# Philosophiae Naturalis Principia Mathematica

## Part 30

Book page: https://www.cyberlibrary.org/la/books/philosophiae-naturalis-principia-mathematica-28233/index.md

Diximus aream, quam Luna radio ad Terram ducto describit, esse tempori proportionalem, nisi quatenus motus Lunaris ab actione Solis turbatur. Inæqualitatem momenti (vel incrementi horarii) hic investigandam proponimus. Ut computatio facilior reddatur, fingamus orbem Lunæ circularem esse, & inæqualitates omnes negligamus, ea sola excepta, de qua hic agitur. Ob ingentem verò Solis distantiam ponamus etiam lineas QP, QS sibi invicem parallelas esse. Hoc pacto vis LM reducetur semper ad mediocrem suam quantitatem SP, ut & vis SM ad mediocrem suam quantitatem 3PK. Hæ vires, per Legum Corol. 2. componunt vim SL; & hæc vis, si in radium SP demittatur perpendiculum LE, resolvitur in vires SE, EL, quarum SE, agendo semper secundum radium SP, nec accelerat nec retardat descriptionem areæ QSP radio illo SP factam; & EL agendo secundum perpendiculum, accelerat vel retardat ipsam, quantum accelerat vel retardat Lunam. Acceleratio illa Lunæ, in transitu ipsius à Quadratura C ad conjunctionem A, singulis temporis momentis facta, est ut ipsa vis accelerans EL, hoc est ut 3PK × SK ÷ SP. Exponatur tempus per motum medium Lunarem, vel (quod eodem fere recidit) per angulum CSP, vel etiam per arcum CP. Ad CS erigatur Normalis CG ipsi CS æqualis. Et diviso arcu quadrantali AC in particulas innumeras æquales Pp &c. per quas æquales totidem particulæ temporis exponi possint, ductâque pk perpendiculari ad CS, jungatur SG ipsis KP, kp productis occurrens in F & f; & erit Kk ad PK ut Pp ad Sp, hoc est in data ratione, adeoque FK × Kk seu area FKkf ut 3PK × SK ÷ SP id est ut EL; & compositè, area tota GCKF ut summa omnium virium EL tempore toto CP impressarum in Lunam, atque adeò etiam ut velocitas hac summâ genita, id est, ut acceleratio descriptionis areæ CSP, seu incrementum momenti. Vis qua Luna circa Terram quiescentem ad distantiam SP, tempore suo periodico CADBC dierum 27. hor. 7. min. 43. revolvi posset, efficeret ut corpus, tempore CS cadendo, describeret longitudinem ½CS, & velocitatem simul acquireret æqualem velocitati, qua Luna in orbe suo movetur. Patet hoc per Schol. Prop. IV. Lib. I. Cum autem perpendiculum Kd in SP demissum sit ipsius EL pars tertia, & ipsius SP seu ML in octantibus pars dimidia, vis EL in Octantibus, ubi maxima est, superabit vim ML in ratione 3 ad 2, adeoque erit ad vim illam, qua Luna tempore suo periodico circa Terram quiescentem revolvi posset, ut 100 ad 2/3 × 17872½ seu 11915, & tempore CS velocitatem generare deberet quæ esset pars 100/11915 velocitatis Lunaris, tempore autem CPA velocitatem majorem generaret in ratione CA ad CS seu SP. Exponatur vis maxima EL in Octantibus per aream FK × Kk rectangulo ½SP × Pp æqualem. Et velocitas, quam vis maxima tempore quovis CP generare posset, erit ad velocitatem quam vis omnis minor EL eodem tempore generat ut rectangulum ½SP × CP ad aream KCGF: tempore autem toto CPA, velocitates genitæ erunt ad invicem ut rectangulum ½SP × CA & triangulum SCG, sive ut arcus quadrantalis CA ad radium SP. Ideoque (per Prop. IX. Lib. V. Elem.) velocitatis posterior, toto tempore genita, erit pars 100/11915 velocitatis Lunæ. Huic Lunæ velocitati, quæ areæ momento mediocri analoga est, addatur & auferatur dimidium velocitatis alterius; & si momentum mediocre exponatur per numerum 11915 summa 11915 + 50 seu 11965 exhibebit momentum maximum areæ in Syzygia A, ac differentia 11915 - 50 seu 11865 ejusdem momentum minimum in Quadraturis. Igitur areæ temporibus æqualibus in Syzygiis & Quadraturis descriptæ, sunt ad invicem ut 11965 ad 11865. Ad momentum minimum 11865 addatur momentum, quod sit ad momentorum differentiam 100 ut trapezium FKCG ad triangulum SCG (vel quod perinde est, ut quadratum Sinus PK ad quadratum Radii SP, id est ut Pd ad SP) & summa exhibebit momentum areæ, ubi Luna est in loco quovis intermedio P.

Hæc omnia ita se habent, ex Hypothesi quod Sol & Terra quiescunt, & Luna tempore Synodico dierum 27. hor. 7. min. 43. revolvitur. Cum autem periodus Synodica Lunaris verè sit dierum 29. hor. 12. & min. 44. augeri debent momentorum incrementa in ratione temporis. Hoc pacto incrementum totum, quod erat pars 100/11915 momenti mediocris, jam fiet ejusdem pars 100/11023. Ideoque momentum areæ in Quadratura Lunæ erit ad ejus momentum in Syzygia ut 11023 - 50 ad 11023 + 50, seu 10973 ad 11073, & ad ejus momentum, ubi Luna in alio quovis loco intermedio P versatur, ut 10973 ad 10973 + Pd, existente videlicet SP æquali 100.

Area igitur, quam Luna radio ad Terram ducto singulis temporis particulis æqualibus describit, est quam proximè ut summa numeri 219-46/100 & Sinus versi duplicatæ distantiæ Lunæ à Quadratura proxima, in circulo cujus radius est unitas. Hæc ita se habent ubi Variatio in Octantibus est magnitudinis mediocris. Sin Variatio ibi major sit vel minor, augeri debet vel minui Sinus ille versus in eadem ratione.

Prop. XXVII. Prob. VII.

_Ex motu horario Lunæ invenire ipsius distantiam à Terra._

Area, quam Luna radio ad Terram ducto, singulis temporis momentis, describit, est ut motus horarius Lunæ & quadratum distantiæ Lunæ à Terrâ conjunctim; & propterea distantia Lunæ à Terrâ est in ratione compositâ ex dimidiatâ ratione Areæ directè & dimidiatâ ratione motus horarii inversè. _Q. E. I._

_Corol. 1._ Hinc datur Lunæ diameter apparens: quippe quæ sit reciprocè ut ipsius distantia à Terra. Tentent Astronomi quàm probè hæc Regula cum Phænomenis congruat.

_Corol. 2._ Hinc etiam Orbis Lunaris accuratiùs ex Phænomenis quàm antehac definiri potest.

Prop. XXVIII. Prob. VIII.

_Invenire diametros Orbis in quo Luna absque excentricitate moveri deberet._

Curvatura Trajectoriæ, quam mobile, si secundum Trajectoriæ illius perpendiculum trahatur, describit, est ut attractio directè & quadratum velocitatis inversè. Curvaturas linearum pono esse inter se in ultima proportione Sinuum vel Tangentium angulorum contactuum ad radios æquales pertinentium, ubi radii illi in infinitum diminuuntur. Attractio autem Lunæ in Terram in Syzygiis est excessus gravitatis ipsius in Terram supra vim Solarem 2PK (Vide _Figur. pag. 434._) qua gravitas acceleratrix Lunæ in Solem superat gravitatem acceleratricem Terræ in Solem. In Quadraturis autem attractio illa est summa gravitatis Lunæ in Terram & vis Solaris KS, qua Luna in Terram trahitur. Et hæ attractiones, si {AS + CS} ÷ 2 dicatur N, sunt ut 178725 ÷ ASq. - 2000 ÷ {CS × N} & 178725 ÷ CSq. + 1000 ÷ {AS × N} quam proxime; seu ut 178725N in CSq. - 2000ASq. in CS, & 178725N in ASq. + 1000 CSq. × AS. Nam se gravitas acceleratrix Terræ in Solem exponatur per numerum 178725, vis mediocris ML, quæ in Quadraturis est PS vel SK & Lunam trahit in Terram, erit 1000, & vis mediocris SM in Syzygiis erit 3000; de qua, si vis mediocris ML subducatur, manebit vis 2000 qua Luna in Syzygiis distrahitur à Terra, quamque jam ante nominavi 2PK. Velocitas autem Lunæ in Syzygiis A & B est ad ipsius velocitatem in Quadraturis C & D ut CS, ad AS & momentum areæ quam Luna radio ad Terram ducto describit in Syzygiis ad momentum ejusdem areæ in Quadraturis conjunctim; id est ut 11073CS ad 10973AS. Sumatur hæc ratio bis inversè & ratio prior semel directè, & fiet Curvatura Orbis Lunaris in Syzygiis ad ejusdem Curvaturam in Quadraturis ut 120407 × 178725ASq. × CSq. × N - 120407 × 2000AS qq. × CS ad 122611 × 178725ASq. × CSq. × N + 122611 × 1000CS qq. × AS, id est ut 2151969AS × CS × N - 24081AS cub. ad 2191371AS × CS × N + 12261CS cub.

Quoniam figura orbis Lunaris ignoratur, hujus vice assumamus Ellipsin DBCA, in cujus centro S Terra collocetur, & cujus axis major DC Quadraturis, minor AB Syzygiis interjaceat. Cum autem planum Ellipseos hujus motu angulari circa Terram revolvatur, & Trajectoria, cujus Curvaturam consideramus, describi debet in plano quod motu omni angulari omnino destituitur: consideranda erit figura, quam Luna in Ellipsi illa revolvendo describit in hoc plano, hoc est Figura Cpa, cujus puncta singula p inveniuntur capiendo punctum quodvis P in Ellipsi, quod locum Lunæ representet, & ducendo Sp æqualem SP, ea lege ut angulus PSp æqualis sit motui apparenti Solis à tempore Quadraturæ C confecto; vel (quod eodem fere recidit) ut angulus CSp sit ad angulum CSP ut tempus revolutionis Synodicæ Lunaris ad tempus revolutionis Periodicæ seu 29 d. 12. h. 44', ad 27 d. 7 h. 43'. Capiatur igitur angulus CSa in eadem ratione ad angulum rectum CSA, & sit longitudo Sa æqualis longitudini SA; & erit a Apsis ima & C Apsis summa orbis hujus Cpa. Rationes autem ineundo invenio quod differentia inter curvaturam orbis Cpa in vertice a, & curvaturam circuli centro S intervallo SA descripti, sit ad differentiam inter curvaturam Ellipseos in vertice A & curvaturam ejusdem circuli, in duplicata ratione anguli CSP ad angulum CSp; & quod curvatura Ellipseos in A sit ad curvaturam circuli illius in duplicata ratione SA ad SC; & curvatura circuli illius ad curvaturam circuli centro S intervallo SC descripti ut SC ad SA; hujus autem curvatura ad curvaturam Ellipseos in C in duplicata ratione SA ad SC; & differentia inter curvaturam Ellipseos in vertice C & curvaturam circuli novissimi, ad differentiam inter curvaturam figuræ Spa in vertice C & curvaturam ejusdem circuli, in duplicata ratione anguli CSP ad angulum CSp. Quæ quidem rationes ex Sinubus angulorum contactus ac differentiarum angulorum facilè colliguntur. Collatis autem his rationibus inter se, prodit curvatura figuræ Cpa in a ad ipsius curvaturam in C, ut AS cub. + 16824/100000CSq. × AS ad CS cub. + 16824/100000ASq. × CS. Ubi numerus 16824/100000 designat differentiam quadratorum angulorum CSP & CSp applicatam ad Quadratum anguli minoris CSP, seu (quod perinde est) differentiam Quadratorum temporum 27 d. 7 h. 43', & 29 d. 12 h. 44', applicatam ad Quadratum temporis 27 d. 7 h. 43'.

Igitur cum a designet Syzygiam Lunæ, & C ipsius Quadraturam, proportio jam inventa eadem esse debet cum proportione curvaturæ Orbis Lunæ in Syzygiis ad ejusdem curvaturam in Quadraturis, quam supra invenimus. Proinde ut inveniatur proportio CS ad AS, duco extrema & media in se invicem. Et termini prodeuntes ad AS × CS applicati, fiunt 2062,79CS qq. - 2151969N × CS cub. + 368682N × AS × CSq. + 36342ASq. × CSq. - 362046N × ASq. × CS + 2191371N × AS cub. + 4051,4AS qq. = 0. Hic pro terminorum AS & CS semisummâ N scribo 1, & pro eorundem semidifferentia ponendo x, fit CS = 1 + x, & AS = 1 - x: quibus in æquatione scriptis, & æquatione prodeunte resolutâ, obtinetur x æqualis 0,0072036, & inde semidiameter CS fit 1,0072, & semidiameter AS 0,9928, qui numeri sunt ut 69-11/12 & 68-11/12 quam proximè. Est igitur distantia Lunæ à Terra in Syzygiis ad ipsius distantiam in Quadraturis (seposita scilicet excentricitatis consideratione) ut 68-11/12 ad 69-11/12, vel numeris rotundis ut 69 ad 70.

Prop. XXIX. Prob. IX.

_Invenire Variationem Lunæ._

Oritur hæc inæqualitas partim ex forma Elliptica orbis Lunaris, partim ex inæqualitate momentorum areæ, quam Luna radio ad Terram ducto describit. Si Luna P in Ellipsi DBCA circa Terram in centro Ellipseos quiescentem moveretur, & radio SP ad Terram ducto describeret aream CSP tempori proportionalem; esset autem Ellipseos semidiameter maxima CS ad semidiametrum minimam SA ut 69-11/12 ad 68-11/12: foret Tangens anguli CSP ad Tangentem anguli motus medii à quadratura C computati, ut Ellipseos semidiameter SA ad ejusdem semidiametrum SC seu 68-11/12 ad 69-11/12. Debet autem descriptio areæ CSP, in progressu Lunæ à Quadratura ad Syzygiam, ea ratione accelerari, ut ejus momentum in Syzygia Lunæ sit ad ejus momentum in Quadratura ut 11073 ad 10973, utq; excessus momenti in loco quovis intermedio P supra momentum in Quadratura sit ut quadratum Sinus anguli CSP. Id quod satis accuratè fiet, si tangens anguli CSP diminuatur in dimidiata ratione numeri 10973 ad numerum 11073, id est in ratione numeri 68-5958/10000 ad numerum 68-11/12. Quo pacto tangens anguli CSP jam erit ad tangentem motus medii ut 68-5958/10000 ad 69-11/12, & angulus CSP in Octantibus, ubi motus medius est 45 gr. invenietur 44 gr. 27'. 29": qui subductus de angulo motus medii 45 gr. relinquit Variationem 32'. 31". Hæc ita se haberent si Luna, pergendo à Quadratura ad Syzygiam, describeret angulum CSA graduum tantum nonaginta. Verum ob motum Terræ, quo Sol in antecedentia motu apparente transfertur, Luna, priusquam Solem assequitur, describit angulum CSa angulo recto majorem in ratione revolutionis Lunaris Synodicæ ad revolutionem periodicam, id est in ratione 29 d. 12 h. 44'. ad 27 d. 7 h. 43'. Et hoc pacto anguli omnes circa centrum S dilatantur in eadem ratione, & Variatio quæ secus esset 32'. 31". jam aucta in eadem ratione, fit 35'. 9". Hæc ab Astronomis constituitur 40', & ex recentioribus Observationibus 38'. _Halleius_ autem recentissimè deprehendit esse 38' in Octantibus versus oppositionem Solis, & 32' in Octantibus Solem versus. Unde mediocris ejus magnitudo erit 35': quæ cum magnitudine à nobis inventa 35'. 9" probe congruit. Magnitudinem enim mediocrem computavimus, neglectis differentiis, quæ à curvaturâ Orbis magni, majorique Solis actione in Lunam falcatam & novam quam in Gibbosam & plenam, oriri possint.

Prop. XXX. Prob. X.

_Invenire motum horarium Nodorum Lunæ in Orbe circulari._

Designet S Solem, T Terram, P Lunam, NPn Orbem Lunæ, Npn vestigium Orbis in plano Eclipticæ; N, n, Nodos, nTNm lineam Nodorum infinitè productam, PI, PK; perpendicula demissa in lineas ST, Qq; Pp perpendiculum demissum in planum Eclipticæ; Q, q Quadraturas Lunæ in plano Eclipticæ & pK perpendiculum in lineam Qq Quadraturis intrajacentem. Et vis Solis ad perturbandum motum Lunæ (per Prop. XXV.) duplex erit, altera lineæ 2IT vel 2Kp, altera lineæ PI proportionalis. Et Luna vi priore in Solem, posteriore in lineam ST trahitur. Componitur autem vis posterior PI ex viribus IT & PT, quarum PT agit secundum planum orbis Lunaris, & propterea situm plani nil mutat. Hæc igitur negligenda est. Vis autem IT cum vi 2IT componit vim totam 3IT, qua planum Orbis Lunaris perturbatur. Et hæc vis per Prop. XXV. est ad vim qua Luna in circulo circa Terram quiescentem tempore suo periodico revolvi posset, ut 3IT ad Radium circuli multiplicatum per numerum 178,725, sive ut IT ad Radium multiplicatum per 59,575. Cæterum in hoc calculo & eo omni qui sequitur, considero lineas omnes à Luna ad Solem ductas tanquam parallelas lineæ quæ à Terra ad Solem ducitur, propterea quod inclinatio tantum ferè minuit effectus omnes in aliquibus casibus, quantum auget in aliis; & Nodorum motus mediocres quærimus, neglectis istiusmodi minutiis, quæ calculum nimis impeditum redderent.

Designet jam PM arcum, quem Luna dato tempore quam minimo describit, & ML lineolam quam Luna, impellente vi præfata 3IT, eodem tempore describere posset. Jungantur PL, MP, & producantur eæ ad m & l, ubi secent planum Eclipticæ; inque Tm demittatur perpendiculum PH. Et quoniam ML parallela est ipsi ST, si ml parallela sit ipsi ML, erit ml in plano Eclipticæ, & contra. Ergo ml, cum sit in plano Eclipticæ, parallela erit ipsi ML, & similia erunt triangula LMP, Lmp. Jam cum MPm sit in plano Orbis, in quo Luna in loco P movebatur, incidet punctum m in lineam Nn per Orbis illius Nodos N, n, ductam. Et quoniam vis qua lineola LM generatur, si tota simul & semel in loco P impressa esset, efficeret ut Luna moveretur in arcu, cujus Chorda esset LP, atque adeò transferret Lunam de plano MPmT in planum LPlT; motus Nodorum à vi illa genitus æqualis erit angulo mTl. Est autem ml ad mP ut ML ad MP, adeoque cum MP ob datum tempus data sit, est ml ut rectangulum ML × mP, id est ut rectangulum IT × mP. Et angulus mTl, si modo angulus Tml rectus sit, est ut ml ÷ Tm, & propterea ut IT × Pm ÷ Tm id est (ob proportionales Tm & mP, TP & PH) ut IT × PH ÷ TP, adeoque ob datam TP, ut IT × PH. Quod si angulus Tml, seu STN obliquus sit, erit angulus mTl adhuc minor, in ratione Sinus anguli STN ad Radium. Est igitur velocitas Nodorum ut IT × PH & Sinus anguli STN conjunctim, sive ut contentum sub sinubus trium angulorum TPI, PTN & STN.

Si anguli illi, Nodis in Quadraturis & Luna in Syzygia existentibus, recti sint, lineola ml abibit in infinitum, & angulus mTl evadet angulo mPl æqualis. Hoc autem in casu, angulus mPl est ad angulum PTM, quem Luna eodem tempore motu suo apparente circa Terram describit ut 1 ad 59,575. Nam angulus mPl æqualis est angulo LPM, id est angulo deflexionis Lunæ à recto tramite, quam præfata vis Solaris 3IT dato illo tempore generare possit; & angulus PTM æqualis est angulo deflexionis Lunæ à recto tramite, quem vis illa, qua Luna in Orbe suo retinetur, eodem tempore generat. Et hæ vires, uti supra diximus, sunt ad invicem ut 1 ad 59,575. Ergo cum motus medius horarius Lunæ (respectu fixarum) sit 32'. 56". 27"'. 12^{iv}½, motus horarius Nodi in hoc casu erit 33". 10"'. 33^{iv}. 12^v. Aliis autem in casibus motus iste horarius erit ad 33". 10"'. 33^{iv}. 12^v. ut contentum sub sinibus angulorum trium TPI, PTN, & STN (seu distantiarum Lunæ à Quadratura, Lunæ à Nodo & Nodi à Sole) ad cubum Radii. Et quoties signum anguli alicujus de affirmativo in negativum, deque negativo in affirmativum mutatur, debebit motus regressivus in progressivum & progressivus in regressivum mutari. Unde fit ut Nodi progrediantur quoties Luna inter Quadraturam alterutram & Nodum Quadraturæ proximum versatur. Aliis in casibus regrediuntur, & per excessum regressus supra progressum, singulis mensibus feruntur in antecedentia.

_Corol. 1._ Hinc si a dati arcus quam minimi PM terminis P & M ad lineam Quadraturas jungentem Qq demittantur perpendicula PK, Mk, eademque producantur donec secent lineam Nodorum Nn in D & d; erit motus horarius Nodorum ut area MPDd & quadratum lineæ AZ conjunctim. Sunto enim PK, PH & AZ prædicti tres Sinus. Nempe PK Sinus distantiæ Lunæ à Quadratura, PH Sinus distantiæ Lunæ à Nodo, & AZ Sinus distantiæ Nodi à Sole: & erit velocitas Nodi ut contentum PK × PH × AZ. Est autem PT ad PK ut PM ad Kk, adeoque ob datas PT & PM est Kk ipsi PK proportionalis. Est & AT ad PD ut AZ ad PH, & propterea PH rectangulo PD × AZ proportionalis, & conjunctis rationibus, PK × PH est ut contentum Kk × PD × AZ, & PK × PH × AZ ut Kk × PD × AZ qu. id est ut area PDdM, & AZ qu. conjunctim. _Q. E. D._

_Corol. 2._ In data quavis Nodorum positione, motus horarius mediocris est semissis motus horarii in Syzygiis Lunæ, ideoque est ad 16". 35"'. 16^{iv}. 36^v. ut quadratum Sinus distantiæ Nodorum à Syzygiis ad quadratum Radii, sive ut AZ qu. ad AT qu. Nam si Luna uniformi cum motu perambulet semicirculum QAq, summa omnium arearum PDdM, quo tempore Luna pergit à Q ad M, erit area QMdE quæ ad circuli tangentem QE terminatur; & quo tempore Luna attingit punctum n, summa illa erit area tota EQAn quam linea PD describit; dein Luna pergente ab n ad q, linea PD cadet extra circulum, & aream nqe ad circuli tangentem qe terminatam describet; quæ, quoniam Nodi prius regrediebantur, jam verò progrediuntur, subduci debet de area priore, & cum æqualis sit areæ QEN, relinquet semicirculum NQAn. Igitur summa omnium arearum PDdM, quo tempore Luna semicirculum describit, est area semicirculi; & summa omnium quo tempore Luna circulum describit est area circuli totius. At area PDdM, ubi Luna versatur in Syzygiis, est rectangulum sub arcu PM & radio MT; & summa omnium huic æqualium arearum, quo tempore Luna circulum describit, est rectangulum sub circumferentia tota & radio circuli; & hoc rectangulum, cum sit æquale duobus circulis, duplo majus est quàm rectangulum prius. Proinde Nodi, eâ cum velocitate uniformiter continuatâ quam habent in Syzygiis Lunaribus, spatium duplo majus describerent quàm revera describunt; & propterea motus mediocris quocum, si uniformiter continuaretur, spatium à se inæquabili cum motu revera confectum describere possent, est semissis motus quem habent in Syzygiis Lunæ. Unde cum motus orarius maximus, si Nodi in Quadraturis versantur, sit 33". 10"'. 33^{iv}. 12^v, motus mediocris horarius in hoc casu erit 16". 35"'. 16^{iv}. 36^v. Et cum motus horarius Nodorum semper sit ut AZ qu. & area PDdM conjunctim, & propterea motus horarius Nodorum in Syzygiis Lunæ ut AZ qu. & area PDdM conjunctim, id est (ob datam aream PDdM in Syzygiis descriptam) ut AZ qu. erit etiam motus mediocris ut AZ qu. atque adeo hic motus, ubi Nodi extra Quadraturas versantur, erit ad 16". 35"'. 16^{iv}. 36^v. ut AZ qu. ad AT qu. _Q. E. D._

Prop. XXXI. Prob. XI.

_Invenire motum horarium Nodorum Lunæ in Orbe Elliptico._

Designet Qpmaq Ellipsim, axe majore Qq, minore ab descriptam, QAq circulum circumscriptum, T Terram in utriusque centro communi, S Solem, p Lunam in Ellipsi moventem, & pm arcum quem data temporis particula quam minima describit, N & n Nodos linea Nn junctos, pK & mk perpendicula in axem Qq demissa & hinc inde producta, donec occurrant circulo in P & M, & lineæ Nodorum in D & d. Et si Luna, radio ad Terram ducto, aream describat tempori proportionalem, erit motus Nodi in Ellipsi ut area pDdm.

Nam si PF tangat circulum in P, & producta occurrat TN in F, & pf tangat Ellipsin in p & producta occurrat eidem TN in f, conveniant autem hæ Tangentes in axe TQ ad Y; & si ML designet spatium quod Luna in circulo revolvens, interea dum describit arcum PM, urgente & impellente vi prædicta 3IT, motu transverso describere posset, & ml designet spatium quod Luna in Ellipsi revolvens eodem tempore, urgente etiam vi 3IT, describere posset; & producantur LP & lp donec occurrant plano Eclipticæ in G & g; & jungantur FG & fg, quarum FG producta secet pf, pg & TQ in c, e & R respectivè, & fg producta secet TQ in r: Quoniam vis 3IT seu 3PK in circulo est ad vim 3IT seu 3pK in Ellipsi, ut PK ad pK, seu AT ad aT; erit spatium ML vi priore genitum, ad spatium ml vi posteriore genitum, ut PK ad pK, id est ob similes figuras PYKp & FYRc, ut FR ad cR. Est autem ML ad FG (ob similia triangula PLM, PGF) ut PL ad PG, hoc est (ob parallelas Lk, PK, GR) ut pl ad pe, id est (ob similia triangula plm, cpe) ut lm ad ce; & inversè ut LM est ad lm, seu FR ad cR, ita est FG ad ce. Et propterea si fg esset ad ce ut fY ad cY, id est ut fr ad cR, (hoc est ut fr ad FR & FR ad cR conjunctim, id est ut fT ad FT & FG ad ce conjunctim,) quoniam ratio FG ad ce utrinque ablata relinquit rationes fg ad FG & fT ad FT, foret fg ad FG ut fT ad FT; propterea quod anguli, quos FG & fg subtenderent ad Terram T, æquarentur inter se. Sed anguli illi (per ea quæ in præcedente Propositione exposuimus) sunt motus Nodorum, quo tempore Luna in circulo arcum PM, in Ellipsi arcum pm percurrit: & propterea motus Nodorum in Circulo & Ellipsi æquarentur inter se. Hæc ita se haberent, si modo fg esset ad ce ut fY ad cY, id est si fg æqualis esset ce × fY ÷ cY. Verum ob similia triangula fgp, cep, est fg ad ce ut fp ad cp; ideoque fg æqualis est ce × fp ÷ cp, & propterea angulus, quem fg revera subtendit, est ad angulum priorem, quem FG subtendit, hoc est motus Nodorum in Ellipsi ad motum Nodorum in Circulo, ut hæc fg seu ce × fp ÷ cp ad priorem fg seu ce × fY ÷ cY, id est ut fp × cY ad cp × fY, seu fp ad fY & cY ad cp; hoc est, si pb ipsi TN parallela occurrat FP in b, ut Fb ad FY & FY ad FP; hoc est ut Fb ad FP seu Dp ad DP, adeoque ut area Dpmd ad aream DPMd. Et propterea, cum area posterior proportionalis sit motui Nodorum in Circulo, erit area prior proportionalis motui Nodorum in Ellipsi. _Q. E. D._