Part 4

Tout nombre est fini et assignable, toute ligne l'est de même et les infinis ou infiniment petits ne signifient que des grandeurs qu'on peut prendre aussi grandes ou aussi petites que l'on voudra.....

..... On entend par infiniment petit l'état de l'évanouissement ou du commencement d'une grandeur, conçue à l'imitation des grandeurs déjà formées.

LEIBNIZ.

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La notion de l'infini, dont il ne faut pas faire un mystère en Mathématiques, se réduit à ceci: Après chaque nombre entier, il y en a un autre.

J. TANNERY.

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C'est l'élan de l'esprit au-delà de ce que montre l'observation, au-delà même de tout ce qu'elle est capable de donner, qui seul a pu nous faire connaître la série des nombres entiers, celle des grandeurs continues, et nous conduire par là aux idées d'infiniment petit, de point, de ligne, de surface, limites de quantités indéfiniment décroissantes ou d'étendues dont certaines dimensions diminuent jusqu'à zéro. Ces notions se présentent donc à nous comme des créations de l'intelligence dans sa recherche de la simplicité et de la perfection absolue pour ce qui concerne les grandeurs, comme des données que la vue des choses n'implique pas logiquement, c'est-à-dire déductivement, mais qu'elle suggère à notre faculté d'intuition idéale, ou, si l'on veut, à notre pouvoir de généralisation. L'infiniment petit, notamment, n'est pas le zéro pur, le zéro considéré isolément, mais bien le zéro en tant que limite des décroissements d'une grandeur, ou en tant que point de départ d'une quantité qui naît et augmente.

BOUSSINESQ.

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La continuité d'une grandeur est une propriété purement idéale, en ce sens qu'il n'y a pas dans la nature de grandeur qui soit matériellement continue. Cette continuité n'existe que dans l'imagination du géomètre.

J.-F. BONNEL.

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On est conduit à l'idée des infiniment petits, lorsqu'on considère les variations successives d'une grandeur soumise à la loi de continuité. Ainsi le temps croît par degrés moindres qu'aucun intervalle qu'on puisse assigner, quelque petit qu'il soit. Les espaces parcourus par les différents points d'un corps croissent aussi par des infiniment petits, car chaque point ne peut aller d'une position à une autre sans traverser toutes les positions intermédiaires; et l'on ne saurait assigner aucune distance, aussi petite que l'on voudra, entre deux positions successives. Les infiniment petits ont une existence réelle; ils ne sont pas seulement un moyen d'investigation imaginé par les géomètres.

POISSON.

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Opinion isolée et inexacte. La continuité d'une grandeur est une fiction de l'esprit; il n'y a pas dans la nature, de grandeur rigoureusement continue.

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Le cercle n'est que le composé d'une infinité de triangles dont le sommet est au centre et dont les bases forment la circonférence; le cône est composé d'une infinité de pyramides, appuyées sur des triangles infiniment petits de la base circulaire et ayant leur sommet commun avec celui du cône, tandis que le cylindre de même base et de même hauteur est formé d'un pareil nombre de petits prismes appuyés sur les mêmes bases et ayant même hauteur qu'elles.

KEPLER.

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Les quantités sont appelées _infinitésimales_ non point parce qu'on les regarde comme très petites, ce qui est fort indifférent, mais parce qu'on peut les considérer comme aussi petites que l'on voudra, sans qu'on soit obligé de rien changer à la valeur des quantités, telles que les paramètres, les coordonnées, normales, sous-tangentes, rayons de courbure, etc., dont on cherche la relation. Il suit de là que toute quantité dite _infiniment petite_ peut se négliger dans le courant du calcul, vis-à-vis de ces mêmes quantités dont on cherche la relation, sans que le résultat du calcul puisse en aucune manière s'en trouver affecté.

LAZ. CARNOT.

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Nous avons distingué les différentes manières dont les grandeurs à mesurer, ou celles auxquelles on les ramène, pouvaient être considérées comme limites de variables d'une espèce plus simple, et nous avons dit qu'elles pouvaient en général se réduire à trois. La première, employée dans quelques cas par Euclide et Archimède, consiste à regarder les grandeurs comme limites de séries; la deuxième, due à Archimède, comme limites de sommes de quantités infiniment petites; la troisième, comme limites de rapports d'infiniment petits. Les deux premières se sont présentées à propos de la mesure de la pyramide, de la parabole, de la spirale, de la sphère, des volumes des corps engendrés par la révolution de sections coniques, etc. La troisième, due aux modernes, s'est présentée à l'occasion du problème des tangentes, et s'applique à beaucoup d'autres questions.

DUHAMEL.

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C'est en cherchant à déterminer les tangentes des courbes, que les géomètres sont parvenus au calcul différentiel, qu'on a présenté depuis sous des points de vue très variés; mais quelle que soit l'origine qu'on lui assigne, il reposera toujours sur un _fait analytique_ antérieur à toute hypothèse, comme la chute des corps graves vers la surface de la terre est antérieure à toutes les explications qu'on en a données; et ce fait est précisément la propriété dont jouissent toutes les fonctions, d'admettre une limite dans les rapports que leurs accroissements ont avec ceux de la variable dont elles dépendent. Cette limite, différente pour chaque fonction, et toujours indépendante des valeurs absolues des accroissements, caractérise d'une manière qui lui est propre, la _marche_ de la fonction dans les divers états par lesquels elle peut passer.

LACROIX.

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Nous avons des idées nettes de la grandeur, nous voyons que les choses en général peuvent être augmentées ou diminuées, et l'idée d'une chose devenue plus grande ou plus petite, est une idée qui nous est présente et aussi familière que celle de la chose même; une chose quelconque nous étant donc présentée ou étant seulement imaginée, nous voyons qu'il est possible de l'augmenter ou de la diminuer; rien n'arrête, rien ne détruit cette possibilité, on peut toujours concevoir la moitié de la plus petite chose et le double de la plus grande chose; on peut même concevoir qu'elle peut devenir cent fois, mille fois, cent mille fois plus petite ou plus grande, et c'est cette propriété d'augmentation sans bornes en quoi consiste la véritable idée qu'on doit avoir de l'infini; cette idée nous vient de l'idée du fini; une chose finie est une chose qui a des termes, des bornes, une chose infinie n'est que cette même chose finie à laquelle nous ôtons ses termes et ses bornes; ainsi l'idée de l'infini n'est qu'une idée de privation et n'a point d'objet réel. Ce n'est pas ici le lieu de faire voir que l'espace, le temps, la durée, ne sont pas des infinis réels; il nous suffira de prouver qu'il n'y a point de nombre actuellement infini ou infiniment petit.....

On ne doit donc considérer l'infini, soit en petit, soit en grand que comme une privation, un retranchement à l'idée du fini, dont on peut se servir comme d'une supposition qui peut aider à simplifier les idées, et doit généraliser leurs résultats dans la pratique des sciences.

BUFFON.

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L'idée d'infini apparaît dès le seuil des mathématiques: il y a une infinité de nombres entiers; la ligne droite doit être conçue comme prolongée indéfiniment.

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Au fond, les motifs des répugnances manifestées contre les infiniment petits se résument dans cette pensée de Lagrange, qu'on a «le grand inconvénient de considérer les quantités dans l'état où elles cessent, pour ainsi dire, d'être quantités,» autrement dit, les infiniment petits n'existent pas. Il me paraît qu'il y a là un malentendu. Veut-on parler des quantités _naturelles_, ou de l'objet de nos conceptions _rationnelles_? Si l'on entend que dans la nature il n'y a pas d'infiniment petits, c'est incontestable; tout ce qui existe est déterminé et par conséquent fini. Mais à ce point de vue, il n'y a pas non plus de quantité variable: une quantité, par cela seul qu'elle est, a une valeur actuelle précise. Notre esprit seul crée la notion de variable, en rapprochant les grandeurs de quantités voisines et les regardant comme les valeurs successives d'une même quantité. La notion de variable n'est pas plus légitime que celle d'infiniment petit, et il faut les admettre ou les repousser toutes les deux.

DE FREYCINET.

MATHÉMATIQUES APPLIQUÉES

Le vaste champ des mathématiques embrasse, d'une part, les théories abstraites; de l'autre, leurs nombreuses applications. Par cette dernière face, ces sciences intéressent au plus haut degré la généralité des hommes; aussi les voit-on, à toutes les époques, cherchant, suggérant, proposant sans cesse de nouveaux problèmes, puisés dans l'observation des phénomènes naturels ou dans les besoins de la vie commune...

ARAGO.

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L'étude approfondie de la nature est la source la plus féconde des découvertes mathématiques. Non seulement cette étude, en offrant aux recherches un but déterminé, a l'avantage d'exclure les questions vagues et les calculs sans issue, elle est encore un moyen assuré de former l'Analyse elle-même, et d'en découvrir les éléments qu'il nous importe le plus de connaître et que cette science doit toujours conserver: ces éléments fondamentaux sont ceux qui se reproduisent dans tous les effets naturels.

J. FOURIER.

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La géométrie et surtout l'algèbre, sont la clef de toutes les recherches sur la grandeur. Ces sciences qui ne s'occupent que de rapports abstraits et d'idées simples, peuvent paraître infructueuses tant qu'elles ne sortent point, pour ainsi dire, du monde intellectuel; mais les mathématiques mixtes, qui descendent à la matière et qui considèrent les mouvements des astres, l'augmentation des forces mouvantes,..... en un mot toutes les sciences qui découvrent des rapports particuliers de grandeurs sensibles, vont d'autant plus loin et plus sûrement, que l'art de découvrir des rapports en général est plus parfait. L'instrument universel ne peut devenir trop étendu, trop maniable, trop aisé à appliquer à tout ce qu'on voudra.

FONTENELLE.

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L'artillerie est mise ordinairement au nombre des branches des mathématiques..... On y considère principalement le chemin décrit par le projectile que lance le canon, et l'on conclut les règles suivant lesquelles il faut diriger le canon pour que le boulet frappe un lieu donné. Or on suppose, dans cette recherche, que le projectile décrit une parabole, ainsi que Galilée l'a démontré. Mais cela n'est pas conforme à la vérité dès que le mouvement n'a pas lieu dans le vide. On est donc induit grandement en erreur par les règles et les Tables fondées sur cette hypothèse, leurs auteurs mêmes l'avouent; ils rejettent l'erreur sur le compte de la théorie, et s'imaginent qu'elle n'a de valeur que lorsque la pratique la corrige. Or l'air nous paraît être un fluide trop subtil pour produire une résistance sensible; et pourtant dans les mouvements très rapides tels que ceux des boulets et des bombes, la résistance de l'air est assez grande pour que les projectiles décrivent une courbe très différente de la parabole. Pour corriger cette erreur notable, pour suppléer à l'emploi inopportun de la parabole, il faut introduire la courbe véritable suivant laquelle le projectile se meut dans l'air. Newton paraît avoir fait beaucoup d'efforts pour la découvrir, et cependant son extrême habileté dans l'analyse supérieure ne lui suffit pas pour résoudre ce problème. Il laissa l'honneur de cette découverte au célèbre Jean Bernoulli. Nous voyons par là combien doit être versé dans les mathématiques supérieures celui qui veut résoudre les questions d'artillerie.

EULER.

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Les _Mathématiques pures_ se bornent à spéculer sur les grandeurs abstraites. Elles forment une science de raisonnement qui se déduit de notions primitives, d'axiomes, sans rien emprunter à l'expérience. Ses branches sont l'arithmétique, la géométrie et l'analyse (algèbre et calcul infinitésimal).

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La mécanique et l'astronomie forment ce qu'on appelle les _Sciences physico-mathématiques_.

Viennent ensuite les nombreuses _Applications des mathématiques_. Nous allons rapidement énumérer les principales.

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_Calcul des probabilités._--La théorie des probabilités a dit Laplace, n'est que le bon sens réduit en calcul: elle fait apprécier avec exactitude, ce que les esprits justes sentent par une sorte d'instinct.

Le calcul des probabilités est utile dans toutes les sciences et aussi dans la vie sociale.

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_Physique mathématique._--La physique, enfin maîtresse de ses principes, tend à s'absorber dans les mathématiques. On fait la théorie analytique de la chaleur, de l'électricité, de la lumière, de l'élasticité, de l'acoustique, etc.

La chimie commence à suivre le bon exemple, grâce à la thermochimie.

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_Statistique et économie politique._--Quelques lois ont été découvertes, il y a tendance à plus de précision dans ces utiles études. Cependant Cournot et Walras se sont trop pressés d'appliquer l'Algèbre à des données encore un peu flottantes; on dit assez heureusement que la monnaie sert de dénominateur commun aux diverses valeurs.

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_Loterie; jeux._--On peut raisonner les chances de la loterie et du jeu, mais on ne corrige guère les amateurs. La Science a obtenu la suppression de la loterie d'État, mais il nous reste d'autres loteries, les valeurs à lots, etc.

Quant aux jeux de combinaisons, ils se rattachent à la géométrie et à l'analyse indéterminée.

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_Arithmétique appliquée et commerciale._--Il faut considérer, non comme théorie, mais comme applications, les règles de trois, d'alliage, de partage, etc., et le système métrique.

D'autre part, la tenue des livres de commerce a une grande importance pratique.

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_Finances._--Intérêts simples et composés; annuités; banques, établissements de crédit et de prévoyance; assurances sur les choses et sur la vie; rentes viagères.

La Bourse.

Répartition des impôts; budget, etc.

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_Calcul mental._--Il est bon d'acquérir une certaine habileté à calculer de tête, sans chiffrer hors de propos. Il y a quelques méthodes, mais c'est surtout affaire d'exercice.

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_Géométrie et trigonométrie pratiques._--Comme en arithmétique, on mêle trop, en géométrie, les applications à la théorie.

Instruments pour les tracés sur le papier et sur le terrain.

Arpentage, levé des plans, nivellement; le cadastre; partage des terrains, etc.

Les divers mesurages: métrage, cubage; fûts, troncs d'arbre, tas de pierres, etc.

Application de la trigonométrie au levé des plans.

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_Géométrie descriptive._--Par la méthode des projections, on peut représenter rigoureusement par un tracé plan les figures et les constructions dans l'espace.

Application aux ombres, à la perspective, à la charpente, à la coupe des pierres, etc.

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_Dessin._--Les divers dessins constituent une langue très étendue et très expressive.

Le dessin dit géométrique l'emporte sur les autres par sa précision.

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_Les graphiques._--Une courbe, parlant aux yeux, résume de nombreuses observations numériques. Aussi, se sert-on, dans toutes les études, de ces tracés commodes.

Par exemple, les Guides de chemins de fer donnent bien des résultats isolés, mais les employés s'aident de graphiques pour se rendre compte des rapports entre les divers trains.

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_Arts mécaniques._--Il convient que l'ouvrier sache raisonner ses mesures et ses tracés, au lieu de se servir de règles empiriques et de patrons.

Ferblantiers, menuisiers, tourneurs, etc.

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_Les machines._--Quelle variété, quelle délicatesse et quelle puissance, depuis les machines à coudre, à calculer, à écrire, jusqu'aux machines qui soulèvent les cuirassés ou creuseront le Panama!

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_Constructions civiles et militaires._--C'est aux ingénieurs et aux architectes que nous devons surtout notre civilisation matérielle. Ponts et chaussées, chemins de fer, canaux, construction des monuments, etc.

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_Géographie._--Cartes géographiques, surtout celle de l'État-Major, que tout le monde devrait savoir lire.

Topographie, géodésie, etc.

De nos jours, la géographie devient enfin une science. «Ici, dit Drapeyron, le corps c'est la topographie, l'âme c'est la géographie mathématique.»

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_Navigation._--Constructions navales, conduite du navire (déterminer à un moment quelconque la position et la route); tables astronomiques, etc.

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_Chronologie, horlogerie, gnomonique._--Calendrier, comput ecclésiastique; montres, horloges, chronomètres; cadrans solaires.

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_Arts militaires._--Le fusil et le canon perfectionnés; balistique ou questions du tir.

Stratégie, dont le problème dépend d'éléments si variés.

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Après trente ans de travail, le regretté M. Sonnet a publié sous le titre de _Dictionnaire des Mathématiques appliquées_, en un seul volume, le plus riche et le plus précis des répertoires connus sur ces matières.

SYSTÈME MÉTRIQUE

La réflexion et l'expérience font connaître les _conditions d'un bon ensemble de mesures_. Nous allons passer en revue les plus importantes de ces conditions et justifier ainsi l'excellence des mesures métriques.

1º _Unités parfaitement définies et fixes._--Les anciennes mesures de longueur se déduisaient des dimensions du corps humain (toises, coudées, mains, pouces, doigts, etc.) ou des dimensions de certains temples. Ces bases étaient vagues et variables, les modèles n'en étaient point arrêtés. On a pu dire que, sous l'ancien régime, il y avait autant d'arpents et de boisseaux que de villages. Le mètre, fraction déterminée de la circonférence terrestre, est une longueur précise, immuable, indépendante du temps et des nations. «On retrouverait le mètre, dit Arago, quand même des tremblements de terre, des cataclysmes épouvantables viendraient à bouleverser notre planète et à détruire les étalons prototypes religieusement conservés aux Archives.»

2º _Unités d'espèces différentes liées entre elles._--La géométrie ramène la mesure des surfaces et des volumes à la mesure de certaines longueurs, qu'on appelle les dimensions de ces figures. Les règles simples qu'on établit supposent qu'on prend pour unités les carrés et les cubes construits sur l'unité linéaire.--On se servait de la toise carrée et de la toise cube, avant de connaître le mètre carré et le mètre cube. Il y a plus, les unités de poids et de monnaie dérivent aussi du mètre, quoique moins directement. On pourrait, à la rigueur, avec les monnaies, peser les corps et mesurer les longueurs. Nos mesures s'enchaînent ainsi complètement et leur ensemble mérite le nom de _système_.

3º _Unités assez nombreuses pour chaque espèce de grandeur._--Il convient de rapporter chaque grandeur particulière à une unité proportionnée, parce que l'esprit ne voit clairement et rapidement que les nombres ordinaires, ni trop grands, ni trop petits. De là l'utilité d'unités secondaires, substituées souvent à l'unité principale.--Nous avons actuellement des multiples et des sous-multiples de chaque unité; la plupart sont des instruments effectifs de mesurage; tandis que les autres ne sont pas fabriqués (huit règles pour les longueurs, treize vases pour les capacités, vingt-quatre poids et quatorze monnaies).

4º _Unités de même nature liées simplement._--Dans l'ancien système, l'échelle était parfois bizarre et variable d'un genre d'unité à un autre (exemple: les longueurs et les poids). De là le _calcul des nombres complexes_, assez pénible, malgré les simplifications provenant des diviseurs de douze.--Les unités nouvelles procèdent toutes de dix en dix, comme notre système de numération. Les grandeurs s'expriment par suite en nombres décimaux, aussi faciles à combiner que les entiers. Les changements d'unité se traduisent par un simple déplacement de la virgule.--On comprend pourquoi le système métrique s'appelle aussi système décimal des poids et mesures. (On avait même proposé de diviser décimalement le temps, jour de vingt heures, heure de cent minutes, etc., et le cercle en quatre cents grades de cent minutes chacun, etc.)

5º _Nomenclature expressive et ne comprenant qu'un petit nombre de mots._--Les mesures antérieures portaient des noms très variés et n'indiquant pas les rapports, qu'il fallait retenir à part. Nous n'avons maintenant que six mesures principales: le mètre, l'are, le litre, le stère, le gramme et le franc; à ces six mots il suffit de joindre sept abréviations, tirées du grec ou du latin, pour composer les noms des multiples et des sous-multiples. _Déca_ signifie dix, _hecto_ cent, _kilo_ mille, _myria_ dix-mille; _déci_ signifie dixième, _centi_ centième et _milli_ millième. Dès qu'on parle du décamètre et du décimètre, chacun se rappelle qu'il s'agit de dix mètres et du dixième du mètre.--Cependant, quelque commode que soit la nomenclature précédente, elle n'est pas essentielle au système métrique, qui réside dans les choses et non dans les mots.

6º _Mesures obligatoires et soigneusement contrôlées._--Depuis 1840, les mesures métriques sont définitivement imposées par la loi, sur tout le territoire français, et les dénominations mêmes des anciennes mesures sont prohibées. Les instruments de mesure sont conformes à des modèles dont les règlements précisent la valeur, les dimensions, la forme et la substance. Sur ces mesures sont inscrits non seulement le nom de la mesure mais encore celui du fabricant responsable, et ces instruments sont soumis à un contrôle au début, puis à un contrôle périodique, faits par des _vérificateurs des poids et mesures_.--Notre système justifie la qualification de système _légal_ des poids et mesures.

7º _Système offrant un caractère international._--Base ne dépendant d'aucune nationalité particulière, puisqu'elle est prise dans la nature. Organisation par des savants de tous les pays qui ont signé les rapports et se sont distribué cent douze des mètres nouveaux. Mots provenant d'une langue morte, du grec ou du latin. «Si la mémoire des travaux venait à s'effacer, dit Laplace, si les résultats seuls en étaient conservés, ils n'offriraient rien qui pût faire connaître quelle nation en a eu l'idée, en a suivi l'exécution.»--L'adoption par tous les peuples des mêmes mesures faciliterait grandement les relations commerciales et scientifiques. Le système métrique est déjà adopté, entièrement ou partiellement, par les pays suivants: Belgique, Hollande, Espagne, Portugal, Grèce, Allemagne, Danemark, Suède, Mexique, Brésil, Républiques de l'Amérique du Sud, Égypte, etc. Ajoutons que dans les États anglais et dans les États-Unis l'usage de nos mesures est facultatif.

GÉOMÉTRIE DESCRIPTIVE

Une figure plane peut être représentée sur une surface plane sans aucune altération dans les proportions de ses parties.