Part 2

Les premiers travaux de M. PAUL APPELL, faits sous l'influence de Michel Chasles, se rapportent à la Géométrie projective. En généralisant la théorie de l'involution, M. P. APPELL a composé sa thèse de doctorat, soutenue le 20 juin 1876, qui a pour objet l'étude des propriétés des cubiques gauches à l'aide d'une relation involutive entre trois éléments et leur application au mouvement hélicoïdal d'un corps solide. A la fin de 1876, il a publié, dans un ordre d'idées analogue, la théorie des courbes gauches unicursales du quatrième ordre. Mais, à partir de 1877, en suivant les conseils de Bouquet, il s'adonna de préférence aux recherches sur l'Analyse mathématique.

En octobre 1878, M. P. APPELL donna le premier exemple de la détermination d'une singularité d'une fonction développée en série de MacLaurin, et il appliqua sa méthode au calcul d'une intégrale définie très générale relative aux séries hypergéométriques de Gauss. Il s'occupa ensuite, à des points de vue divers, des fonctions périodiques. En 1881 et en 1882, il publia une étude approfondie des fonctions périodiques générales, qui conservent la même valeur quand on fait sur la variable une opération fonctionnelle d'une certaine forme, ou qui se reproduisent, multipliées par une fonction donnée, quand on fait cette opération; il donna, comme applications, la théorie d'une classe de fonctions généralisant les fonctions eulériennes et une méthode d'intégration de certaines équations différentielles linéaires. A la fin de 1884, il exposa, pour le développement des fonctions elliptiques en séries trigonométriques, une méthode élémentaire qui a suggéré à M. H. Poincaré d'intéressantes remarques.

De 1882 à 1891, M. P. APPELL s'est occupé tout particulièrement des fonctions elliptiques et des fonctions doublement périodiques de deuxième et de troisième espèce, avec ou sans points singuliers essentiels. En 1884, 1885 et 1886, il a créé une certaine fonction qui sert d'élément simple dans la décomposition des fonctions doublement périodiques de troisième espèce; les résultats des recherches qu'il fit alors ont été exposés en 1886 par M. G.-A. Halphen dans son _Traité des Fonctions elliptiques_[2], après avoir écrit cet éloge: «C'est M. APPELL qui, en créant le nouvel élément simple, a conduit cette partie de la théorie au plus haut degré de perfection.» Au début de l'année 1890, il a publié une méthode _a priori_ pour représenter une fonction elliptique par le quotient de deux séries, que l'on peut ensuite ramener aux fonctions [Theta] en appliquant un théorème démontré en 1887 par M. C. Guichard.

Dans la théorie générale des fonctions d'une variable, M. P. APPELL a donné en 1882 et développé en 1883 un théorème, souvent appliqué, sur le développement en série d'une fonction holomorphe dans une aire limitée par des arcs de cercle. Il s'est occupé, en 1882, des fonctions uniformes d'un point sur une surface de Riemann et de leurs diverses expressions par l'intégrale de Cauchy, en faisant jouer à l'intégrale abélienne de seconde espèce le rôle que joue une certaine fonction dans la théorie relative à un seul feuillet; en 1884, il a étendu à ces fonctions uniformes des théorèmes dus à Weierstrass et à M. G. Mittag-Leffler. Aux recherches précédentes se rattache l'important Mémoire que M. P. APPELL a envoyé au Concours ouvert par le roi de Suède et de Norvège Oscar II, à l'occasion du 60e anniversaire de sa naissance, et qui a obtenu une Médaille d'Or le 21 janvier 1889, à la suite d'un élogieux Rapport de Charles Hermite. Après avoir exposé la question principale que visait l'Auteur «en entreprenant ces belles et profondes recherches où il a montré le plus remarquable talent d'invention», Ch. Hermite conclut que «le travail est l'oeuvre d'un géomètre de premier ordre et qu'il sera placé au nombre des plus importantes productions mathématiques». La recherche des coefficients des développements des fonctions abéliennes en séries trigonométriques par des formules semblables à celles de Jacobi pour les fonctions elliptiques a souvent tenté les géomètres: M. P. APPELL, dans ce Mémoire, a donné, pour exprimer ces coefficients, des formules qui montrent bien la différence profonde entre les deux problèmes.

Une partie importante de l'oeuvre analytique de M. P. APPELL a pour objet l'extension, qui offre souvent de grandes difficultés, à des fonctions de deux variables, de propositions et théories relatives aux fonctions d'une variable. Il importe de citer, dans cet ordre d'idées, les deux extensions suivantes qui ont été faites en 1882 et en 1883: d'abord, aux fonctions abéliennes, d'un théorème de Liouville sur les fonctions elliptiques; ensuite à une classe particulière de fonctions de deux variables, du théorème que M. G. Mittag-Leffler a fait connaître en 1876 sur les fonctions d'une variable. Après avoir découvert en 1880 les fonctions hypergéométriques de deux variables, M. P. APPELL fit l'étude analytique générale des équations simultanées aux dérivées partielles qui se rencontrent dans la théorie de ces fonctions: à l'aide de ces séries, il représenta les polynomes de Ch. Hermite et de nouveaux polynomes analogues à ceux de Jacobi; à ces séries, il a rattaché, en 1883, certaines formules de Hansen et de Tisserand; les polynomes correspondants lui ont permis d'étendre, en 1890, aux intégrales doubles la méthode de Gauss pour le calcul approché des intégrales simples. Pour les fonctions de deux variables quadruplement périodiques de troisième espèce, M. P. APPELL démontra, en 1890, que la célèbre relation de Riemann entre les périodes subsiste même si la fonction admet des points singuliers essentiels. En généralisant sa méthode, exposée en 1890, de représentation des fonctions elliptiques, il est parvenu à établir la théorie des fonctions de deux variables ayant quatre paires de périodes et dépourvues de singularités essentielles: d'abord il a montré _a priori_ que ces fonctions s'expriment par le quotient de deux fonctions [Theta], puis il en a déduit l'existence d'une relation algébrique entre trois de ces fonctions. Ces méthodes peuvent être étendues d'elles-mêmes aux fonctions de _n_ variables à 2_n_ groupes de périodes. Enfin dans ce même domaine des fonctions [Theta], il a étudié une série d'exponentielles dont l'exposant est un polynome du quatrième degré du rang _n_, et en a déduit des fonctions de trois variables admettant un groupe de substitutions linéaires entières. De ces profondes études il faut rapprocher des recherches relatives aux fonctions qui vérifient l'équation de Laplace. De 1883 à 1884, M. P. APPELL a établi, pour les fonctions harmoniques de trois variables réelles, une théorie qui est analogue à celle de la partie réelle des fonctions d'une variable complexe; il définit les pôles, les points singuliers essentiels de ces fonctions, auxquelles il étend le théorème de M. G. Mittag-Leffler. Il fait en particulier une étude des fonctions harmoniques à trois groupes de périodes, analogues à la partie réelle d'une fonction elliptique, qu'il exprime à l'aide d'un élément analytique construit comme la fonction Z de Ch. Hermite et la fonction [zeta] de Weierstrass, élément dont il a de nouveau parlé en 1906. En 1884 et en 1886, il a donné des applications des fonctions harmoniques à divers problèmes de Physique mathématique.

M. P. APPELL a étendu, en 1880 et en 1881, aux équations différentielles linéaires et homogènes, les théorèmes relatifs aux fonctions symétriques des racines d'une équation algébrique et à la transformation des équations algébriques. De 1882 à 1887, il a intégré une classe particulière d'équations différentielles linéaires binomes à coefficients algébriques et d'équations différentielles linéaires dont l'intégrale générale est méromorphe sur une surface de Riemann et dont les cycles sont permutables. Puis, dans son Mémoire couronné en 1889, il a classé les équations différentielles linéaires à coefficients algébriques, dans le cas où l'intégrale générale n'admet, sur une surface de Riemann, d'autres singularités que des pôles et des points critiques logarithmiques, en généralisant la classification des intégrales abéliennes. Aux équations différentielles algébriques et homogènes par rapport à la fonction inconnue et à ses dérivées, mais non linéaires, il a montré que l'on peut étendre la théorie des invariants, d'abord en 1887, quand ces équations sont du premier ordre et définissent la dérivée comme fonction rationnelle de l'inconnue, puis, en 1889, quand elles sont du second ordre, homogènes et du second degré par rapport à la fonction inconnue et à ses dérivées première et seconde. Dans le domaine des équations différentielles aux dérivées partielles, il importe de citer l'extension, publiée en 1880, d'un théorème de Fuchs aux équations simultanées généralisant celles de la théorie des fonctions hypergéométriques ainsi que l'intégration, en 1882, d'une équation dont un cas particulier avait été rencontré par Euler dans ses recherches relatives à la propagation du son.

Le principal travail de M. P. APPELL en Géométrie infinitésimale est une étude approfondie du problème des déblais et des remblais, traité d'abord par Monge, proposé par l'Académie des Sciences comme question de Concours pour le prix Bordin. Le Mémoire que M. P. APPELL présenta fut couronné le 21 décembre 1885, conformément aux conclusions d'un beau Rapport de M. Gaston Darboux, qui s'exprime ainsi au cours d'une analyse remplie de précieux renseignements historiques: «C'est un travail de haute valeur où sont employés, alternativement et avec le plus grand succès, les ressources de la Géométrie et les méthodes de l'Analyse moderne».

M. P. APPELL fut amené par ses fonctions à faire une étude approfondie de la Mécanique rationnelle. Un théorème curieux, publié en décembre 1878 et relatif à l'interprétation des valeurs imaginaires du temps, lui permit de déduire d'une même intégration les deux mouvements que prend un système sous l'action de deux champs de force, égaux et de sens opposés. Dans une Note et un Mémoire, parus en 1886 et en 1888, il a ramené l'intégration des équations du mouvement d'un fil flexible et inextensible dans un plan à l'intégration d'une équation aux dérivées partielles du quatrième ordre. Le 4 février 1889, M. P. APPELL a, le premier, proposé d'employer en Mécanique la méthode, si féconde en Géométrie, de transformation des figures par projection centrale. Ses travaux poursuivis en 1890, 1892 et 1895 ont suggéré les recherches de plusieurs géomètres, notamment de MM. E. Goursat, Paul Painlevé, P. Staeckel et S. Dautheville. Enfin, en 1890 et en 1892, il a établi, dans la théorie de la chaleur, des propositions ayant pour but principal la recherche, quand elle est possible, des états antérieurs.

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Toutes ces remarquables recherches attirèrent l'attention de l'Académie des Sciences; M. P. APPELL, après avoir obtenu le prix Bordin en 1885 pour son Mémoire sur les déblais et les remblais, les prix Poncelet en 1887 et Petit d'Ormoy en 1889 pour l'ensemble de ses travaux, fut élu, le 7 novembre 1892, membre de ce corps savant, dans la Section de Géométrie. Pendant les années qui suivirent cette élection, il continua ses recherches en Analyse pure et en Analyse appliquée à la Mécanique.

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On sait quelle est l'importance du problème de l'inversion des intégrales simples: en 1897, M. P. APPELL a montré comment on peut définir le problème de l'inversion des intégrales doubles et multiples, par la considération d'un champ d'intégration dépendant de plusieurs paramètres variables.

Les équations de Lagrange ne sont applicables qu'aux systèmes, dits _holonomes_, dont les liaisons s'expriment en termes finis. M. P. APPELL a donné, le 28 août 1899, une autre forme générale des équations de la Dynamique s'appliquant à tous les systèmes sans frottement, holonomes ou non, et reposant sur l'emploi de l'énergie d'accélération à la place de l'énergie de vitesse. Les études, publiées en 1903 et en 1909, sur les fonctions ayant des significations indépendantes du choix des axes, l'ont conduit à d'importants résultats relatifs aux fonctions et aux vecteurs de points en Hydrodynamique et au problème du mouvement d'un fil. Au Congrès des Sociétés savantes, en 1910, il a donné une équation fonctionnelle pour l'équilibre d'une masse liquide en rotation et soumise à l'attraction newtonienne. La question du problème de l'extinction du frottement, dans le cas d'un système matériel présentant certains caractères réalisés dans la plupart des systèmes usuels, a été signalée par M. P. APPELL dans un Discours prononcé, le 4 août 1905, au Congrès tenu à Cherbourg par l'Association Française pour l'Avancement des Sciences; puis résolue d'une manière précise dans deux Notes, parues en 1907, qui peuvent être regardées comme le point de départ d'intéressantes recherches se rapportant à la Mécanique et à la Physique. Il convient de signaler encore les extensions, faites en 1892 et en 1893, des équations de Lagrange au cas où il y a frottement et à la théorie du choc et des percussions; l'intégration, faite en 1899, des équations du mouvement d'un corps pesant de révolution roulant par une arête circulaire sur un plan horizontal; les recherches, publiées en 1899 et en 1904, sur l'équilibre d'un flotteur avec un chargement liquide et sur la théorie d'un appareil à déterminer la position et la masse des balourds. Tous ces travaux de M. P. APPELL ont trouvé leur place dans son _Traité de Mécanique rationnelle_, dont la publication a été commencée en 1893: les diverses éditions des trois volumes de cet Ouvrage, qui est très apprécié, sont analysées au début de la IVe Section de cet Opuscule.

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Le 1er avril 1903, M. P. APPELL fut élu Doyen de la Faculté des Sciences de l'Université de Paris et, en 1904, membre du Conseil supérieur de l'Instruction publique; de plus, il fait partie de la section permanente de ce Conseil. Ces fonctions absorbantes l'ont contraint à consacrer la plus grande partie de son activité à l'étude des questions relatives à l'organisation de l'Enseignement supérieur en France. Ses idées sur l'éducation et les études sont exposées dans plusieurs Discours et Articles, et, plus particulièrement, d'abord dans la Conférence sur l'Enseignement supérieur des Sciences, qu'il a faite, en février 1904, à l'École des hautes études sociales et qui a été suivie d'une intéressante discussion résumée par M. Clément Colson; ensuite dans un long Rapport que la Commission interministérielle des Grandes Écoles approuva en juillet 1904 et dont les diverses résolutions ont été appliquées dans les Programmes de l'Enseignement secondaire. En outre, depuis 1906, M. P. APPELL s'est efforcé d'établir des relations cordiales et suivies entre les milieux savants Nationaux et Américains, en sa qualité de Président du Conseil de direction du Groupement des Universités et Grandes Écoles de France pour les rapports avec l'Amérique latine.

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M. PAUL APPELL a une attitude bienveillante et une physionomie ouverte qui inspirent la confiance absolue et qui engagent à s'ouvrir complètement à lui. Comme il possède l'art de dénouer les liens d'une affaire compliquée, il rend, pour les questions administratives les plus délicates, de grands services aux Conseils et aux Ministères qui sollicitent son avis. Lorsqu'il enseigne, il expose avec tant de clarté les points les plus difficiles des théories que ses auditeurs, en sortant du cours, se croient capables de répéter, immédiatement et sans embarras, les explications qu'ils ont entendues. Aimant la jeunesse laborieuse et gaie, il accueille toujours avec cordialité les étudiants qui viennent demander un renseignement ou un conseil. Il a beaucoup lu: toutes les productions de l'esprit l'intéressent. En Sciences, hors de l'Analyse et de la Mécanique qui sont l'objet de ses recherches favorites, il s'occupe tout spécialement de Géologie et d'Astronomie.

La vie de M. PAUL APPELL a toujours été d'une extrême simplicité, en rapport avec les traditions alsaciennes; on peut dire qu'elle a été partagée entre deux sentiments: l'amour du travail et de l'action scientifique, le désir passionné de voir de nouveau réunies sa grande et sa petite patrie, la France et l'Alsace. Tous les ans, pendant les grandes vacances, il va se reposer et songer dans le pittoresque pays alsacien où son enfance s'est écoulée heureuse, dans les forêts des Vosges dont il a pénétré le charme grave et profond, en chassant avec son malheureux frère, et qu'il aime maintenant à parcourir en promeneur et à faire connaître à ses amis de France.

E. L.

NOTES.

[1] CHARLES APPELL est né à Strasbourg le 20 avril 1842, place Saint-Étienne, dans la maison appelée le _Ritterhus_. Il a été arrêté le 27 janvier 1888, condamné le 9 juillet 1888 à 1 an de prison, 9 ans de forteresse et à 10 260 marks de frais de justice. Mis en liberté le 20 décembre 1896, un an avant l'expiration de sa peine, il est mort le 22 mars 1905. Le Musée de Strasbourg contient son portrait dû au peintre Alsacien BEYER. On trouve de nombreux détails sur la vie de CHARLES APPELL dans les Journaux suivants:

_Journal d'Alsace-Lorraine_, Strasbourg, 23 et 25 mars 1905; 27 mars 1905, petite édition du Lundi (avec un portrait),

_Strassburger Bürger-Zeitung_, 23 mars 1905.

_Le Messager d'Alsace_, Paris, 60, rue de La Rochefoucauld, 25 mars 1905 (avec un portrait), 1er avril, 8 avril (avec un portrait), 15 avril 1905 (avec l'Arrêt de la Haute-Cour de Leipzig).

_Le Temps_, Paris, 24 mars 1905.

_L'Écho de Paris_, Paris, 27 mars 1905.

[2] _Traité des Fonctions elliptiques et de leurs Applications_, par G.-H. HALPHEN, Paris G.-V., 1re P., 1886, gr. in-8, p. 468-483.

GRADES. FONCTIONS. TITRES HONORIFIQUES. PRIX. DÉCORATIONS.

PAUL-ÉMILE APPELL,

Né à Strasbourg (Bas-Rhin, France) le 27 septembre 1855.

Élève au Collège SAINT-ARBOGAST, à Strasbourg, de 1864-1868.

Élève au petit Séminaire de Strasbourg, pendant l'année scolaire 1868-1869.

Élève au Lycée de Strasbourg, pendant l'année scolaire 1869-1870.

Élève en Mathématiques spéciales au Lycée de Nancy, pendant l'année scolaire 1872-1873.

Bachelier ès Lettres, _reçu_ à Nancy, le 9 novembre 1871.

Bachelier ès Sciences, _reçu_ à Nancy, le 14 novembre 1871.

_Admis le second_ à l'École Normale supérieure, Section des Sciences, le 11 août 1873 et le _troisième_ à l'École Polytechnique, le 14 octobre 1873.

Élève à l'École Normale supérieure, Section des Sciences, pendant la période triennale d'octobre 1873 à août 1876.

Licencié ès Sciences mathématiques, _reçu_ le 8 juillet 1875.

Licencié ès Sciences physiques, _reçu_ le 25 juillet 1875.

Docteur ès Sciences mathématiques de la Faculté des Sciences de Paris, _reçu_ le 20 juin 1876.

Agrégé des Sciences mathématiques, _reçu le premier_ le 8 septembre 1876.

_Chargé_ des fonctions de répétiteur d'Analyse et de Mécanique à l'École pratique des Hautes-Études, Section des Sciences mathématiques, le 14 septembre 1876.

Maître de Conférences de Mathématiques à la Faculté des Sciences de Paris, du 1er mars 1878 à la fin de l'année scolaire 1878-1879.

_Chargé_ du Cours de Mécanique rationnelle et appliquée à la Faculté des Sciences de Dijon, du 11 novembre 1879 au 25 octobre 1881.

Suppléant de M. BRIOT à l'École Normale supérieure pour les Conférences de Mécanique et d'Astronomie pendant l'année scolaire 1881-1882.

_Chargé_, à la Faculté des Sciences de Paris, de Conférences préparatoires à l'Agrégation des Sciences mathématiques, du 16 décembre 1881 au 15 mars 1883.

Maître de Conférences de Mécanique et d'Astronomie à l'École Normale supérieure, _nommé_ le 17 octobre 1882.

Suppléant de M. V. PUISEUX à la Faculté des Sciences de Paris pour le Cours d'Astronomie mathématique et de Mécanique céleste, pendant le second semestre de l'année scolaire 1882-1883.

_Autorisé_ à se faire suppléer par M. E. PICARD à l'École Normale supérieure, pour les Conférences de Mécanique et d'Astronomie, du 25 février 1883 au 30 novembre 1885.

_Chargé_ du Cours de Mécanique rationnelle à la Faculté des Sciences de Paris, le 10 novembre 1883.

Professeur de Mécanique rationnelle à la Faculté des Sciences de Paris, _depuis_ le 23 novembre 1885.

M. P. APPELL, professeur de Mécanique rationnelle à la Sorbonne, et M. P. PAINLEVÉ, professeur de Mathématiques générales à la Sorbonne, _ont été autorisés_ à échanger leur enseignement du 19 octobre 1903 au 1er novembre 1910.

Membre de la Commission de patronage de l'École pratique des Hautes-Études, Section des Sciences mathématiques, _depuis_ le 16 janvier 1901.

Doyen de la Faculté des Sciences de l'Université de Paris, _depuis_ le 1er avril 1903.

Membre du Conseil académique de Paris et du Conseil de l'Université de Paris, au titre de Doyen de la Faculté des Sciences, _depuis_ le 1er avril 1903.

Membre du Conseil supérieur de l'Instruction publique, _délégué_ par les Facultés des Sciences, _depuis_ le 31 mai 1904. Membre de la Section permanente de ce Conseil _depuis_ le 21 juin 1904.

_Chargé_ de Conférences de Mathématiques à l'École Normale supérieure d'Enseignement secondaire pour les Jeunes Filles, à Sèvres, _depuis_ le 13 novembre 1884.

Répétiteur de Mécanique à l'École Polytechnique, _nommé_ auxiliaire le 1er décembre 1890, _nommé_ adjoint le 30 mai 1895. Démissionnaire le 31 janvier 1909.

Examinateur d'Admission à l'École Centrale des Arts et Manufactures, session de 1894.

Professeur d'Analyse mathématique à l'École Centrale des Arts et Manufactures, _depuis_ le 1er novembre 1895.

Président du Jury d'Agrégation des Sciences mathématiques de 1894 à 1903.

Président du Jury d'Agrégation de Mathématiques de l'Enseignement secondaire des Jeunes Filles, _depuis_ 1904.

Membre de l'Académie des Sciences (Institut national de France), à Paris, _élu_, dans la Section de Géométrie, le 7 novembre 1892.

Membre étranger de l'Académie royale des Lincei, à Rome, _élu_ le 17 juillet 1904.

Membre de la Société Philomathique de Paris, _élu_ le 9 mars 1878. Membre correspondant du 11 novembre 1879 au 31 décembre 1898.

Membre associé de l'Académie de STANISLAS, à Nancy, _élu_ le 22 janvier 1904.

Docteur _honoris causâ_ en Mathématiques de l'Université royale Frédéricienne de Christiania, _élu_ le 6 septembre 1902.

Au Ministère de l'Instruction publique:

Membre du Comité des Travaux historiques et scientifiques, _nommé_ le 7 mars 1893.

Membre du Comité consultatif des Sciences, _depuis_ le 1er mai 1903.

Membre de la Commission relative au Baccalauréat de l'Enseignement secondaire, _nommé_ le 6 juillet 1904.

Membre du Conseil des Observatoires de province, _depuis_ sa création le 15 février 1907.

Membre de la Commission chargée d'élaborer un projet de statut pour le personnel auxiliaire (chef des travaux et préparateurs) et le personnel subalterne (mécaniciens et garçons) des Facultés, _nommé_ 15 mars 1910.

A l'Université de Paris:

Membre du Conseil de l'Observatoire de Nice, _depuis_ le 1er avril 1903.

Vice-Président du Conseil de perfectionnement de l'Institut aérotechnique, _depuis_ mars 1910.

Membre de la Commission des Inventions intéressant les Armées de terre et de mer, au Ministère de la Guerre, _nommé_ le 14 juin 1894.

Membre de la Commission d'Aéronautique, à l'Académie des Sciences, _élu_ le 27 octobre 1902.

Membre du Conseil de perfectionnement de l'École Polytechnique, _délégué_ du Ministère de l'Instruction publique, le 1er novembre 1907.

Membre du Comité de rédaction des _Annales scientifiques de l'École Normale supérieure_, _depuis_ janvier 1882.

Directeur de la Section de Mécanique dans l'Édition Française de l'_Encyclopédie des Sciences mathématiques pures et appliquées_, _depuis_ 1904.

Président de la Société mathématique de France, en 1885.