Part 4

Dans ce Mémoire, M. P. APPELL donne, du théorème de M. MITTAG-LEFFLER, une application dans laquelle les degrés des polynomes qu'on retranche de la partie principale croissent indéfiniment.

A S E N, 3e s., t. 2, févr., mars 1885, p. 67-74.

Analyse par HURWITZ: J F M, Bd. 17, J. 1885, S. 381-383.

=30.= _Quelques exemples de séries doublement périodiques._

N A M, 3e s., t. 15, mars 1896, p. 126-129.

=31.= _Formation d'une fonction_ F(_x_) _possédant la propriété_

F[[phi](_x_)]=F(_x_).

M. P. APPELL généralise le mode de représentation analytique des fonctions périodiques et applique à plusieurs exemples la formule qu'il a obtenue.

C R, t. 88, 21 avr. 1879, p. 807-810.

=32.= _Sur les fonctions telles que_ [pi] F(sin ---- _x_) = (F_x_). 2

M. P. APPELL applique la méthode qu'il a exposée dans la Note nº =31=, en lui faisant subir quelques légères modifications pour simplifier le calcul.

C R, t. 88, 19 mai 1879, p. 1022-1024.

=33.= _Sur quelques applications de la fonction_ [Gamma](_x_) _et d'une autre fonction transcendante._

C R, t. 86, 15 avr. 1878, p. 953-956.

=34.= _Sur une classe de fonctions analogues aux fonctions eulériennes étudiées par_ M. HEINE.

C R, t. 89, 17 nov. 1879, p. 841-844.

Analyse par F. MÜLLER: J F M, Bd. 11, J. 1879, S. 501-503.

=35.= _Sur une classe de fonctions qui se rattachent aux fonctions de_ M. HEINE.

C R, t. 89, 15 déc. 1879, p. 1031-1032.

=36.= _Sur une classe de fonctions analogues aux fonctions eulériennes._

Dans ce Mémoire, M. P. APPELL développe les considérations qu'il a présentées dans les Notes n^{os} =33= à =35=. Il étudie en particulier des relations fonctionnelles, renfermant des fonctions [Theta], ou des fonctions elliptiques, dans lesquelles interviennent _trois_ périodes.

M A, Bd. 19, 1882, août 1881, S. 84-102.

=37.= _Sur les fonctions uniformes doublement périodiques à points singuliers essentiels._

C R, t. 94, 3 avr. 1882, p. 936-938.

=4º Fonctions de plusieurs variables. Fonctions abéliennes; fonctions de deux variables à deux, trois ou quatre paires de périodes. Fonctions hypergéométriques de deux variables. Inversion des intégrales multiples.=

=38.= _Sur une classe de fonctions de deux variables indépendantes._

Dans ce Mémoire, j'étends à une classe particulière de fonctions de deux variables indépendantes _x_ et _y_ les théorèmes de MM. WEIERSTRASS et MITTAG-LEFFLER sur les fonctions d'une seule variable. J'applique ensuite les théorèmes généraux ainsi obtenus à la formation de certaines fonctions simplement périodiques de deux variables. P. A.

M. G. MITTAG-LEFFLER a publié son théorème le 7 juin 1876 dans le _Bulletin_ de l'Académie royale des Sciences de Suède (_Öfversigt af ..._); ses recherches successives ont été publiées dans ce _Bulletin_ et dans les _Comptes rendus_ de l'Académie des Sciences de Paris. Il a développé l'ensemble de ses recherches _sur la représentation analytique des fonctions homogènes uniformes d'une variable indépendante_ dans _Acta Mathematica_ (T. 4, 1884, P. 1-79).

Les premières recherches de WEIERSTRASS se trouvent dans son Mémoire intitulé _Zur Theorie der eindentigen analytischen Functionen_ (A A W B, 16 oct. 1876, S. 11). La démonstration qu'il a donnée du théorème de M. MITTAG-LEFFLER est dans le Mémoire intitulé _Ueber einen functionentheoretischen Satz_ des Hernn G. MITTAG-LEFFLER (M A W B, 5 Aug. 1880, S. 707).

A M, t. 2, 15 mars 1883, p. 71-80.

Analyse par J. TANNERY: B S M, 2e s., t. 8, 2e p., sept. 1884, p. 155-156.

=39.= _Propositions d'Algèbre et de Géométrie déduites de la considération des racines cubiques de l'unité._

M. P. APPELL obtient des fonctions de deux variables à deux paires de périodes liées par une certaine relation algébrique et une infinité de systèmes de surfaces jouissant de propriétés remarquables.

C R, t. 84, 19 mars 1877, p. 540-543.

=40.= _Sur certaines fonctions analogues aux fonctions circulaires._

M. P. APPELL fait l'étude de _n_ + 1 fonctions de _n_ variables, à _n_ groupes de périodes, définies par un système d'équations aux différentielles totales; ces fonctions sont liées par une relation algébrique; elles généralisent celle de la Note nº =39=.

C R, t. 84, 11 juin 1877, p. 1378-1380.

=41.= _Sur des fonctions uniformes de deux points analytiques qui sont laissées invariables par une infinité de transformations rationnelles._

C R, t. 96, 4 juin 1883, p. 1643-1646.

=42.= _Sur un cas de réduction des fonctions_ [Theta] _de deux variables à des fonctions_ [theta] _d'une variable._

C R, t. 94, 13 fév. 1882, p. 421-424.

=43.= _Sur des cas de réduction des fonctions_ [Theta] _de plusieurs variables à des fonctions_ [Theta] _d'un moindre nombre de variables._

B S M F, t. 10, 1881-1882, 3 mars 1882, p. 59-67.

Analyse par F. MÜLLER: J F M, Bd. 14, J. 1882, S. 405-406.

=44.= _Sur une fonction analogue à la fonction_ [Theta].

Dans cette Note, il s'agit d'une fonction définie par une série simple d'exponentielles dont l'exposant est un polynome du quatrième degré en _n_. Cette fonction a été étudiée ensuite par M. RIVEREAU (A F S Ma, t. 2, 1892, p. 59).

A F S Ma, t. 1, 1891, p. 47-52.

=45.= _Exemples de fonctions de plusieurs variables admettant un groupe de substitutions linéaires entières._

M. P. APPELL applique la fonction définie dans la Note nº =44=.

B S M F, t. 19, 1890-1891, 18 nov. 1891, p. 125-127.

=46.= _Sur les fonctions de_ BERNOULLI _à deux variables._

Extrait d'une Lettre adressée à M. MARTIN KRAUSE par M. P. APPELL.

A M P G, d. R., 4 Bd., 9 oct. 1903, S. 292-293.

Analyse par G. KOWALEWSKI: J F M, Bd. 34, J. 1903, S. 484-485.

=47.= _Sur des fonctions de deux variables à trois ou quatre paires de périodes._

C R, t. 90, 26 janv. 1880, p. 174-176.

=48.= _Sur certaines expressions quadruplement périodiques._

C R, t. 108, 25 mars 1889, p. 607-609.

=49.= _Sur les fonctions de deux variables à plusieurs paires de périodes._

C R, t. 110, 27 janv. 1890, p. 181-183.

=50.= _Sur les fonctions de deux variables quadruplement périodiques de troisième espèce._

A S E N, 2e s., t. 7, mai 1890, p. 143-154.

Analyse: B S M, 2e s., t. 16, 2e p., déc. 1892, p. 190-191.

=51. 52.= _Sur les fonctions périodiques de deux variables._

L'objet de ce travail est l'étude des fonctions méromorphes de deux variables à quatre (ou à trois) paires de périodes. La méthode suivie peut être étendue d'elle-même aux fonctions de _n_ variables à 2_n_ groupes de périodes.

C R, t. 111, 3 nov. 1890, p. 636-638.

J L, 4e s., t. 7, f. 2, 1891, p. 157-219.

Analyse par BURKHARDT: J F M, Bd. 23, J. 1891, S. 430-431.

Analyse par J. HADAMARD: R O, t. 3, 15 juin 1892, p. 419.

=53. 54.= _Sur les fonctions abéliennes._

C R, t. 94, 26 juin 1882, p. 1702-1704.

C R, t. 103, 20 déc. 1886, p. 1246-1248.

=55. 56.= _Sur l'inversion des intégrales abéliennes._

C R, t. 99, 8 déc. 1884, p. 1010-1011.

J L, 4e s., t. 1, f. 3, 1885, p. 245-279.

Analyse par DYCK: J F M, Bd. 17, J. 1885, S. 473-475.

=57.= _Formes des intégrales abéliennes des diverses espèces._

A F S T, t. 7, 1893, p. A.5-A.8.

=58.= _Sur les fonctions abéliennes considérées comme fonctions algébriques de fonctions d'une variable._

Ce Mémoire est inséré dans le premier des deux Tomes des _Acta Mathematica_ imprimés NIELS HENRICK ABEL _in Memoriam_.

A M, t. 26, 8 juil. 1902, p. 249-253.

Analyse par STAECKEL: J F M, Bd. 33, J. 1902, S. 442-443.

=59.= _Sur les séries hypergéométriques de deux variables, et sur des équations différentielles linéaires aux dérivées partielles._

Je définis quatre séries ordonnées suivant les puissances positives croissantes de deux variables, qui se rattachent à la célèbre série de GAUSS, comme les fonctions [Theta] de deux variables de GÖPEL et de ROSENHAIN se rattachent aux fonctions [Theta] d'une variable d'ABEL et de JACOBI. P. A.

C R, t. 90, 16 févr. 1880, p. 296-298.

=60.= _Sur la série_ F_{3}([alpha, alpha', beta, beta', gamma], _x_, _y_).

Cette série, qui a été définie dans la Note nº =59=, peut être représentée par une intégrale définie semblable à celle dont JACOBI s'est occupé (J C, t. 56, 1859, S. 149).

C R, t. 90, 26 avr. 1880, p. 977-979.

=61.= _Sur quelques formules relatives aux fonctions hypergéométriques de deux variables._

C R, t. 91, 16 août 1880, p. 364-368.

=62.= _Sur des polynomes de deux variables analogues aux polynomes de_ JACOBI.

A M P G, 66. Teil, 1881, 26 oct. 1880, S. 238-245.

Analyse par HOPPE: J F M, Bd. 13, J. 1881, S. 389-390.

=63.= _Sur les fonctions hypergéométriques de deux variables._

Ce Mémoire a été présenté à l'Académie dans la séance du 29 mars 1880; je lui ai fait subir quelques modifications, afin d'y faire rentrer les résultats que j'ai obtenus depuis et qui ont été indiqués dans deux Notes présentées à l'Académie le 26 avril et 16 août 1880. P. A.

J L, 3e s., t. 8, mai, juin 1882, p. 173-216.

Analyse: B S M, 2e s., t. 9, 2e p., janv. 1885, p. 14-15.

=64.= _Sur certaines formules de_ HANSEN _et de_ M. TISSERAND.

M. P. APPELL trouve que la valeur d'un certain coefficient est exprimée par un polynome hypergéométrique de deux variables, ce polynome étant formé avec une des fonctions qu'il définit dans la Note nº =59=.

C R, t. 97, 12 nov. 1883, p. 1036-1039.

=65.= _Sur une formule de_ M. TISSERAND _et sur les séries hypergéométriques de deux variables._

M. P. APPELL applique, à des questions étudiées par TISSERAND, M. RADAU et CALLANDREAU, les résultats qu'il a donnés dans le Mémoire nº =63= et dans la Note nº =64=.

J L, 3e s., t. 10, déc. 1884, p. 407-428.

Analyse: B S M, 2e s., t. 10, 2e p., nov. 1886, p. 225-226.

Analyse par WANGERIN: J F M, Bd. 16, J. 1884, S. 454-455.

=66.= _Les polynomes d'_HERMITE _rattachés aux polynomes de_ LEGENDRE.

A S A P P, v. 5, nº 2º, 1910, p. 65-68.

=67.= _Quelques propriétés des polynomes_ U_{_m, n_} _d'_HERMITE _et des polynomes_ X_{_n_} _de_ LEGENDRE.

A S A P P, v. 5, nº 4º, 1910, p. 209-212.

=68.= _Sur une classe de polynomes à deux variables et le calcul approché des intégrales doubles._

M. P. APPELL étend aux intégrales doubles la méthode que GAUSS a fondée sur les propriétés des polynomes de LEGENDRE pour le calcul approché des intégrales simples.

A F S T, t. 4, 1890, p. H.1-H.20.

Analyse par R. LE VAVASSEUR: B S M, 2e s., t. 28, 2e p., janv. 1894, p. 12-14.

Analyse par F. MÜLLER: J F M, Bd. 22, J. 1890, S. 299-300.

=69. 70.= _Sur un mode d'inversion des intégrales multiples._

B S M F, t. 25, 20 janv. 1897, p. 10.

C R, t. 124, 1er fév. 1897, p. 213-214.

=71.= _Exemples d'inversion d'intégrales doubles._

A J M, v. 19, nº 4, 1897, p. 377-380.

=5º Équations différentielles ordinaires. Invariants.=

=72.= _Sur des polynomes satisfaisant à une équation différentielle du troisième ordre._

M. P. APPELL applique, dans cette Communication, un théorème qu'il a démontré dans la Note nº =8=, p. 22.

A F A S, 8e Session, Montpellier, 3 sept. 1879, p. 257-260.

=73.= _Sur certaines équations différentielles linéaires contenant un paramètre variable._

A F A S, 8e Session, Montpellier, 3 sept. 1879, p. 253-257.

=74.= _Intégration de certaines équations différentielles à l'aide des fonctions_ [Theta].

M. P. APPELL tire des conséquences remarquables du théorème de RIEMANN sur les zéros des fonctions [Theta] de plusieurs variables.

C R, t. 90, 24 mai 1880, p. 1207-1210.

=75.= _Sur les équations différentielles linéaires à une variable indépendante._

C R, t. 90, 21 juin 1880, p. 1477-1479.

=76.= _Sur la transformation des équations différentielles linéaires._

C R, t. 90, 26 juil. 1880, p. 211-214.

=77.= _Sur les équations différentielles linéaires._

M. P. APPELL signale, pour les équations différentielles linéaires, des propriétés analogues à celles des fonctions symétriques des racines d'une équation algébrique et à la transformation des équations algébriques.

C R, t. 91, 26 oct. 1880, p. 684-685.

=78.= _Sur une classe d'équations différentielles linéaires._

Se plaçant à un certain point de vue, M. P. APPELL généralise les recherches de M. CH. HERMITE sur l'équation de LAMÉ (C R, t. 86, 1878, p. 850), celles de MM. E. PICARD et MITTAG-LEFFLER sur les équations différentielles linéaires à coefficients doublement périodiques (C R, t. 90, 1880, p. 293-299) et celles de FUCHS sur certaines équations différentielles linéaires (J L, t. 4, 1878, p. 125). M. P. APPELL considère des équations différentielles dont l'intégrale générale n'a que des pôles sur la surface de RIEMANN et dont les substitutions fondamentales sont permutables.

C R, t. 91, 13 déc. 1880, p. 972-974.

Analyse: B S M, 2e s., t. 5, 2e p., janv. 1881, p. 21-22.

=79.= _Sur une classe d'équations différentielles linéaires dont les coefficients sont des fonctions algébriques de la variable indépendante._

M. P. APPELL résume un Mémoire où se trouvent développées des propositions contenues dans la Note nº =78=.

C R, t. 92, 10 janv. 1881, p. 61-63.

=80.= _Sur une classe d'équations différentielles linéaires à coefficients doublement périodiques._

C R, t. 92, 25 avr. 1881, p. 1005-1008.

=81.= _Sur une classe d'équations différentielles linéaires à coefficients algébriques._

Ces équations sont celles dont l'intégrale générale n'admet, sur une surface de RIEMANN, d'autres singularités que des pôles et des points critiques logarithmiques. M. P. APPELL les classe en équations de 1re, 2e, 3e espèce d'après des caractères analogues à ceux qui servent à classer les trois espèces d'intégrales abéliennes.

A M, t. 13, 1890, 21 janv. 1889, p. 163-174.

=82.= _Sur des équations différentielles linéaires dont les intégrales vérifient des relations de la forme_ F[[phi](_x_)] = [psi](_x_)F(_x_).

M. P. APPELL, qui a publié deux Notes sur les fonctions F(_x_) satisfaisant à une relation de la forme F[[phi](_x_)] = F(_x_), montre que ces fonctions et les fonctions plus générales de la forme F[[phi](_x_)] = [psi](_x_)F(_x_) se présentent dans l'intégration de certaines équations différentielles linéaires, et en particulier dans l'intégration des équations du second ordre.

C R, t. 93, 7 nov. 1881, p. 699-701.

Analyse: B S M, 2e s., t. 6, 2e p., janv. 1882, p. 31-32.

Analyse par HAMBURGER: J F M, Bd. 13, J. 1881, S. 253-254.

=83.= _Mémoire sur les équations différentielles linéaires._

Le résumé de ce Mémoire se trouve dans la Note nº =77=.

A S E N, 2e s., t. 10, nov., déc. 1881, p. 391-424.

Analyse: B S M, 2e s., t. 6, 2e p., déc. 1882, p. 269-274.

Analyse par HAMBURGER: J F M, Bd. 13, J. 1881, S. 254-255.

=84. 85.= _Sur une classe d'équations différentielles linéaires binomes à coefficients algébriques._

C R, t. 94, 30 janv. 1882, p. 203-205.

A S E N, 2e s., t. 12, janv., fév. 1883, p. 9-46.

Analyse: B S M, 2e s., t. 8, 2e p., avr. 1884, p. 59-61.

Analyse par HAMBURGER: J F M, Bd. 15, J. 1883, S. 246-247.

=86.= _Sur les fonctions uniformes affectées de coupures et sur une classe d'équations différentielles linéaires._

C R, t. 96, 9 avr. 1883, p. 1018-1020.

=87.= _Sur des équations linéaires intégrables à l'aide de la fonction_ [chi]_{_m_}(_x, y_).

M. P. APPELL indique une équation différentielle linéaire avec second membre dont les coefficients sont composés avec des fonctions [Theta] et leurs dérivées, et dont l'intégrale générale s'exprime à l'aide des fonctions [Theta] et de la fonction de deux variables [chi]_{_m_}(_x, y_), qu'il a introduite dans ses Mémoires n^{os} =25=, =27=, =28=.

A S E N, 3e s., t. 5, juin, juil. 1888, p. 211-218.

Analyse: B S M, 2e s., t. 14, 2e p., oct. 1890, p. 198-199.

Analyse par F. MÜLLER: J F M, Bd. 20, J. 1888, S. 452-454.

=88.= _Sur une classe d'équations différentielles réductibles aux équations linéaires._

C R, t. 107, 12 nov. 1888, p. 776-778.

=89. 90.= _Sur des équations différentielles linéaires transformables en elles-mêmes par un changement de fonction et de variable._

C R, t. 112, 5 janv. 1891, p. 34-37.

A M, t. 15, 1891, 28 sept.-5 oct. 1891, p. 281-315.

Analyse: B S M, 2e s., t. 17, 2e p., fév. 1893, p. 30-31;--t. 19, 2e p., avr. 1895, p. 77-79.

Analyse par J. HADAMARD: R O, t. 3, 15 oct. 1892, p. 683.

Analyse par HAMBURGER: J F M, Bd. 23, J. 1891, S. 333-335.

=91.= _Sur les équations différentielles algébriques et homogènes par rapport à la fonction inconnue et à ses dérivées._

M. P. APPELL indique la possibilité d'étendre la théorie des invariants des équations différentielles linéaires et homogènes aux équations _homogènes_ mais non _linéaires_.

C R, t. 104, 20 juin 1887, p. 1776-1779.

Analyse par HAMBURGER des Notes n^{os} =91= et =92=: J F M, Bd. 19, J. 1887, S. 291-293.

=92.= _Sur les invariants des équations différentielles._

M. P. APPELL complète la Note nº =91=.

C R, t. 105, 4 juil. 1887, p. 55-58.

=93.= _Sur les invariants de quelques équations différentielles._

Dans ce Mémoire, M. P. APPELL étudie les invariants et les cas d'intégrabilité:

1º D'équations différentielles de la forme

_dy_ a_{0} + a_{1}y + ... + a_{n}y^{n} ---- = --------------------------------- (p < n), _dx_ b_{0} + b_{1}y + ... + b_{p}y^{p}

qui conservent cette forme quand on choisit une nouvelle fonction inconnue [eta] et une nouvelle variable indépendante [xi] liées à _y_ et _x_ par les relations

_y_ = [eta] _u(x)_ + _v(x)_, _d[xi]_ ------- = µ_(x)_; _dx_

2º Des équations différentielles algébriques et homogènes par rapport à la fonction inconnue _y_ et à ses dérivées, ces équations conservant la même forme quand on y fait

_y_ = [eta] _u(x)_, _d[xi]_ ------- = µ_(x)_. _dx_

J L, 4e s., t. 5, f. 4, 1889, p. 361-423.

Analyse par HAMBURGER: J F M, Bd. 21, J. 1889, S. 312-314.

Analyse par GOMES TEIXEIRA: J S T, v. 9, 1889, p. 124-125.

Analyse par E. GOURSAT: R O, t. 1, 30 mars 1890, p. 180.

=94.= _Sur les équations différentielles homogènes du second ordre à coefficients constants._

A F S T, t. 3, 1889, p. K.1-K.12.

Analyse par HAMBURGER: J F M, Bd. 21, J. 1889, S. 327.

=95.= _Observations sur une Communication de_ M. C. BOURLET,

Intitulée _Sur certaines équations analogues aux équations différentielles_.

C R, t. 124, 21 juin 1897, p. 1433-1434.

=96.= _Sur le théorème de_ POISSON _et un théorème récent de_ M. A. BUHL.

Dans une Note (C R, t. 132, 1901, p. 313), M. A. BUHL donne une proposition générale dont il déduit, comme cas particulier, ce théorème de POISSON: _La forme aux dérivées partielles représentée symboliquement par_ ([alpha], [beta]) _est une intégrale d'un système d'équations canoniques si_ [alpha] _et_ [beta] _sont deux intégrales de ce système_. Dans sa Note, M. P. APPELL montre que, inversement, la proposition de M. A. BUHL peut être considérée comme une conséquence du théorème de POISSON.

C R, t. 133, 5 août 1901, p. 317-319.

=6º Équations aux dérivées partielles. Potentiels triplement périodiques. Potentiels multiformes.=

=97.= _Sur les séries hypergéométriques de deux variables, et sur des équations différentielles linéaires simultanées aux dérivées partielles._

Dans cette Note, qui se rattache à la Note nº =59=, p. 29, j'étends les théorèmes de RIEMANN et de FUCHS, sur les intégrales des équations différentielles linéaires à une variable, à des équations simultanées définissant _r_ et _t_ en fonctions linéaires de _s, p, q, z_. P. A.

C R, t. 90, 29 mars 1880, p. 731-734.

=98.= _Sur certaines équations différentielles linéaires simultanées aux dérivées partielles._

En commun avec M. E. PICARD.

Cette Note contient une extension d'un théorème donné par M. E. PICARD pour les équations différentielles linéaires à coefficients doublement périodiques (C R, t. 90, 1880, p. 293).

C R, t. 92, 21 mars 1881, p. 692-695.

Analyse: B S M; 2e s., t. 5, 2e p., mai. 1881, p. 98.

=99.= _Sur une équation linéaire aux dérivées partielles._

M. P. APPELL montre que l'équation qu'il a rencontrée dans la théorie des fonctions hypergéométriques de deux variables (_voir_ nº =59=, p. 29) contient, comme cas particulier, une équation différentielle linéaire étudiée par M. G. DARBOUX (C R, t. 95, 1882, p. 69) et étend à son équation les principales propriétés indiquées par ce géomètre.

B S M, 2e s., t. 6, 1re p., déc. 1882, p. 314-318.

Analyse par TOEPLITZ: J F M, Bd. 14, J. 1882, S. 300.

=100.= _Sur les fonctions satisfaisant à l'équation_ [Delta]F = 0.

M. P. APPELL considère une fonction F(_x, y, z_), de trois variables réelles représentant les coordonnées rectangulaires d'un point M. Il suppose que la fonction F est uniforme, continue, qu'elle admet des dérivées premières et secondes et qu'elle vérifie l'équation

[d]^{2}F [d]^{2}F [d]^{2}F [Delta]F = ---------- + --------- + --------- = 0, [d]_x_^{2} [d]_y_^{2} [d]_z_^{2}

en tous les points M situés à l'intérieur d'une surface fermée S, excepté en certains points isolés, qu'il appelle _points singuliers_. Il classe ces points en pôles et points essentiels.

C R, t. 96, 5 fév. 1883, p. 368-371.

=101.= _Sur les fonctions de trois variables réelles satisfaisant à l'équation différentielle_ [Delta]F = 0.

Dans ce Mémoire, M. P. APPELL fait l'étude générale des fonctions qui satisfont à l'équation [Delta]F = 0. La première partie contient une extension d'un théorème dû à M. MITTAG-LEFFLER et plusieurs applications d'un théorème de GREEN; la seconde contient l'étude de celles de ces fonctions qui reprennent les mêmes valeurs aux points homologues d'un réseau de parallélépipèdes et qui possèdent des propriétés semblables à celles de la partie réelle d'une fonction doublement périodique d'une variable imaginaire. Ces fonctions s'expriment à l'aide d'un élément simple Z analogue à la fonction H´/H introduite par HERMITE dans la théorie des fonctions elliptiques.

A M, t. 4, 22 janv.-3 mars 1884, p. 313-374.

Analyse par F. MÜLLER: J F M, Bd. 16, J. 1884, S. 373-374.

Analyse par J. TANNERY: B S M, 2e s., t. 13, 2e p., juin 1889, p. 98-100.

=102. 103.= _Développements en séries trigonométriques de certaines fonctions vérifiant l'équation du potentiel_ [Delta]F = 0.

C R, t. 102, 21 juin 1886, p. 1439-1442.

J L, 4e s., t. 3, f. 1, 1887, p. 5-52.

Analyse par TOEPLITZ: J F M, Bd. 19, J. 1887, S. 418-420.

=104.= _Sur les fonctions harmoniques à trois groupes de périodes._

M. P. APPELL indique un élément analytique pouvant remplacer la fonction Z des deux Mémoires n^{os} =101= et =103=.

R C M P, t. 22, 1er sept. 1906, p. 361-370.

Analyse par WANGERIN: J F M, Bd. 37, J. 1906, S. 482-483.

Application par A. MYLLER: C R, t. 145, 11 nov. 1907, p. 790-792.

=105. 106.= _Sur des potentiels conjugués._

M. P. APPELL donne un système de quatre équations aux dérivées partielles du premier ordre auxquelles satisfont quatre fonctions X, Y, Z, T de trois variables réelles _x, y, z_. Il démontre que si l'on choisit arbitrairement la fonction T vérifiant l'équation du potentiel, il existe une infinité de fonctions X, Y, Z vérifiant le système précédent; il parvient à préciser le degré d'indétermination et à exprimer ces fonctions par des intégrales définies.

B S M F, t. 19, 1890-1891, 15 avr. 1891, p. 68-70.

A F S Ma, t. 2, f. 3, 1892, p. 53-58.

Analyse par WANGERIN: J F M, Bd. 23, J. 1891, S. 990.

=107.= _Quelques remarques sur la théorie des potentiels multiformes._