Part 19

De middelaars, die Gods wil aan de menschen kenbaar maakten en alle gebeurtenissen op aarde begeleidden en verkondigden, waren de planeten. De komst van een planeet, die door haar stand bij iemands geboorte in een bepaalde betrekking tot hem stond, in bepaalde sterrebeelden of haar samentreffen met andere planeten en sterren bepaalde de gelukkige of noodlottige voorvallen in het leven van dien persoon. _Wilde men echter in staat zijn, deze voorvallen goed te voorspellen, dan moest men de toekomstige plaatsen der planeten nauwkeurig vooruit kunnen berekenen_. Hier had men dus een praktische behoefte van het grootste belang, om de beweging der planeten met de uiterste nauwkeurigheid te kennen.

Tot de velen, die zich vol ijver en toewijding met deze verheven wetenschap bezighielden, behoorde ook een Deensch edelman, _Tycho Brahe_. Als jonge man nam hij in 1563 waar, dat een konjunktie, een ontmoeting van de planeten Jupiter en Saturnus door de planetentafels vele dagen verkeerd opgegeven werd; astrologisch beteekende dit, dat de daarmee samenhangende gebeurtenis vele jaren verkeerd zou voorspeld zijn. Hij was overtuigd, dat de wetenschap van den samenhang tusschen de hemelsche en de aardsche verschijnselen zich nog in haar eerste, primitieve begin bevond. Om haar ooit tot zoo groote hoogte te brengen, dat zekere, betrouwbare voorspellingen mogelijk waren, was het volstrekt noodig, dat de bewegingen der planeten met de uiterste nauwkeurigheid bekend waren en berekend konden worden. Dit was alleen op grond van de ervaring mogelijk, door eerst nauwkeurig waar te nemen, hoe de planeten zich werkelijk aan den hemel bewegen. Zoo kwam Tycho er toe, zijn leven te wijden aan de taak, door zooveel en zoo nauwkeurig mogelijke waarnemingen van de planeten het materiaal bijeen te brengen, waarmee een goede planetentheorie op te bouwen was. "Daar Tycho," zoo schrijft Gassendi in zijn in 1654 verschenen "Leven van Tycho", "door de hoop, de toekomst te doorzien, tot deze studiën aangevuurd was, is het geen wonder, dat hij van zijn jeugd af aan de astrologie ijverig toegedaan was, en haar in een openbare redevoering aanbeval. Men mag zelfs beweren, dat dit geloof zoo vast in hem leefde, dat hij het nauwelijks of nooit heeft laten varen, tenzij misschien op het laatst van zijn leven. Want zoo dikwijls hij ook teleurgesteld werd en zag dat het niet uitkwam, zoo meende hij toch steeds dat de schuld hieraan lag, dat de tafels der hemelsche bewegingen niet de plaatsen van de planeten opgaven, die met den hemel overeenstemden. Daarom legde hij de astrologie op zij en besloot haar niet weer ter hand te nemen, voordat hij met behulp van nauwkeurige waarnemingen goede tafels zou hebben vervaardigd."

Van den koning van Denemarken kreeg hij het eiland Hveen in de Sont tot Zijne beschikking, met de noodige inkomsten om er een sterrewacht te bouwen. Hij verbeterde de ruwe meetwerktuigen van dien tijd en wist ze met zooveel bekwaamheid te gebruiken, dat in de door hem gemeten plaatsen der sterren en planeten geen grooter fouten dan hoogstens een paar minuten overbleven -- een nauwkeurigheid, die toen ongeloofelijk scheen en vóór de toepassing van de verrekijkers niet meer overtroffen is. Met een aantal leerlingen en helpers nam hij daar onafgebroken 16 jaren lang, van 1580 tot 1596, de zon, de maan, de sterren en de planeten waar. Daarbij werd datgene, wat voor hem eerst alleen maar middel geweest was, langzamerhand tot hoofddoel, terwijl het vroegere hoofddoel, de astrologie, op den achtergrond raakte. Zoo schreef hij in 1587 aan den kanselier van het Duitsche rijk, dat hij zich met de astrologie niet graag inliet, omdat daarop niet veel te bouwen was; maar dat hij in de astronomie, die den loop der sterren navorscht, orde tracht te brengen, want daarin is, met vlijt en arbeid en goede instrumenten, de waarheid wel te vinden. En inderdaad had hij een waarnemingsmateriaal bij elkaar gebracht, dat in hoeveelheid en hoedanigheid al het bestaande zooverre overtrof, dat het nu voor het allereerst mogelijk was geworden de werkelijke banen der planeten nauwkeurig te vinden. Tycho wilde dit werk aanvatten, toen hij zich na zijn vertrek uit Denemarken in Praag gevestigd had, waarheen hem Keizer Rudolf uitgenoodigd had, die zich in plaats van met staatszaken alleen met wetenschap bezighield. Maar hij stierf in 1600, vóór hij met deze taak goed en wel beginnen kon. Zij werd overgenomen door zijn assistent, den Wurtemberger _Johannes Kepler_, die ook zijn opvolger in het ambt van "Keizerlijk mathematicus" werd, en aan wien Tycho als erfenis de opdracht naliet, uit zijn waarnemingen de juiste banen en nauwkeurige tafels voor de planeten te berekenen.

Tycho had geen gelukkiger keus kunnen doen. Kepler bezat juist de beide eigenschappen, die voor dit werk noodig waren: hij bezat een rijke fantasie, die ook tusschen de meest verschillende verschijnselen en verwijderde gebieden samenhang en verband wist te raden, en hij bezat een onvermoeibare vlijt, die onverdroten de langdradigste berekeningen uitvoerde, om zijn vermoedens op de proef te stellen, en, als het bleek niet uit te komen, zonder spijt over de verloren moeite dadelijk een nieuwen weg probeerde. Om dit groote talent in het rekenen, dat uit zijn eerste geschrift bleek, had Tycho hem uitgenoodigd, als zijn helper voor het groote werk naar Praag te komen. In dit eerste geschrift sprak Kepler reeds het groote hooge doel uit, dat hem bij zijn arbeid voor oogen stond. Hij wilde vinden, naar welk plan en welke grondgedachte het planetenstelsel, de toenmalige wereld geschapen was. Zonder eenige reden of orde, gewoon maar toevallig, kon de bouw van deze wereld niet zijn. Waarom waren er juist zes planeten? Waarom stonden zij juist op deze en niet op andere afstanden van de zon? Welke wet beheerschte hun beweging? Dit te onderzoeken, als het ware Gods gedachten in Zijn werk na te speuren, dat was het groote levensdoel, dat hem ophief en sterk maakte in alle ongeluk en hem gedurende een leven vol zorgen, onder armoede en vervolgingen, kracht tot een reuzenwerk gaf. Dat was het trotsche gevoel, dat hem bezielde, toen hij in een van zijn werken, na de uiteenzetting van een door hem ontdekte belangrijke wet, schreef: "Ik heb mijn boek geschreven en het zal gelezen worden, nu of in latere tijden -- wat doet het er toe? Heeft God niet zesduizend jaar moeten wachten op dengene, die zijn werk doorgrond heeft?"

Kepler wist, dat hij dit doel alleen dan zou kunnen bereiken, wanneer hij het beste waarnemingsmateriaal kon gebruiken, dat te vinden was. Daarom werd hij door Tycho's waarnemingsschat aangetrokken en was diens uitnoodiging hem zoo welkom. Nu is wel is waar het meeste van wat hij uit zijn berekeningen afleidde later gebleken onhoudbare fantasie te zijn; daarom heeft men hem vaak voor een fantast gehouden, die maar bij toeval een paar gelukkige vondsten deed; en zijn tijdgenooten, die ook van deze vondsten de waarde niet kenden, moesten hem daarvoor nog veel meer houden. Maar men mag niet vergeten, dat hij alleen door alle richtingen te probeeren den weg kon vinden, waarop de wetenschap verder zou gaan. Wie naderhand op dit gebaande pad voortschrijdt, heeft dan meestal geen klaar besef, hoe moeilijk het eerste verkennen van het terrein was, en hoeveel vruchtelooze pogingen, illusies en teleurstellingen noodig waren, voordat de weg gevonden was, die ons nu zoo eenvoudig en vanzelfsprekend voorkomt. En wie Kepler bij zijn werk begeleidt, bemerkt dadelijk, dat hij in het geheel niet zonder plan er maar op los probeerde, doch op vaste, methodische en weloverlegde wijze op zijn doel afging. Zijn groote sterrekundige ontdekkingen zijn geen vruchten van het toeval; zij zijn de uitkomsten van een stelselmatig onderzoek, dat zekerheid bood het gestelde doel te bereiken.

[Illustratie]

Het principe, waarop zijn berekeningen berusten, is uiterst eenvoudig; het is hetzelfde beginsel, dat wij ook al bij de driehoeksmeting op aarde leerden kennen. De plaats en de afstand van een voor ons onbereikbaar voorwerp zijn te vinden, als men vanuit twee verschillende plaatsen, waarvan de afstand bekend is, de richting waarneemt, waarin het voorwerp zich vertoont. Kunnen wij op die manier ook de werkelijke plaats van een planeet in de wereldruimte leeren kennen? Op het eerste gezicht schijnt dat een onoplosbaar vraagstuk, omdat wij maar één standpunt hebben: de aarde, die wij niet kunnen verlaten. Maar dat is voor ons toch geen bezwaar. Want wij weten, dat de planeet zich om de zon beweegt en wij kennen voor elk tijdstip de richting, waarin zij zich van uit de zon vertoont; wij kennen die direkt uit de opposities, en wij weten, dat telkens na een omloop de planeet weer precies op dezelfde plaats terugkomt. In werkelijkheid hebben wij dus twee standpunten: de zon en de aarde. In den geest kunnen wij ons naar de zon verplaatsen, en wij zien de planeet dan regelmatig om ons rondloopen; wel weten wij niet hoever zij in elke richting van de zon af is, doch alleen, dat zij zich ergens op de van de zon uitgaande lijn Z P bevindt. Tegelijk bevinden wij ons echter lichamelijk op de aarde en zien van hieruit, als het ware van een zijpost uit, dat de planeet zich in de richting naar Q bevindt. Uit deze beide gegevens laat zich dan gemakkelijk berekenen, op welke plaats van de lijn Z P, op welken afstand van de zon en van de aarde de planeet zich in de ruimte bevindt. Natuurlijk is daarbij verondersteld, dat de afstand van de aarde tot de zon bekend is; wat men vindt is natuurlijk alleen de verhouding van de afstanden zon-planeet en zon-aarde.

Dit principe heeft Kepler toegepast, om uit de waarnemingen van Tycho de werkelijke banen der planeten en de wetten van hun beweging te vinden.

34. DE WETTEN VAN KEPLER.

Kepler begon zijn werk met een onderzoek van de beweging van Mars. Uit Tycho's waarnemingen leidde hij met groote nauwkeurigheid alle opposities van 1580 tot 1600 af, zoowel den tijd als de plaats aan den hemel; daaruit kon hij, op dezelfde wijze als wij boven gedaan hebben, de beweging van Mars gedurende den geheelen omloop afleiden, en zoo was hij in staat voor elk oogenblik de richting van de planeet, van uit de zon gezien, nauwkeurig te berekenen. Daarmee was de grondslag gelegd; door hiermee de plaatsen te vergelijken, waar Mars elk oogenblik van uit de aarde gezien was, kon hij zijn afstand tot de zon berekenen.

Nu deed zich hier een moeilijkheid voor; de als bekend veronderstelde maatstaf, de afstand van de aarde tot de zon, was zelf niet altijd gelijk en kon niet eenvoudig als bekend aangenomen worden. Maar deze moeilijkheid was op twee manieren te vermijden. Ten eerste kon Kepler een aantal waarnemingen opzoeken, die juist een vol aantal jaren uit elkaar lagen, waarbij de aarde zich dus telkens op dezelfde plaats van haar baan bevonden had (in A van de eerste figuur), terwijl Mars daarbij op verschillende plaatsen M1 M2 M3 M4 gestaan had; de afstanden van Mars tot de zon waren dan alle in dezelfde maat Z A uitgedrukt. Hij kon echter ook een aantal waarnemingen uitzoeken, die juist een vol aantal Marsomloopen uit elkaar lagen, waarbij dus Mars telkens op dezelfde plaats had gestaan (M in de tweede figuur), de aarde daarentegen op verschillende plaatsen A1 A2 A3 A4.

[Illustratie: Afstanden van Mars.]

[Illustratie: Afstanden van de aarde.]

De verhouding der afstanden, die door de berekening gevonden werd, leerde in dit geval hoeveel de afstanden van de zon naar A1 A2 A3 A4 onderling verschilden, uitgedrukt in een enkelen Marsafstand als vaste maat. Terwijl de eerste methode den vorm van de Marsbaan deed kennen, werd op deze tweede manier de gedaante van de aardbaan gevonden, die als grondslag voor alle verdere berekeningen kon dienst doen.

Kepler nam evenals al zijn voorgangers aan, dat de banen der planeten excentrische cirkels waren. Wat hij dus als gedaante der baan te bepalen had, was niets anders dan de grootte van de excentriciteit. Inderdaad bleek het hem, dat de gedaante van de aardbaan in niets van een cirkel verschilde, waarin de zon iets buiten het midden stond, en wel 1/60 van den straal; naar den eenen kant was de afstand van de aarde tot de zon 1/30 grooter dan naar den anderen kant. De plaats waar de aarde het dichtst bij de zon kwam, stemde ook precies overeen met de plaats, waar de snelheid van de zon aan den hemel het grootst is. Maar het bedrag der excentriciteit kwam niet uit; uit de wisselende snelheid van de zon aan den hemel volgde, zooals wij ook gevonden hebben, dat zij 1/30 buiten het middelpunt moet staan, terwijl Kepler nu slechts half zooveel, slechts 1/60 vond.

Bij Mars vertoonde zich hetzelfde verschil. Uit de grootste en de kleinste snelheid aan den hemel vond Kepler zeer nauwkeurig een bedrag voor de excentriciteit van 0,1856 -- wij vonden boven ook iets minder dan 1/5. Toen hij echter den grootsten en den kleinsten afstand van Mars tot de zon direkt uit zijn driehoeken berekende, vond hij voor den eersten 1,6678, voor den tweeden 1,3850 keer den straal van de aardbaan. De straal van de Marsbaan is het gemiddelde van deze getallen, dus 1,5264 keer den straal van de aardbaan, en de zon ligt het halve verschil van die beide getallen, dus 0,1414 keer den aardbaanstraal buiten het middelpunt. Dit is 0.1414/1.5264 == 0,0926 keer de straal van de Marsbaan; ook hier bij Mars zien wij, _dat de excentriciteit uit de driehoeksmeting slechts half zoo groot wordt gevonden als uit de wisselende snelheid aan den hemel_.

Nu kan er geen oogenblik twijfel bestaan, welke van die beide uitkomsten juist is. Het kleinere bedrag is uit direkte metingen en berekeningen gevonden, waarbij niets onzeker is; het grootere was afgeleid in de onderstelling, dat de werkelijke snelheid in de cirkelbaan steeds evengroot blijft. Bewijzen voor deze onderstelling hebben wij geen andere dan het geloof, dat een steeds gelijk blijvende snelheid tot de natuur van een cirkelbaan behoort. Het blijkt nu, dat dit geloof ongegrond en de onderstelling onjuist is: de werkelijke snelheid van een planeet in haar cirkelbaan is veranderlijk.

Dit was nu geen nieuwe ontdekking. Reeds in de oudheid was dit verschijnsel bij Mars, Jupiter en Saturnus opgemerkt, en Ptolemaeus had het in zijn planetentheorie reeds op een eigenaardige, vernuftige manier in rekening gebracht. Van uit het centraallichaam, de zon (bij hem natuurlijk de aarde) gezien, is de schijnbare snelheid van Mars aan den eenen kant 1/5 grooter, aan den anderen kant 1/5 kleiner dan de gemiddelde. Zoeken wij dus een plaats, van waaruit de snelheid zich beide malen evengroot vertoont, het "middelpunt van beweging," dan moet de zon aan den eenen kant 1/5 dichter bij Mars zijn dan dit punt, aan den anderen kant 1/5 verder af.

[Illustratie]

Vroeger meenden wij, dat dit punt het middelpunt van den planetencirkel was; nu is ons echter gebleken, dat de zon slechts 1/10 buiten het middelpunt van den cirkel ligt. Hoe is dit met elkaar te harmonieeren? Door het middelpunt van beweging aan den anderen kant buiten het cirkelmiddelpunt te plaatsen, tegenover de zon. Het middelpunt van den cirkel M ligt midden tusschen de zon Z en het middelpunt van beweging A; van uit A schijnt de planeet volkomen regelmatig rond te loopen, maar de baan is geen cirkel om A, doch om M. Op die manier worden de waarnemingen geheel verklaard. In a is de planeet 1/10 verder, in c 1/10 minder ver van A af: dus zal de weg a b 1/10 grooter, en de weg c d, dien de planeet in denzelfden tijd aflegt, 1/10 kleiner zijn dan de gemiddelde. De zon is nu nog bovendien 1/10 dichter bij a, en 1/10 verder van c af; een regelmatig loopende planeet zou dus in a 1/10 sneller, in c 1/10 langzamer schijnen. Daar in a echter de werkelijke snelheid al 1/10 grooter is, wordt de werking verdubbeld; de snellere beweging schijnt op den korteren afstand 1/5 grooter, de langzamere beweging op den grooteren afstand 1/5 kleiner dan gemiddeld.

Natuurlijk was de invoering van dit bijzondere "middelpunt van beweging," van waaruit de beweging van de planeet zich geheel regelmatig vertoont, slechts een formeel redmiddel om de oude grondstelling van de volkomen regelmatigheid der cirkelbewegingen in schijn te laten bestaan; in werkelijkheid was deze grondstelling daarmee opgeheven.

Kepler had nu bewezen, dat bij Mars met de grootste nauwkeurigheid de excentriciteit van de baan precies de helft van de uit de beweging berekende excentriciteit was; daar hij bovendien voor het eerst bij de aarde hetzelfde aantoonde, moest hij aannemen, dat dit voor alle planeten gold. Maar de vorm, waarin Ptolemaeus het verschijnsel uitgedrukt had, kon hem niet bevregen. Is de planeet dan een bezield wezen, dat zijn snelheid naar een denkbeeldig punt in de ruimte regelt?

[Illustratie: De wet der perken.]

Hoe kan een plaats in de ruimte, waar niets is, een plaats, die alleen in wiskundig verband met de wezenlijke punten Z en M staat, de beweging van de planeet beheerschen, en waarom moet die plaats juist dáár liggen? Veel natuurlijker is het, een verband te zoeken tusschen de wisselende snelheid van de planeet en het werkelijke lichaam van de zon; want de zon beheerscht toch den loop der planeten. En dan ligt het verband dadelijk voor de hand. In a is de snelheid van de planeet 1/10 grooter en tegelijk de afstand tot de zon 1/10 kleiner dan gemiddeld, en omgekeerd in c. De snelheden a b en c d verhouden zich als 11 tot 9; de afstanden tot de zon Z a en Z c als 9 tot 11. Dit verband kan zoo uitgedrukt worden, dat de driehoekige oppervlakken of perken Z a b en Z c d even groot zijn. Voor langere tijden voegen zich deze smalle driehoekige perken tot grootere sektoren samen. Zoo luidt dan de eerste door Kepler gevonden bewegingswet der planeten, de zoogenaamde _wet der perken: de planeten bewegen zich zoo, dat in gelijke tijdsruimten even groote sektoren of perken beschreven worden_.

Is het oppervlak 2 tweemaal zoo groot als het oppervlak 1, dan heeft de planeet voor den weg f g een tweemaal langeren tijd noodig dan voor den weg e f.

Nu kon Kepler zich aan het werk zetten om de proef op de som te maken. Hij had voor de excentriciteit en voor de richting, waarin de zon ten opzichte van het middelpunt staat, zoowel bij Mars als bij de aarde, de nauwkeurigste getallen afgeleid; ook had hij de helling en den stand van de Marsbaan ten opzichte van de ekliptika nauwkeurig berekend, waarover wij hier niets gezegd hebben, ofschoon zijn berekeningen daardoor veel moeilijker en bewerkelijker werden.

[Illustratie: JOHANNES KEPLER (1571-1630)]

Als hij nu met deze gegevens voor den een of anderen dag de plaats berekende, waar Mars zich, van uit de aarde gezien, bevinden moest, dan moest dit binnen de grenzen der mogelijke kleine waarnemingsfoutjes precies uitkomen met de plaats, waar Tycho op dien dag de planeet werkelijk had waargenomen. Daaruit moest de juistheid van zijn theorie blijken. Toen hij nu de proef uitvoerde, bleek het, dat ze niet geheel uitkwam. Wel waren de afwijkingen klein -- slechts een klein deel van een graad, dus zoo gering, dat vroeger geen sterrekundige daarop zou gelet hebben. Kepler wist echter, hoe nauwkeurig en betrouwbaar Tycho's waarnemingen waren; hij wist dat de gevonden afwijkingen te groot waren, om door fouten van Tycho verklaard te kunnen worden; de planeet had werkelijk op een andere plaats gestaan, dan hij volgens zijn theorie berekend had. Dus ging hij opnieuw aan het werk.

[Illustratie]

Lang heeft hij op de meest verschillende manieren beproefd, om achter het raadsel te komen. De afwijkingen traden vooral op, wanneer de planeet zich ergens halfweg tusschen haar grootsten en haar kleinsten afstand tot de zon bevond, dus zijdelings van de middellijn, waarop de zon stond. Hij berekende nu uit een aantal waarnemingen in die gedeelten van de baan direkt volgens de driehoeksmethode den afstand van de planeet tot de zon, en hij vond hem inderdaad iets kleiner dan hij tot nog toe had aangenomen. Het verschil was wel niet groot, slechts 1/230 van den straal; maar toch was er geen twijfel aan, dat de planeet zich daar niet op den aangenomen cirkel, doch iets _binnen dezen cirkel_ bevond. Was de baancirkel dan te groot aangenomen? Neen, want op den grootsten en kleinsten afstand tot de zon kwam het precies uit. Er was dus niet aan te twijfelen: _de baan van Mars is geen cirkel. De baan van Mars is zijdelings iets samengedrukt, in de richting naar de zon en van de zon af iets langwerpig_. Allerlei onderstellingen over de natuur van deze langwerpige figuur heeft Kepler op de proef gesteld, tot hij eindelijk vond, dat zij een ellips was.

Wat is een ellips? Ieder kent ze, zij het ook niet bij name, als den vorm van de schaduw van een cirkel. Houdt men een cirkelvormige schijf of ring precies dwars in de zonnestralen, dan is de schaduw op een papier, dat in dezelfde richting wordt gehouden, een cirkel. Houdt men den ring echter schuin, aldoor schuiner, dan ziet men, dat de schaduw in ééne richting steeds smaller wordt; zij wordt langwerpig. Deze figuren zijn allemaal ellipsen; zij komen in alle overgangen voor van een volkomen ronden cirkel, steeds smaller wordend, tot een lijn zonder breedte. Iedere cirkel vertoont zich, wanneer hij niet volkomen recht voor het oog wordt gehouden, in de gedaante van een ellips.

[Illustratie: Ellips.]

De eenvoudige en mooie eigenschappen van deze ellipsen waren reeds in de oudheid door een scherpzinnig wiskunstenaar, _Apollonius_ van Pergae, ontdekt. De langste en de kortste middellijn, die groote en kleine as genoemd worden, bepalen de gedaante van de ellips, die des te langwerpiger is, naarmate de assen meer verschillen. Op de groote as liggen ter weerszijden van het middelpunt twee merkwaardige punten, die de brandpunten heeten. Zij liggen van de eindpunten der kleine as zoover af, als de halve lengte van de groote bedraagt; in onze figuur, waar A en B de brandpunten zijn, zijn A C en B C beide even lang als M D. Hoe ronder de ellips is, des te dichter liggen de brandpunten bij elkaar; hoe langwerpiger de ellips, des te meer liggen de brandpunten in de spitse toppen; een cirkel zou men dus een ellips kunnen noemen, waarbij de beide brandpunten in het middelpunt samengevloeid zijn. De afstand van de brandpunten tot het middelpunt, de excentriciteit, bepaalt dus ook de gedaante van de ellips.

Deze brandpunten hebben nu de merkwaardige eigenschap, dat elk punt der ellips van beiden te zamen evenver verwijderd is -- zij spelen dus te zamen een rol, die het middelpunt in den cirkel speelt. De afstanden A E en B E zijn te zamen altijd evengroot, wáár ook het punt E ligt, dus gelijk aan A C + B C, of gelijk aan A D + B D, dus gelijk aan de groote as.

[Illustratie: Hoe men een ellips teekent.]

Deze eigenschap vindt een nuttige toepassing bij het teekenen van een ellips. In een papier steekt men twee spelden op de plaats van de brandpunten; men legt er een samengeknoopten draad omheen en gaat nu met een potlood zóó rond, dat het potlood dien draad aldoor gespannen houdt. Wie een beetje handig in meetkunde is, kan uit deze eigenschap gemakkelijk afleiden, dat de beide voerstralen A E en B E in het punt E met de richting van de ellipslijn zelf gelijke hoeken maken. Heeft men een spiegel in den vorm van een ellips gebogen, dan wordt een lichtstraal, die in de richting A E op den spiegel valt, in de richting E B teruggekaatst. Dit geldt voor elk punt van den spiegel; staat dus een lichtbron in A, dan worden alle stralen, die op den spiegel vallen, naar B gekaatst, waar zij zich als in een brandpunt verzamelen; vandaar de naam dezer punten.