Part 3

Membre du Conseil d'Administration de l'Association amicale de Secours des anciens Élèves de l'École Normale supérieure, _élu_ le 11 janvier 1891. Vice-Président de ce Conseil de 1900 à 1906. Président de ce Conseil de 1906 à 1908. Administrateur Honoraire _depuis_ 1908.

Vice-Président du Congrès des Mathématiciens, tenu à Paris du 6 au 12 août 1900.

Vice-Président de la Société astronomique de France, à Paris, du 5 avril 1905 au 1er avril 1908.

Président de l'Association Française pour l'Avancement des Sciences et du Conseil d'Administration, du 6 août 1907 au 8 août 1908. _Élu_ Vice-Président le 7 août 1906. _Élu_ Membre de la Commission permanente de Publication le 8 août 1908.

Président du Comité de direction du Groupement des Universités et Grandes Écoles de France pour les Rapports avec l'Amérique latine, _depuis_ janvier 1907.

Président d'honneur de la Section Française de la Commission internationale de l'Enseignement mathématique, _élu_ le 1er mars 1909.

Vice-Président du Comité de direction de l'Office national des Universités et Écoles Françaises, _élu_ le 15 juillet 1910.

Membre honoraire de la Société mathématique de Kharkow, _élu_ le 12 octobre 1903 (v. s.).

Membre honoraire de la Société de Littérature et de Philosophie de Manchester, _élu_ le 17 avril 1894.

Membre honoraire de la Société mathématique de Calcutta, _élu_ le 28 janvier 1910.

Médaille d'Or dans le Concours international institué par S. M. le Roi de Suède et de Norvège OSCAR II, à l'occasion du 60e anniversaire de sa naissance, _décernée_ le 21 janvier 1889.

_Décerné_ par l'Académie des Sciences de l'Institut national de France:

Prix BORDIN (Géométrie), le 21 décembre 1885.

Prix PONCELET, le 26 décembre 1887.

Prix PETIT D'ORMOY, le 30 décembre 1889.

Officier d'Académie, _nommé_ le 23 avril 1881.

Officier de l'Instruction publique, _nommé_ le 30 décembre 1886.

Chevalier de la Légion d'honneur, _nommé_ le 4 mars 1889.

Officier de la Légion d'honneur, _promu_ le 31 décembre 1895.

Commandeur de la Légion d'honneur, _promu_ le 30 novembre 1904.

Chevalier de l'Étoile Polaire de Suède, _nommé_ le 12 avril 1884.

SECTION II.

ANALYSE MATHÉMATIQUE.

RAPPORT DE M. CHARLES HERMITE SUR LE MÉMOIRE PRÉSENTÉ PAR M. PAUL APPELL AU CONCOURS OUVERT PAR S. M. LE ROI DE SUÈDE ET DE NORVÈGE OSCAR II, ET RÉCOMPENSÉ D'UNE MÉDAILLE D'OR LE 21 JANVIER 1889.

Les expressions des fonctions elliptiques par des séries simples de sinus et de cosinus, telles que les donne la formule de FOURIER, ont, à bien des points de vue, une grande importance en Analyse. Elles ont été employées avec succès et jouent un rôle important dans beaucoup d'applications du calcul à la Physique et à l'Astronomie. Elles ont conduit JACOBI aux formules si remarquables du § 40 des _Fundamenta_, où le grand géomètre, allant au delà des propositions connues de l'Arithmétique, obtient le nombre de décompositions d'un entier quelconque en 2, 4, 6 et 8 carrés, exprimé au moyen des diviseurs de ce nombre. D'autres résultats, d'une nature plus cachée, sur le nombre des classes de formes quadratiques de déterminants négatifs, devaient encore découler de la même source analytique et mettre dans tout son jour l'étroite correspondance des identités de la théorie des fonctions elliptiques avec la théorie des nombres. Nous les rappelons succinctement pour faire comprendre quelles espérances on avait dû concevoir de la découverte mémorable de GÖPEL et ROSENHAIN, lorsqu'on eut, sous une forme entièrement semblable à celle des fonctions elliptiques, les fonctions quadruplement périodiques de deux variables, inverses des intégrales hyperelliptiques de première classe. Assurément il était possible de joindre aux expressions de ces nouvelles transcendantes, par des quotients de fonctions [Theta], des développements en séries simples de sinus et de cosinus; mais la détermination effective des coefficients présente les plus grandes difficultés et n'a pu jusqu'à présent être abordée. Elle est le principal objet du Mémoire dont nous allons analyser les méthodes et les résultats.

I. La solution donnée par JACOBI du problème de la rotation d'un corps solide autour d'un point fixe, lorsqu'il n'y a pas de forces accélératrices, a été l'origine d'une notion analytique importante. Les expressions de l'illustre auteur présentent, en effet, dans le cas le plus simple, l'exemple de fonctions qui se reproduisent multipliées par des constantes lorsqu'on augmente la variable de l'une ou l'autre des périodes. On a reconnu qu'elles constituent un nouveau genre de fonctions, plus générales que les fonctions doublement périodiques, dont le rôle comme élément analytique propre se montre dans beaucoup de questions importantes. Elles s'offrent, en particulier, dans la rotation d'un corps grave de révolution suspendu par un point de son axe, dans la recherche de la figure de l'élastique gauche, dans le mouvement d'un corps solide dans un liquide indéfini, lorsqu'il n'y a pas de forces accélératrices, etc. Enfin elles donnent une méthode régulière, d'une application facile, pour effectuer l'intégration des équations différentielles linéaires d'ordre quelconque, à coefficients doublement périodiques, dans tous les cas où la solution est une fonction uniforme. Sous un autre point de vue, ces transcendantes peuvent encore être considérées comme provenant de l'intégrale elliptique la plus générale qui aura été mise en exponentielle, en y remplaçant la variable par un sinus d'amplitude. On peut aussi ne pas faire ce changement et conserver l'intégrale qui, suivant le contour décrit par la variable, est susceptible d'une infinité de déterminations. Ces valeurs multiples s'obtenant par l'addition de constantes, les expressions dont nous parlons auront la propriété de se reproduire, multipliées par des facteurs constants, lorsqu'on fait décrire certains chemins à la variable. Qu'au lieu de considérer la variable sur un plan unique on recoure à la conception de RIEMANN, de manière à remplacer, par une fonction à sens unique, affectée de coupures, une expression à déterminations multiples, on parvient à une quantité dont les valeurs, lorsqu'on passe d'un bord à l'autre de la coupure, se reproduisent multipliées par une constante. Nous nous trouvons ainsi amenés à l'idée fondamentale de l'auteur, à la notion analytique des nouvelles transcendantes, auxquelles il donne la dénomination de fonctions à multiplicateurs et dont il établit les propriétés; voici succinctement les résultats auxquels il est parvenu.

II. Son point de départ est dans la considération d'une équation algébrique de genre _p_, et de la surface correspondante de RIEMANN, rendue simplement connexe au moyen de coupures; ce sont les éléments qui lui permettent de définir d'une manière complète et précise les fonctions à multiplicateurs, d'après les conditions suivantes. Elles seront uniformes sur la surface, elles ne présenteront aucune autre singularité que des pôles, et elles prendront aux deux bords infiniment voisins d'une coupure des valeurs qui ne diffèrent que par des multiplicateurs constants. Ceci posé, voici un premier résultat d'une grande importance: toutes les fonctions qui satisfont aux conditions posées, leurs multiplicateurs étant des constantes données d'avance, peuvent s'exprimer au moyen des intégrales normales de troisième espèce qui sont attachées à l'équation algébrique. Viennent ensuite plusieurs théorèmes; le suivant qui est une généralisation de la proposition célèbre d'ABEL, sur les intégrales de différentielles algébriques, mérite une attention particulière. Il consiste en ce que la somme des valeurs que prend une intégrale abélienne de première espèce, aux zéros d'une fonction à multiplicateurs, est égale à la somme des valeurs qui correspondent aux infinis de la même fonction, augmentée d'une constante dépendant uniquement des multiplicateurs. Après avoir déduit de là d'importantes conséquences sur le nombre des constantes arbitraires d'une fonction qui a des multiplicateurs et des pôles donnés, l'auteur démontre qu'il existe en général _p_-1 relations entre les pôles et les résidus d'une fonction à multiplicateurs, et _p_ dans un cas spécial, comprenant en particulier celui des fonctions algébriques. Ce cas spécial intéressant tient à l'existence d'une fonction sans zéros, ni infinis, et qui admet les multiplicateurs donnés.

III. Les intégrales de fonctions à multiplicateurs font ensuite le sujet d'une étude approfondie. L'auteur obtient, à leur égard, un ensemble de propositions qui correspondent exactement aux théorèmes célèbres de RIEMANN sur les intégrales abéliennes. Nous indiquerons, comme exemples, leur classification en intégrales de première espèce qui sont toujours finies, en intégrales de deuxième espèce n'ayant que des pôles, et en intégrales de troisième espèce où s'offrent des infinis logarithmiques. Nous citerons encore cette importante proposition, qu'en général il existe _p_-1 intégrales de première espèce, linéairement indépendantes, et _p_ dans le cas particulier dont il a été question précédemment. Les modules de périodicité de ces intégrales, le long des coupures, sont liés aux multiplicateurs par des relations qui deviennent identiques lorsque les multiplicateurs se réduisent à l'unité et que les intégrales deviennent abéliennes. Entre les modules de périodicité de deux intégrales de première espèce, à multiplicateurs inverses, existe une équation qui coïncide, dans le cas particulier des multiplicateurs égaux à l'unité, avec la relation d'une importance capitale découverte par RIEMANN, entre les modules de périodicité de deux intégrales abéliennes de première espèce. Enfin l'auteur forme les intégrales normales de fonctions à multiplicateurs de deuxième et de troisième espèce; il établit des relations entre les modules de périodicité de ces intégrales et leurs multiplicateurs, puis d'autres entre ces modules et ceux d'une intégrale de première espèce aux multiplicateurs inverses. L'ensemble de ces résultats rend manifeste l'analogie de la nouvelle théorie avec celle des intégrales abéliennes; la différence de nature analytique entre les deux genres de quantités apparaît toutefois dans cette circonstance, qu'il existe une intégrale de troisième espèce, avec un seul infini logarithmique, tandis qu'une intégrale abélienne de troisième espèce possède au moins deux infinis de cette nature. En dernier lieu, nous signalerons, dans la théorie des intégrales de deuxième espèce, ce théorème d'un grand intérêt, que toute fonction à multiplicateurs s'exprime par une somme d'intégrales de seconde espèce, ayant les mêmes multiplicateurs et devenant chacune infinie en un seul point. C'est, comme on le voit, la généralisation de la belle formule de RIEMANN-ROCH, qui représente une fonction algébrique quelconque par une somme d'intégrales abéliennes de deuxième espèce.

IV. Nous venons d'indiquer rapidement les points les plus essentiels de la théorie des fonctions à multiplicateurs. Nous avons montré qu'elle a pour première origine les fonctions algébriques, leurs propriétés et celles de leurs intégrales, telles que RIEMANN les a fait connaître; nous avons montré qu'elles constituent par l'ensemble de leurs caractères de nouveaux éléments analytiques où l'on retrouve, dans un sens beaucoup plus général, toutes les propriétés des fonctions doublement périodiques de deuxième espèce. Il nous faut maintenant revenir à la question principale que l'auteur a eue en vue en entreprenant ces belles et profondes recherches où il a montré le plus remarquable talent d'invention. Son but était d'obtenir les intégrales définies réelles qui représentent les coefficients des développements, par la formule de FOURIER, des fonctions elliptiques et des fonctions abéliennes de deux variables à quatre paires de périodes simultanées. Un changement de variables le conduit d'abord à des fonctions à multiplicateurs, et, pour le cas des sinus d'amplitude qu'il traite en premier lieu, ses principes généraux lui permettent d'obtenir les coefficients du développement avec autant de simplicité que d'élégance. En appliquant ensuite la même méthode aux transcendantes de GÖPEL et de ROSENHAIN, il trouve les coefficients sous la forme d'une fonction rationnelle des constantes _p_, _q_, _r_ qui figurent dans les fonctions [Theta] à deux variables, multipliée par une intégrale définie où entrent deux entiers indéterminés. C'est, pour la théorie des fonctions abéliennes, un résultat du plus haut intérêt: il donne la solution d'une question restée jusqu'ici inabordable, sous une forme qui permettra d'en poursuivre les conséquences; il ouvre la voie pour l'étude approfondie des développements par la formule de FOURIER, des fonctions abéliennes, et obtenir pour ces fonctions des développements procédant suivant les puissances des trois quantités _p_, _q_, _r_. On peut donc attendre de voir ainsi se combler une grande lacune dans la théorie de ces transcendantes; on peut donc espérer de voir se rétablir, autant que le comporte la nature des choses, l'analogie avec les fonctions elliptiques, dans ce point d'une importance capitale où elles se lient aux propriétés des nombres. Pressé par la date fixée pour le terme du concours, l'auteur a dû ajourner ces recherches qui auraient pu devenir le couronnement de son beau et savant Mémoire. Mais il a grandement accompli sa tâche en posant les fondements d'une théorie qui ajoute au domaine de l'Analyse un nouveau genre de fonctions, dont il a encore indiqué une autre application importante à l'intégration des équations linéaires d'ordre quelconque à coefficients algébriques.

Nous pensons, en résumé, que le travail dont nous venons de faire l'exposé est l'oeuvre d'un géomètre de premier ordre, et qu'il sera placé au nombre des plus importantes productions mathématiques qui aient appelé dans ces dernières années l'attention des analystes.

Paris, 10 Janvier 1889.

AM, t. 13, 1890, p. VII-XII.

_Voir_ la Lettre de M. G. MITTAG-LEFFLER: C R, t. 108, 25 fév. 1889, p. 387.

OUVRAGES.

=1.= NOTICE SUR LES TRAVAUX SCIENTIFIQUES DE M. PAUL APPELL,

Rédigée par lui-même à l'appui de sa candidature comme membre de l'Académie des Sciences, dans la Section de Géométrie.

Paris, G.-V., in-4: 1re éd., 1884, 39 p.; 2e éd., 1889, 83 p.; 3e éd. 1892, in-4, 112 p.

=2.= THÉORIE DES FONCTIONS ALGÉBRIQUES ET DE LEURS INTÉGRALES, _par_ PAUL APPELL ET ÉDOUARD GOURSAT.

_Étude des Fonctions analytiques sur une surface de_ RIEMANN.

Paris, G.-V., 1895, gr. in-8, x-530 p.

Préface de CH. HERMITE: p. _a g._

Présentation par M. P. APPELL à l'Académie des Sciences: C R, t. 120, 18 fév. 1895, p. 362-363.

Analyse par G. KOENIGS: RO, t. 4, 15 fév. 1893, p. 173-174.

Analyse par R. LE VAVASSEUR: B S M, 2e s., t. 18, 1re p., nov. 1894, p. 242-277.

Analyse par P. STAECKEL: J F M, Bd. 26, J. 1895, S. 416-425.

Analyse par ROBERT FRICKE: Z M P, 41. J., 1896, Abt., S. 94-100.

Analyse par ED. WEYR: C M F, R. 26, 1897, p. 241-246.

Analyse par C. JUEL: N T M, Afd. B., 8 aa., 1897, p. 91-93.

=3.= PRINCIPES DE LA THÉORIE DES FONCTIONS ELLIPTIQUES ET APPLICATIONS, _par_ P. APPELL ET É. LACOUR.

Paris, G.-V., 1897, gr. in-8, IX-421 p.

Présentation par M. P. APPELL des fasc. I et II à l'Académie des Sciences: C R, t. 122, 29 juin 1896, p. 1523-1524;--t. 123, 30 novembre 1896, p. 932.

Analyse par J. TANNERY: B S M, 2e s., t. 21, 1re p., fév. 1897, p. 50-55.

Analyse par P. STAECKEL: J F M, Bd. 28, J. 1897, S. 382-383.

Analyse: M M P, 8. J., 1897, Lit., S. 17-19.

Analyse par KOYGOWSKI: W M, t. 1, 1897, p. 118-119.

Analyse par ROBERT FRICKE: Z M P, 43. Bd., 1898, Abt., S. 140-143.

=4.= ÉLÉMENTS D'ANALYSE MATHÉMATIQUE,

A l'usage des Ingénieurs et des Physiciens.

Cours professé à l'École Centrale des Arts et Manufactures.

Paris, G. C. et C. N., 10 août 1898, gr. in-8, VI-720 p.;--G.-V., 2e éd., 1905, gr. in-8, VII-714 p.

Analyse par A. G. GREENHILL: E M, 1e a., 15 janv. 1899, p. 66-72.

Analyse par GOMES TEIXEIRA: J S T, v. 13, 1897, p. 167-169.

Analyse par P. MANSION: R Q S, 2e s., t. 15, avr. 1899, p. 596-603.

Analyse par C. BOURLET: B S M, 2e s., 1er p., t. 23, juin 1899, p. 136-139,--t. 29, avr. 1905, p. 96.

Analyse: M M P, 10. J., 1899, Lit., S. 32-33.

Analyse par S. DICKSTEIN: W M, t. 3, 1899, p. 65-67.

Analyse par M. CANTOR: Z M P, 44. Bd., 1899, Abt., 5 u. 6 Ht., S. 153-155.

Analyse par P. H. SCHOUTE: N A W, T. R., D. 4, 1900, p. 158-160.

Analyse par H. LIEBMANN: A M P G, d. R., 12. Bd., 1907, S. 81-82.

MÉMOIRES. NOTES.

Analyse pure:

=1º Fonctions d'un point analytique.=

=1.= _Sur les intégrales de fonctions à multiplicateurs et leur application au développement des fonctions abéliennes en séries trigonométriques._

Ce Mémoire a obtenu, le 21 janvier 1889, la Médaille d'Or accordée par S. M. le Roi de Suède et de Norvège, OSCAR II, à l'occasion du 60e anniversaire de sa naissance.

A M, t. 13, 1890, 174 p.

Rapport de CH. HERMITE: A M, t. 13, 1890, p. VII-XII.

Analyse par HURWITZ: J F M, Bd. 22, J. 1890, S. 412-418.

=2. 3.= _Sur les fonctions uniformes d'un point analytique (x, y)._

C R, t. 94, 13 mars 1882, p. 700-703.

A M, t. 1, 1882-1883, 2 sept. 1882, p. 109-131, 132-144.

Analyse par J. TANNERY: B S M, 2e s., t. 8, 2e p., août 1884, p. 138-142.

=4.= _Théorèmes sur les fonctions d'un point analytique._

C R, t. 95, 9 oct. 1882, p. 624-626.

=5.= _Sur une classe de fonctions dont les logarithmes sont des sommes d'intégrales abéliennes de première et de troisième espèce._

C R, t. 92, 18 avr. 1881, p. 960-962.

=6.= _Relations entre les résidus d'une fonction d'un point analytique (x, y) qui se reproduit, multipliée par une constante, quand le point (x, y) décrit un cycle._

C R, t. 95, 23 oct. 1882, p. 914-919.

=7.= _Généralisation des fonctions doublement périodiques de seconde espèce._

J L, 3e s., t. 9, janv. 1883, p. 5-24.

Analyse: B S M, 2e s., t. 9, 2e p., janv. 1885, p. 20-21.

Analyse par HAMBURGER: J F M, Bd. 15, J. 1883, S. 412-413.

=2º Séries. Intégrales définies. Généralités sur les fonctions d' une variable.=

=8.= _Sur certaines séries ordonnées par rapport aux puissances d'une variable._

M. P. APPELL donne des exemples de cas où l'on peut reconnaître l'existence d'un pôle ou d'un point critique pour une fonction définie par une série entière, et déterminer la partie principale.

C R, t. 87, 28 oct. 1878, p. 689-692.

=9.= _Évaluation d'une intégrale définie._

Les intégrales évaluées par M. P. APPELL dans cette Note portent sur des fonctions hypergéométriques; elles comprennent, en particulier, la réduction de l'intégrale eulérienne de première espèce B(_p_, _q_) aux fonctions [Gamma], et les formules relatives aux polynomes qui naissent de la série hypergéométrique et qui ont été considérés par JACOBI.

C R, t. 87, 2 déc. 1878, p. 874-876.

=10.= _Sur la série hypergéométrique et les polynomes de_ JACOBI.

M. P. APPELL indique quelques applications de l'intégrale définie dont il a donné l'expression dans la Note nº =9=.

C R, t. 89, 7 juil. 1879, p. 31-38.

=11.= _Sur les séries divergentes à termes positifs._

M. P. APPELL donne divers théorèmes sur les séries divergentes numériques et sur les séries ordonnées par rapport aux puissances d'une variable, généralisant ceux de la Note nº =8=.

A M P G, 64. Teil, 16 sept. 1879, S. 387-392.

=12.= _Développement en série entière de_ (1 + _ax_)^{1/_x_}.

A M P G, 65. Teil, 6 janv. 1880, S. 171-175.

Analyse par HOPPE: J F M, Bd. 12, J. 1880, S. 191-192.

=13.= _Développement en séries trigonométriques des polynomes de_ M. LÉAUTÉ.

N A M, 3e s., t. 16, juin 1897, p. 265-268.

=14.= _Sur une classe de polynomes._

M. P. APPELL étudie des polynomes P_{_n_}(_x_) de degré _n_ tels que _d_P_{_n_} --------- = _n_P_{_n_-1}. _dx_

Ces polynomes forment une classe spéciale comprenant les polynomes que CH. HERMITE a déduits de la différentiation de _e_^{-_x_^{2}} et les polynomes introduits par M. LÉAUTÉ pour le développement d'une fonction dont on connaît les valeurs moyennes des dérivées dans un intervalle. M. APPELL définit en même temps une opération fonctionnelle qui consiste à former le polynome (PQ)_{_n_} obtenu en remplaçant, dans P_{_n_}, chaque puissance _x_^{_k_} par un polynome Q_{_k_}(_x_). Ces polynomes ont été rencontrés par M. PINCHERLE dans diverses recherches (A M B, s. 2, t. 12, 1888, p. 126).

A S E N, 2e s., t. 9, avr. 1880, p. 119-144.

Analyse par HAMBURGER: J F M, Bd. 12, J. 1880, S. 342-345.

Analyse: B S M, 2e s., t. 6, 2e p., janv. 1882, p. 6-9.

=15. 16.= _Développements en série d'une fonction holomorphe dans une aire limitée par des arcs de cercle._

C R, t. 94, 1er mai 1882, p. 1238-1240.

M A, Bd. 21, 1883, 23 sept. 1882, S. 118-124.

Analyse par HAMBURGER: J F M, Bd. 15, J. 1883, S. 324-325.

=17.= _Développements en série dans une aire limitée par des arcs de cercle._

A M, t. 1, 1882-1883, p. 145-152.

=18.= _Sur certains développements en série de puissances._

M. P. APPELL présente des remarques se rapportant aux Notes n^{os} =16= et =17=, sur le degré d'indétermination des coefficients.

B S M F, t. 11, 1882-1883, 18 fév. 1883, p. 65-71.

=19.= _Définition d'une opération sur les fonctions._

Cette Note contient la définition d'une opération itérative d'ordre fractionnaire.

B S P, 7e s., t. 3, 1878-1879, 12 avr. 1879, p. 166.

=3º Fonctions périodiques et doublement périodiques d'une variable. Périodicité générale.=

=20.= _Sur une méthode élémentaire pour obtenir les développements en série trigonométrique des fonctions elliptiques._

B S M F, t. 13, 1884-1885, 6 déc. 1884, p. 13-18.

Remarques de M. H. POINCARÉ: B S M F, t. 13, 1884-1885, 20 déc. 1884, p. 19-27.

Analyse: B S M, 2e s., t. 10, 2e p., juin 1886, p. 140-141, 141-142.

=21.= _Sur un problème d'interpolation relatif aux fonctions elliptiques._

B S M, 2e s., t. 10, 1re p., mai 1886, p. 109-114.

=22.= _Sur les fonctions elliptiques._

M. P. APPELL définit les fonctions elliptiques _in abstracto_ et expose leur réduction aux fonctions [Theta]. Cette méthode peut être étendue aux fonctions de deux variables (Voir n^{os} =51= et =52=, p. 28).

C R, t. 110, 6 janv. 1890, p. 32-34.

=23.= _Sur une expression nouvelle des fonctions elliptiques par le quotient de deux séries._

A J M, v. 14, nº 1, 1892, p. 9-14.

Analyse par J. HADAMARD: R O, t. 3, 30 nov. 1892, p. 796.

Analyse par STAECKEL: J F M, Bd. 23, J. 1891, S. 476.

=24.= _Décomposition en éléments simples des fonctions doublement périodiques de troisième espèce._

C R, t. 97, 17 déc. 1883, p. 1419-1422.

=25= à =27.= _Sur les fonctions doublement périodiques de troisième espèce._

Dans le Mémoire nº =25=, M. P. APPELL étudie la décomposition en éléments simples des fonctions doublement périodiques de troisième espèce, et présente des remarques sur certaines fonctions d'un point analytique (_x, y_). Les principaux résultats qu'il démontre se trouvent indiqués dans la Note nº =26=.

Le Mémoire nº =27= fait suite aux Mémoires n^{os} =25= et =28=.

_Voir Notice sur_ M. PAUL APPELL, p. 5.

A S E N, 3e s., t. 1, avril, mai 1884, p. 135-164.

C R, t. 101, 28 déc. 1885, p. 1478-1480.

A S E N, 3e s., t. 3, janv., fév. 1886, p. 9-42.

Analyse du Mémoire nº =25=: B S M, 2e s., t. 9, 2e p., août 1885, p. 154-158.

Analyse par F. MÜLLER de la Note nº =26=: J F M, Bd. 17, J. 1885, S. 409-410.

Analyse du Mémoire nº =27=: B S M, 2e s., t. 12, 2e p., fév. 1888, p. 18-19.

=28.= _Développements en séries des fonctions doublement périodiques de troisième espèce._

A S E N, 3e s., t. 2, janv. 1885, p. 9-36.

Analyse par F. MÜLLER: J F M, Bd. 17, J. 1885, S. 409-410.

=29.= _Application du théorème de_ M. MITTAG-LEFFLER _aux fonctions doublement périodiques de troisième espèce._