Part 5

Extrait d'une Lettre adressée à M. F. KLEIN par M. P. APPELL.

M. P. APPELL considère une certaine fonction F(_x, y, z_) qui vérifie l'équation [Delta]F = 0 et qui admet un cercle pour ligne singulière.

M A, Bd. 30, 26 avr. 1887, S. 155-156.

=Analyse appliquée à l'Algèbre.=

=1.= _Sur les fractions continues périodiques._

A M P G, 62. Teil, 1878, S. 183-188.

Analyse par GÜNTHER: J F M, Bd. 10, J. 1878, S. 151-152.

=2.= _Sur les polynomes qui expriment la somme des puissances p^{ièmes} des n premiers nombres entiers._

N A M, 3e s., t. 6, juil. 1887, p. 312-321.

=3.= _Sur les valeurs approchées des polynomes de_ BERNOULLI.

M. P. APPELL, appliquant aux polynomes de BERNOULLI une méthode donnée par M. G. DARBOUX dans un Mémoire sur les fonctions de grands nombres (J L, 3e s., t. 4, 1878, p. 5, 377), donne l'expression approchée du polynome de BERNOULLI de rang _n_, pour _n_ très grand.

N A M, 3e s., t. 6, déc. 1887, p. 547-554.

=4.= _Sur une suite de polynomes ayant toutes leurs racines réelles._

A M P G, d. R., 1. Bd., 1901, 10 déc. 1900, S. 69-71.

ARTICLE.

=1.= _Sur les fonctions sphériques et autres analogues._

En commun avec M. ARMAND LAMBERT (exposé fait d'après l'Article en allemand de M. A. WANGERIN, avec des additions).

E S M E F, t. II, Art. 28 (_sous presse_).

SECTION III.

GÉOMÉTRIE.

_EXTRAIT DU_ RAPPORT LU PAR M. GASTON DARBOUX, EN DÉCERNANT A M. PAUL APPELL, AU NOM DE L'ACADÉMIE DES SCIENCES, LE PRIX BORDIN POUR SON «MÉMOIRE SUR LES DÉBLAIS ET LES REMBLAIS», LE 21 DÉCEMBRE 1885.

Dans la question proposée en 1884, comme sujet du prix BORDIN (Géométrie), l'Académie demandait aux concurrents, _soit l'étude générale du problème des déblais et des remblais, soit la solution dans un cas simple choisi par l'auteur du Mémoire_.

L'étude de ce beau problème remonte à MONGE qui, dans un Mémoire publié en 1781, où se trouvent développées d'une manière incidente la théorie des lignes de courbure et les propriétés des systèmes de rayons rectilignes, s'était posé la question générale suivante:

_Deux volumes équivalents étant donnés, les décomposer en parcelles infiniment petites et deux à deux équivalentes, se correspondant suivant une loi telle que, si l'on multiplie le chemin parcouru par chaque parcelle, transportée sur celle qui lui correspond, par le volume de cette parcelle, la somme des produits ainsi obtenus soit un minimum._

Dans le cas où les volumes peuvent être assimilés à des aires planes situées dans le même plan, MONGE résout complètement le problème en remarquant que les routes de transport, lorsqu'elles forment un système continu, doivent détacher dans le déblai et dans le remblai des aires égales. Dans le cas où les routes ne peuvent former un système continu, il présente quelques remarques, complétées depuis par DUPIN dans un Mémoire sur le même sujet, qui fait partie des _Applications d'Analyse, de Géométrie et de Méchanique_. Enfin MONGE, abordant le cas le plus difficile, celui où le déblai et le remblai sont des volumes, nécessairement équivalents, fait connaître la proposition suivante, qui est la pierre angulaire de cette théorie:

_Les routes de transport doivent servir chacune à une infinité de parcelles, et elles sont nécessairement normales à une famille de surfaces parallèles._

Mais il faut avouer que les raisonnements par lesquels MONGE est conduit à ce beau théorème n'entraînent, en aucune manière, l'adhésion; ce point essentiel, malgré l'étude nouvelle qui en a été faite par DUPIN, attendait encore une démonstration solide et appelait de nouvelles recherches.

La Commission espérait donc rencontrer, dans quelques-uns des Mémoires soumis à son examen, la preuve complète et l'étude générale du théorème de MONGE; elle désirait aussi, sans trop oser l'espérer à cause de la difficulté de la question, obtenir l'intégration complète, dans un cas suffisamment étendu, de l'équation aux dérivées partielles du second ordre, déjà formée par MONGE, qui sert à déterminer la surface normale à toutes les routes.

Le Mémoire inscrit sous le nº 5 répond d'une manière complète aux espérances aussi bien qu'aux voeux de la Commission. C'est un travail de haute valeur où sont employées, alternativement et avec le plus grand succès, les ressources de la Géométrie et les méthodes de l'Analyse moderne; il réalise un progrès considérable dans l'étude de la question mise au concours. Au début de son Mémoire, l'auteur s'élève de la considération d'un système de points isolés à celle des masses continues. Il énonce, sous le nom de _principe de translation_, _principe de symétrie_, etc., un certain nombre de propositions élégantes et simples, dont l'application rendra certainement de grands services dans la pratique. Nous signalerons plus particulièrement deux propositions faisant connaître deux systèmes différents de routes, d'une définition très générale et réalisant, l'un et l'autre, le _minimum absolu_ du prix de transport.

Dans la deuxième Partie de son travail, l'auteur du Mémoire nº 5, après avoir démontré que les routes forment un système continu ou se décomposent en plusieurs systèmes continus, applique la méthode des variations au problème de MONGE, et il établit le théorème fondamental, sans même supposer que la densité soit constante à l'intérieur du déblai ou du remblai. Enfin il examine le cas où les routes se partagent en plusieurs systèmes continus et il indique les moyens de déterminer les surfaces séparatrices, c'est-à-dire les surfaces auxquelles viennent aboutir les routes appartenant à deux systèmes différents et continus.

Dans le cas des aires planes, nous l'avons déjà rappelé, le problème de MONGE peut recevoir une solution complète où ne figurent que des quadratures. On devait se demander si, dans l'espace, l'équation aux dérivées partielles donnée par MONGE n'est pas, elle aussi, intégrable dans tous les cas et d'une manière générale. Les résultats obtenus par l'auteur du Mémoire donnent une réponse complète à cette question difficile. Dans le cas où, par exemple, les volumes se réduisent à des aires planes situées dans des plans parallèles, l'intégration de l'équation de MONGE est ramenée à celle des surfaces minima si les aires ont même densité, et à celle des surfaces à courbure constante si les densités sont différentes.

Ces exemples sont précieux, parce qu'ils prouvent qu'on doit renoncer à intégrer dans tous les cas l'équation du second ordre de MONGE; mais aussi parce qu'ils ont permis à l'auteur de signaler avec netteté les difficultés nouvelles et sérieuses qu'on rencontrera, même après avoir intégré cette équation.

Ces difficultés sont de la nature de celles qui se présentent dans la théorie des surfaces minima. Si l'on considère toutes les surfaces formant une nappe continue passant par une courbe fermée, le calcul des variations apprend que la surface d'aire minimum aura, en chaque point, ses rayons de courbure égaux et de signes contraires. L'équation aux dérivés partielles de cette surface une fois intégrée, la condition à laquelle elle est assujettie de passer par la courbe ne permet pas de déterminer complètement les deux fonctions arbitraires dont elle dépend. Il existe une infinité de surfaces minima contenant la courbe; mais ces surfaces ne satisfont pas toutes, on le sait, à la condition, supposée cependant par le calcul des variations, de former une nappe continue reliant les uns aux autres tous les points de la courbe. On ne peut déterminer les deux fonctions arbitraires qu'en employant des considérations tout à fait indépendantes de la méthode des variations, puisque la condition à laquelle il s'agit de satisfaire est supposée remplie au moment même où commence l'application de cette méthode. Le problème auquel on est ainsi conduit arrête aujourd'hui encore les efforts des géomètres et n'a pu être résolu que dans quelques cas particuliers.

La solution du problème de MONGE présente des difficultés analogues et peut-être plus grandes. Les fonctions arbitraires d'une variable, qui entrent dans les équations du système des routes, doivent être déterminées par la condition que les routes forment un système continu, permettant de transporter dans l'ensemble du remblai la totalité des parcelles qui composent le déblai. La condition, évidente _a priori_, que les routes limites soient tangentes à la fois à la surface du déblai et à celle du remblai ne fait connaître qu'une de ces deux fonctions et il n'existe, comme dans la théorie des surfaces minima, aucune règle fixe et précise conduisant à la solution complète de la question proposée. Des exemples bien choisis jettent beaucoup de lumière sur cette discussion délicate.

Les indications rapides qui précèdent suffiront à montrer toute l'importance des résultats obtenus par l'auteur du Mémoire nº 5....

La Commission propose de partager le prix Bordin entre les Mémoires nº 5 et nº 1 en attribuant _deux mille francs_ à l'auteur du Mémoire nº 5....

Les conclusions de ce Rapport sont adoptées.

L'auteur du Mémoire inscrit sous le nº 5 est M. P. APPELL.

C R, t. 101, 21 déc. 1885, p. 1312-1316.

MÉMOIRES. NOTES.

=Géométrie infinitésimale.=

=1.= _Sur les propriétés des cubiques gauches et le mouvement hélicoïdal d'un corps solide._

Thèse pour le grade de Docteur ès Sciences mathématiques, soutenue devant la Faculté des Sciences de Paris le 20 juin 1876.

M. P. APPELL établit les _propriétés des pôles et des plans polaires par rapport à une cubique gauche_. Et il étudie les deux problèmes suivants: 1º _Étant donné un mouvement hélicoïdal, déterminer les cubiques gauches correspondantes_; 2º _Étant donnée une cubique définie par certaines équations, déterminer le mouvement hélicoïdal correspondant._

A S E N, 2e s., t. 5, juil., août 1876, p. 245-274.

Paris, G.-V., 1876, in-4, IV-35 p.

Analyse: B S M, 2e s., t. 1, 1re p., août 1877, p. 257-259.

Analyse par STURM: J F M, Bd. 8, J. 1876, S. 510-512.

=2.= _Sur une propriété caractéristique des hélices._

A M P G, 64. Teil, 30 janv. 1879, S. 19-23.

=3.= _Mémoire sur les Déblais et les Remblais des systèmes continus ou discontinus._

Ce Mémoire, présenté par M. P. APPELL à l'Académie des Sciences pour le Concours du Prix BORDIN (Géométrie) pour 1884, a été couronné.

M S A S, t. 29, nº 3, 1887, p. 1-208.

Rapport de M. G. DARBOUX: C R, t. 101, 21 déc. 1885, p. 1312-1316.

Analyse par E. LAMPE: J F M, Bd. 20, J. 1888, S. 375-377.

=4.= _Surfaces telles que l'origine se projette sur chaque normale au milieu des centres de courbure principaux._

A J M, v. 10, 1888, p. 175-186.

Analyse par AUGUST: J F M, Bd. 19, J. 1887, S. 825-829.

=Géométrie analytique.=

=1.= _Note sur les cubiques gauches._

C R, t. 82, 3 janv. 1876, p. 70-72.

=2. 3.= _Sur une classe particulière de courbes gauches unicursales du quatrième ordre._

C R, t. 83, 18 déc. 1876, p. 1209-1211.

A M P G, 62. Teil, 1878, S. 175-182.

=4.= _Théorème général sur les courbes unicursales._

A M P G, 60. Teil, 1877, S. 125-127.

=5.= _Théorème concernant les courbes dont les tangentes font partie d'un complexe de droites du premier ordre._

A M P G, 60. Teil, 1877, S. 274-275.

=6.= _Sur l'homographie d'ordre supérieur._

B S P, 7e s., t. 4, 1879-1880, 25 oct. 1879, p. 18-20.

=7.= _Sur une représentation des points imaginaires en Géométrie plane._

A M P G, 61. Teil, 16 août 1877, S. 359-360.

=8.= _Sur les familles de courbes orthogonales uniquement composées de coniques._

A M P G, 63. Teil, 1879, 4 août 1878, S. 50-55.

Analyse par AUGUST: J F M, Bd. 11, J. 1879, S. 501-503.

=9.= _Sur les points d'intersection d'une conique fixe par une conique mobile passant par deux points fixes._

N A M, 3e s., t. 8, janv. 1889, p. 48-56.

=10.= _Sur les courbes dont les tangentes appartiennent à un complexe linéaire._

N A M, 3e s., t. 11, mars 1892, p. 115-119.

=11.= _Sur les courbes autopolaires par rapport à une conique donnée._

B S M F, t. 22, 7 fév. 1894, p. 27.

=12.= _Courbes autopolaires._

N A M, 3e s., t. 13, mai 1894, p. 206-210.

=13.= _Sur le degré de réalité d'une courbe algébrique à coefficients réels._

A M P G, d. R., 4. Bd., 1903, 19 juin 1902, S. 20-21.

=14.= _Sur les lignes asymptotiques de la surface représentée par l'équation_ XYZ = T³.

A M P G, 61. Teil, 21 mars 1877, S. 144-145.

=15.= _Sur les conditions qui expriment qu'un système de trois axes est trirectangle._

N A M, 3e s., t. 13, fév. 1894, p. 41-43.

=16.= _Exercices sur les courbes de direction._

LAGUERRE a appelé _courbes de direction_ les courbes algébriques

_f_(_x, y_) = 0,

telles que les cosinus directeurs de la tangente en un point puissent être exprimés _rationnellement_ en fonction de _x_ et de _y_.

N A M, 3e s., t. 15, nov. 1896, p. 491-495.

=17.= _Exercice sur la détermination du point double d'une cubique plane unicursale._

R M S, t. 4, 8e a., juin 1898, p. 505-506.

=18.= _Exercices sur la détermination des points doubles d'une quartique plane unicursale._

R M S, t. 4, 8e a., sept. 1898, p. 585-589.

=19.= _Sur le cylindroïde._

R M S, t. 3, 5e a., juin 1895, p. 129-130.

=20.= _Propriété caractéristique du cylindroïde._

Il existe un conoïde droit, signalé par PLÜCKER et par CAYLEY, nommé _cylindroïde_, jouissant de la propriété que le lieu des projections d'un point fixe quelconque sur ses génératrices est une courbe plane. M. P. APPELL démontre que, réciproquement, toute surface réglée non cylindrique possédant cette propriété est un cylindroïde.

B S M F, t. 28, 20 juin 1900, p. 261-265.

=21= à =32=. _Principales Notes dans l'Ouvrage intitulé_ «_Leçons de Géométrie analytique par_ C. BRIOT _et_ J.-C. BOUQUET».

Pages.

=142.= _Sur les fonctions des coefficients de l'équation d'une conique et de l'angle des axes qui ne changent pas quand on fait une transformation de coordonnées._ 159-163

=143.= _Application au calcul des axes d'une conique à centre, du paramètre d'une parabole._ 163-166

=306.= _Coordonnées tangentielles._ 319-321

=330.= _Coordonnées homogènes, points à l'infini._ 344-351

=331.= _Coordonnées trilinéaires._ 351-360

=332. 333.= _Intersection de deux coniques. Discussion de l'équation en_ [lambda] _par la méthode de_ M. DARBOUX. 364-383

_Signification géométrique de certaines relations simples entre les racines de l'équation en_ [lambda]. 374-382

=369= _bis_. _Remarques sur la construction des courbes. Régions._ 444-451

_Notions sur les courbes unicursales._ 492-501

=598.= _Courbes gauches du troisième ordre et du quatrième ordre._ 712-719

=599.= _Notions sur les complexes de droites._ 723-730

NOTA.--De nombreux exercices ont été ajoutés dans le texte, notamment à propos des coordonnées tangentielles, des coordonnées homogènes, de l'équation en [lambda], des courbes unicursales et des complexes.

Paris, C. D., 19e éd., 1907, gr. in-8.

ARTICLE.

=1.= _Le Problème des Déblais et des Remblais._

R O, t. 1, 28 fév. 1890, p. 97-99.

SECTION IV.

MÉCANIQUE RATIONNELLE ET PHYSIQUE MATHÉMATIQUE.

OUVRAGES.

=1.= COURS DE MÉCANIQUE RATIONNELLE,

Professé par M. P. APPELL à la Faculté des Sciences de Paris, rédigé par MM. ABRAHAM et DELASSUS.

Paris, Hn., 1888, in-4, lithographié, IV-436 p.

=2.= LEÇONS SUR L'ATTRACTION ET LA FONCTION POTENTIELLE,

Professés à la Sorbonne pendant l'année scolaire 1890-1891, rédigées par M. CHARLIAT.

Paris, G. C., 1892, gr. in-8, 63 p.

Analyse par LÉON AUTONNE: R O, t. 3, 30 juil. 1892, p. 521.

=3.= TRAITÉ DE MÉCANIQUE RATIONNELLE.

Cours de Mécanique de la Faculté des Sciences de Paris.

Tome I: _Statique. Dynamique du point._

Tome II: _Dynamique des systèmes. Mécanique analytique._

Tome III: _Équilibre et Mouvement des milieux continus._

L'origine de ce Traité est le Cours de Mécanique rationnelle professé par M. P. APPELL à la Faculté des Sciences de l'Université de Paris et d'abord lithographié (_voir_ nº =1=, p. 46). L'Auteur a été conduit naturellement à élargir le cadre d'un cours de licence pour y faire entrer toutes les parties de la Mécanique rationnelle qui doivent aujourd'hui être considérées comme classiques, avec les renseignements et les indications bibliographiques nécessaires à ceux qui désirent approfondir une question, en vue de recherches personnelles. Ce _Traité_ comprend trois Volumes.

Le _Premier Volume_ est consacré à la théorie des vecteurs, à la statique des systèmes dont la position dépend d'un nombre fini de paramètres, puis à l'équilibre des fils et des lignes élastiques, enfin à la dynamique du point. Dans la première édition, les principes de la Mécanique sont exposés sous une forme qui se rapproche de celle que BONNET avait adoptée dans ses _Leçons de Mécanique_ en vue de l'examen d'entrée à l'École Polytechnique. La deuxième édition présente des changements notables: d'abord, pour les Principes de la Mécanique, M. P. APPELL a adopté, dans ses grands traits, le mode d'exposition que M. BLONDLOT, professeur à l'Université de Nancy, a communiqué au Congrès de Philosophie tenu à Paris en 1900. Puis, en Statique, se trouvent ajoutées à la suite de l'équilibre des fils quelques pages sur l'équilibre de l'élastique plane. Dans l'établissement des équations générales d'équilibre déduites du théorème des travaux virtuels, il a introduit, d'après le physicien HERTZ, la distinction importante des systèmes en deux classes: les systèmes _holonomes_, pour lesquels toutes les liaisons peuvent être exprimées par des relations en _termes finis_ entre les coordonnées, et les systèmes _non holonomes_, comme le cerceau ou la bicyclette, pour lesquels certaines liaisons sont exprimées _par des relations différentielles non intégrables_. Ensuite, il a consacré un paragraphe entièrement nouveau à l'étude des conditions d'équilibre d'un système pour lequel certaines liaisons sont _unilatérales_; les systèmes de cette nature se présentent fréquemment en Mécanique rationnelle, par exemple, toutes les fois que des liaisons se trouvent réalisées à l'aide de fils; ils semblent se présenter également dans certains équilibres physico-chimiques. Enfin, la Dynamique analytique du point (équations de LAGRANGE, équations canoniques, théorème de JACOBI, applications mécaniques et géométriques) est exposée en détail, de façon à réunir en un même Volume tout ce qui se rapporte au point matériel. Dans la troisième édition, l'Auteur présente d'abord la théorie des vecteurs, sous une forme entièrement renouvelée, dont le point de départ est dans ce fait, que l'on rencontre dans les applications trois catégories de vecteurs. La première catégorie comprend des vecteurs qui sont définis en grandeur, direction et sens, mais dont le point d'application peut être pris arbitrairement dans l'espace, comme pour les vecteurs représentant des axes de couples appliqués à un solide: il appelle les vecteurs de cette catégorie _vecteurs non localisés_ (_unlocalised_, suivant l'expression employée par M. LOVE dans sa _Theoretical Mechanics_) ou encore _vecteurs libres_. Dans la deuxième catégorie figurent des vecteurs définis en grandeur, direction et sens, pouvant glisser arbitrairement sur la droite qui les porte: tels sont les vecteurs qui représentent des forces appliquées à un solide: il les nomme _vecteurs localisés sur une droite_ ou _vecteurs glissants_. Et, dans la troisième catégorie, figurent les vecteurs qui ont un point d'application déterminé, comme les vecteurs représentant les vitesses de points mobiles ou les forces d'un champ; ces vecteurs sont _localisés en un point_ ou _liés à leur point d'application_. En outre, il introduit la distinction, si importante en Physique, entre les vecteurs _axiaux_ et les vecteurs _polaires_. Comme exercice sur le mouvement d'un point, il a étudié les cas les plus simples du mouvement d'une particule électrisée, soumise à l'action d'un champ électrique et d'un champ magnétique superposés. Ce problème a conduit MM. HENRI POINCARÉ, CARL STÖRMER et M. FORTIN à des recherches mathématiques intéressantes, inspirées par les expériences de MM. BIRKELAND et VILLARD et par les idées de MM. BIRKELAND et ARRHÉNIUS sur l'origine des aurores polaires.

La première édition du _Deuxième Volume_ renferme, après la Dynamique analytique du point, les théorèmes généraux sur le mouvement des systèmes, avec de nombreuses applications, notamment au mouvement du corps solide. Les problèmes classiques, problème de POINSOT, problème de LAGRANGE et de POISSON se trouvent traités en détail, avec intégration par les fonctions elliptiques. Le problème de Mme KOWALESKY est exposé. Sont données ensuite les théories du frottement de glissement et du frottement de roulement. Les équations de LAGRANGE, les équations canoniques, le théorème de JACOBI sont exposés avec de nombreuses applications. Viennent enfin le théorème de POISSON, les invariants intégraux de M. H. POINCARÉ, les recherches analytiques de M. G. KOENIGS et, dans la théorie du mouvement relatif, l'exposé de la méthode mixte de GILBERT avec application au barogyroscope. La deuxième édition, allégée par la suppression de la Dynamique analytique du point (insérée dans le Ier Volume), contient les recherches de HERTZ sur les systèmes non holonomes; M. P. APPELL y joint un exposé de ses propres recherches sur une forme nouvelle des équations de la Mécanique, applicable à tous les systèmes, holonomes ou non, et fondée sur la considération de l'énergie d'accélération ½[Somme]_m_J^{2}. La théorie du frottement est complétée par l'exposé des recherches de M. PAUL PAINLEVÉ sur les contradictions qui peuvent se présenter, quand on veut appliquer rigoureusement les lois du frottement de glissement énoncées par COULOMB. La troisième édition du Deuxième Volume est sous presse.

Le _Troisième Volume_ se rapporte à la mécanique des systèmes continus: théorie de l'attraction, cinématique des milieux continus, hydrostatique, hydrodynamique, théorie des tourbillons, élasticité, viscosité. L'Auteur a présenté très simplement la théorie de l'équilibre des corps flottants, d'après une méthode dont on trouve les germes dans HUYGENS et qui a été développée par le commandant GUYOU. Il a exposé les méthodes de RIEMANN et de HUGONIOT pour la propagation des discontinuités dans les fluides, et la généralisation de ces méthodes par M. J. HADAMARD. Enfin, en élasticité, M. P. APPELL a donné un résumé des recherches de MM. E. et F. COSSERAT, qui ont conduit à d'importantes publications. A la fin de la seconde édition se trouve insérée une Note sur l'_Action Euclidienne_ due à ces deux mathématiciens, résumant, sous un point de vue entièrement nouveau, toutes les parties de la Mécanique rationnelle. L'analyse de cette seconde édition se trouve dans la Préface et dans la présentation que M. P. APPELL a faite à l'Académie des Sciences dans la séance du 18 janvier 1909.

Paris, G.-V., gr. in-8: t. I, 1893, VI-549 p.; 2e éd., 1902, IX-601 p.; 3e éd., 1909, X-615 p.; t. II, 1896, IV-538 p.; 2e éd., 1904, VIII-551 p.; 3e éd. (_sous presse_); t. III, 1903, IV-558 p.; 2e éd., 1909, Préf. du 15 oct. 1908, VII-645 p.