Chapter 9

On démontre d'abord que la courbe qui limite l'horizon sensible d'un observateur placé à une hauteur quelconque est une circonférence dont l'axe est la verticale du lieu.

Soit A (_fig_. 30) le point d'où on observe; AB, AG deux rayons visuels quelconques allant à la courbe limite BC; AI la verticale du lieu A. On sait que les angles BAI, CA1 sont égaux (1°). Nous allons prouver que les lignes AB, AC sont égales. En effet, supposons qu'elles soient inégales, que l'on ait AC > AB; nous pouvons prendre sur AB une longueur AD = AC. Maintenant concevons que l'observateur s'élève en A' sur la verticale AI, à une hauteur telle que le rayon visuel dirigé de ce point A' dans le plan IAB, vers la nouvelle courbe limite, aille rencontrer la ligne AD entre B et D, en E, par exemple; ce qui est toujours possible. Le rayon visuel, dirigé de même de A' dans le plan IAC, ira rencontrer la ligne AC en un point F situé au delà de C (2°). Les deux triangles AA'E; A'AF sont égaux: car AA' = AA'; angle EA'I = angle FA' (1°); les angles en A sont égaux comme suppléments des angles égaux EAI, FAI; les triangles AA'E, AA'F étant égaux, on en conclut AE = AF. Mais AF est > AC et AE < AD; avec AD = AC, on aurait donc une ligne AE plus petite que AD égale à une ligne AF > AC; ce qui est absurde Cette absurdite résulte de ce qu'on a supposé AC > AB; donc AC n'est pas plus grand que AB; ces deux lignes ne pouvant être plus grandes l'une que l'autre, sont égales. Les lignes allant du point A à la courbe limite étant égales, et faisant avec la verticale AI des angles égaux; la courbe limite, lieu de ces points B, C,..... est une circonférence qui a tous ses points également distants de chaque point de la verticale AI.

Soient maintenant deux points d'observation A et A', situés sur deux verticales différentes AI, A'Z (fig. 31); soit HD la corde commune aux deux circonférences qui limitent les horizons sensibles de A et A'; menons les diamètres BCK, MCN, par le milieu C de HD. Cette corde HD est perpendiculaire à ces deux diamètres BCK, MCN, et par suite à leur plan BCN. Réciproquement le plan BCN est perpendiculaire à HD, et par suite aux plans des circonférences qui ont HD pour corde commune. Le plan BCN étant perpendiculaire au plan BHK, la perpendiculaire IA à ce plan BHK est tout entière dans le plan BCN; de même A'Z est dans le plan BCN. Les deux verticales IA, ZA' perpendiculaires à deux droites BC, CN, dans un même plan avec ces droites, se rencontrent en un certain point O. Tirons OH; le point O est à la même distance OH de tous les points de la circonférence BHK; il est à la même distance OH de tous les points de circ. NHM; il est donc à égale distance de tous les points de l'une et l'autre circonférence.

Soit L un point quelconque de la surface de la terre; on peut concevoir par L une circonférence LP, dont le plan soit perpendiculaire à la verticale AIO ou à son prolongement OA", et qui rencontre la circonférence NHM; dès lors OL égale la distance de O à circ. NHM, c'est-à -dire OL = OH. Si circ. LP ne rencontrait pas circ. NHM, elle rencontrerait une circonférence perpendiculaire à OZA' rencontrant déjà circ. BKH; de sorte qu'on aurait toujours OL = OH. Le point O est donc à égale distance de tous les points de la surface terrestre; celle-ci ayant tous ses points à égale distance d'un point intérieur, est une surface sphérique.

NOTE II.

Démonstration des deux principes relatifs à la projection stéréographique des cercles d'une sphère, énoncés n° 92, page 74.

Théorème I. Tout cercle ED de la sphère a pour perspective, ou projection stéréographique, un cercle.

Observons d'abord que les droites qui projettent les points d'une circonférence, circ.ED (V. la _fig_. 41 ci-après) sont les génératrices d'un cône circulaire qui a le point de vue O pour sommet et cette circonférence pour base. L'intersection d'une pareille surface par un plan KBL parallèle à la base est une autre circonférence. En effet, menons les génératrices quelconques OA, OE, OD qui rencontrent la section en K, B, L (_fig_. 40 _bis_); les triangles semblables OIB, OIA donnent O_i_/OI = _i_B/IA; les triangles OIK, OIE donnent O_i_/OI = _i_K/IE; donc _i_B/IA = _i_K/IE; mais IA=IE, donc _i_B = _i_K; on prouverait de même que _i_B = _i_L; donc la courbe KBL est une circonférence dont le centre est _i_. Cela posé, soit O (_fig_. 41) le point de vue sur la sphère; on sait que le tableau ou plan de projection est un grand cercle ASB perpendiculaire au rayon OC. Soit HMF la perspective d'une circonférence quelconque de la sphère, circ.ED; il faut prouver que HMF est une circonférence. Pour cela, observons que la ligne CI, qui joint le centre C de la sphère et le centre I de circ. ED, est perpendiculaire au plan de cette circonférence; de sorte que le plan OCI est à la fois perpendiculaire à cercle ASB et à cercle ED. Ce plan OCI coupe la surface conique suivant le triangle OED, et le tableau ASB suivant un diamètre ACB. Soit M un point quelconque de la projection HMF de cercle ED; abaissons de M la perpendiculaire MP sur l'intersection CB ou HF du plan OED et du plan ASB. Comme ces plans sont perpendiculaires, MP, qui est dans le plan ASB, est perpendiculaire au plan OED; MP est donc parallèle à cercle ED. Conduisons par MP un plan parallèle à cercle ED; ce plan coupe le cône suivant une circonférence KML, dont KL, parallèle à ED, est un diamètre. D'après un théorème connu (3° livre de géométrie), (MP)² = KP × PL (1). Cela posé, observons que l'angle HFO = OED; en effet HFO a pour mesure 1/2 AO + 1/2 BD; OED a pour mesure 1/2 DB + 1/2 OB; or AO = OB (ce sont deux quadrants). De ce que HFO = 0ED, et OED=OKL, on conclut OKL = HFO; de OKL = HFO, on conclut que l'arc du segment circulaire capable de l'angle HFO, qui aurait HL pour corde, passerait par le point K. Les quatre points H, K, F, L sont donc sur une même circonférence; les lignes HF, KL étant deux cordes d'une même circonférence, HP × PF = KP × PL; donc en vertu de l'égalité (1), (MP)² = HP × PF. Si donc on tirait les lignes HM, MF, le triangle HMF serait rectangle; le point M appartient donc à la circonférence qui, dans le plan ASB, a pour diamètre HF. Le point M étant un point quelconque de la projection de circ. ED, on conclut que tous les points de la projection sont sur la circonférence HMF dont nous venons de parler, autrement dit, que cette circonférence est précisément la projection de circ. ED sur le plan ASB.

Théorème II. _L'angle que forment deux lignes_ MP, MN _qui se coupent sur la sphère est égal à celui que forment les lignes_ mn, mp _qui les représentent sur la carte_ (_fig_. 41 _bis_). (On sait qu'on appelle angle de deux lignes courbes MP, MN, l'angle que forment les tangentes MG, MF, menées à ces courbes à leurs points de rencontre.)

Soient _g_ et _f_ les points où MG, MF percent le tableau; les projections _mg_, _mf_ de ces tangentes sont elles-mêmes tangentes aux courbes _mn_, _mp_; il faut démontrer que l'angle _gmf_=GMF. Pour cela, menons, par le point de vue 0, un plan GOF parallèle au plan du tableau; ce plan GOF perpendiculaire à l'extrémité du rayon OC est tangent à la sphère. Soient G et F les points d'intersection de ce plan par les tangentes MG, MF; menons OG, OF, FG. Les lignes OG, _mg_, intersection des deux plans parallèles par le plan OMG, sont parallèles; OF, _mf_ sont aussi parallèles; donc l'angle _gmf_=GOF; nous allons prouver que GOF=GMF. En effet, les lignes GM, GO, tangentes à la sphère, issues du même point G, sont égales (on peut concevoir deux grands cercles déterminés par les plans CMG, COG, lesquels auraient pour tangentes MG, OG); pour une raison semblable, FM=FO. Les deux triangles MGF, OGF sont donc égaux; par suite, l'angle GOF=GMF; donc _gmf_=GOF=GMF. C. Q. F. D.

REMARQUE. Nous avons dit que _mf_, projection de la tangente MF, était elle-même une tangente à la projection _mn_ de MN. On se rend compte de ce fait en imaginant une sécante MM' à la courbe MN, et la projection _mm_' de cette sécante; puis faisant tourner le plan projetant OMM' autour de OM, jusqu'à ce que M' soit venu se confondre avec M, MM' devenant la tangente MF; pendant ce temps, _m_' se rapproche de _m_, et se confond avec _m_ quand M' arrive en M; de sorte que la sécante et sa projection deviennent tangentes en même temps.

CHAPITRE III.

LE SOLEIL.

=110.= MOUVEMENT PROPRE APPARENT DU SOLEIL. En outre du mouvement diurne commun à tous les corps célestes, le soleil paraît animé d'un mouvement propre dirigé en sens contraire du mouvement diurne.

On dit qu'un astre a un mouvement propre quand sa position apparente, c'est-à -dire sa projection sur la sphère céleste, change continuellement; autrement dit, quand sa position relativement aux étoiles fixes change continuellement; or c'est ce qui arrive pour le soleil.

=111.= _Premiers indices_. Si un soir, à la nuit tombante, on remarque un groupe d'étoiles voisines de l'endroit où le soleil s'est couché, puis, qu'on observe ces étoiles durant un certain nombre de jours, on les voit de plus en plus rapprochées de l'horizon; au bout d'un certain temps, elles cessent d'être visibles le soir; elles se couchent avant le soleil. Si alors on observe le matin, un peu avant le lever du soleil, on retrouve ces mêmes étoiles dans le voisinage de l'endroit où le soleil doit bientôt apparaître. Celui-ci, qui d'abord précédait les étoiles dans le mouvement diurne, les suit donc en dernier lieu; d'abord à l'_ouest_ de ces astres, sur la sphère céleste, il se trouve finalement à l'_est_. Mais les étoiles sont fixes; le soleil s'est donc déplacé de l'ouest à l'est, en sens contraire du mouvement diurne. Il se déplace de plus en plus dans le même sens; car si on continue l'observation, le lever de chacune des étoiles en question précède de plus en plus le lever du soleil. C'est là un mouvement en ascension droite.

On voit aussi aisément sans instruments que la déclinaison du soleil varie continuellement. En effet, d'une saison à l'autre, sa hauteur à midi, au-dessus de l'horizon, change notablement: elle augmente progressivement de l'hiver à l'été, et _vice versa_ diminue de l'été à l'hiver. Le soleil se déplaçant sur le méridien, sa déclinaison varie (_V_. la définition).

=112.= ÉTUDE PRÉCISE DU MOUVEMENT PROPRE. Le mouvement propre du soleil une fois découvert, il faut l'étudier avec précision. Le moyen qui se présente naturellement consiste à déterminer, à divers intervalles, tous les jours par exemple, la position apparente précise du soleil sur la sphère céleste. Si on trouve que cette position change continuellement, on aura constaté de nouveau le mouvement; de plus, en marquant sur un globe céleste les positions successivement observées, on se rendra compte de la nature de ce mouvement.

La position apparente du soleil se détermine comme celle d'une étoile quelconque par son ascension droite et sa déclinaison (n° 33); mais le soleil a des dimensions sensibles que n'ont pas les étoiles.

Quand un astre se présente à nous sous la forme d'un disque circulaire, ayant des dimensions apparentes sensibles, comme le soleil, la lune, les planètes, on le suppose réduit à son centre. C'est la position de ce centre qu'on détermine; c'est de cette position qu'il s'agit toujours quand on parle de la position de l'astre[41].

[Note 41: Disons de plus que le soleil a un éclat que n'ont pas les autres astres. Pour empêcher que l'œil ne soit ébloui et blessé par l'éclatante lumière du soleil, dont l'image au foyer de la lunette est excessivement intense, on a soin, quand on observe cet astre, de placer en avant de l'objectif, ou entre l'œil et l'oculaire, des verres de couleur très-foncée qui absorbent la plus grande partie des rayons lumineux.]

=113.= ASCENSION DROITE DU SOLEIL. Pour déterminer chaque jour l'ascension droite du centre du soleil, on regarde passer au méridien le premier point du disque qui s'y présente (le bord occidental); on note l'heure précise à laquelle ce premier bord vient toucher le fil vertical du réticule de la lunette méridienne (n° 17); on marque également l'heure à laquelle le soleil achevant de passer, ce même fil est tangent au bord oriental du disque; la demi-somme des heures ainsi notées est l'heure à laquelle a passé le centre; de cette heure on déduit l'AR de ce centre, exactement comme il a été dit n° 34 pour les étoiles.

=114.= DÉCLINAISON DU SOLEIL. D'après le principe indiqué n° 38, on déduit la déclinaison du soleil de sa distance zénithale méridienne, qui est la demi-somme des distances zénithales du bord supérieur et du bord inférieur du disque observées au mural. Cette distance zénithale doit être corrigée des erreurs de réfraction et de parallaxe, le lieu d'observation devant être ramené au centre de la terre (_V_. la réfraction et la parallaxe).

=115.= On peut ainsi, toutes les fois que le soleil n'est pas caché au moment de son passage au méridien, déterminer l'heure sidérale du passage, l'ascension droite et la déclinaison de l'astre, puis consigner les résultats de ces observations dans un tableau qui peut comprendre plusieurs années. On trouve ainsi des valeurs constamment différentes, au contraire de ce qui arrive pour les étoiles; ce fait général constate d'abord le mouvement propre du soleil. Voici d'ailleurs, en résumé, ce que nous apprend le tableau en question[42].

[Note 42: Dans cette étude du mouvement propre du soleil, on peut prendre l'origine des AR sur le cercle horaire d'une étoile remarquable quelconque, c'est-à -dire faire marquer 0h 0m 0s à l'horloge sidérale à l'instant où cette étoile passe au méridien du lieu. On verra plus loin (n° 131) comment on règle définitivement cette horloge.]

=116.= _Circonstances principales du mouvement propre apparent du soleil_.

Chaque passage du soleil au méridien retarde à l'horloge sidérale sur le passage précédent, d'environ 4 minutes (en moyenne 3m 56s,5). Si, par exemple, le passage a lieu un jour à 7 heures de l'horloge sidérale, le lendemain il a lieu à 7h 4m environ, le surlendemain à 7h 8m; et ainsi de suite. LE JOUR SOLAIRE, _qui est l'intervalle de deux passages consécutifs du soleil au méridien_, surpasse donc le jour sidéral d'environ 4 minutes. 365j 1/4 solaires valent approximativement 366j 1/4 sidéraux; autrement dit, si le soleil accompagne un jour une étoile au méridien, il y revient ensuite 365 fois seulement, pendant que l'étoile y revient 366 fois.

Supposons que le soleil et une étoile passent ensemble au méridien à d'une horloge sidérale. L'étoile y revient tous les jours suivants à 0h 0m 0s, tandis que, à chaque nouveau passage du soleil, l'horloge marque 3m 56s,5 de plus que la veille; 365 de ces retards du soleil font 23h 59m (sidérales). Le 365e _retour_ du soleil a donc lieu à 23h 59m; une minute après, à 0h 0m 0s, l'étoile revient pour la 366e fois; mais deux retours consécutifs du soleil étant séparés par 24h.sid. 4m environ, il doit s'écouler encore 24h 3m avant que le soleil ne soit revenu pour la 366e fois; donc l'étoile, 24 heures après, reviendra pour la 367e fois avant que le soleil ne soit revenu pour la 366e. Ces deux derniers passages recommencent une nouvelle période.

L'ASCENSION DROITE du soleil augmente chaque jour d'environ 1° (en moyenne 59'8"), et passe par tous les états de grandeur de 0° à 360°. C'est ce mouvement du soleil en AR qui cause le retard de son passage au méridien (_V_. n° 140).

LA DÉCLINAISON est tantôt australe, tantôt boréale. Le 20 mars, d'australe qu'elle était, elle devient boréale, et croît progressivement de 0° à 23°28' environ, maximum qu'elle atteint vers le 22 juin. À partir de là , elle décroît jusqu'à devenir nulle; redevient australe vers le 23 septembre, augmente dans ce sens de 0° à la même limite 23°28', jusqu'au 22 décembre; puis décroît de 23°38' à 0°; redevient boréale le 20 mars. Ainsi de suite indéfiniment.

Si on marque chaque jour sur un globe céleste, pendant un an au moins, la position apparente du soleil, d'après son AR et sa D observées, exactement comme il a été dit pour une étoile n° 45, on voit les positions successivement marquées _s_', _s_'', _s_''',... faire le tour du globe (_fig_. 49). Si on fait passer une circonférence de grand cercle par deux quelconques des points ainsi marqués, il arrive qui tous les autres points sont sur ce grand cercle. Le globe céleste figurant exactement la sphère céleste, et les points marqués figurant les positions apparentes successives du soleil sur cette sphère, on est conduit, par ce qui précède, à cette conclusion remarquable:

_Le soleil nous semble parcourir indéfiniment, d'occident en orient, c'est-à -dire en sens contraire du mouvement diurne, le même grand cercle de la sphère céleste, incliné à l'équateur. Il parcourt ce cercle en_ 366j 1/4 _sidéraux environ_ (_V_. la note)[43].

[Note 43: Ce mouvement se combine avec le mouvement diurne; le soleil nous parait tourner autour de la terre, d'orient en occident, et en même temps se mouvoir sur l'écliptique, mais beaucoup plus lentement, et d'occident en orient.

Voici l'ingénieuse comparaison employée par M. Arago pour faire comprendre comment le soleil peut être animé à la fois de ces deux mouvements en apparence contraires. Un globe céleste (_fig_. 49) tourne uniformément, d'orient en occident, autour d'un axe PP', achevant une révolution en 24 heures sidérales; de sorte que chacun de ses cercles horaires vient coïncider toutes les 24 heures avec un demi-cercle fixe de même diamètre, représentant le méridien du lieu. Une mouche _s_ chemine en sens contraire (d'occident en orient), sur une circonférence de grand cercle du globe, S'γS, avec une vitesse d'environ 1° par jour sidéral. La mouche, tout en cheminant ainsi, est emportée par le mouvement de rotation du globe; elle est donc animée de deux mouvements à la fois, dont l'un lui est commun avec tous les points du globe, et dont l'autre lui est propre. Si elle se trouve un jour sur le cercle horaire P_s_'P', en _s_', quand ce cercle passe au méridien, elle le quitte aussitôt pour se diriger vers le cercle P_s_''P' qu'elle atteint au bout de 24 heures sidérales, au moment où le cercle P_s_'P' passe de nouveau au méridien. Comme le globe tourne de l'est à l'ouest, la mouche viendra bientôt passer au méridien, mais n'y passera qu'avec le cercle P_s''_P' à peu près, c'est-à -dire environ 4 minutes plus tard que P_s_'P', si l'intervalle des deux cercles P_s_''P', P_s_'P' est 1°. Elle a déjà quitté le cercle P_s_''P', en continuant son chemin vers l'est, quand celui-ci passe au méridien, et le lendemain elle y passe avec un autre cercle horaire; etc.]

=117.= REMARQUE. Il est bon d'observer dès à présent qu'il s'agit ici, non des _positions réelles_ successives du soleil par rapport à la terre, mais de leurs _projections_ sur la sphère céleste, que déterminent seules l'AR et la D du centre (n° 33). Ces coordonnées ne nous font pas connaître la distance réelle du soleil à la terre; nous verrons plus tard (n° 123) que cette distance variant d'un jour à l'autre, le lieu des positions réelles du soleil par rapport à la terre, supposée fixe, n'est pas une circonférence. Pour le moment, nous pouvons dire que la projection sur la sphère céleste du centre du soleil (vu de la terre) parcourt indéfiniment le même grand cercle incliné à l'équateur. Tel est le sens précis de l'énoncé ci-dessus.

=118.= ÉCLIPTIQUE. On donne le nom d'_Écliptique_ au grand cercle que le soleil nous semble ainsi parcourir indéfiniment sur la sphère céleste. Ce nom vient de ce que les éclipses de soleil et de lune ont lieu quand la lune est dans le plan de ce grand cercle, ou tout près de ce plan.

OBLIQUITÉ DE L'ÉCLIPTIQUE. L'écliptique est incliné sur l'équateur d'environ 23°27'1/2(cette inclinaison varie dans certaines limites; au 1er janvier 1854 elle était 23°27'34"; au 1er juillet, 23°27'35",2).

On peut déterminer cette inclinaison par une construction faite sur le globe céleste; c'est l'angle SγE (_fig_. 49) que l'on sait mesurer. Elle peut d'ailleurs se trouver par l'observation; sa mesure, SE, est la plus grande des inclinaisons trouvées pour le soleil durant sa révolution sur l'écliptique.

=119.= POINTS ÉQUINOXIAUX. On appelle _équinoxes_ ou _points équinoxiaux_ les deux points, γ et ♎, de rencontre de l'équateur et de l'écliptique. Le soleil est à l'un de ces points quand sa déclinaison est nulle; la durée du jour est alors égale à celle de la nuit par toute la terre; de là le nom d'équinoxes.

On distingue le _point équinoxial_ du printemps γ, qui est le point de l'équateur où passe constamment le soleil quand il quitte l'hémisphère austral pour l'hémisphère boréal. L'équinoxe du printemps a lieu du 20 au 21 mars.

L'autre point équinoxial, ♎, par où passe le soleil, quittant l'hémisphère boréal pour l'hémisphère austral, s'appelle équinoxe d'automne. Le soleil y passe le 21 septembre.

(V. plus loin, page 107, comment on détermine le moment précis de l'un ou l'autre équinoxe.)

=120.= SOLSTICES. On nomme _solstices_ ou _points solstitiaux_ deux points S, S', de l'écliptique, situés à 90° de chacun des équinoxes.

L'un d'eux, S, celui qui est situé sur l'hémisphère boréal, s'appelle _solstice d'été_; l'autre, situé sur l'hémisphère austral, s'appelle _solstice d'hiver_.

Ce nom de _solstice_ vient de ce que le soleil, arrivé à l'un ou à l'autre de ces points, semble stationner pendant quelque temps à la même hauteur, au-dessus ou au-dessous de l'équateur, sur le parallèle céleste qui passe par ce solstice. Pendant quelques jours sa D, alors parvenue à son maximum, est à peu près constante[44].

[Note 44: V. les tables de l'Annuaire du bureau des longitudes, ou bien simplement les Tables des heures du lever et du coucher du soleil aux environs du 21 juin ou du 21 décembre.]

Les parallèles célestes ST, S'T' (_fig._ 49) qui passent par les solstices S et S' prennent le nom de _tropiques_.

Celui qui passe par le solstice d'été s'appelle _tropique du Cancer_. Celui qui passe par le solstice d'hiver se nomme _tropique du Capricorne_.

=121.= On appelle _colures_ deux cercles horaires perpendiculaires entre eux, dont l'un passe par les équinoxes, et l'autre par les solstices (le colure des équinoxes et le colure des solstices).

=122.= On appelle _axe_ de l'écliptique le diamètre, P(1)P'(1), de la sphère céleste qui lui est perpendiculaire; ses extrémités P(1), P'(1), sont les _pôles_ de l'écliptique. L'axe du monde et l'axe de l'écliptique forment un angle égal à l'inclinaison de l'écliptique sur l'équateur (nº 118); cet angle est mesuré par l'arc P(1)P qui sépare les pôles voisins de l'écliptique et de l'équateur.

=123.= La position apparente du soleil, dans sa révolution sur l'écliptique, passe au travers ou auprès d'un certain nombre de constellations plus ou moins remarquables que l'on a appelées zodiacales. Ces constellations se trouvent sur une zone de la sphère céleste nommée _zodiaque_.

_Le zodiaque est une zone de la sphère céleste comprise entre deux plans parallèles à l'écliptique, situés de part et d'autre de celui-ci, à une même distance de _9°_ environ de ce plan; ce qui fait _18°_ environ pour la largeur totale de la zone_.