Part 7

La Géométrie est peut-être, de toutes les parties des mathématiques, celle que l'on doit apprendre la première; elle me paraît très propre à intéresser les enfants, pourvu qu'on la leur présente principalement par rapport à ses applications, soit sur le papier, soit sur le terrain. Les opérations de _tracé_ et de _mesurage_ ne manqueront pas de les occuper agréablement, et les conduiront ensuite, comme par la main, au raisonnement.

¤---¤---¤

Les éléments de Géométrie de Clairaut, ordonnés suivant la méthode des inventeurs, sont les plus convenables pour diriger le maître dans cette circonstance.....

LACROIX.

¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤

Feu M. Clairaut imagina de faire apprendre facilement aux jeunes gens les éléments de la géométrie; il voulut remonter à la source, et suivre la marche de nos découvertes et des besoins qui les ont produites.

Cette méthode paraît agréable et utile; mais elle n'a pas été suivie; elle exige chez le maître une flexibilité d'esprit qui sait se proportionner, et un agrément rare dans ceux qui suivent la routine de leur profession.

VOLTAIRE.

¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤

Il y a deux manières d'étudier les mathématiques et deux époques pour faire ces études avec des fruits divers.

On peut les étudier matériellement, machinalement, en demeurant dans les faits mathématiques, dans les mots, dans les chiffres, dans les formules d'un enseignement sans plénitude et sans élévation.....

Ou bien, on peut les étudier intellectuellement, originalement, en comparant le sens et le lien des mots, des idées et des choses, en s'élevant aux grandes et aux simples lumières de la science, en saisissant, pénétrant, possédant réellement la vérité.

DUPANLOUP.

¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤

Aujourd'hui la partie philosophique de la science est très négligée; les moyens de briller dans un examen ou concours marchent en première ligne; sauf de rares exceptions, les professeurs songent beaucoup plus à familiariser les élèves avec le mécanisme du calcul qu'à leur en faire sonder les principes. Je ne sais, en vérité, si l'on ne pourrait pas dire de certaines personnes qu'elles emploient l'analyse comme la plupart des manufacturiers se servent de la machine à vapeur, sans se douter de son mode d'action. Et qu'on ne prétende pas que cet enseignement vicieux soit un sacrifice obligé à la passion dominante de notre époque, à la rage d'aller vite en toutes choses.

ARAGO.

¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤

Préférez, dans l'enseignement, les méthodes les plus générales. Attachez-vous à les présenter de la manière la plus simple, et vous verrez en même temps qu'elles sont presque toujours les plus faciles.

LAPLACE.

¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤

Les exemples instruisent mieux que les préceptes.

NEWTON.

¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤

Au moyen-âge et jusqu'au XVIIe siècle, l'enseignement portait sur les sept arts libéraux et il comprenait le _Trivium_ (grammaire, rhétorique et dialectique) et le _Quadrivium_ (arithmétique, géométrie, musique et astronomie).

¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤

Sommes-nous revenus au système de Ptolémée?

Je me souviens d'un fort habile homme qui, sur la lecture du premier volume d'un de nos plus savants traités d'astronomie, voyant l'auteur toujours parler des mouvements du soleil, des cercles qu'il parcourt, de sa révolution diurne, de ses mouvements annuels, progrès, stations et rétrogradations, croyait, d'après cet exposé, que l'Académie des sciences était revenue au système de Ptolémée.

Pourquoi commencer par décrire longuement et minutieusement à l'élève des apparences dont il apprendra ensuite la fausseté? Pourquoi ne pas lui dire tout de suite et franchement ce qui en est?

GRATRY.

¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤

_Ne dites pas:_ _Dites:_

Une ligne (pour une droite), un cercle (pour une circonférence). Une droite, une circonférence.

Je mène par un point _une_ perpendiculaire à une droite, _une_ parallèle... _La_ perpendiculaire, _la_ parallèle...

7 × 8: ne se lit pas 7 qui multiplie 8. 7 multiplié par 8.

Le lieu des points est _sur_ telle ligne. Le lieu des points est telle ligne.

Le lieu des points est le segment circulaire, etc. L'arc du segment circulaire, etc.

Inscrire _dans_ ... Inscrire _à_ ...

Je divise l'équation par tel nombre. Je divise les deux membres de l'équation ...

La racine négative de l'équation du second degré. La racine où le radical est précédé du signe -.

Les puissances impaires. À exposant impair.

Plus grand ou égal à (>=). Supérieur ou égal à.

7 x 3/11 x 3.--Je multiplie la fraction par _trois_. Je multiplie les deux termes de la fraction par _trois_.

4/15 et 8/30.--La plus grande fraction. La fraction qui a des termes plus grands.

_a/b, a'/b', a''/b''_ puis _(a+a'+a'')/(b+b'+b'')_.--Ajouter les fractions. Etc., etc. Ajouter les fractions terme à terme. Etc., etc.

¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤

Dans le domaine des Mathématiques pures, on peut distinguer deux parties: l'une, la plus élevée, qui s'augmente constamment, presque toujours par degrés insensibles, ne regarde que les mathématiciens; l'autre, longtemps immuable, s'accroît brusquement, à des intervalles éloignés, par l'adoption de quelque théorie nouvelle: c'est la matière de l'enseignement, ce que doivent retenir et savoir appliquer tous les hommes qui s'adonnent aux sciences et, sans cultiver les Mathématiques, ont toujours besoin de les connaître.

HALPHEN.

¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤

Toute science de raisonnement repose sur un petit nombre de propositions simples irréductibles à d'autres plus simples, appelées axiomes, et sur les définitions. Ces éléments, convenablement mis en oeuvre par le raisonnement, conduisent aux propositions les plus complexes, qui ne sont donc, en définitive, que des composés logiques de ces éléments. Dans la géométrie élémentaire, l'arithmétique, la statique et plus généralement dans toutes les sciences où l'on fait usage de la méthode synthétique, en allant du simple au composé, on prend pour point de départ ces éléments, axiomes ou définitions, et on s'élève de proche en proche, jusqu'aux propositions les plus complexes...

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Frappé de cette difficulté que les élèves éprouvent à saisir l'ensemble et les déductions du Cours, j'ai souvent employé avec succès un mode d'exercice, que j'appelle la recherche des antécédents d'une proposition et qui n'est en quelque sorte que l'_analyse_ d'une proposition trouvée d'abord par la _synthèse_... On prend une proposition quelconque et l'on relève toutes les propositions antécédentes (lemmes, théorèmes, corollaires), toutes les définitions et tous les axiomes invoqués dans la démonstration. On a ainsi une première analyse de la proposition donnée. On reprend ensuite chacune des propositions antécédentes invoquées, on les analyse à leur tour et l'on continue de la sorte jusqu'à ce que l'on arrive à n'avoir plus que des axiomes et des définitions.

JABLONSKI.

¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤

«Allez en avant, a dit d'Alembert, la foi vous viendra.» Le remarquable morceau qui suit est un commentaire de ce conseil parfois contesté.

¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤

Quoique les vérités mathématiques se déduisent, dans un ordre rigoureux, d'un petit nombre de principes réputés évidents, on ne parvient point à les posséder pleinement, en en suivant pas à pas les déductions, en allant toujours dans le même sens du connu à l'inconnu, sans jamais revenir en arrière sur un chemin où l'on n'a rien laissé d'obscur. Le sens et la portée des principes échappent au débutant, qui saisit mal la distinction entre ce qu'on lui demande d'accorder et les conséquences purement logiques des hypothèses ou des axiomes; parfois, la démonstration lui paraît plus obscure que l'énoncé; c'est en vain qu'il s'attarderait dans la région des principes pour la mieux connaître, il faut que son esprit acquière des habitudes qu'il n'a pas, qu'il aille en avant sans trop savoir ni où il va, ni d'où il part; il prendra confiance dans ce mode de raisonnement auquel il lui faut plier son intelligence, il s'habituera aux symboles et à leurs combinaisons. Revenant ensuite sur ses pas, il sera capable de voir, du point de départ et d'un seul coup d'oeil, le chemin parcouru: quelques parties de la route resteront pour lui dans l'ombre, quelques-unes même seront peut-être entièrement obscures, mais d'autres sont vivement éclairées; il sait clairement comment on peut arriver de cette vérité à cette autre; il sait où il doit porter son attention; ses yeux, mieux exercés, parviennent à voir clair dans ces passages difficiles dont il n'aurait jamais pu se rendre maître, s'il ne les avait franchis; il est maintenant capable d'aller plus loin ou de suivre une autre direction; il entre en possession des vérités nouvelles qui s'ajoutent aux vérités anciennes et qui les éclairent; il s'étonne parfois des perspectives inattendues qui s'ouvrent devant lui et lui laissent voir, sous un aspect nouveau, des régions qu'il croyait connaître entièrement; peu à peu les ombres disparaissent et la beauté de la science, si une dans sa riche diversité lui apparaît avec tout son éclat.

Ce qui se passe dans l'esprit de celui qui étudie les mathématiques n'est que l'image de ce qui s'est passé dans la création et dans l'organisation de la science; dans ce long travail, la rigueur déductive n'a pas été seule à jouer un rôle. On peut raisonner fort bien et fort longtemps sans avancer d'un pas, et la rigueur n'empêche pas un raisonnement d'être inutile. Même en mathématiques, c'est souvent par des chemins peu sûrs que l'on va à la découverte. Avant de faire la grande route qui y mène, il faut connaître la contrée où l'on veut aller; c'est cette connaissance même qui permet de trouver les voies les plus directes; c'est l'expérience seule qui indique les points où il faut porter l'effort; ce sont les difficultés parfois imprévues qui se dressent devant les géomètres qui les forcent à revenir au point de départ, à chercher une route nouvelle qui permette de tourner l'obstacle. S'imagine-t-on, par exemple, les inventeurs du calcul différentiel et intégral s'acharnant, avant d'aller plus loin, sur les notions de dérivée et d'intégrale définie?

J. TANNERY.

¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤

La science même la plus exacte renferme quelques principes généraux que l'on saisit par une sorte d'instinct qui ne permet pas d'en douter, et auquel il est bon de se livrer d'abord. Après les avoir suivis dans toutes leurs conséquences et s'être fortifié l'esprit par un long exercice dans l'art de raisonner, on peut sans danger revenir sur ces principes qui se présentent alors dans un plus grand jour...

LAPLACE.

¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤

J'avoue même que j'attacherai moins de prix à mettre dans la démonstration d'un théorème cette rigueur extrême, si recherchée maintenant, qu'à faire clairement apercevoir la raison de ce théorème et ses connexions avec les autres vérités mathématiques. Je prie donc que l'on m'accorde quelquefois, pour la commodité de l'exposition et pour ne point décourager dès le début mes jeunes lecteurs, des démonstrations qui ont satisfait si longtemps les plus grands géomètres.

COURNOT.

¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤

Il ne faut pas prévenir à contre-temps des difficultés trop subtiles.

J. BERTRAND.

¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤

Voulez-vous simplifier une théorie, une méthode, inscrivez-la dans les programmes. Les professeurs se chargeront de l'éclairer et de la réduire à sa plus simple expression.

¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤

Je me défie un peu des démonstrations trop élégantes, trop symétriques, reposant sur une heureuse notation. Elles empêchent parfois de réfléchir au fond des choses, elles persuadent plus qu'elles n'éclairent.

¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤

Il importe de bien comprendre l'importance de la condition _nécessaire_ et _suffisante_ ou de la réciprocité des conditions ou, comme on dit encore, de la propriété caractéristique. Combien de raisonnements faux ou incomplets entraîne une analyse imparfaite!

La démonstration des réciproques--lorsqu'elles sont vraies--est trop négligée.

Pour établir un lien mathématique, il faut deux propositions dont la seconde est, à volonté, la réciproque ou la contraire de la première.

¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤

Ce n'est pas dans la manière de figurer les nombres, de les habiller pour ainsi dire, que nous distinguons l'Arithmétique de l'Algèbre, mais c'est surtout dans l'essence même des nombres, dans la manière de les concevoir. La ligne de démarcation de l'Arithmétique et de l'Algèbre provient de l'idée que l'on se fait du nombre, suivant qu'on le considère comme grandeur ou seulement comme numéro d'ordre, c'est-à-dire suivant que l'on accepte ou que l'on refuse la notion de continuité; c'est ainsi que la doctrine des nombres irrationnels, des logarithmes, etc., appartient exclusivement au domaine de l'Algèbre, c'est-à-dire des fonctions analytiques.

E. LUCAS.

HISTOIRE

Dès les temps les plus reculés, les hommes ont compté les objets et mesuré grossièrement l'étendue et le temps. Ces notions ont commencé à se préciser chez les Phéniciens, commerçants et calculateurs, chez les Égyptiens, arpenteurs (inondations du Nil) et architectes (Pyramides); enfin chez les Chaldéens, pasteurs et observateurs des astres. Tels seraient les commencements de l'arithmétique, de la géométrie et de l'astronomie.

Les premiers documents historiques nous montrent la Géométrie prenant son admirable développement chez les Grecs. Presque oubliées pendant le Moyen âge, les Mathématiques renaissent au seizième siècle chez les Occidentaux. Le siècle suivant voit paraître la Géométrie analytique et le Calcul infinitésimal, grandes découvertes qui renouvellent et étendent la science.

Nous allons esquisser les principales périodes de l'histoire des mathématiques.

I. PHILOSOPHES GRECS.--Ils étaient aussi presque tous géomètres et astronomes.

On attribue à _Thalès_ (600 ans av. J.-C.) et à son École ionienne les propositions les plus simples de la Géométrie, les premières mesures de distances inaccessibles et des observations astronomiques au gnomon.

_Pythagore_ (550 ans av. J.-C.) et les Pythagoriciens connaissent la somme des angles d'un triangle, le carré de l'hypoténuse, les polyèdres réguliers et l'un au moins des deux mouvements de la Terre.

_Platon_ (400 ans av. J.-C.) et les Platoniciens dégagent la méthode d'analyse en Géométrie; ils imaginent les coniques et d'autres lieux géométriques pour opérer la duplication du cube; ils raisonnent déjà les incommensurables.

II. L'ÉCOLE GRECQUE D'ALEXANDRIE.--Dans cette célèbre École, qui dure plus de mille ans, les Mathématiques brillent du plus vif éclat et atteignent leur apogée.

_Euclide_ (300 ans av. J.-C.) coordonne, dans ses _Éléments_, toute la Géométrie, sauf les coniques. Ce livre domine encore l'enseignement de nos jours.

_Archimède_ (250 ans av. J.-C), le plus grand peut-être de tous les mathématiciens, mesure le cercle et la sphère; fait la quadrature de la parabole; étudie la première série; fonde la statique sur la théorie du levier, etc.

_Apollonius_ de Perge (200 ans av. J.-C.) résume, dans son _Traité des coniques_, les propriétés déjà connues de ces courbes et celles plus cachées qu'il découvre à son tour.

_Hipparque_ (150 ans av. J.-C.) refait toutes les observations astronomiques et, malgré l'imperfection de ses instruments, il trouve des nombres assez exacts pour servir de base à la théorie.

_Ptolémée_ (150 ans ap. J.-C.) admet, dans son _Almageste_, la fixité de la Terre et parvient néanmoins à représenter les mouvements célestes, à l'aide d'un système compliqué de cercles.

_Diophante_ (350 ans ap. J.-C), surnommé le Père de l'Algèbre, crée enfin cette nouvelle branche dans ses _Arithmétiques_.

La science pâlit ensuite à Alexandrie. Il n'y a plus que des commentateurs, parmi lesquels on doit distinguer _Pappus_: il nous conserve, dans ses _Collections mathématiques_, des fragments d'ouvrages perdus.

III. LES AUTRES PEUPLES JUSQU'À LA RENAISSANCE.--Les _Égyptiens_ possèdent des connaissances arithmétiques et géométriques, bien des siècles avant notre ère, comme le prouve le papyrus d'Ahmès, récemment déchiffré. Ils restent stationnaires, tandis que les Grecs, qui leur font des emprunts, progressent rapidement.

De même, les _Chinois_ paraissent savoir des Mathématiques dès l'antiquité la plus reculée; mais ce peuple, lui aussi, reste immobile.

Les _Hindous_, tels que Aryabhata, Bramagupta et Bascara, ont, de temps immémorial, la curiosité des grands nombres; ils cultivent l'Algèbre et résolvent les équations des deux premiers degrés.

Les _Arabes_, tels que Mohamed-ben-Musa, Aboul-Wefa, etc., servent d'intermédiaires entre les Grecs et les Indiens d'une part et les Occidentaux de l'autre.

En _Europe_, le Moyen-âge reste obscur et stérile. Citons cependant _Gerbert_ qui s'instruit, vers l'an 1000, auprès des Maures d'Espagne et apporte aux Chrétiens les chiffres modernes. Citons encore les Algébristes italiens, _Léonard de Pise_, qui fait le commerce en Orient au douzième siècle, et _Lucas de Burgo_ (quinzième siècle).

IV. LE SEIZIÈME SIÈCLE.--La science reprend enfin son essor, et les grandes découvertes se préparent.

Le Polonais _Copernic_ (1473-1543) propose le véritable système du monde et en montre l'admirable simplicité.

L'Italien _Cardan_ (1501-1576) établit la formule de résolution des équations du 3e degré; il tenait la règle de Tartaglia.

_Viète_ (1540-1603), né dans le Bas-Poitou, entrevoit les propriétés générales des équations, résout par l'algèbre les problèmes de géométrie et complète la trigonométrie.

L'Écossais _Neper_ (1550-1617), inventeur des logarithmes, double, pour ainsi dire, la vie des calculateurs.

_Harriot_ (1568-1621), d'Oxford, trouve les relations entre les coefficients et les racines des équations, et il calcule les racines entières et fractionnaires.

_Galilée_, de Florence (1564-1642), étudie le pendule, découvre les lois de la chute des corps et des projectiles; il confirme le système de Copernic, par ses observations astronomiques.

V. LE DIX-SEPTIÈME SIÈCLE.--Ce siècle, aussi grand dans les sciences que dans les lettres, nous donne d'une part la géométrie analytique et le calcul infinitésimal, de l'autre les lois de Kepler et de l'attraction universelle.

L'Allemand _Kepler_ (1571-1630), utilisant les observations de Tycho-Brahe, trouve les trois lois du mouvement des planètes autour du soleil.

Notre grand _Descartes_ (1596-1650) étend l'algèbre pure et il crée la Géométrie analytique ou étude des courbes à l'aide de leurs équations.

_Fermat_, de Toulouse (1601-1665), résout aussi les problèmes des tangentes et des maximums, et il révèle les propriétés les plus secrètes des nombres.

_Pascal_ (1623-1662) crée l'analyse combinatoire et le calcul des probabilités; il perfectionne la géométrie des courbes.

Le Hollandais _Huygens_ (1629-1695) fait progresser à la fois la géométrie, la mécanique et l'astronomie.

Le grand _Newton_ (1642-1727) invente le Calcul infinitésimal ou des _fluxions_, et découvre la loi de l'attraction universelle. Il a autant de génie que le vieil Archimède.

_Leibniz_ (1646-1716) imagine le nouveau Calcul presque en même temps que Newton, et avec une notation plus heureuse.

VI. LE DIX-HUITIÈME SIÈCLE.--Les mathématiciens appliquent l'analyse infinitésimale aux questions les plus variées et les plus difficiles.

Le Suisse _Euler_ (1707-1783) fait de nombreuses recherches sur les fonctions, les séries, les intégrales, etc.

_D'Alembert_ (1717-1783) traite la précession des équinoxes par le calcul, et il ramène l'étude du mouvement à celle de l'équilibre.

_Lagrange_ (1736-1813) manie avec une rare élégance l'algèbre et le calcul infinitésimal; il crée la mécanique rationnelle.

_Monge_ (1746-1818) fonde la géométrie descriptive, si utile aux ingénieurs.

_Laplace_ (1749-1827) se rend célèbre par sa _Mécanique céleste_ ou application du calcul au système du monde.

_Carnot_ (1753-1823), géomètre-philosophe, cherche à préciser les nombres négatifs et imaginaires, les intégrales, etc.

VII. PREMIÈRE MOITIÉ DU DIX-NEUVIÈME SIÈCLE.--Cette période se fait remarquer à la fois par des vues très générales et par la curiosité du détail.

L'Allemand _Gauss_ (1777-1855) étudie les équations binomes et la théorie des nombres.

Le général _Poncelet_ (1788-1867) étend la géométrie par les méthodes de transformation.

_Cauchy_ (1789-1857) se livre à de profondes recherches sur les séries, les imaginaires et l'infini.

L'Allemand _Jacobi_ (1804-1851) s'occupe de fonctions nouvelles et, en particulier, des fonctions elliptiques.

_Chasles_ (1793-1880) systématise, dans sa _Géométrie supérieure_, la convention des signes, le rapport anharmonique, l'homographie, l'involution, etc.

Dans la dernière moitié de ce siècle, les efforts se dirigent vers la physique mathématique qui se constitue peu à peu. En analyse pure, la recherche se particularise et s'aiguise de plus en plus, on creuse les propriétés des fonctions et des équations différentielles, le calcul infinitésimal porte tous ses fruits.

¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤

Nous allons passer une revue rapide des _plus grands mathématiciens_, de ces génies créateurs qui ont découvert et fondé la science. Nous essaierons de caractériser chacun d'eux en reproduisant un jugement compétent et en citant l'oeuvre capitale.

_Euclide_ (300 av. J.-C.) ou la Géométrie élémentaire.

Jamais aucun livre de science n'a eu une aussi longue influence que les _Éléments d'Euclide_. Ils ont été traduits et commentés dans toutes les langues, enseignés exclusivement pendant des siècles dans toutes les Écoles de Mathématiques: on les suit encore en Angleterre.

ROUCHÉ.

¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤

_Archimède_ (287-212 av. J.-C.) ou la Géométrie infinitésimale.

Ceux qui sont en état de comprendre Archimède admirent moins les découvertes des plus grands hommes modernes.

LEIBNIZ.

¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤

_Apollonius_ (de Perge) (200 av. J.-C.) ou la Géométrie des coniques.

L'ouvrage d'Apollonius sur les _sections coniques_ est pour ainsi dire le couronnement de la Géométrie grecque.... Tout y est coordonné symétriquement; l'unité du plan reflète, jusque dans les moindres détails, la pensée directrice de l'auteur, qui tend à lier entre elles toutes les sections du cône.

HOEFER.

¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤

_Hipparque_ (150 av. J.-C.) ou les Observations astronomiques.

Quand on réunit tout ce qu'il a inventé ou perfectionné, et qu'on songe au nombre de ses ouvrages, à la grande quantité de calculs qu'ils supposent, on trouve dans Hipparque un des hommes les plus étonnants de l'Antiquité, et le plus grand de tous dans les sciences qui ne sont pas purement spéculatives.

DELAMBRE.

¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤

_Ptolémée_ (150 ap. J.-C.) ou l'Astronomie géométrique.