# Philosophiae Naturalis Principia Mathematica

## Part 18

Book page: https://www.cyberlibrary.org/la/books/philosophiae-naturalis-principia-mathematica-28233/index.md

_Corol. 1._ Hinc si AB æquetur quartæ parti ipsius AC, spatium ABRP, quod corpus tempore quovis ATD cadendo describit, erit ad spatium quod corpus semisse velocitatis maximæ AC, eodem tempore uniformiter progrediendo describere potest, ut area ABRP, qua spatium cadendo descriptum exponitur, ad aream ATD qua tempus exponitur. Nam cum sit AC ad AP ut AP ad AK, erit 2APQ æquale AC × KL (per Corol. 1. Lem. II. hujus) adeoq; KL ad PQ ut 2AP ad AC, & inde LKN ad PQ × ½AD seu DPQ ut 2AP × KN ad ½AC × AD. Sed erat DPQ ad DTV ut CK ad AC. Ergo ex æquo LKN est ad DTV ut 2AP × KN × CK ad ½AC cub.; id est, ob æquales CKN & ¼ACq., ut AP ad AC; hoc est ut velocitas corporis cadentis ad velocitatem maximam quam corpus cadendo potest acquirere. Cum igitur arearum ABKN & AVD momenta LKN & DTV sunt ut velocitates, erunt arearum illarum partes omnes simul genitæ ut spatia simul descripta, ideoq; areæ totæ ab initio genitæ ABKN & AVD ut spatia tota ab initio descensus descripta. Q. E. D.

_Corol. 2._ Idem consequitur etiam de spatio quod in ascensu describitur. Nimirum quod spatium illud omne sit ad spatium, uniformi cum velocitate AC eodem tempore descriptum, ut est area ABnk ad Sectorem ADt.

_Corol. 3._ Velocitas corporis tempore ATD cadentis est ad velocitatem, quam eodem tempore in spatio non resistente acquireret, ut triangulum APD ad Sectorem Hyperbolicum ATD. Nam velocitas in Medio non resistente foret ut tempus ATD, & in Medio resistente est ut AP, id est ut triangulum APD. Et velocitates illæ initio descensus æquantur inter se, perinde ut areæ illæ ATD, APD.

_Corol. 4._ Eodem argumento velocitas in ascensu est ad velocitatem, qua corpus eodem tempore in spatio non resistente omnem suum ascendendi motum amittere posset, ut triangulum ApD ad Sectorem circularem AtD, sive ut recta Ap ad arcum At.

_Corol. 5._ Est igitur tempus quo corpus in Medio resistente cadendo velocitatem AP acquirit, ad tempus quo velocitatem maximam AC in spatio non resistente cadendo acquirere posset, ut Sector ADT ad triangulum ADC: & tempus, quo velocitatem Ap in Medio resistente ascendendo possit amittere, ad tempus quo velocitatem eandem in spatio non resistente ascendendo posset amittere, ut arcus At ad ejus Tangentem Ap.

_Corol. 6._ Hinc ex dato tempore datur spatium ascensu vel descensu descriptum. Nam corporis in infinitum descendentis datur velocitas maxima, per Corol. 2. & 3. Theor. VI, Lib. II. indeq; datur & spatium quod semisse velocitatis illius dato tempore describi potest, & tempus quo corpus velocitatem illam in spatio non resistente cadendo posset acquirere. Et sumendo Sectorem ADT vel ADt ad triangulum ADC in ratione temporum; dabitur tum velocitas AP vel Ap, tum area ABKN vel ABkn, quæ est ad Sectorem ut spatium quæsitum ad spatium jam ante inventum.

_Corol. 7._ Et regrediendo, ex dato ascensus vel descensus spatio ABnk vel ABNK, dabitur tempus ADt vel ADT.

Prop. X. Prob. III.

_Tendat uniformis vis gravitatis directe ad planum Horizontis, sitq; resistentia ut medii densitas & quadratum velocitatis conjunctim: requiritur tum Medii densitas in locis singulis, quæ faciat ut corpus in data quavis linea curva moveatur, tum corporis velocitas in iisdem locis._

Sit AK planum illud plano Schematis perpendiculare; ACK linea curva; C corpus in ipsa motum; & FCf recta ipsam tangens in C. Fingatur autem corpus C nunc progredi ab A ad K per lineam illam ACK, nunc vero regredi per eandem lineam; & in progressu impediri a Medio, in regressu æque promoveri, sic ut in iisdem locis eadem semper sit corporis progredientis & regredientis velocitas. Æqualibus autem temporibus describat corpus progrediens arcum quam minimum CG, & corpus regrediens arcum Cg; & sint CH, Ch longitudines æquales rectilineæ, quas corpora de loco C exeuntia, his temporibus, absq; Medii & Gravitatis actionibus describerent: & a punctis C, G, g, ad planum horizontale AK demittantur perpendicula CB, GD, gd, quorum GD ac gd tangenti occurrant in F & f. Per Medii resistentiam fit ut corpus progrediens, vice longitudinis CH, describat solummodo longitudinem CF; & per vim gravitatis transfertur corpus de F in G: adeoq; lineola HF vi resistentiæ, & lineola FG vi gravitatis simul generantur. Proinde (per Lem. X. Lib. I.) lineola FG est ut vis gravitatis & quadratum temporis conjunctim, adeoq; (ob datam gravitatem) ut quadratum temporis; & lineola HF ut resistentia & quadratum temporis, hoc est ut resistentia & lineola FG. Et inde resistentia fit ut HF directe & FG inverse, sive ut HF ÷ FG. Hæc ita se habent in lineolis nascentibus. Nam in lineolis finitæ magnitudinis hæ rationes non sunt accuratæ.

Et simili argumento est fg ut quadratum temporis, adeoq; ob æqualia tempora æquatur ipsi FG; & impulsus quo corpus regrediens urgetur est ut hf ÷ fg. Sed impulsus corporis regredientis & resistentia progredientis ipso motus initio æquantur, adeoq; & ipsis proportionales hf ÷ fg & HF ÷ FG æquantur; & propterea ob æquales fg & FG, æquantur etiam hf & HF, suntq; adeo CF, CH (vel Ch) & Cf in progressione Arithmetica, & inde HF semidifferentia est ipsarum Cf & CF; & resistentia quæ supra fuit ut HF ÷ FG, est ut {Cf - CF} ÷ FG.

Est autem resistentia ut Medii densitas & quadratum velocitatis. Velocitas autem ut descripta longitudo CF directe & tempus [sqrt]FG inverse, hoc est ut CF ÷ [sqrt]FG, adeoq; quadratum velocitatis ut CFq. ÷ FG. Quare resistentia, ipsiq; proportionalis {Cf - CF} ÷ FG est ut Medii densitas & ut CFq. ÷ FG conjunctim; & inde Medii densitas ut {Cf - CF} ÷ FG directe & CFq. ÷ FG inverse, id est ut {Cf - CF} ÷ CFq. Q. E. I.

_Corol. 1._ Et hinc colligitur, quod si in Cf capiatur Ck æqualis CF, & ad planum horizontale AK demittatur perpendiculum ki, secans curvam ACK in l; fiet Medii densitas ut {FG - kl} ÷ {CF × {FG + kl}}. Erit enim fC ad kC ut [sqrt]fg seu [sqrt]FG ad [sqrt]kl, & divisim fk ad kC, id est Cf - CF ad CF ut [sqrt]FG - [sqrt]kl ad [sqrt]kl; hoc est (si ducatur terminus uterq; in [sqrt]FG + [sqrt]kl) ut FG - kl ad kl + [sqrt]FG × kl, sive ad FG + kl. Nam ratio prima nascentium kl + [sqrt]FG × kl & FG + kl est æqualitatis. Scribatur itaq; {FK - Kl} ÷ {FK + Kl} pro {Cf - CF} ÷ CF; & Medii densitas, quæ fuit ut {Cf - CF} ÷ CF quad. evadet ut {FG - kl} ÷ {CF × FG + kl}.

_Corol. 2._ Unde cum 2HF & Cf - CF æquentur, & FG & kl (ob rationem æqualitatis) componant 2FG; erit 2HF ad CF ut FG - kl ad 2FG; et inde HF ad FG, hoc est resistentia ad gravitatem, ut rectangulum CF in FG - kl ad 4FG quad.

_Corol. 3._ Et hinc si curva linea definiatur per relationem inter basem seu abscissam AB & ordinatim applicatam BC; (ut moris est) & valor ordinatim applicatæ resolvatur in seriem convergentem: Problema per primos seriei terminos expedite solvetur: ut in Exemplis sequentibus.

_Exempl. 1._ Sit Linea ACK semicirculus super diametro AK descriptus, & requiratur Medii densitas quæ faciat ut Projectile in hac linea moveatur.

Bisecetur semicirculi diameter AK in O; & dic OK n, OB a, BC e, & BD vel Bi o: & erit DGq. seu OGq. - ODq. æquale nn - aa - 2ao - oo seu ee - 2ao - oo; & radice per methodum nostram extracta, fiet DG = e - ao ÷ e - oo ÷ 2e - aaoo ÷ 2e^3 - ao^3 ÷ 2e^3 - a^3o^3 ÷ 2e^5 &c. Hic scribatur nn pro ee + aa & evadet DG = e - ao ÷ e - nnoo ÷ 2e^3 - anno^3 ÷ 2e^5 &c.

Hujusmodi Series distinguo in terminos successivos in hunc modum. Terminum primum appello in quo quantitas infinite parva o non extat; secundum in quo quantitas illa extat unius dimensionis; tertium in quo extat duarum, quartum in quo trium est, & sic in infinitum. Et primus terminus, qui hic est e, denotabit semper longitudinem ordinatæ BC insistentis ad indefinitæ quantitatis initium B; secundus terminus qui hic est ao ÷ e, denotabit differentiam inter BC & DF, id est lineolam IF, quæ abscinditur complendo parallelogrammum BC - ID, atq; adeo positionem Tangentis CF semper determinat: ut in hoc casu capiendo IF ad IC ut est ao ÷ e ad o seu a ad e. Terminus tertius, qui hic est nnoo ÷ 2e^3 designabit lineolam FG, quæ jacet inter Tangentem & Curvam, adeoq; determinat angulum contactus FCG, seu curvaturam quam curva linea habet in C. Si lineola illa FG finitæ est magnitudinis, designabitur per terminum tertium una cum subsequentibus in infinitum. At si lineola illa minuatur in infinitum, termini subsequentes evadent infinite minores tertio, ideoq; negligi possunt. Terminus quartus, qui hic est anno^3 ÷ 2e^5, exhibet variationem Curvaturæ; quintus variationem variationis, & sic deinceps. Unde obiter patet usus non contemnendus harum Serierum in solutione Problematum, quæ pendent a Tangentibus & curvatura Curvarum.

Præterea CF est latus quadratum ex CIq. & IFq. hoc est ex BDq. & quadrato termini secundi. Estq; FG + kl æqualis duplo termini tertii, & FG - kl æqualis duplo quarti. Nam valor ipsius DG convertitur in valorem ipsius il, & valor ipsius FG in valorem ipsius kl, scribendo Bi pro BD, seu -o pro +o. Proinde cum FG sit - nnoo ÷ 2e^3 - anno^3 ÷ 2e^5 &c. erit kl = - nnoo ÷ 2e^3 + anno^3 ÷ 2e^5, &c. Et horum summa est - nnoo ÷ e^3, differentia - anno^3 ÷ e^5. Terminum quintum & sequentes hic negligo, ut infinite minores quam qui in hoc Problemate considerandi veniant. Itaq; si designetur Series universaliter his terminis ± Qo - Roo - So^3 &c. erit CF æqualis [sqrt]{oo + QQoo}, FG + kl æqualis 2Roo, & FG - kl æqualis 2So^3. Pro CF, FG + kl & FG - kl scribantur hi earum valores, & Medii densitas quæ erat ut {FG - kl} ÷ {CF in FG + kl} jam fiet ut S ÷ {R [sqrt]{1 + QQ}}. Deducendo igitur Problema unumquodq; ad seriem convergentem, & hic pro Q, R & S scribendo terminos seriei ipsis respondentes; deinde etiam ponendo resistentiam Medii in loco quovis G esse ad Gravitatem ut S[sqrt]{1 + QQ} ad 2RR, & velocitatem esse illam ipsam quacum corpus, de loco C secundum rectam CF egrediens, in Parabola, diametrum CB & latus rectum {1 + QQ} ÷ R habente, deinceps moveri posset, solvetur Problema.

Sic in Problemate jam solvendo, si scribantur [sqrt]1 + aa ÷ ee seu n ÷ e pro [sqrt]{1 + QQ}, nn ÷ 2e^3 pro R, & ann ÷ 2e^3 pro S, prodibit Medii densitas ut a ÷ ne, hoc est (ob datam n) ut a ÷ e seu OB ÷ BC, id est ut Tangentis longitudo illa CT, quæ ad semidiametrum OL ipsi AK normaliter insistentem terminatur, & resistentia erit ad gravitatem ut a ad n, id est ut OB ad circuli semidiametrum OK, velocitas autem erit ut [sqrt]2BC. Igitur si corpus C certa cum velocitate, secundum lineam ipsi OK parallelam, exeat de loco L, & Medii densitas in singulis locis C sit ut longitudo tangentis CT, & resistentia etiam in loco aliquo C sit ad vim gravitatis ut OB ad OK; corpus illud describet circuli quadrantem LCK. Q. E. I.

At si corpus idem de loco A secundum lineam ipsi AK perpendicularem egrederetur, sumenda esset OB seu a ad contrarias partes centri O, & propterea signum ejus mutandum esset, & scribendum -a pro +a. Quo pacto prodiret Medii densitas ut -a ÷ e. Negativam autem densitatem (hoc est quæ motus corporum accelerat) Natura non admittit, & propterea naturaliter fieri non potest ut corpus ascendendo ab A describat circuli quadrantem AL. Ad hunc effectum deberet corpus a Medio impellente accelerari, non a resistente impediri.

_Exempl. 2._ Sit linea ALCK Parabola, axem habens OL horizonti AK perpendicularem, & requiratur Medii densitas quæ faciat ut projectile in ipsa moveatur.

Ex natura Parabolæ, rectangulum ADK æquale est rectangulo sub ordinata DG & recta aliqua data: hoc est, si dicantur recta illa b, AB a, AK c, BC e & BD o; rectangulum a + o in c - a - o seu ac - aa - 2ao + co - oo æquale est rectangulo b in DG, adeoq; DG æquale {ac - aa} ÷ b + {{c - 2a} ÷ b}o - oo ÷ b. Jam scribendus esset hujus seriei secundus terminus {{c - 2a} ÷ b} o pro Qo, & ejus coefficiens {c - 2a} ÷ b pro Q; tertius item terminus oo ÷ b pro Roo, & ejus coefficiens 1 ÷ b pro R. Cum vero plures non sint termini, debebit quarti termini So^3 coefficiens S evanescere, & propterea quantitas S ÷ R[sqrt]{1 + QQ} cui Medii densitas proportionalis est, nihil erit. Nulla igitur Medii densitate movebitur Projectile in Parabola, uti olim demonstravit _Galilæus_. Q. E. I.

_Exempl. 3._ Sit linea AGK Hyperbola, Asymptoton habens NX plano horizontali AK perpendicularem; & quæratur Medii densitas quæ faciat ut Projectile moveatur in hac linea.

Sit MX Asymptotos altera, ordinatim applicatæ DG productæ occurrens in V, & ex natura Hyperbolæ, rectangulum XV in VG dabitur. Datur autem ratio DN ad VX, & propterea datur etiam rectangulum DN in VG. Sit illud bb; & completo parallelogrammo DNXZ, dicatur BN a, BD o, NX c, & ratio data VZ ad ZX vel DN ponatur esse m ÷ n. Et erit DN æqualis a - o, VG æqualis bb ÷ {a - o}, VZ æqualis m ÷ n {a - o}, & GD seu NX - VZ - VG æqualis c - {m ÷ n}a + {m ÷ n}o - bb ÷ {a - o}. Resolvatur terminus bb ÷ {a - o} in seriem convergentem bb ÷ a + {bb ÷ aa}o + {bb ÷ a^3}oo + {bb ÷ a^4}o^3 etc. & fiet GD æqualis c - {m ÷ n}a - bb ÷ a + {m ÷ n}o - {bb ÷ aa}o - {bb ÷ a^3}o^2 - {bb ÷ a^4}o^3 &c. Hujus seriei terminus secundus {m ÷ n}o - {bb ÷ aa}o usurpandus est pro Qo, tertius cum signo mutato {bb ÷ a^3}o^2 pro Ro^2, & quartus cum signo etiam mutato {bb ÷ a^4}o^3 pro So^3, eorumq; coefficientes m ÷ n - bb ÷ aa, bb ÷ a^3 & bb ÷ a^4 scribendæ sunt, in Regula superiore, pro Q, R & S. Quo facto prodit medii densitas ut

bb --- a^4 1 ------------------------------ seu ------------------------------ --------------------- ------------------------- bb / mm 2mbb b^4 / mm 2mbb b^4 -- / 1 - -- - ---- + --- / aa + -- aa - ---- + ---- a^3\/ nn naa a^4 \/ nn n aa

est, si in VZ sumatur VY æqualis VG, ut 1 ÷ XY. Namq; aa & {mm ÷ nn}aa - 2mbb ÷ n + b^4 ÷ aa sunt ipsarum XZ & ZY quadrata. Resistentia autem invenitur in ratione ad Gravitatem quam habet XY ad YG, & velocitas ea est quacum corpus in Parabola pergeret verticem G diametrum DG & latus rectum YX quad. ÷ VG habente. Ponatur itaq; quod Medii densitates in locis singulis G sint reciproce ut distantiæ XY, quodq; resistentia in loco aliquo G sit ad gravitatem ut XY ad YG; & corpus de loco A justa cum velocitate emissum describet Hyperbolam illam AGK. Q. E. I.

_Exempl. 4._ Ponatur indefinite, quod linea AGK Hyperbola sit, centro X Asymptotis MX, NX, ea lege descripta, ut constructo rectangulo XZDN cujus latus ZD secet Hyperbolam in G & Asymptoton ejus in V, fuerit VG reciproce ut ipsius ZX vel DN dignitas aliqua ND^n, cujus index est numerus n: & quæratur Medii densitas, qua Projectile progrediatur in hac curva.

Pro DN, BD, NX scribantur A, O, C respective, sitq; VZ ad ZX vel DN ut d ad e, & VG æqualis bb ÷ DN^n, & erit DN æqualis A - O, VG = bb ÷ {A - O}^n, VZ = d ÷ e in A - O, & GD seu NX - VZ - VG æqualis C - {d ÷ e}A + {d ÷ e}O - bb ÷ {A - O}^n. Resolvatur terminus ille bb ÷ {A - O}^n in seriam infinitam

bb nbbO nn + n n^3 + 3nn + 2n ----- + ------- + -------- bbO^2 + -------------- bbO^3 &c. A^n A^{n+1} 2A^{n+2} 6A^{n+3}

ac fiet GD æqualis

d bb d nbb nn + n n^3 + 3nn + 2n C - -A - ----- + -O - -------O - --------bbO^2 - --------------bbO^3 &c. e A^n e A^{n+1} 2A^{n+2} 6A^{n+3}

Hujus seriei terminus secundus {d ÷ e}O - {nbb ÷ A^{n+1}}O usurpandus est pro Qo, tertius {{nn + n} ÷ 2A^{n+2}}bbO^2 pro Ro^2, quartus {{n^3 + 3nn + 2n} ÷ 6A^{n+3}}bbO^3 pro So^3. Et inde Medii densitas S ÷ {R × [sqrt]{1 + QQ}}, in loco quovis G, fit

n + 2 --------------------------------------- , -------------------------------- / dd 2dnbb nnb^4 3 / A^2 + -- A^2 - ------ A + ------ \/ ee eA^n A^{2n}

adeoq; si in VZ capiatur VY æqualis n × VG, est reciproce ut XY. Sunt enim A^2 & {dd ÷ ee}A^2 - 2dnbb ÷ eA^n in A + nnb^4 ÷ A^{2n} ipsarum XZ & ZY quadrata. Resistentia autem in eodem loco G fit ad Gravitatem ut S in XY ÷ A ad 2RR, id est XY ad {{3nn + 3n} ÷ {n + 2}}VG. Et velocitas ibidem ea ipsa est quacum corpus projectum in Parabola pergeret, verticem G, diametrum GD & Latus rectum {1 + QQ} ÷ R seu 2XY quad. ÷ {{nn + n} in VG} habente. _Q. E. I._

_Scholium._

Quoniam motus non fit in Parabola nisi in Medio non resistente, in Hyperbolis vero hic descriptis fit per resistentiam perpetuam; perspicuum est quod linea, quam Projectile in Medio uniformiter resistente describit, propius accedit ad Hyperbolas hasce quam ad Parabolam. Est utiq; linea illa Hyperbolici generis, sed quæ circa verticem magis distat ab Asymptotis; in partibus a vertice remotioribus propius ad ipsas accedit quam pro ratione Hyperbolarum quas hic descripsi. Tanta vero non est inter has & illam differentia, quin illius loco possint hæ in rebus practicis non incommode adhiberi. Et utiliores forsan futuræ sunt hæ, quam Hyperbola magis accurata & simul magis composita. Ipsæ vero in usum sic deducentur.

Compleatur parallelogrammum XYGT, & ex natura harum Hyperbolarum facile colligitur quod recta GT tangit Hyperbolam in G, ideoq; densitas Medii in G est reciproce ut tangens GT, & velocitas ibidem ut [sqrt]{GTq. ÷ GV}, resistentia autem ad vim gravitatis ut GT ad {{3nn + 3n} ÷ {n + 2}}GV.

Proinde si corpus de loco A secundum rectam AH projectum describat Hyperbolam AGK, & AH producta occurrat Asymptoto NX in H, actaq; AI occurrat alteri Asymptoto MX in I: erit Medii densitas in A reciproce ut AH, & corporis velocitas ut [sqrt]{AHq. ÷ AI}, ac resistentia ibidem ad Gravitatem ut AH ad {3nn + 3n} ÷ {n + 2} in AI. Unde prodeunt sequentes Regulæ.

_Reg. 1._ Si servetur Medii densitas in A & mutetur angulus NAH, manebunt longitudines AH, AI, HX. Ideoq; si longitudines illæ in aliquo casu inveniantur, Hyperbola deinceps ex dato quovis angulo NAH expedite determinari potest.

_Reg. 2._ Si servetur tum angulus NAH tum Medii densitas in A, & mutetur velocitas quacum corpus projicitur; servabitur longitudo AH, & mutabitur AI in duplicata ratione velocitatis reciproce.

_Reg. 3._ Si tam angulus NAH quam corporis velocitas in A, gravitasq; acceleratrix servetur, & proportio resistentiæ in A ad gravitatem motricem augeatur in ratione, quacunque: augebitur proportio AH ad AI eadem ratione, manente Parabolæ latere recto, eiq; proportionali longitudine AHq. ÷ AI; & propterea minuetur AH in eadem ratione, & AI minuetur in ratione illa duplicata. Augetur vero proportio resistentiæ ad pondus, ubi vel gravitas specifica sub æquali magnitudine fit minor, vel Medii densitas major, vel resistentia, ex magnitudine diminuta, diminuitur in minore ratione quam pondus.

_Reg. 4._ Quoniam densitas Medii prope verticem Hyperbolæ major est quam in loco A, ut servetur densitas mediocris, debet ratio minimæ tangentium GT ad Tangentem AH inveniri, & densitas in A, per Regulam tertiam, diminui in ratione paulo minore quam semisummæ Tangentium ad Tangentium AH.

_Reg. 5._ Si dantur longitudines AH, AI, & describenda sit figura AGK: produc HN ad X, ut sit HX æqualis facto sub n + 1 & AI; centroq; X & Asymptotis MX, NX per punctum A describatur Hyperbola, ea lege ut sit AI ad quamvis VG ut XV^n ad XI^n.

_Reg. 6._ Quo major est numerus n, eo magis accuratæ sunt hæ Hyperbolæ in ascensu corporis ab A, & minus accuratæ in ejus descensu ad G; & contra. Hyperbola Conica mediocrem rationem tenet, estq; cæteris simplicior. Igitur si Hyperbola sit hujus generis, & punctum K, ubi corpus projectum incidet in rectam quamvis AN per punctum A transeuntem, quæratur: occurrat producta AN Asymptotis MX, NX in M & N, & sumatur NK ipsi AM æqualis.

_Reg. 7._ Et hinc liquet methodus expedita determinandi hanc Hyperbolam ex Phænomenis. Projiciantur corpora duo similia & æqualia eadem velocitate, in angulis diversis HAK, hAk, incidentq; in planum Horizontis in K & k; & notetur proportio AK ad Ak. Sit ea d ad e. Tum erecto cujusvis longitudinis perpendiculo AI, assume utcunq; longitudinem AH vel Ah, & inde collige graphice longitudines AK, Ak, per Reg. 6. Si ratio AK ad Ak sit eadem cum ratione d ad e, longitudo AH recte assumpta fuit. Sin minus cape in recta infinita SM longitudinem SM æqualem assumptæ AH, & erige perpendiculum MN æquale rationum differentiæ AK ÷ Ak - d ÷ e ductæ in rectam quamvis datam. Simili methodo ex assumptis pluribus longitudinibus AH invenienda sunt plura puncta N: & tum demum si per omnia agatur Curva linea regularis NNXN, hæc abscindet SX quæsitæ longitudini AH æqualem. Ad usus Mechanicos sufficit longitudines AH, AI easdem in angulis omnibus HAK retinere. Sin figura ad inveniendam resistentiam Medij accuratius determinanda sit, corrigendæ sunt semper hæ longitudines per Regulam quartam.

_Reg. 8._ Inventis longitudinibus AH, HX; si jam desideretur positio rectæ AH, secundum quam Projectile data illa cum velocitate emissum incidit in punctum quodvis K: ad puncta A & K erigantur rectæ AC, KF horizonti perpendiculares, quarum AC deorsum tendat, & æquetur ipsi AI seu ½HX. Asymptotis AK, KF describatur Hyperbola, cujus Conjugata transeat per punctum C, centroq; A & intervallo AH describatur Circulus secans Hyperbolam illam in puncto H; & projectile secundum rectam AH emissum incidet in punctum K. _Q. E. I._ Nam punctum H, ob datam longitudinem AH, locatur alicubi in circulo descripto. Agatur CH occurrens ipsis AK & KF, illi in C, huic in F, & ob parallelas CH, MX & æquales AC, AI, erit AE æqualis AM, & propterea etiam æqualis KN. Sed CE est ad AE ut FH ad KN, & propterea CE & FH æquantur. Incidit ergo punctum H in Hyperbolam Asymptotis AK, KF descriptam, cujus conjugata transit per punctum C, atq; adeo reperitur in communi intersectione Hyperbolæ hujus & circuli descripti. _Q. E. D._ Notandum est autem quod hæc operatio perinde se habet, sive recta AKN horizonti parallela sit, sive ad horizontem in angulo quovis inclinata: quodq; ex duabus intersectionibus H, H duo prodeunt anguli NAH, NAH, quorum minor eligendus est; & quod in Praxi mechanica sufficit circulum semel describere, deinde regulam interminatam CH ita applicare ad punctum C, ut ejus pars FH, circulo & rectæ FK interjecta, æqualis sit ejus parti CE inter punctum C & rectam HK sitæ.

Quæ de Hyperbolis dicta sunt facile applicantur ad Parabolas. Nam si XAGK Parabolam designet quam recta XV tangat in vertice X, sintq; ordinatim applicatæ IA, VG ut quælibet abscissarum XI, XV dignitates XI^n, XV^n; agantur XT, TG, HA, quarum XT parallela sit VG, & TG, HA parabolam tangant in G & A: & corpus de loco quovis A, secundum rectam AH productam, justa cum velocitate projectum, describet hanc Parabolam, si modo densitas Medij, in locis singulis G, sit reciproce ut tangens GT. Velocitas autem in G ea erit quacum Projectile pergeret, in spatio non resistente, in Parabola Conica, verticem G, diametrum VG deorsum productam, & latus rectum [sqrt]{2TGq. ÷ {nn - n}XVG} habente. Et resistentia in G erit ad vim Gravitatis ut TG ad {{3nn - 3n} ÷ {n - 2}}VG. Vnde si NAK lineam horizontalem designet, & manente tum densitate Medij in A, tum velocitate quacum corpus projicitur, mutetur utcunq; angulus NAH; manebunt longitudines AH, AI, HX, & inde datur Parabolæ vertex X, & positio rectæ XI, & sumendo VG ad IA ut XV^n ad XI^n, dantur omnia Parabolæ puncta G, per quæ Projectile transibit.

* * * * *

SECT. III.

_De motu corporum quæ resistuntur partim in ratione velocitatis, partim in ejusdem ratione duplicata._

Prop. XI. Theor. VIII.

_Si corpus resistitur partim in ratione velocitatis, partim in velocitatis ratione duplicata, & sola vi insita in Medio similari movetur, sumantur autem tempora in progressione Arithmetica: quantitates velocitatibus reciproce proportionales, data quadam quantitate auctæ, erunt in progressione Geometrica._