Part 20

Zulk een ellips nu moest de Marsbaan zijn -- wel is waar, een zeer ronde, daar de kleine as slechts 1/230 kleiner was dan de groote as. Waar liggen nu de brandpunten van deze ellips? De berekening is gemakkelijk uit te voeren met behulp van de beroemde stelling van Pythagoras, waarnaar het kwadraat van de halve kleine as M C en het kwadraat van de excentriciteit M B samen gelijk zijn aan het kwadraat van de halve groote as B C. Bij een excentriciteit van 1/10 moet dus de kleine as 1/200 korter, bij een excentriciteit van 1/11 moet ze 1/242 korter dan de groote as zijn. In de gevonden Marsbaan moeten dus de brandpunten nagenoeg 1/11 buiten het middelpunt liggen. Maar juist op die plaats, 0,0926 keer de halve groote as buiten het middelpunt bevindt zich de zon! _De Marsbaan is dus een ellips en de zon bevindt zich in een der brandpunten van deze ellips_.

Opeens was nu het raadsel opgelost, waarom de cirkels der planeten excentrisch zijn. Zij zijn geen cirkels, maar ellipsen. Dat was bij de andere planeten nu wel niet direkt te bewijzen, want hun banen verschillen door de kleinheid van de excentriciteit zoo weinig van cirkels, dat het in de waarnemingen in het geheel niet te voorschijn kan treden -- Kepler had zijn ontdekking bij geen andere planeet dan bij Mars kunnen doen. Maar de gevolgtrekking was toch niet van de hand te wijzen, dat de excentriciteit ook bij de andere planeten niets anders beteekent, dan dat hun banen zeer ronde ellipsen zijn met de zon in het brandpunt. En zoo is dan de tweede wet van Kepler:

_De planeten bewegen zich om de zon in ellipsen, zoo, dat de zon in een van de brandpunten staat_.

Zoo was de ware natuur van de planetenbanen onthuld. Nu bleef alleen nog maar over, uit Tycho's waarnemingen nauwkeurige getallen af te leiden voor de grootte, den vorm en den stand der baan; dan kon daaruit voor alle toekomstige tijden de plaats van elke planeet aan den hemel nauwkeurig vooruit berekend worden. In deze getallen, de zoogenaamde "elementen" van de planetenbanen, die in de volgende lijst staan, zooals Kepler ze opgeeft, zijn alle waarnemingen van Tycho en alle berekeningen van Kepler samengevat, is al onze wetenschap der planetenbewegingen in een kort bestek uitgedrukt. Zij zijn, behalve de omloopstijd en de halve groote as: de excentriciteit van de ellips, de lengte in de ekliptika, waarheen dat uiteinde van de groote as gericht is, waar de planeet het dichtst bij de zon komt (perihelium): verder de hoek, dien de planetenbaan met de ekliptika maakt, en de plaats, waar de planeet de ekliptika, van het Zuiden naar het Noorden gaande, passeert (klimmende knoop).

Mercurius Venus Aarde Mars Jupiter Saturnus halve groote as 0,388 0,724 1 1,5235 5,1965 9,510 excentriciteit 0,21 0,0069 0,0179 0,0926 0,0482 0,0570

lengte van het perihelium... 75 122 96 329 1/3 7 85 5/6 gr. helling van de baan.... 6gr.54m. 3gr.22 m. 0 1gr.50 1/2m. 1gr.20m. 2gr.32m. lengte v/d klimmenden knoop.... 223 1/2 72 1/2 -- 49 97 111 gr. omloopstijd. 87.97 224.70 365.25 686.98 4332.62 10759.20 d.

Met deze getallen als grondslag heeft Kepler tafels voor de toekomstige beweging der planeten berekend, die hij ter eere van den vorst, die Tycho en hem had ondersteund, _de Rudolfijnsche tafels_ noemde. Zoo had hij de opdracht, die Tycho hem als erfenis naliet, vervuld; maar daarmee was zijn eigen doel nog niet bereikt. Voor hem was dit alles slechts middel tot het grootere doel: _de harmonie der wereld_ na te sporen. Hij zocht nog naar een algemeen verband tusschen den afstand, de snelheid en den baanvorm van de planeten; hij zocht om zoo te zeggen naar de architektuur van het planetenstelsel, en trachtte deze met andere door de eenvoudige schoonheid der getallen beheerschte wereldharmonieën, zooals de regelmatige lichamen en de muzikale tonen, in samenhang te brengen. Daaraan werkte en rekende hij tegelijk met de tafels. Hij had al lang bemerkt, dat de snelheid der planeten met hun afstand minder wordt (zooals wij ook op blz. 181 opmerkten). Bestaat er nu een verband tusschen omloopstijd en grootte der baan, dat voor alle planeten op dezelfde manier geldt? Na veel probeeren ontdekte Kepler in 1615 zulk een verband. In de volgende lijst hebben wij voor iedere planeet den door hem gevonden gemiddelden afstand tot de zon, d.w.z. de halve groote as der ellips (de aarde als eenheid genomen) en den omloopstijd in jaren, dus ook met de aarde als eenheid, naast elkaar gezet. Van het getal voor den omloopstijd vormen wij het kwadraat, door het met zichzelf te vermenigvuldigen, en van het getal voor den afstand vormen wij de derde macht, door het kwadraat nog eens met het getal zelf te vermenigvuldigen.

planeet afstand omloopstijd kwadraat v.d. derde macht v.d. omloopstijd afstand Mercurius. . 0.388 0.241 0.0581 0.0584 Venus. . . . 0.724 0.615 0.3785 0.3795 Aarde. . . . 1. 1. 1. 1.

Mars . . . . 1.5235 1.881 3.538 3.536 Jupiter. . . 5.1965 11.857 140.6 140.3 Saturnus . . 9.510 29.425 865.8 860.1

De getallen der beide laatste kolommen blijken zoo nauwkeurig met elkaar overeen te stemmen, dat de overblijvende verschillen zonder bedenken aan de overgebleven kleine foutjes der aangenomen waarden mogen worden toegeschreven. Dus luidt de _derde wet_ van Kepler:

_De kwadraten der omloopstijden staan bij de verschillende planeten in dezelfde reden tot elkaar als de derde machten der gemiddelde afstanden tot de zon_.

Dat wil dus zeggen: als een planeet 4 maal zoo ver als een andere van de zon verwijderd is, is haar omloopstijd 8 maal zoo groot (8 x 8 == 4 x 4 x 4), dus haar snelheid 2 maal zoo klein; staat zij 9 maal verder van de zon, dan is de omloopstijd 27 maal grooter en de snelheid 3 maal kleiner.

Door deze wetten was nu voor het eerst de werkelijke beweging der planeten uit ervaring en waarneming afgeleid; daarmee waren de primitieve theorieën der oudheid, die van een regelmatige cirkelbeweging als iets vanzelfsprekends uitgingen, voorgoed van het tooneel verdwenen. De tijdgenooten hebben echter aan deze wetten van Kepler even weinig opmerkzaamheid geschonken, als aan zijn overige theorieën over de harmonie der wereld. Voordat de beteekenis van deze wetten duidelijk kon worden, moest eerst de mechanika, de leer van de beweging, in de 17de eeuw tot een grootere hoogte ontwikkeld worden.

Daarentegen werden de Rudolfijnsche tafels algemeen hoog gewaardeerd en gebruikt, omdat zij voor het eerst juiste plaatsen gaven. Door deze tafels was het programma verwezenlijkt, dat Tycho meer dan een halve eeuw vroeger opgesteld had. Maar voor het doel, dat Tycho er toen mee beoogde, was het niet meer noodig; de astrologie, de openlijke of verborgen drijfveer van zoovele eeuwen van astronomisch onderzoek, ging juist te gronde, toen zij eindelijk haar materiaal zou krijgen. Met het wereldstelsel van Copernicus, dat juist in denzelfden tijd door Galilei's ontdekkingen tot zekerheid was geworden, was het astrologisch geloof niet meer te vereenigen. De planeten waren wereldlichamen van gelijken rang als de aarde, misschien ook wel door levende wezens bewoond; hoe kon daar de opvatting blijven bestaan, dat zij slechts als lichten aan den hemel geplaatst waren met het doel, het nietige menschenlot op aarde te verkondigen? Een nieuw doelwit wenkte de natuuronderzoekers; niet meer het levenslot van de menschen op aarde met het gebeuren aan den hemel in verbinding te brengen, maar de eigen wetten van den hemel te onderzoeken, de harmonie der groote wereld zelf te leeren kennen. Daarvoor had Kepler de grondslagen gelegd, en op zijn werk voortbouwend heeft de 17de eeuw de taak volbracht, de grondwet van het hemelsch heelal te vinden.

DE AANTREKKINGSKRACHT.

35. DE ZWAARTEKRACHT EN HET VALLEN.

Wij moeten nu van den hemel eerst weer naar de aarde terugkeeren. Want wanneer wij dieper in de oorzaken van de bewegingen der hemellichamen willen doordringen, moeten wij eerst de bewegingen van de dingen om ons heen nauwkeurig onderzoeken. Dit onderzoek, dat de grondslagen tot de mechanica, de wetenschap der beweging, heeft gelegd, is het werk geweest van de 17de eeuw.

Als wij een steen uit de hand loslaten, valt hij naar beneden, naar de aarde toe. Waarom? Omdat hij "zwaar" is. Dat hij zwaar is, voelen wij als wij hem op de vlakke hand laten rusten; het is of hij door een kracht naar beneden getrokken wordt, en aan deze kracht gehoorzaamt hij, wanneer de hand hem loslaat; dan valt hij. Wat er bij dit vallen gebeurt, moeten we nu wat precieser nagaan.

Iedereen, die op 't vallen van een steen let, bemerkt licht, dat hij langzaam begint en dan hoe langer hoe sneller valt. Valt de steen uit een bovenverdieping of van een toren, dan treft hij de aarde met veel grooter kracht, dan wanneer wij hem uit de hand laten vallen, terwijl wij op den vlakken grond staan. Maar alles gaat zoo snel, dat het haast niet mogelijk is, de verschijnselen nauwkeurig en oplettend waar te nemen. Daarom gebruiken wij een hulpmiddel, dat het eerst door _Galilei_ toegepast werd. Laat men een knikker over een schuine plank naar beneden rollen, dan begint hij ook eerst langzaam en krijgt vervolgens steeds grooter vaart. Maar niet zooveel als een vrij naar beneden vallende steen. Hij wordt ook wel door zijn zwaarte naar beneden getrokken, maar niet door zijn volle zwaarte; 't grootste deel van zijn zwaarte drukt hem tegen de plank aan, en slechts een klein deel trekt hem langs de plank naar beneden.

Dat dit werkelijk zoo is, kan men door een proef gemakkelijk vaststellen.

[Illustratie]

Op een schuine plank, die een glad hellend vlak vormt, staat een zeer lichtloopend wagentje, dat vastzit aan een touw, dat boven aan de plank over een rolletje loopt en een gewicht (of een schaal met gewichtjes) draagt. Is dit gewicht klein, dan rolt het wagentje naar beneden en trekt het gewichtje op; is daarentegen het gewicht groot, dan trekt het den wagen naar boven; blijft alles in rust, dan trekken gewichtje en wagentje even sterk aan het touw, ze houden elkaar in evenwicht, en de grootte van het gewichtje geeft aan, met welke kracht het wagentje door zijn eigen gewicht naar beneden getrokken wordt. Wij zien dan -- wat iedereen trouwens wel weet -- dat die kracht des te grooter is, naarmate de plank schuiner staat. De proeven wijzen uit, dat de kracht -- dus het gewichtje, dat den wagen in rust houdt -- tot het geheele gewicht van het wagentje staat, als de hoogte C B van de schuine plank staat tot haar lengte C A. Weegt het wagentje een pond, is de plank 2 meter lang en staat het eene eind 4 cM. (1/50 van 2 meter) hooger dan het andere, dan is de kracht, die den wagen langs de plank naar beneden trekt, slechts 1/50 pond.

Men kan dus de kracht, die het wagentje (of een knikker) aan 't rollen brengt, zoo klein maken als men wil, door de plank meer of minder scheef te stellen. En dan gaat alles zooveel langzamer, dat men het op zijn gemak kan waarnemen en meten -- dit was ook de reden, waarom Galilei het hellend vlak gebruikte. Wij stellen dus de plank van 2 M. lengte zóó, dat het eene eind 4 cM. hooger dan het andere staat, en laten daar een knikker af rollen. Wij laten den knikker los, precies op het oogenblik dat de klok tikt, en zien dan waar hij bij elken volgenden tik gekomen is. Het blijkt dan, dat de knikker in de eerste sekonde 10 centimeter doorloopt, in de tweede sekonde 30, in de derde 50, in de vierde sekonde 70 centimeter. Zoo vinden wij de door Galilei ontdekte wet: _beweegt zich een voorwerp door zijn zwaarte naar beneden, dan legt het in opvolgende gelijke tijdsruimten afstanden af, die zich verhouden als de op elkaar volgende oneven getallen_. De snelheid neemt daarbij regelmatig toe; midden in elk van deze tijdsruimten komt ze met het gemiddelde van de geheele tijdruimtes overeen: dus 1/2, 1 1/2, 2 1/2, 3 1/2 sekonde na het loslaten klimt de snelheid als de getallen 1, 3, 5, 7 enz. Midden daartusschen in, bij het begin en einde van elke sekonde, ligt de snelheid daar juist tusschen; dus 1, 2, 3, 4 sekonden na het loslaten heeft zij de waarden 2, 4, 6, 8 bereikt. In de eerste sekonde is de snelheid van 0 tot 2 toegenomen (gemiddeld 1); in de tweede sekonde van 2 tot 4 (gemiddeld 3); in de derde sekonde van 4 tot 6 (gemiddeld 5). In _iedere sekonde vergroot de kracht, die het voorwerp naar beneden trekt, de snelheid met eenzelfde bedrag_. Wij kunnen het karakter van deze beweging nog anders uitdrukken, door nl. naar den geheelen afgelegden weg te vragen. In de eerste sekonde is een weg 1 afgelegd, in de 2de sekonde komt er 3 bij, maakt samen 4; na 3 sekonden is de weg 4 + 5 == 9; na 4 sekonden 9 + 7 == 16. Deze getallen zijn juist de tweede machten van 1, 2, 3 en 4. Dat is geen toeval; want wanneer wij alle tweede machten naast elkaar schrijven: 0 1 4 9 16 25 36 49, dan zien wij, dat hun verschillen 1 3 5 7 9 11 13 juist de reeks der oneven getallen vormen. _De afgelegde weg neemt dus met de tweede macht van den tijdsduur der beweging toe_.

Wat verandert er nu bij onze proef, wanneer wij de plank schuiner stellen? De wet van Galilei blijft nog altijd gelden, maar de snelheden en de afgelegde afstanden worden des te grooter, naarmate de plank sterker helt en dus de kracht, die den knikker naar beneden trekt, grooter is. Wordt de hooge kant tweemaal zooveel, dus 8 cM. hooger dan de lage kant gesteld, dan legt de knikker in de eerste sekonde 20, in de tweede 60 cM. af, dus tweemaal zooveel als bij de eerste proef. Stellen we de plank aan den hoogen kant 40 cM. hoog, dus 10 maal zooveel als bij de eerste proef, dan zijn alle snelheden ook 10 maal zoo groot: in de eerste sekonde wordt dan 1 Meter doorloopen. In dit geval is de kracht, die den knikker naar beneden doet rollen, 1/5 van zijn geheele zwaarte (want 40 cM. is 1/5 van 2 M.). Wij mogen aannemen, dat dit alles precies zoo blijft gelden, wanneer wij de plank steeds steiler en ten slotte zuiver loodrecht stellen, zoodat de knikker dan heelemaal niet meer rolt, maar vrij naar beneden valt. Dan moet de afstand, dien hij in de eerste sekonde valt, 5 maal zoo groot zijn als bij de laatste en 50 maal zoo groot als bij de eerste proef, dus 5 meter. Dat dit werkelijk uitkomt, kan door een proef gemakkelijk bevestigd worden. Laat men een steen van een hoogte van 1 + 3 + 5 maal 5 meter, dus van 45 meter vallen, dan komt hij juist in 3 sekonden beneden. Nauwkeurige metingen hebben voor de valhoogte in de eerste sekonde het bedrag van 490 cM. opgeleverd.

Zulk een beweging, waarbij de snelheid regelmatig grooter wordt, heet een _gelijkmatig versnelde beweging_. Was er geen kracht, die het voorwerp naar beneden trok, en was dit, zonder inwerking van buiten, geheel aan zichzelf overgelaten, dan zou het, zooals wij vroeger vonden, steeds dezelfde snelheid behouden. De versnelling van zijn beweging is een gevolg van de kracht, die het omlaag trekt en zijn snelheid vergroot. Is deze kracht het gewicht van het voorwerp zelf, valt het dus vrij naar beneden, dan neemt de snelheid elke sekonde 2 x 5 meter toe:_de versnelling bij het vrije vallen bedraagt 10 meter_ (nauwkeuriger 981 cM). Rolt het voorwerp langs een schuin vlak naar beneden, dan is de versnelling in dezelfde mate kleiner als de kracht, die er de oorzaak van is.

Zoo hebben wij de wet vastgesteld, die het vallen der voorwerpen beheerscht. Maar heelemaal in orde is dit toch nog niet. Wij hebben hier van het vallen der dingen in 't algemeen gesproken, alsof dat bij alle lichamen precies hetzelfde is. Uit onze dagelijksche ervaring weten wij echter, dat dit niet uitkomt; een donsveertje blijft zweven, een dun blaadje papier daalt langzaam, terwijl zware steenen veel sneller vallen. In de natuurleer van Aristoteles waren deze feiten in de stelling samengevat, dat de dingen des te sneller vallen, naarmate ze zwaarder zijn. Tot in de 16de eeuw gold deze stelling als onaantastbare waarheid, totdat Galilei haar onjuistheid aantoonde. Wanneer wij zulk een donsveertje of een blaadje zijpapier tot een balletje samenkneden, vallen ze even snel als een steentje; en toch zijn ze niets zwaarder geworden. Letten wij er echter op, hoe een dun papier valt, al heen en weer zwaaiend, dan wordt het dadelijk duidelijk, dat het de weerstand van de lucht is, die zijn val tegenhoudt en verlangzaamt; wordt het tot een balletje samengeperst, dan heeft de lucht er niet meer zooveel vat op en kan het niet meer zoo tegenhouden. _Door den weerstand van de lucht vallen lichte voorwerpen, die haar een grooter oppervlak bieden, slechts langzaam naar beneden_. Was er geen lucht, dan zouden alle dingen, licht of zwaar, even snel vallen. Dat dit werkelijk zoo is, kon een halve eeuw na Galilei, nadat de luchtpomp uitgevonden was, door een proef bevestigd worden. Doet men in een lange, wijde buis een veertje en een stukje lood, en pompt men dan de buis luchtledig, dan blijkt, wanneer men de buis omkeert, tegen alle gewone ervaring, dat het veertje even snel naar beneden valt als het stukje lood. _De boven afgeleide valwetten van Galilei gelden dus inderdaad voor alle voorwerpen, maar alleen in een ruimte zonder lucht_. In de lucht wordt de beweging door haar weerstand gewijzigd. Bij zware voorwerpen bemerken wij weliswaar op het eerste gezicht niets van dien weerstand; maar daar treedt hij toch ook op, wanneer zij uit groote hoogte, dus met groote snelheid naar beneden storten. Dan groeit de weerstand van de lucht zoo geweldig, dat hij op 't laatst de zwaartekracht evenaart; dan neemt de snelheid verder niet meer toe. _Ieder ding, dat in de lucht valt, verkrijgt ten laatste een eindsnelheid, die des te grooter is, naarmate het lichaam zwaarder is met betrekking tot het oppervlak, waarop de luchtweerstand werkt_. Bij een veertje is die eindsnelheid zoo klein, dat wij het eerste aangroeien van de beweging niet eens bemerken. Waterdruppels bereiken die eindsnelheid slechts, wanneer ze uit de hooge wolken naar beneden vallen, en ieder weet, dat fijne motregen langzamer valt dan groote droppen. De nog zwaardere en grootere hagelkorrels vernielen door hun geweldige vaart het koren en slaan door glasruiten heen; was er echter geen weerstandbiedende lucht, dan zouden zij, en trouwens de regendruppels ook, nog veel vernielender op de planten neerkomen.

Tot nog toe hebben wij alleen over de valbeweging gesproken. Maar de meeste bewegingen, die wij in onze omgeving opmerken, zijn veel minder eenvoudig. Wanneer wij met een steen gooien, zien wij, dat hij eerst in de richting voortvliegt, waarin de hand hem voortslingerde; dan echter krijgt de zwaarte steeds meer macht over hem, en in een wijden boog valt hij op den grond neer. Staan wij aan den rand van een diep dal, dan valt hij daarin steeds sneller en op 't laatst nagenoeg loodrecht naar beneden. Aristoteles heeft in zijn natuurleer voor deze verschijnselen een bijzonder eenvoudige en voor de hand liggende verklaring gegeven. Alle dingen hebben daarin, zooals wij ons herinneren, hun "natuurlijke" beweging, die ze naar de plaats brengt, waar ze behooren; voor zware lichamen is deze natuurlijke beweging recht naar beneden, naar 't middelpunt der aarde gericht, Worden ze nu door vreemde inwerkingen "gewelddadig" in een andere richting bewogen, geworpen of geschoten, dan moeten ze eerst wel aan dezen impuls gehoorzamen; langzamerhand echter wordt die kracht uitgeput en de natuurlijke beweging treedt meer en meer in haar plaats. Deze voorstellingswijze past zoo voortreffelijk bij wat de ervaring ons leert, dat het groote moeite heeft gekost haar door iets beters te vervangen. Eerst door zeer nauwkeurig waar te nemen wat bij zulke bewegingen gebeurt, kon haar onjuistheid blijken.

Wij leggen een knikker op tafel en geven hem een flinken stoot. Zoolang de tafel hem draagt, rolt hij, afgezien van eenige vertraging door de wrijving, met gelijkmatige snelheid horizontaal voort. Bereikt hij dan den rand van de tafel, dan vliegt hij in een boog verder, steeds steiler naar beneden, tot hij op den grond valt. Begint daarbij eerst na eenigen tijd zijn "natuurlijke" valbeweging? Neen; zoodra hij over den rand is en niet meer door de tafel gedragen wordt, begint hij te vallen; maar natuurlijk, evenals al het vallen, eerst heel langzaam en dan steeds sneller. _De natuurlijke valbeweging treedt niet langzamerhand eerst op, maar vindt plaats van het eerste oogenblik af, dat hij niet meer ondersteund wordt_, juist zooals wanneer hij van den tafelrand recht naar beneden valt. Doordat de valbeweging steeds sneller wordt, wordt de richting der beweging aldoor steiler; maar volkomen loodrecht wordt ze niet; de knikker komt onder het vallen steeds verder van de tafel af. _De beweging door den oorspronkelijken stoot wordt niet uitgeput, maar blijft voortbestaan_.

[Illustratie]

In de werkelijke beweging treedt niet de eene soort beweging, de "natuurlijke", langzamerhand in de plaats van de andere, die door uiterlijk geweld, b.v. door een stoot bewerkt wordt; beide zijn ze van 't begin af aan aanwezig, van het oogenblik af dat de knikker aan den rand gekomen is; beide blijven ze ook bestaan, en te zamen bewerken zij de werkelijke beweging. Deze beweging is een kombinatie van twee eenvoudige bewegingen, die ieder op zich zelf zóó plaats vinden, alsof de andere er niet was. Was de eerste beweging er alleen, zonder dat de knikker vallen kon -- b.v. wanneer de tafel grooter was geweest -- dan was hij na gelijke tusschentijden achtereenvolgens in a1, a2, a3, a4 gekomen. Was hij eenvoudig van den tafelrand naar beneden gevallen, zonder horizontale beweging, dan was hij na dezelfde tijdsruimten in b1, b2, b3, b4 gekomen. Doordat de knikker beide bewegingen tegelijk uitvoert, komt hij achtereenvolgens in c1, c2, c3, c4; de beweging, die horizontaal begon, wordt steeds sneller en steeds steiler, en zoo ontstaat de schijn, dat de eene beweging uitdooft en de andere er voor in de plaats komt.

Op die manier toonde Galilei aan (in een in 1638 verschenen werk vat hij al deze onderzoekingen samen) wat sindsdien als grondslag der mechanika geldt; _dat een lichaam als het ware twee (of meer) bewegingen tegelijk kan hebben, die elk haar eigen wet volgen en wier samenvoeging eerst de werkelijk beweging geeft_. Elke nog zoo ingewikkelde beweging kan volgens dit principe in de eenvoudige bewegingen, waaruit zij opgebouwd is, ontbonden en zoo verklaard worden.

Wanneer wij een steen recht omhoog gooien -- b.v. met een snelheid van 20 M. per sekonde -- dan begint hij dadelijk te vallen, en deze valbeweging vertraagt eerst de opstijgende beweging en doet haar vervolgens omkeeren. Door den eersten impuls alleen zou de snelheid zijn:

na 0 1 2 3 4 sekonden 20 20 20 20 20 M. omhoog; door het vallen daarentegen: 0 10 20 30 40 M. naar beneden; dus is de werkelijke snelheid: 20 10 M. omhoog 0 10 20 M. omlaag.

Na 2 sekonden is dus het hoogste punt bereikt en begint het dalen. De afgelegde weg zou zijn, door de eerste werpsnelheid alleen:

0 20 40 60 80 M.

naar boven; door de valbeweging alleen is hij:

0 5 20 45 80 M.

naar beneden; dus is de werkelijk afgelegde weg:

0 15 20 15 0 M.

naar boven. De steen is in 't geheel 20 meter hoog gekomen, en na 4 sekonden valt hij met dezelfde vaart, waarmee hij naar boven geslingerd werd, op de aarde terug.