Part 11

Wir brauchten nun zum Beweise der Unendlichkeit der Zahlenreihe den Satz, dass keine endliche Zahl in der natürlichen Zahlenreihe auf sich selber folgt. Wir kamen so zu den Begriffen der endlichen und der unendlichen Zahl. Wir zeigten, dass der letztere im Grunde nicht weniger logisch gerechtfertigt als der erstere ist. Zum Vergleiche wurden _Cantors_ unendliche Anzahlen und dessen »Folgen in der Succession« herangezogen, wobei auf die Verschiedenheit im Ausdrucke hingewiesen wurde.

§ 109. Aus allem Vorangehenden ergab sich nun mit grosser Wahrscheinlichkeit die analytische und apriorische Natur der arithmetischen Wahrheiten; und wir gelangten zu einer Verbesserung der Ansicht Kants. Wir sahen ferner, was noch fehlt, um jene Wahrscheinlichkeit zur Gewissheit zu erheben, und gaben den Weg an, der dahin führen muss.

Endlich benutzten wir unsere Ergebnisse zur Kritik einer formalen Theorie der negativen, gebrochenen, irrationalen und complexen Zahlen, durch welche deren Unzulänglichkeit offenbar wurde. Ihren Fehler erkannten wir darin, dass sie die Widerspruchslosigkeit eines Begriffes als bewiesen annahm, wenn sich kein Widerspruch gezeigt hatte, und dass die Widerspruchslosigkeit eines Begriffes schon als hinreichende Gewähr für seine Erfülltheit galt. Diese Theorie bildet sich ein, sie brauche nur Forderungen zu stellen; deren Erfüllung verstehe sich dann von selbst. Sie gebärdet sich wie ein Gott, der durch sein blosses Wort schaffen kann, wessen er bedarf. Es musste auch gerügt werden, wenn eine Anweisung zur Definition für diese selbst ausgegeben wurde, eine Anweisung, deren Befolgung Fremdartiges in die Arithmetik einführen würde, obwohl sie selbst im Ausdrucke sich davon frei zu halten vermag, aber nur weil sie blosse Anweisung bleibt.

So geräth jene formale Theorie in Gefahr, auf das Aposteriorische oder doch Synthetische zurückzufallen, wie sehr sie sich auch den Anschein giebt, in der Höhe der Abstractionen zu schweben.

Unsere frühere Betrachtung der positiven ganzen Zahlen zeigte uns nun die Möglichkeit, die Einmischung von äussern Dingen und geometrischen Anschauungen zu vermeiden, ohne doch in den Fehler jener formalen Theorie zu verfallen. Es kommt wie dort darauf an, den Inhalt eines Wiedererkennungsurtheils festzusetzen. Denken wir dies überall geschehen, so erscheinen die negativen, gebrochenen, irrationalen und complexen Zahlen nicht geheimnissvoller als die positiven ganzen Zahlen, diese nicht reeller, wirklicher, greifbarer als jene.

Fußnoten:

[1] Sämmtliche Werke, herausgegeb. von Hartenstein, Bd. X, 1 Thl. Umriss pädagogischer Vorlesungen § 252, Anm. 2: »Zwei heisst nicht zwei Dinge, sondern Verdoppelung« u. s. w.

[2] K. Fischer, System der Logik und Metaphysik oder Wissenschaftslehre, 2. Aufl. § 94.

[3] Studien über Association der Vorstellungen. Wien 1883.

[4] Lehrbuch der Arithmetik und Algebra.

[5] Ich will damit natürlich nicht einen neuen Sinn hineinlegen, sondern nur das treffen, was frühere Schriftsteller, insbesondere _Kant_ gemeint haben.

[6] Wenn man überhaupt allgemeine Wahrheiten anerkennt, so muss man auch zugeben, dass es solche Urgesetze giebt, weil aus lauter einzelnen Thatsachen nichts folgt, es sei denn auf Grund eines Gesetzes. Selbst die Induction beruht auf dem allgemeinen Satze, dass dies Verfahren die Wahrheit oder doch eine Wahrscheinlichkeit für ein Gesetz begründen könne. Für den, der dies leugnet, ist die Induction nichts weiter als eine psychologische Erscheinung, eine Weise, wie Menschen zu dem Glauben an die Wahrheit eines Satzes kommen, ohne dass dieser Glaube dadurch irgendwie gerechtfertigt wäre.

[7] Es wird also im Folgenden, wenn nichts weiter bemerkt wird, von keinen andern Zahlen als den positiven ganzen die Rede sein, welche auf die Frage wie viele? antworten.

[8] Hobbes, Locke, Newton. Vergl. _Baumann_, die Lehren von Zeit, Raum und Mathematik. S. 241 u. 242, S. 365 ff., S. 475.

[9] Kritik der reinen Vernunft, herausgeg. v. Hartenstein. III. S. 157.

[10] Vorlesungen über die complexen Zahlen und ihre Functionen. S. 55.

[11] B: Nouveaux Essais, IV. § 10. Erdm. S. 363.

[12] C: Non inelegans specimen demonstrandi in abstractis. Erdm. S. 94.

[13] Lehrbuch der Mathematik für höhere Lehranstalten. I. Theil: Arithmetik, Stettin 1860, S. 4.

[14] A System der deductiven und inductiven Logik, übersetzt von J. Schiel. III. Buch, XXIV. Cap., § 5.

[15] A. a. O. II. Buch, VI. Cap., § 2.

[16] A. a. O. III. Buch, XXIV. Cap., § 5.

[17] A. a. O. III. Buch, XXIV. Cap., § 5.

[18] A. a. O. II. Buch, VI. Cap., § 3.

[19] Baumann, a. a. O. II., S. 39; Erdm. S. 243.

[20] Baumann a. a. O. Bd. II., S. 13 u. 14; Erdm. S. 195, S. 208 u. 209.

[21] Baumann a. a. O. Bd. II., S. 38; Erdm. S. 212.

[22] A. a. O. Bd. II., S. 669.

[23] Lehrbuch der Analysis, Bd. I., S. 1.

[24] Theorie der complexen Zahlensysteme, S. 54 u. 55.

[25] Baumann a. a. O. Bd. II., S. 56; Erdm. S. 424.

[26] Baumann a. a. O. Bd. II., S. 57; Erdm. S. 83.

[27] Baumann a. a. O. Bd. II., S. 57; Pertz, II., S. 55.

[28] The principles of science. London 1879. S. 156.

[29] Nouveaux Essais, IV, § 9; Erdm. S. 360.

[30] Es ist auffallend, dass auch _Mill_ a. a. O. II. Buch, VI. Cap. § 4 diese Ansicht auszusprechen scheint. Sein gesunder Sinn durchbricht eben von Zeit zu Zeit sein Vorurtheil für das Empirische. Aber dieses bringt immer wieder Alles in Verwirrung, indem es ihn die physikalischen Anwendungen der Arithmetik mit dieser selbst verwechseln lässt. Er scheint nicht zu wissen, dass ein hypothetisches Urtheil auch dann wahr sein kann, wenn die Bedingung nicht wahr ist.

[31] Baumann a. a. O. Bd. I, S. 475.

[32] Theorie der complexen Zahlensysteme, S. 1.

[33] Grundzüge einer Elementarmathematik, S. 2, § 4. Aehnlich Lipschitz, Lehrbuch der Analysis, Bonn 1877, S. 1.

[34] Lehrbuch der Arithmetik und Algebra, Leipz. 1873, S. 6, 10 u. 11.

[35] A. a. O. Bd. II, S. 669.

[36] A. a. O. III. Buch, XXIV. Cap., § 5.

[37] A. a. O. III. Buch, XXIV. Cap. § 5.

[38] Baumann a. a. O. Bd. I, S. 409.

[39] Ebenda, Bd. II, S. 56.

[40] Ebenda, Bd. II, S. 2.

[41] A. a. O. III. Buch, XXIV. Cap. § 5.

[42] Genau genommen müsste hinzugefügt werden: sobald sie überhaupt ein Phänomen sind. Wenn aber Jemand ein Pferd in Deutschland und eines in Amerika (und sonst keins) hat, so besitzt er zwei Pferde. Diese bilden jedoch kein Phänomen, sondern nur jedes Pferd für sich könnte so genannt werden.

[43] Baumann a. a. O. Bd. II. S. 428.

[44] Lehrbuch der Analysis, S. 1. Ich nehme an, dass _Lipschitz_ einen innern Vorgang im Sinne hat.

[45] Handbuch der algebraischen Analysis, S. 1.

[46] Man kann dagegen auch einwenden, dass dann immer dieselbe Vorstellung einer Stelle erscheinen müsste, wenn dieselbe Zahl auftritt, was offenbar falsch ist. Das Folgende würde nicht zutreffen, wenn er unter Vorstellung eine objective Idee verstehen wollte; aber welcher Unterschied wäre dann zwischen der Vorstellung der Stelle und der Stelle selbst?

Die Vorstellung im subjectiven Sinne ist das, worauf sich die psychologischen Associationsgesetze beziehen; sie ist von sinnlicher, bildhafter Beschaffenheit. Die Vorstellung im objectiven Sinne gehört der Logik an und ist wesentlich unsinnlich, obwohl das Wort, welches eine objective Vorstellung bedeutet, oft auch eine subjective mit sich führt, die jedoch nicht seine Bedeutung ist. Die subjective Vorstellung ist oft nachweisbar verschieden in verschiedenen Menschen, die objective für alle dieselbe. Die objectiven Vorstellungen kann man eintheilen in Gegenstände und Begriffe. Ich werde, um Verwirrung zu vermeiden, »Vorstellung« nur im subjectiven Sinne gebrauchen. Dadurch, dass Kant mit diesem Worte beide Bedeutungen verband, hat er seiner Lehre eine sehr subjective, idealistische Färbung gegeben und das Treffen seiner wahren Meinung erschwert. Die hier gemachte Unterscheidung ist so berechtigt wie die zwischen Psychologie und Logik. Möchte man diese immer recht streng auseinanderhalten!

[47] Elementare Theorie der analytischen Functionen, S. 1.

[48] 7. Buch der Elemente im Anfange: Μονάς έστι, καθ' ήν έκαστον τών όντων έν λέγεται. Άριθμός δέ τό έκ μονάδων συγκείμενον πλήθος.

[49] A. a. O. S. 5.

[50] Es kommen Wendungen vor, die dem zu widersprechen scheinen; aber bei genauerer Betrachtung wird man finden, dass ein Begriffswort zu ergänzen ist, oder dass »Ein« nicht als Zahlwort gebraucht wird, dass nicht die Einzigkeit, sondern die Einheitlichkeit behauptet werden soll.

[51] Baumann a. a. O. Bd. II. S. 2; Erdm. S. 8.

[52] A. a. O. Bd. II. S. 669.

[53] A. a. O. Bd. II. S. 669.

[54] Baumann a. a. O. Bd. I. S. 409.

[55] Ueber die Geschichte des Wortes »Einheit« vergl. Eucken, Geschichte der philosophischen Terminologie. S. 122-3, S. 136, S. 220.

[56] Schularithmetik. Eisenach 1867. S. 5 u. 6.

[57] A. a. O. S. 5.

[58] Baumann a. a. O. Bd. I. S. 242.

[59] Ebenda Bd. II. S. 568.

[60] A. a. O. S. 1.

[61] Baumann a. a. O. Bd. I. S. 103.

[62] A. a. O. S. 3.

[63] The principles of Science, 3 d. Ed. S. 156.

[64] A. a. O. S. 162.

[65] Baumann a. a. O. Bd. I. S. 409-411.

[66] Baumann a. a. O. Bd. II. S. 3.

[67] Vier Species. S. 2.

[68] Baumann a. a. O. Bd. I. S. 242.

[69] Elementare Theorie der analyt. Functionen, S. 1.

[70] Baumann a. a. O. Bd. II. S. 2.

[71] A. a. O. Bd. II. S. 668.

[72] The Principles of Science, S. 157.

[73] Theorie der complexen Zahlensysteme, S. 1.

[74] Lehrbuch der Arithmetik und Algebra, S. 5 ff.

[75] zu zählenden Gegenstände.

[76] A. a. O. S. 158.

[77] Baumann a. a. O. Bd. I, S. 169.

[78] A. a. O. S. 6.

[79] »Vorstellung« in dem Sinne von etwas Bildartigem genommen.

[80] Es kommt darauf an, den Sinn einer Gleichung wie

df(x) = g(x) dx

zu definiren, nicht aber darauf, eine von zwei verschiedenen Punkten begrenzte Strecke aufzuweisen, deren Länge dx wäre.

[81] Dies Wort rein psychologisch, nicht psychophysisch verstanden.

[82] Baumann a. a. O. Bd. II. S. 565.

[83] Vergl. E. Schröder a. a. O. S. 7 und 8. E. Kossak, die Elemente der Arithmetik, Programm des Friedrichs-Werder'schen Gymnasiums. Berlin, 1872. S. 16. G. Cantor, Grundlagen einer allgemeinen Mannichfaltigkeitslehre. Leipzig, 1883.

[84] Um mich bequemer ausdrücken zu können und leichter verstanden zu werden, spreche ich hier vom Parallelismus. Das Wesentliche dieser Erörterungen wird leicht auf den Fall der Zahlengleichheit übertragen werden können.

[85] Non inelegans specimen demonstrandi in abstractis. Erdm. S. 94.

[86] In einem hypothetischen Urtheile könnte z. B. eine Gleichheit von Richtungen als Bedingung oder Folge vorkommen.

[87] Der bestimmte Artikel deutet dies an. Begriff ist für mich ein mögliches Praedicat eines singulären beurtheilbaren Inhalts, Gegenstand ein mögliches Subject eines solchen. Wenn wir in dem Satze

»die Richtung der Fernrohraxe ist gleich der Richtung der Erdaxe«

die Richtung der Fernrohraxe als Subject ansehen, so ist das Praedicat »gleich der Richtung der Erdaxe«. Dies ist ein Begriff. Aber die Richtung der Erdaxe ist nur ein Theil des Praedicates; sie ist ein Gegenstand, da sie auch zum Subjecte gemacht werden kann.

[88] Ich glaube, dass für »Umfang des Begriffes« einfach »Begriff« gesagt werden könnte. Aber man würde zweierlei einwenden:

1. dies stehe im Widerspruche mit meiner früheren Behauptung, dass die einzelne Zahl ein Gegenstand sei, was durch den bestimmten Artikel in Ausdrücken wie »die Zwei« und durch die Unmöglichkeit angedeutet werde, von Einsen, Zweien u. s. w. im Plural zu sprechen, sowie dadurch, dass die Zahl nur einen Theil des Praedicats der Zahlangabe ausmache;

2. dass Begriffe von gleichem Umfange sein können, ohne zusammenzufallen.

Ich bin nun zwar der Meinung, dass beide Einwände gehoben werden können; aber das möchte hier zu weit führen. Ich setze voraus, dass man wisse, was der Umfang eines Begriffes sei.

[89] Hiermit ist der Fall nicht zu verwechseln, wo das »und« nur scheinbar die Subjecte, in Wahrheit aber zwei Sätze verbindet.

[90] Desgleichen die Umkehrung: Wenn die Zahl, welche dem Begriffe F zukommt, dieselbe ist wie die, welche dem Begriffe G zukommt, so ist der Begriff F dem Begriffe G gleichzahlig.

[91] Ganz davon verschieden ist die Definition eines Gegenstandes aus einem Begriffe, unter den er fällt. Der Ausdruck »der grösste ächte Bruch« hat z. B. keinen Inhalt, weil der bestimmte Artikel den Anspruch erhebt, auf einen bestimmten Gegenstand hinzuweisen. Dagegen ist der Begriff »Bruch, der kleiner als 1 und so beschaffen ist, dass kein Bruch, der kleiner als 1 ist, ihn an Grösse übertrifft« ganz unbedenklich, und um beweisen zu können, dass es keinen solchen Bruch gebe, braucht man sogar diesen Begriff, obgleich er einen Widerspruch enthält. Wenn man aber durch diesen Begriff einen Gegenstand bestimmen wollte, der unter ihn fällt, wäre es allerdings nöthig, zweierlei vorher zu zeigen:

1. dass unter diesen Begriff ein Gegenstand falle;

2. dass nur ein einziger Gegenstand unter ihn falle.

Da nun schon der erste dieser Sätze falsch ist, so ist der Ausdruck »der grösste ächte Bruch« sinnlos.

[92] Siehe Anm. auf S. 87 u. 88.

[93] Satz ohne Allgemeinheit.

[94] Vergl. B. Erdmann, die Axiome der Geometrie S. 164.

[95] Wenn n keine Anzahl ist, so gehört nur n selbst der mit n endenden natürlichen Zahlenreihe an. Man stosse sich nicht an dem Ausdrucke!

[96] E. Schröder scheint a. a. O. S. 63 diesen Satz als Folge einer auch anders denkbaren Bezeichnungsweise anzusehen. Es macht sich auch hier der Uebelstand bemerkbar, der seine ganze Darstellung dieser Sache beeinträchtigt, dass man nicht recht weiss, ob die Zahl ein Zeichen ist, und was dann dessen Bedeutung, oder ob sie eben diese Bedeutung ist. Daraus, dass man verschiedene Zeichen festsetzt, sodass nie dasselbe wiederkehrt, folgt noch nicht, dass diese Zeichen auch Verschiedenes bedeuten.

[97] Grundlagen einer allgemeinen Mannichfaltigkeitslehre. Leipzig, 1883.

[98] Dieser Ausdruck kann der früher hervorgehobenen Objectivität des Begriffes zu widersprechen scheinen; aber subjectiv ist hier nur die Benennung.

[99] Das Beobachten schliesst selbst schon eine logische Thätigkeit ein.

[100] A. a. O. Bd. II. S. 670.

[101] A. a. O. III. S. 39 u. ff.

[102] S. 43 sagt er, dass ein synthetischer Satz nur dann nach dem Satze des Widerspruchs eingesehen werden kann, wenn ein andrer synthetischer Satz vorausgesetzt wird.

[103] Ebenso, wenn die Merkmale durch »oder« verbunden sind.

[104] A. a. O. III, S. 82.

[105] Sie soll jedoch nicht nur die logische Form wie die boolesche Bezeichnungsweise, sondern auch einen Inhalt auszudrücken im Stande sein.

[106] Begriffsschrift, Halle a/S. 1870, S. 86, Formel 133.

[107] Diesen Beweis wird man immer noch viel zu weitläufig finden, ein Nachtheil, der vielleicht die fast unbedingte Sicherheit vor einem Fehler oder einer Lücke mehr als aufzuwiegen scheint. Mein Zweck war damals Alles auf die möglichst geringe Zahl von möglichst einfachen logischen Gesetzen zurückzuführen. Infolge dessen wendete ich nur eine einzige Schlussweise an. Ich wies aber schon damals im Vorworte S. VII darauf hin, dass für die weitere Anwendung es sich empfehlen würde, mehr Schlussweisen zuzulassen. Dies kann geschehen ohne der Bündigkeit der Schlusskette zu schaden, und so lässt sich eine bedeutende Abkürzung erreichen.

[108] A. a. O. S. 6 u. 7.

[109] A. a. O. S. 106 u. 107.

[110] A. a. O. § 35.

[111] A. a. O. S. 5. Aehnlich E. Kossak, a. a. O. S. 17 unten.

[112] Aehnlich steht es bei _Cantors_ unendlichen Anzahlen.

[113] Auf einem andern Wege möchte sie immerhin streng bewiesen werden können.

[114] A. a. O. S. 18.

[115] Das thut Hankel eigentlich schon durch den Gebrauch der Gleichung Θ (c, b) = a.

[116] A. a. O. S. 29.

[117] Mit demselben Rechte könnten wir auch ein gewisses Electricitätsquantum, einen gewissen Flächeninhalt u. s. w. zu Quadratwurzeln aus -1 wählen, müssten diese verschiedenen Wurzeln dann auch selbstverständlich verschieden bezeichnen. Dass man so beliebig viele Quadratwurzeln aus -1 scheinbar schaffen kann, wird weniger verwunderlich, wenn man bedenkt, dass die Bedeutung der Quadratwurzel nicht schon vor diesen Festsetzungen unveränderlich feststand, sondern durch sie erst mitbestimmt wird.

[118] Vergl. Kossak a. a. O. S. 17.

[119] A. a. O. S. 17.

[120] Man vergleiche über den Ausdruck »Vorstellung« § 27, über »Gruppe« das in Bezug auf »Aggregat« § 23 u. § 25 Gesagte, über die Gleichheit der Elemente §§ 34-39.

[121] Der Einfachheit wegen sehe ich hier vom Incommensurabeln ab.

[122] Ein leichter Ueberschlag zeigt, dass dazu Millionen Jahre lange nicht hinreichen würden.

[123] Man könnte sie auch formal nennen. Doch ist sie ganz verschieden von der oben unter diesem Namen beurtheilten.

[124] Ich will hiermit gar nicht leugnen, dass wir ohne sinnliche Eindrücke dumm wie ein Brett wären und weder von Zahlen noch von sonst etwas wüssten; aber dieser psychologische Satz geht uns hier gar nichts an. Wegen der beständigen Gefahr der Vermischung zweier grundverschiedener Fragen hebe ich dies nochmals hervor.

[125] Der Unterschied entspricht dem zwischen »blau« und »die Farbe des Himmels«.

TH. SCHATZKY BUCHDR., BRESLAU, WALLSTR. 14b.

Weitere Anmerkungen zur Transkription

Offensichtlich fehlerhafte Zeichensetzung wurde stillschweigend korrigiert.

Die Schreibweise der Ellipsen wurde vereinheitlicht.

Der »größer-als«-Operator wurde auf die heutige Schreibweise > geändert.

Das Zeichen für parallele Strecken wurde von »//« zu »∥« geändert.

Korrekturen:

Inhalt § 10 iductive → inductive Additionsgesetze _inductive_ Wahrheiten

S. II: Buchstaben ergänzt so ist _es_ doch wohl eine unabweisbare Aufgabe,

S. 4: mathemathische → mathematische um eine _mathematische_ Wahrheit handelt

S. 23: Endeckungen → Entdeckungen hier nicht um die Geschichte unserer _Entdeckungen_,

S. 24: Ausicht → Ansicht Wenn man diese nicht hier zuerst geäusserte _Ansicht_

S. 62: allmeines → allgemeines ein _allgemeines_ Begriffswort (notio communis) sein müsse

Fußnote 10: ihren → ihre Vorlesungen über die complexen Zahlen und _ihre_ Functionen.

Fußnote 52: Bl. → Bd. A. a. O. Bd. II. S. 669.

End of Project Gutenberg's Die Grundlagen der Arithmetik, by Gottlob Frege