Part 1

Anmerkungen zur Transkription

Im Original gesperrter Text ist _so ausgezeichnet_.

Im Original fett gesetzter Text ist =so ausgezeichnet=.

Die Bezeichnung a^{b} bedeutet die b-te Potenz von a.

Der Text enthält akzentuierte griechische Buchstaben und mathematische Sonderzeichen, die nicht in jedem Zeichensatz erhalten sind.

Weitere Anmerkungen finden sich am Ende des Buches.

Die Grundlagen der Arithmetik.

Eine logisch mathematische Untersuchung _über den Begriff der Zahl_

von

Dr. G. Frege, a. o. Professor an der Universität Jena.

BRESLAU. _Verlag von Wilhelm Koebner._ 1884.

Inhalt.

Seite

§ 1. In der Mathematik ist in neuerer Zeit ein auf der Strenge der Beweise und scharfe Fassung der Begriffe gerichtetes Bestreben erkennbar. 1

§ 2. Die Prüfung muss sich schliesslich auch auf den Begriff der Anzahl erstrecken. Zweck des Beweises. 2

§ 3. Philosophische Beweggründe für solche Untersuchung: die Streitfragen, ob die Gesetze der Zahlen analytische oder synthetische Wahrheiten, apriori oder aposteriori sind. Sinn dieser Ausdrucke. 3

§ 4. Die Aufgabe dieses Buches. 4

I. Meinungen einiger Schriftsteller über die Natur der arithmetischen Sätze.

_Sind die Zahlformeln beweisbar?_

§ 5. Kant verneint dies, was Hankel mit Recht paradox nennt. 5

§ 6. Leibnizens Beweis von 2 + 2 = 4 hat eine Lücke. Grassmanns Definition von a + b ist fehlerhaft. 7

§ 7. Mills Meinung, dass die Definitionen der einzelnen Zahlen beobachtete Thatsachen behaupten, aus denen die Rechnungen folgen, ist unbegründet. 9

§ 8. Zur Rechtmässigkeit dieser Definitionen ist die Beobachtung jener Thatsachen nicht erforderlich. 11

_Sind die Gesetze der Arithmetik inductive Wahrheiten?_

§ 9. Mills Naturgesetz. Indem Mill arithmetische Wahrheiten Naturgesetze nennt, verwechselt er sie mit ihren Anwendungen. 12

§ 10. Gründe dagegen, dass die Additionsgesetze inductive Wahrheiten sind: Ungleichartigkeit der Zahlen; wir haben nicht schon durch die Definition eine Menge gemeinsamer Eigenschaften der Zahlen; die Induction ist wahrscheinlich umgekehrt auf die Arithmetik zu gründen. 14

§ 11. Leibnizens »Eingeboren«. 17

_Sind die Gesetze der Arithmetik synthetisch-apriori oder analytisch?_

§ 12. Kant. Baumann. Lipschitz. Hankel. Die innere Anschauung als Erkenntnissgrund. 17

§ 13. Unterschied von Arithmetik und Geometrie 19

§ 14. Vergleichung der Wahrheiten in Bezug auf das von ihnen beherrschte Gebiet 20

§ 15. Ansichten von Leibniz und St. Jevons 21

§ 16. Dagegen Mills Herabsetzung des »kunstfertigen Handhabens der Sprache.« Die Zeichen sind nicht darum leer, weil sie nichts Wahrnehmbares bedeuten 22

§ 17. Unzulänglichkeit der Induction. Vermuthung, dass die Zahlgesetze analytische Urtheile sind; worin dann ihr Nutzen besteht. Werthschätzung der analytischen Urtheile. 23

II. Meinungen einiger Schriftsteller über den Begriff der Anzahl.

§ 18. Notwendigkeit den allgemeinen Begriff der Anzahl zu untersuchen. 24

§ 19. Die Definition darf nicht geometrisch sein. 25

§ 20. Ist die Zahl definirbar? Hankel. Leibniz. 26

_Ist die Anzahl eine Eigenschaft der äussern Dinge?_

§ 21. Meinungen von M. Cantor und E. Schröder 27

§ 22. Dagegen Baumann: die äussern Dinge stellen keine strengen Einheiten dar. Die Anzahl hängt scheinbar von unserer Auffassung ab 28

§ 23. Mills Meinung, dass die Zahl eine Eigenschaft des Aggregats von Dingen sei, ist unhaltbar 29

§ 24. Umfassende Anwendbarkeit der Zahl. Mill. Locke. Leibnizens unkörperliche metaphysische Figur. Wenn die Zahl etwas Sinnliches wäre, könnte sie nicht Unsinnlichem beigelegt werden 30

§ 25. Mills physikalischer Unterschied zwischen 2 und 3. Nach Berkeley ist die Zahl nicht realiter in den Dingen, sondern durch den Geist geschaffen 32

_Ist die Zahl etwas Subjectives?_

§ 26. Lipschitzs Beschreibung der Zahlbildung passt nicht recht und kann eine Begriffsbestimmung nicht ersetzen. Die Zahl ist kein Gegenstand der Psychologie, sondern etwas Objectives 33

§ 27. Die Zahl ist nicht, wie Schloemilch will, Vorstellung der Stelle eines Objects in einer Reihe 36

_Die Anzahl als Menge._

§ 28. Thomaes Namengebung 38

III. Meinungen über Einheit und Eins.

_Drückt das Zahlwort »Ein« eine Eigenschaft von Gegenständen aus?_

§ 29. Vieldeutigkeit der Ausdrücke »μονάς« und »Einheit.« E. Schröders Erklärung der Einheit als zu zählenden Gegenstandes ist scheinbar zwecklos. Das Adjectiv »Ein« enthält keine nähere Bestimmung, kann nicht als Praedicat dienen 39

§ 30. Nach den Definitionsversuchen von Leibniz und Baumann scheint der Begriff der Einheit gänzlich zu verschwimmen 41

§ 31. Baumanns Merkmale der Ungetheiltheit und Abgegrenztheit. Die Idee der Einheit wird uns nicht von jedem Objecte zugeführt (Locke) 41

§ 32. Doch deutet die Sprache einen Zusammenhang mit der Ungetheiltheit und Abgegrenztheit an, wobei jedoch der Sinn verschoben wird 42

§ 33. Die Untheilbarkeit (G. Köpp) ist als Merkmal der Einheit nicht haltbar 43

_Sind die Einheiten einander gleich?_

§ 34. Die Gleichheit als Grund für den Namen »Einheit.« E. Schröder. Hobbes. Hume. Thomae. Durch Abstraction von den Verschiedenheiten der Dinge erhält man nicht den Begriff der Anzahl, und die Dinge werden dadurch nicht einander gleich 44

§ 35. Die Verschiedenheit ist sogar nothwendig, wenn von Mehrheit die Rede sein soll. Descartes. E. Schröder. St. Jevons 46

§ 36. Die Ansicht von der Verschiedenheit der Einheiten stösst auch auf Schwierigkeiten. Verschiedene Einsen bei St. Jevons 46

§ 37. Lockes, Leibnizens, Hesses Erklärungen der Zahl aus der Einheit oder Eins 48

§ 38. »Eins« ist Eigenname, »Einheit« Begriffswort. Zahl kann nicht als Einheiten definirt werden. Unterschied von »und« und + 48

§ 39. Die Schwierigkeit, Gleichheit und Unterscheidbarkeit der Einheiten zu versöhnen, wird durch die Vieldeutigkeit von »Einheit« verdeckt 50

_Versuche, die Schwierigkeit zu überwinden._

§ 40. Raum und Zeit als Mittel des Unterscheidens. Hobbes. Thomae. Dagegen: Leibniz, Baumann, St. Jevons 51

§ 41. Der Zweck wird nicht erreicht 53

§ 42. Die Stelle in einer Reihe als Mittel des Unterscheidens. Hankels Setzen 54

§ 43. Schröders Abbildung der Gegenstände durch das Zeichen 1 54

§ 44. Jevons Abstrahiren vom Charakter der Unterschiede mit Festhaltung ihres Vorhandenseins. Die 0 und die 1 sind Zahlen wie die andern. Die Schwierigkeit bleibt bestehen 55

_Lösung der Schwierigkeit._

§ 45. Rückblick 58

§ 46. Die Zahlangabe enthält eine Aussage von einem Begriffe. Einwand, dass bei unverändertem Begriffe die Zahl sich ändere 59

§ 47. Die Thatsächlichkeit der Zahlangabe erklärt sich aus der Objectivität des Begriffes 60

§ 48. Auflösung einiger Schwierigkeiten 61

§ 49. Bestätigung bei Spinoza 62

§ 50. E. Schröders Ausführung 62

§ 51. Berichtigung derselben 63

§ 52. Bestätigung in einem deutschen Sprachgebrauche 64

§ 53. Unterschied zwischen Merkmalen und Eigenschaften eines Begriffes. Existenz und Zahl 64

§ 54. Einheit kann man das Subject einer Zahlangabe nennen. Untheilbarkeit und Abgegrenztheit der Einheit. Gleichheit und Unterscheidbarkeit 65

IV. Der Begriff der Anzahl.

_Jede einzelne Zahl ist ein selbständiger Gegenstand._

§ 55. Versuch, die leibnizischen Definitionen der einzelnen Zahlen zu ergänzen 67

§ 56. Die versuchten Definitionen sind unbrauchbar, weil sie eine Aussage erklären, von der die Zahl nur ein Theil ist 67

§ 57. Die Zahlangabe ist als eine Gleichung zwischen Zahlen anzusehen 68

§ 58. Einwand der Unvorstellbarkeit der Zahl als eines selbständigen Gegenstandes. Die Zahl ist überhaupt unvorstellbar 69

§ 59. Ein Gegenstand ist nicht deshalb von der Untersuchung auszuschliessen, weil er unvorstellbar ist 70

§ 60. Selbst concrete Dinge sind nicht immer vorstellbar. Man muss die Wörter im Satze betrachten, wenn man nach ihrer Bedeutung fragt 71

§ 61. Einwand der Unräumlichkeit der Zahlen. Nicht jeder objective Gegenstand ist räumlich 72

_Um den Begriff der Anzahl zu gewinnen, muss man den Sinn einer Zahlengleichung feststellen._

§ 62. Wir bedürfen eines Kennzeichens für die Zahlengleichheit 73

§ 63. Die Möglichkeit der eindeutigen Zuordnung als solches. Logisches Bedenken, dass die Gleichheit für diesen Fall besonders erklärt wird 73

§ 64. Beispiele für ein ähnliches Verfahren: die Richtung, die Stellung einer Ebene, die Gestalt eines Dreiecks 74

§ 65. Versuch einer Definition. Ein zweites Bedenken: ob den Gesetzen der Gleichheit genügt wird 76

§ 66. Drittes Bedenken: das Kennzeichen der Gleichheit ist unzureichend 77

§ 67. Die Ergänzung kann nicht dadurch geschehen, dass man zum Merkmal eines Begriffes die Weise nimmt, wie ein Gegenstand eingeführt ist 78

§ 68. Die Anzahl als Umfang eines Begriffes 79

§ 69. Erläuterung 80

_Ergänzung und Bewährung unserer Definition._

§ 70. Der Beziehungsbegriff 81

§ 71. Die Zuordnung durch eine Beziehung 83

§ 72. Die beiderseits eindeutige Beziehung. Begriff der Anzahl 84

§ 73. Die Anzahl, welche dem Begriffe F zukommt, ist gleich der Anzahl, welche dem Begriffe G zukommt, wenn es eine Beziehung giebt, welche die unter F fallenden Gegenstände, den unter G fallenden beiderseits eindeutig zuordnet 83

§ 74. Null ist die Anzahl, welche dem Begriffe »sich selbst ungleich« zukommt 86

§ 75. Null ist die Anzahl, welche einem Begriffe zukommt, unter den nichts fällt. Kein Gegenstand fällt unter einen Begriff, wenn Null die diesem zukommende Anzahl ist 88

§ 76. Erklärung des Ausdrucks »n folgt in der natürlichen Zahlenreihe unmittelbar auf m.« 89

§ 77. 1 ist die Anzahl, welche dem Begriffe »gleich 0« zukommt 90

§ 78. Sätze, die mittels unserer Definitionen zu beweisen sind 91

§ 79. Definition des Folgens in einer Reihe 92

§ 80. Bemerkungen hierzu. Objectivität des Folgens 92

§ 81. Erklärung des Ausdrucks »x gehört der mit y endenden φ-Reihe an« 94

§ 82. Andeutung des Beweises, dass es kein letztes Glied der natürlichen Zahlenreihe giebt 94

§ 83. Definition der endlichen Anzahl. Keine endliche Anzahl folgt in der natürlichen Zahlenreihe auf sich selber 95

_Unendliche Anzahlen._

§ 84. Die Anzahl, welche dem Begriffe »endliche Anzahl« zukommt, ist eine unendliche 96

§ 85. Die cantorschen unendlichen Anzahlen; »Mächtigkeit«. Abweichung in der Benennung 97

§ 86. Cantors Folgen in der Succession und mein Folgen in der Reihe 98

V. Schluss.

§ 87. Die Natur der arithmetischen Gesetze 99

§ 88. Kants Unterschätzung der analytischen Urtheile 99

§ 89. Kants Satz: »Ohne Sinnlichkeit würde uns kein Gegenstand gegeben werden«. Kants Verdienst um die Mathematik 101

§ 90. Zum vollen Nachweis der analytischen Natur der arithmetischen Gesetze fehlt eine lückenlose Schlusskette 102

§ 91. Abhilfe dieses Mangels ist durch meine Begriffsschrift möglich 103

_Andere Zahlen._

§ 92. Sinn der Frage nach der Möglichkeit der Zahlen nach Hankel 104

§ 93. Die Zahlen sind weder räumlich ausser uns noch subjectiv 105

§ 94. Die Widerspruchslosigkeit eines Begriffes verbürgt nicht, dass etwas unter ihn falle, und bedarf selbst des Beweises 105

§ 95. Man darf nicht ohne Weiteres (c - b) als ein Zeichen ansehn, das die Subtractionsaufgabe löst 106

§ 96. Auch der Mathematiker kann nicht willkührlich etwas schaffen 107

§ 97. Begriffe sind von Gegenständen zu unterscheiden 108

§ 98. Hankels Erklärung der Addition 108

§ 99. Mangelhaftigkeit der formalen Theorie 109

§ 100. Versuch, complexe Zahlen dadurch nachzuweisen, dass die Bedeutung der Multiplication in besonderer Weise erweitert wird 110

§ 101. Die Möglichkeit eines solchen Nachweises ist für die Kraft eines Beweises nicht gleichgiltig 111

§ 102. Die blosse Forderung, es solle eine Operation ausführbar sein, ist nicht ihre Erfüllung 111

§ 103. Kossaks Erklärung der complexen Zahlen ist nur eine Anweisung zur Definition und vermeidet nicht die Einmischung von Fremdartigem. Die geometrische Darstellung 112

§ 104. Es kommt darauf an, den Sinn eines Wiedererkennungsurtheils für die neuen Zahlen festzusetzen 114

§ 105. Der Reiz der Arithmetik liegt in ihrem Vernunftcharakter 115

§ 106-109. Rückblick 115-119

Einleitung.

Auf die Frage, was die Zahl Eins sei, oder was das Zeichen 1 bedeute, wird man meistens die Antwort erhalten: nun, ein Ding. Und wenn man dann darauf aufmerksam macht, dass der Satz

»die Zahl Eins ist ein Ding«

keine Definition ist, weil auf der einen Seite der bestimmte Artikel, auf der andern der unbestimmte steht, dass er nur besagt, die Zahl Eins gehöre zu den Dingen, aber nicht, welches Ding sie sei, so wird man vielleicht aufgefordert, sich irgendein Ding zu wählen, das man Eins nennen wolle. Wenn aber Jeder das Recht hätte, unter diesem Namen zu verstehen, was er will, so würde derselbe Satz von der Eins für Verschiedene Verschiedenes bedeuten; es gäbe keinen gemeinsamen Inhalt solcher Sätze. Einige lehnen vielleicht die Frage mit dem Hinweise darauf ab, dass auch die Bedeutung des Buchstaben a in der Arithmetik nicht angegeben werden könne; und wenn man sage: a bedeutet eine Zahl, so könne hierin derselbe Fehler gefunden werden wie in der Definition: Eins ist ein Ding. Nun ist die Ablehnung der Frage in Bezug auf a ganz gerechtfertigt: es bedeutet keine bestimmte, angebbare Zahl, sondern dient dazu, die Allgemeinheit von Sätzen auszudrücken. Wenn man für a in a + a - a = a eine beliebige aber überall dieselbe Zahl setzt, so erhält man immer eine wahre Gleichung. In diesem Sinne wird der Buchstabe a gebraucht. Aber bei der Eins liegt die Sache doch wesentlich anders. Können wir in der Gleichung 1 + 1 = 2 für 1 beidemal denselben Gegenstand, etwa den Mond setzen? Vielmehr scheint es, dass wir für die erste 1 etwas Anderes wie für die zweite setzen müssen. Woran liegt es, dass hier grade das geschehen muss, was in jenem Falle ein Fehler wäre? Die Arithmetik kommt mit dem Buchstaben a allein nicht aus, sondern muss noch andere b, c u. s. w. gebrauchen, um Beziehungen zwischen verschiedenen Zahlen allgemein auszudrücken. So sollte man denken, könnte auch das Zeichen 1 nicht genügen, wenn es in ähnlicher Weise dazu diente, den Sätzen eine Allgemeinheit zu verleihen. Aber erscheint nicht die Zahl Eins als bestimmter Gegenstand mit angebbaren Eigenschaften, z. B. mit sich selbst multiplicirt unverändert zu bleiben? In diesem Sinne kann man von a keine Eigenschaften angeben; denn was von a ausgesagt wird, ist eine gemeinsame Eigenschaft der Zahlen, während 1¹ = 1 weder vom Monde etwas aussagt, noch von der Sonne, noch von der Sahara, noch vom Pic von Teneriffa; denn was könnte der Sinn einer solchen Aussage sein?

Auf solche Fragen werden wohl auch die meisten Mathematiker keine genügende Antwort bereit haben. Ist es nun nicht für die Wissenschaft beschämend, so im Unklaren über ihren nächstliegenden und scheinbar so einfachen Gegenstand zu sein? Um so weniger wird man sagen können, was Zahl sei. Wenn ein Begriff, der einer grossen Wissenschaft zu Grunde liegt, Schwierigkeiten darbietet, so ist es doch wohl eine unabweisbare Aufgabe, ihn genauer zu untersuchen und diese Schwierigkeiten zu überwinden, besonders da es schwer gelingen möchte, über die negativen, gebrochenen, complexen Zahlen zu voller Klarheit zu kommen, solange noch die Einsicht in die Grundlage des ganzen Baues der Arithmetik mangelhaft ist.

Viele werden das freilich nicht der Mühe werth achten. Dieser Begriff ist ja, wie sie meinen, in den Elementarbüchern hinreichend behandelt und damit für das ganze Leben abgethan. Wer glaubt denn über eine so einfache Sache noch etwas lernen zu können! Für so frei von jeder Schwierigkeit hält man den Begriff der positiven ganzen Zahl, dass er für Kinder wissenschaftlich erschöpfend behandelt werden könne, und dass Jeder ohne weiteres Nachdenken und ohne Bekanntschaft mit dem, was Andere gedacht haben, genau von ihm Bescheid wisse. So fehlt denn vielfach jene erste Vorbedingung des Lernens: das Wissen das Nichtwissens. Die Folge ist, dass man sich noch immer mit einer rohen Auffassung begnügt, obwohl schon _Herbart_[1] eine richtigere gelehrt hat. Es ist betrübend und entmuthigend, dass in dieser Weise eine Erkenntniss immer wieder verloren zu gehen droht, die schon errungen war, dass so manche Arbeit vergeblich zu werden scheint, weil man im eingebildeten Reichthume nicht nöthig zu haben glaubt, sich ihre Früchte anzueignen. Auch diese Arbeit, sehe ich wohl, ist solcher Gefahr ausgesetzt. Jene Roheit der Auffassung tritt mir entgegen, wenn das Rechnen aggregatives, mechanisches Denken genannt wird[2]. Ich bezweifle, dass es ein solches Denken überhaupt giebt. Aggregatives Vorstellen könnte man schon eher gelten lassen; aber es ist für das Rechnen ohne Bedeutung. Das Denken ist im Wesentlichen überall dasselbe: es kommen nicht je nach dem Gegenstande verschiedene Arten von Denkgesetzen in Betracht. Die Unterschiede bestehen nur in der grösseren oder geringeren Rauheit und Unabhängigkeit von psychologischen Einflüssen und von äussern Hilfen des Denkens wie Sprache, Zahlzeichen und dgl., dann etwa noch in der Feinheit des Baues der Begriffe; aber grade in dieser Rücksicht möchte die Mathematik von keiner Wissenschaft, selbst der Philosophie nicht, übertroffen werden.

Man wird aus dieser Schrift ersehen können, dass auch ein scheinbar eigenthümlich mathematischer Schluss wie der von n auf n + 1 auf den allgemeinen logischen Gesetzen beruht, dass es besondrer Gesetze des aggregativen Denkens nicht bedarf. Man kann freilich die Zahlzeichen mechanisch gebrauchen, wie man papageimässig sprechen kann; aber Denken möchte das doch kaum zu nennen sein. Es ist nur möglich, nachdem durch wirkliches Denken die mathematische Zeichensprache so ausgebildet ist, dass sie, wie man sagt, für einen denkt. Dies beweist nicht, dass die Zahlen in einer besonders mechanischen Weise, etwa wie Sandhaufen aus Quarzkörnern gebildet sind. Es liegt, denke ich, im Interesse der Mathematiker einer solchen Ansicht entgegenzutreten, welche einen hauptsächlichen Gegenstand ihrer Wissenschaft und damit diese selbst herabzusetzen geeignet ist. Aber auch bei Mathematikern findet man ganz ähnliche Aussprüche. Im Gegentheil wird man dem Zahlbegriffe einen feineren Bau zuerkennen müssen als den meisten Begriffen andrer Wissenschaften, obwohl er noch einer der einfachsten arithmetischen ist.

Um nun jenen Wahn zu widerlegen, dass in Bezug auf die positiven ganzen Zahlen eigentlich gar keine Schwierigkeiten obwalten, sondern allgemeine Uebereinstimmung herrsche, schien es mir gut, einige Meinungen von Philosophen und Mathematikern über die hier in Betracht kommenden Fragen zu besprechen. Man wird sehn, wie wenig von Einklang zu finden ist, sodass geradezu entgegengesetzte Aussprüche vorkommen. Die Einen sagen z. B.: »die Einheiten sind einander gleich«, die Andern halten sie für verschieden, und beide haben Gründe für ihre Behauptung, die sich nicht kurzer Hand abweisen lassen. Hierdurch suche ich das Bedürfniss nach einer genaueren Untersuchung zu wecken. Zugleich will ich durch die vorausgeschickte Beleuchtung der von Andern ausgesprochenen Ansichten meiner eignen Auffassung den Boden ebnen, damit man sich vorweg überzeuge, dass jene andern Wege nicht zum Ziele führen, und dass meine Meinung nicht eine von vielen gleichberechtigten ist; und so hoffe ich die Frage wenigstens in der Hauptsache endgiltig zu entscheiden.

Freilich sind meine Ausführungen hierdurch wohl philosophischer geworden, als vielen Mathematikern angemessen scheinen mag; aber eine gründliche Untersuchung des Zahlbegriffes wird immer etwas philosophisch ausfallen müssen. Diese Aufgabe ist der Mathematik und Philosophie gemeinsam.