Chapter 8

=98.= SYSTÈME DE DÉVELOPPEMENT EMPLOYÉ POUR LA CARTE DE FRANCE. Dans la construction de la grande carte de France du dépôt de la guerre, on s'est surtout attaché à ne pas altérer les rapports d'étendue superficielle qui existent entre les diverses parties de la contrée, tout en conservant autant que possible les formes telles qu'elles existent sur la terre. Pour cela, on a employé un système de développement, dit _développement conique modifié_, que nous allons faire connaître.

_Construction du canevas._ Supposons qu'il s'agisse de représenter une contrée dont les longitudes extrêmes sont 5° Ouest et 7° Est, et les latitudes extrêmes 42° et 52° Nord (ce sont à peu près celles de France). On détermine la longitude moyenne, qui est ((7° + 5°)/2) = 1° Est, et la latitude moyenne, qui est ((42° + 52°)/2) = 47° Nord. Cela fait, on imagine devant soi un globe terrestre géographique sur lequel est figurée la contrée à représenter, décomposée par un canevas de méridiens et de parallèles comme le doit être la carte elle-même. On représente le méridien moyen SCE (_fig._ 44) par une ligne droite _sce_. Pour représenter le parallèle moyen, on imagine menée en C une tangente CS au méridien du globe, jusqu'à la rencontre de l'axe PP' en S; on déterminera l'aide de la latitude moyenne (47°), la longueur de cette tangente du points au point C[34]; puis du point _s_ sur la carte, comme centre, avec un rayon _sc_ = SC, on trace un arc de cercle _fch_ qui représente le parallèle moyen. Pour avoir la représentation des autres parallèles, on imagine le méridien moyen ACE divisé en parties AB, BC, CD, DE,..... dont les extrémités correspondent à des latitudes connues, de degré en degré par exemple. On porte sur _sce_, de part et d'autre de _c_, et dans le même ordre que sur le globe, des longueurs _cb_, _ba_,..... _cd_, _de_...... respectivement égales aux longueurs CB, BA,... CD, DE...[35]. Puis de _s_ comme centre, on décrit des arcs de cercle passant aux points _b_, _d_, _c_...; chacun de ces arcs _bb'b"_,... représente un des parallèles de la contrée correspondant à une latitude connue. Pour achever le canevas, il n'y a plus qu'à représenter un certain nombre de méridiens de part et d'autre du méridien moyen. Pour cela, on imagine sur le globe un certain nombre de ces méridiens correspondant à des longitudes connues, de degré en degré par exemple, lesquels divisent les parallèles en arcs tels que AA', A'A",... BB', B'B",... etc. Sur chacun des parallèles de la carte, _aa'a"_, _bb'b"_, on prend des arcs respectivement égaux en longueur à leurs correspondants sur le globe, _aa'_ = AA', _a'a"_ = A'A",... _bb'_ = BB',..., etc.[36]. Cela tait, on fait passer par chaque série de points ainsi obtenus, occupant le même rang sur leurs courbes respectives à partir de _sce_, ex.: (_a'_, _b'_, _c'_,...), une ligne continue (_a'b'c'_...); chacune des lignes ainsi obtenues représente un des méridiens de la contrée correspondant à une longitude connue que l'on indique sur la carte. On marque les latitudes sur les bords de la carte, à gauche et à droite, aux extrémités des arcs _aa'a"_, _bb"_..., et les longitudes en haut et en bas aux extrémités des arcs _abc_, _a'b'c'_... Le canevas achevé, il ne reste plus qu'à y marquer les lieux et les objets que l'on veut indiquer, d'après un globe terrestre ou d'après leurs longitudes et leurs latitudes connues.

[Note 34: À l'inspection seule de la première des figures 44, on voit que la tangente SC peut se construire comme il suit:

Le rayon R du globe terrestre est représenté par une longueur qui dépend des dimensions que l'on veut donner à la carte, 0m,2, par exemple. On décrit un cercle avec ce rayon et on y trace deux diamètres, l'un horizontal, l'autre vertical. À partir du premier, on prend sur la circonférence un arc égal à la latitude moyenne donnée; à l'extrémité de cet arc, on mène une tangente que l'on prolonge seulement jusqu'à sa rencontre avec le diamètre vertical prolongé lui-même. Cette tangente est la longueur cherchée SC.]

[Note 35: Supposons que les arcs AB, BC, CD,..... du méridien moyen soient 1°. Chacun d'eux est la 360e partie de la circonférence; AB = 2πR/300. Connaissant π et R, on peut calculer la longueur de AB = BC = CD. Cette longueur est celle que l'on porte sur la droite sce de la carte, de _c_ en _b_, de _b_ en _a_, etc. Dans la construction de la carte de France, on a eu égard à l'aplatissement de la terre; la longueur d'un degré du méridien dépend, dans ce cas, de sa latitude.]

[Note 36: Pour construire les arcs _aa'_, _a'a"_,..... qui appartiennent à un parallèle dont la latitude est donnée, on construit à part ce parallèle, avec un rayon _r_ = R × cos. latitude de ce parallèle, ou bien de la manière indiquée à propos de la projection orthographique. Si les arcs _aa'_, _a'a"_,.... sont de 1°, on prend un arc de 1° sur ce parallèle; puis on porte cet arc par parties très-petites, de _a_ en _a'_, sur l'arc de cercle _aa'a"_; puis une 2e fois de _a'_ en _a"_; une 3e fois de _a"_ en _a‴_, etc.....]

REMARQUES. Dans cette construction, on attribue au globe terrestre, dont on est censé développer une partie de la surface, un rayon arbitraire R dont la grandeur dépend du rapport que l'on veut établir entre les distances sur la carte et les distances réelles. Si les arcs AB, BC,... sont des arcs de 1°, on déduit leur longueur de celle du rayon assigné au globe terrestre (1° = 2πR/360). Pour la carte de France, on a eu égard à l'aplatissement de la terre; la longueur d'un degré du méridien est estimée suivant la latitude.

Enfin, pour construire les arcs _aa'_, _a'a"_,... _bb'_,... on peut déterminer la longueur des arcs AA', A'A",... BB',... que nous supposons de 1°, d'après les rayons des parallèles auxquels ils appartiennent. On porte chaque longueur ainsi déterminée, AA', par parties très-petites, sur la ligne _aa'a"_ de la carte. (V. la 2e note ci-contre).

=99.= AVANTAGES LE CE MODE DE DÉVELOPPEMENT.> Ce sont ceux que nous avons indiqués à l'avance. Les rapports d'étendue superficielle sont partout conservés; ainsi, des contrées de même surface sur la terre occupent des surfaces égales sur la carte. De plus, les surfaces représentées sont fort peu déformées.

En effet, le canevas de la contrée sur le globe terrestre géographique et sa représentation sur la carte, sont composées de petites figures telles que A'A"B"B'", _a'a"b"b'_, équivalentes chacune à chacune, à peu près de la même forme et semblablement disposées. Nous supposons les parallèles et les méridiens très-rapprochés, ce qu'il est toujours possible d'effectuer dans la construction.

Cela posé, 1º les petites figures A'A"B"B', _a'a"b"b'_ sont équivalentes; car elles peuvent être considérées comme des parallélogrammes ayant des bases égales; B'B" = _b'b"_ par construction, et même hauteur B'A' = BA = _ba_.

2º Ces figures A'A"B"B', _a'a"b"b'_ ont sensiblement la même forme; l'une et l'autre peuvent être considérées comme de petits rectangles. En effet, les méridiens et les parallèles perpendiculaires sur le globe le sont à fort peu près sur la carte; le long du méridien moyen, _sce_, les angles sont même exactement droits.

Ce dernier mode de représentation consiste, comme on le voit, à décomposer la contrée sur le globe terrestre, en très-petites parties (les petites figures A'A"B"B') que l'on transporte une à une aussi fidèlement que possible sur le papier. Cette représentation approche d'autant plus de l'exactitude que ces figures sont plus petites.

APPENDICE AU CHAPITRE II

(NON EXIGÉ).

=100.= CARTES MARINES, dites de MERCATOR. Les cartes dont on se sert pour la navigation diffèrent des précédentes: voici leur mode de construction.

On imagine un globe terrestre géographique sur lequel sont tracés une série de méridiens et de parallèles équidistants, aussi rapprochés que l'on veut. On trace sur le papier une droite E'E dont on suppose la longueur égale à celle de l'équateur du globe. On divise E'E en autant de parties égales que ce même équateur, en 18 parties par exemple; par tous les points de division, on mène des perpendiculaires à E'E (_fig._ 45); il y a alors autant de bandes parallèles sur le papier que de fuseaux sphériques sur le globe. Chacun de ces derniers est divisé en un certain nombre de quadrilatères ABCD, MNPQ... Si les méridiens et les parallèles, qui se coupent à angle droit, sont suffisamment rapprochés, on peut regarder approximativement chacun de ces quadrilatères, par ex. MNPQ, comme un rectangle ayant pour base MN et pour hauteur MP. Le mode de construction de la carte consiste à représenter, en procédant _par ordre_, de l'équateur au pôle, les divers rectangles de chaque fuseau sphérique par des rectangles respectivement semblables, disposés à la suite les uns des autres dans la bande parallèle correspondante à ce fuseau. Tous les rectangles de la carte auront des bases égales; _mn_ = AB (_fig._ 45), tandis que ceux du, fuseau ont des bases constamment décroissantes de l'équateur au pôle (V. la _fig._ 44). Pour obtenir la similitude de chaque rectangle MNPQ et du rectangle _mnpq_ qui le représente sur la carte, on prend la hauteur _mp_ du rectangle de la carte quatrième proportionnelle aux lignes connues MN, MP, _mn_ (MN = MP cos. latit.); il faut donc faire un calcul ou une construction pour la hauteur de chaque rectangle d'un fuseau. Ces hauteurs trouvées, on les porte dans leur ordre sur une des lignes du cadre, à droite ou à gauche; puis, par l'extrémité de chacune d'elles, on mène une parallèle à E'E. Le canevas est tracé; les méridiens y sont représentés par les droites parallèles à _y'_E_y'_, et les parallèles par les droites parallèles à E'E; les longitudes se marquent sur une parallèle à E'E, et les latitudes sur les deux perpendiculaires extrêmes _y'_E_y'_, _y_E'_y_.

=101.= REMARQUE. Les rectangles _de la carte_ considérés dans un sens ou dans l'autre, à partir de l'équateur, vont, en s'allongeant indéfiniment; vers les pôles leurs hauteurs deviennent excessivement grandes. Ce fait s'explique aisément; en effet, toutes les hauteurs des rectangles du globe terrestre sont égales; exemple: AC = MP; chacune d'elles est, par exemple, un degré du méridien: les bases AB...MN, de ces rectangles vont en décroissant indéfiniment de l'équateur au pôle (car MN = AB × cos. latit., et par suite MP = AB = MN ÷ cos. latit.). La hauteur constante, un degré du méridien, devient donc dans les rectangles successifs de plus en plus grande par rapport à la base (V. le globe). Le rapport de la hauteur de chaque rectangle à sa base étant le même sur la carte que sur le globe, et la base restant constante sur la carte, _ab_ = _mn_, il en résulte que sur celle-ci, les hauteurs _ac_, _mp_... (_mp_ = _mn_ ÷ cos. _latitude_) doivent aller en augmentant indéfiniment; ce qui fait que les rectangles s'allongent de plus en plus, à mesure qu'on s'éloigne de l'équateur. Dans les régions polaires les rectangles tendent à devenir infiniment longs. On ne doit donc pas chercher à se faire une idée de l'étendue superficielle d'une contrée par sa représentation sur une pareille carte; on se tromperait gravement. Les marins, qui ne cherchent sur la carte que la direction à donner à leur navire, trouvent à ces cartes un avantage précieux que nous allons indiquer.

=102.= Pour aller d'un lieu à un autre les navigateurs ne suivent pas un arc de grand cercle de la sphère terrestre; cette ligne, la plus courte de toutes, a le désavantage de couper les divers méridiens qu'elle rencontre sous des angles différents; ce qui compliquerait la direction du navire. Les marins préfèrent suivre une ligne nommée _loxodromie_ qui a la propriété de couper tous les méridiens sous le même angle. Cette ligne se transforme _sur la carte marine_ en une ligne droite qui joint le point de départ au point d'arrivée[37]; il suffit donc aux marins de tracer cette ligne sur leur carte, pour savoir sous quel angle constant la marche du navire doit couper tous les méridiens sur la surface de la mer. Habituellement, et pour diverses causes, le navire ne suit pas la ligne mathématique qu'on veut lui faire suivre; c'est pourquoi, après avoir navigué quelque temps, on cherche à déterminer, au moyen d'observations astronomiques, le lieu qu'on occupe sur la mer. Quand on a trouvé la longitude et la latitude de ce lieu, on le marque sur la carte marine; en le joignant par une ligne droite au lieu de destination, on a une nouvelle valeur de l'angle sous, lequel la marche du navire doit rencontrer chaque méridien.

[Note 37: Toutes les petites figures du canevas de la carte sont semblables à celles du globe terrestre; les éléments _successifs_ de la loxodromie, qui font sur le globe des angles égaux avec les éléments des méridiens qu'ils rencontrent, doivent faire les mêmes angles avec ces éléments de méridien rapportés sur la carte; ceux-ci étant des droites parallèles, tous les éléments de la loxodromie doivent se continuer suivant une même ligne droite.]

Le système de _Mercator_ est employé pour construire des _cartes célestes_; mais seulement pour les parties du ciel voisines de l'équateur.

_De l'atmosphère terrestre._

=103.= ATMOSPHÈRE. La terre est entourée d'une atmosphère gazeuse composée de l'air que nous respirons. L'air est compressible, élastique et pesant; les couches supérieures de l'atmosphère comprimant les couches inférieures, la densité de l'air est la plus grande aux environs de la terre. À mesure qu'on s'élève, cette densité diminue; l'air devient de plus en plus rare, et à une distance de la terre relativement peu considérable, il n'en reste pas de traces sensibles.

=104.= HAUTEUR DE L'ATMOSPHÈRE. On ne connaît pas cette hauteur d'une manière tout à fait précise; d'après M. Biot qui a discuté toutes les observations faites à ce sujet, elle ne doit pas dépasser 48000 mètres ou 12 lieues de 4 kilomètres. Cette hauteur ne serait pas la cent-trentième partie du rayon moyen de la terre[38]; le duvet qui recouvre une pêche serait plus épais relativement que la couche d'air qui enveloppe la terre.

[Note 38: Si on représentait la terre par un globe de 1 mètre de diamètre, l'atmosphère figurée n'aurait pas une épaisseur de 4 millimètres.]

=105.= UTILITÉ DE L'ATMOSPHÈRE. L'air est indispensable à la vie des hommes et des animaux terrestres tels qu'ils sont organisés. L'atmosphère par sa pression retient les eaux à l'état liquide; elle empêche la dispersion de la chaleur; sans elle le froid serait excessif à la surface de la terre[39]. Les molécules d'air réfléchissent la lumière en tous sens; cette lumière réfléchie éclaire les objets et les lieux auxquels n'arrivent pas directement les rayons lumineux; sans cette réflexion ces lieux resteraient dans l'obscurité.

[Note 39: Au sommet des montagnes, l'atmosphère devenant plus rare, s'oppose moins à la dispersion de la chaleur; à l'hospice du Grand-Saint-Bernard, à 2075 mètres au-dessus du niveau de la mer, la température moyenne est d'un degré au-dessous de zéro.]

La réflexion des rayons lumineux qui frappent une partie de l'atmosphère au-dessus d'un lieu _m_ de la terre, quand le soleil est un peu au-dessous de l'horizon de ce lieu, produit cette lumière indirecte connue sous le nom d'_aurore_ ou de _crépuscule_, qui prolonge d'une manière si sensible et si utile la durée du jour solaire. Si l'atmosphère n'existait pas, la nuit la plus absolue succéderait subitement au jour le plus brillant, et réciproquement.

=106.= EXTINCTION DES RAYONS LUMINEUX. L'atmosphère incomplètement transparente éteint une partie des rayons qui la traversent. Cette extinction, faible pour les rayons verticaux, augmente avec la distance zénithale de l'astre, parce que l'épaisseur de la couche atmosphérique traversée par la lumière augmente avec cette distance; AG (_fig._ 46) vaut environ 16 AB. L'extinction de la lumière et de la chaleur solaire sont donc beaucoup plus grandes quand le soleil est près de l'horizon; cette extinction est encore augmentée par les vapeurs opaques qui existent dans les basses régions de l'atmosphère. C'est pourquoi le soleil nous paraît moins éblouissant à l'horizon qu'au zénith.

Les astres nous paraissent plus éloignés à l'horizon qu'au zénith; cela tient encore à ce que les molécules d'air, qui réfléchissent à l'œil la lumière émanée de ces astres, s'étendent beaucoup plus loin à l'horizon qu'au zénith; l'œil auquel arrivent ces rayons réfléchis doit juger les distances plus grandes dans le premier cas que dans le second. D'ailleurs l'extinction plus grande des rayons lumineux donne aux objets une teinte bleuâtre plus prononcée qui contribue à nous les faire paraître plus éloignés.

=107.= RÉFRACTION. L'atmosphère possède, comme tous les milieux transparents, la propriété de réfracter les rayons lumineux, c'est-à -dire de les détourner de leur direction rectiligne. Cette déviation a lieu suivant cette loi démontrée en physique:

_Quand un rayon lumineux_ SA (_fig._ 47) _passe d'un milieu dans un autre plus dense, par exemple du vide dans l'air, il se brise suivant_ AB, _en se rapprochant de la perpendiculaire_, NN', _à la surface de séparation des milieux, sans quitter le plan normal_ SAN. _Si le nouveau milieu est moins dense, le rayon s'écarte de la normale._

De cette propriété il résulte que les objets célestes, qui sont vus dans une direction oblique à l'atmosphère, nous paraissent situés autrement que nous les verrions si l'atmosphère n'existait pas. Il nous faut donc connaître le sens et la valeur de ce déplacement, si nous voulons savoir, à un instant donné, quelles sont les véritables positions des astres que nous observons.

Un spectateur est placé en A sur la surface CA_c_ de la terre (_fig._ 48). Soient L_l_, M_m_, N_n_ les couches successives de densités décroissantes dans lesquelles nous supposons l'atmosphère décomposée, et qui sont concentriques à la terre.

Soit une étoile S, que nous considérons comme un point lumineux. Si l'atmosphère n'existait pas, le rayon lumineux SA nous montrerait l'astre S dans sa véritable position; mais le rayon lumineux qui aurait la direction AS, arrivant en _d_ sur la première couche atmosphérique, N_n_, d'une ténuité extrême, est légèrement dévié, et se rapprochant de la normale à la couche en _d_, prend la direction _de_; mais arrivé en _e_, ce rayon entrant dans une nouvelle couche plus dense, éprouve une nouvelle déviation, prend la direction _ef_ et ainsi de suite; les directions successives que prend le rayon continuellement dévié, forment une ligne polygonale, ou plutôt une courbe, _defa_, qui vient apporter au lieu _a_, et non pas au lieu A, la vue de l'étoile. Celle-ci est vue en A à l'aide d'un autre rayon lumineux SD qui, arrivé en D sur l'atmosphère, a été dévié successivement de telle sorte que son extrémité mobile arrive au lieu A, après avoir parcouru la courbe DEFA. L'observateur qui place l'étoile à l'extrémité du rayon lumineux qu'il perçoit, prolongé en ligne droite jusqu'à la sphère céleste, voit cet astre dans la direction du dernier élément de la courbe DEFA, c'est-à -dire à l'extrémité _s_ de la tangente AF_s_ menée à cette courbe par le point A.

=108.= Il résulte de ce principe de physique: _le rayon incident et le rayon réfracté sont dans un même plan normal à la surface de séparation des milieux_, et de ce fait que toutes les couches atmosphériques ont pour centre commun le centre de la terre, que toutes les directions successives des rayons réfractés, sont dans un même plan vertical comprenant la verticale AZ, la position vraie, S, et la position apparente _s_ de l'étoile. Toutes ces réfractions s'ajoutent donc et donnent une somme, SA_s_, qui est la réfraction totale relative à la position actuelle S de l'étoile.

Les effets de la réfraction astronomique se résument donc, pour l'observateur, dans un accroissement, SA_s_, de la hauteur de l'astre observé. On peut la définir par cet accroissement. _La réfraction astronomique est un accroissement apparent de la hauteur vraie d'un astre au-dessus de l'horizon._

Quand un astre est au zénith Z, la réfraction est nulle; elle augmente d'abord lentement à partir de 0°, quand la position vraie de l'astre descend du zénith à l'horizon, puis augmente plus rapidement quand cet astre est très-près de l'horizon; ainsi la réfraction, qui n'est encore que 1'9" quand l'astre se trouve à 40° de l'horizon, est de 33'47",9 au bord de l'horizon. Voici d'ailleurs le tableau des réfractions pour des hauteurs décroissantes, de 10° en 10° d'abord, puis pour des hauteurs plus rapprochées dans l'intervalle de 10° à 0°.

HAUTEUR RÉFRACTION. apparente.

90° 0",0 80 10 ,3 70 21 ,2 60 33 ,7 50 48 ,9 40 1' 9 ,4 30 1 40 ,7 20 2 38 ,9 15 3 34 ,5 10 5 20 ,0 9 5 53 ,7 8 6 34 ,7 7 7 25 ,6 6 8 30 ,3 5 9 54 ,8 4 11 48 ,8 3 14 28 ,7 2 0' 18 23 ,1 1 0 24 22 ,3 0 40 27 3 ,1 0 30 28 33 ,2 0 20 30 10 ,5 0 10 31 55 ,2 0 33 47 ,9[40]

[Note 40: Près de l'horizon les réfractions sont très-irrégulières parce que les rayons lumineux y traversent les couches d'air les plus chargées d'humidité, les plus inégalement échauffées ou refroidies par leur contact avec le sol. C'est pourquoi les astronomes évitent d'observer les astres trop près de l'horizon. Ce n'est qu'à partir de 5° ou 6° de hauteur que les réfractions deviennent régulières et conformes à la table précédente.]

_Usage du tableau._ Si la hauteur apparente d'un, astre est de 15° par exemple, on prend dans la table la réfraction correspondante 3'34",5 et on la retranche de la hauteur observée pour avoir la hauteur vraie.

REMARQUE. Quand la hauteur apparente d'un astre est de 0°0'0", cet astre, vu au bord de l'horizon, se lève ou se couche en apparence, tandis qu'il est déjà , en réalité à 33'47" au-dessous de l'horizon.

=109.= REMARQUE. Le diamètre apparent du soleil étant en moyenne de 32'3", il résulte de la remarque précédente que le bord supérieur de son disque étant déjà à 1' au-dessous de l'horizon, à l'Orient ou au Couchant, l'astre tout entier, soulevé par la réfraction, est visible pour nous. Le soleil nous paraît donc levé plus tôt et couché plus tard qu'il ne l'est réellement.

Une autre conséquence de la réfraction, c'est que le disque solaire, à son lever et à son coucher, nous apparaît sous la forme d'un ovale écrasé dans le sens vertical; la réfraction, relevant l'extrémité inférieure du diamètre vertical plus que l'extrémité supérieure, rapproche en apparence ces deux extrémités; le disque nous paraît donc écrasé dans ce sens. La réfraction élevant également les deux extrémités du diamètre horizontal n'altère pas ses dimensions.

Le même effet de réfraction a lieu pour la lune.

NOTE I.

SPHÉRICITÉ DE LA TERRE. Voici comment on montre la sphéricité de la terre en se fondant sur les observations 1°, 2°, 3°, mentionnées dans la note de la page 56.