssen, damit die annähernde Ähnlichkeit mit der Kugelfläche gesichert wird. Dies geschieht dadurch, daß die Meridiane senkrecht zu den Breitenkreisen bleiben und in dem gemeinsamen Pole zusammenlaufen«[596].