Chapter 22

=305=. MOUVEMENT DU PÉRIGÉE LUNAIRE. Le périgée lunaire se déplace en tournant autour de la terre dans le plan de l'orbite, de manière à faire une révolution entière dans l'espace de 3232j,57 (un peu moins de 9 ans).

Ainsi l'ellipse que la lune décrit n'est pas fixe dans son plan mobile; comme l'orbite terrestre elle tourne dans ce plan autour de son foyer; il n'y a de différence dans les deux mouvements que dans la vitesse, beaucoup plus grande pour le périgée lunaire que pour l'autre.

Il y a encore d'autres irrégularités du mouvement lunaire moins considérables que les précédentes; il nous serait très-difficile d'en rendre compte. La mécanique céleste se fondant sur le principe de la gravitation universelle les explique et les laisse prévoir, de manière que les astronomes peuvent prédire à l'avance les mouvements de la lune avec une très-grande précision.

NOTE II.

=306=. EXPLICATION DE LA LIBRATION EN LONGITUDE. Le mouvement de rotation de la lune est uniforme; le mouvement de translation de son centre sur son orbite ne l'est pas; il a lieu conformément aux principes des aires; _les aires parcourues par le rayon vecteur_ T_l sont proportionnelles aux temps employés à les parcourir_. L'orbite de la lune étant elliptique (_fig._ 102), il arrive que des aires égales parcourues ne correspondent pas à des mouvements angulaires égaux du rayon vecteur T_l_; cela devient évident si l'on divise, par exemple, chacune des demi-ellipses _l_L_l''_, _l''l'''_L'_l_ en deux aires équivalentes par un rayon vecteur T_l'_ ou T_l''_; les deux angles _l'_T_l_, _l'_T_l''_; correspondant à deux aires équivalentes, diffèrent très-sensiblement l'un de l'autre. Cela posé, suivons la lune à partir du périgée _l_, durant une révolution synodique, en observant la tache _m_ qui se voit au centre du disque. Quand la lune est arrivée en _l'_, comme le rayon vecteur T_l_ a décrit une aire égale au quart de l'ellipse, nous sommes au _quart_ de la révolution. La tache _m_, qui doit décrire uniformément 360° dans une révolution, se trouve en _m_ à 90° de _m'_, qui serait alors sa position si la lune ne tournait pas. Mais le centre du disque est en _n_ sur la ligne T_l'_; celle-ci a tourné d'un angle _l'_T_l_ plus grand que 90°; le centre a été plus vite que la tache; celle-ci doit nous paraître avoir rétrogradé de l'arc _nm_; il est bien entendu que cet écart s'est produit progressivement. Quand la lune, au milieu de sa révolution, arrive à l'apogée _l"_, la tache _m_ ayant décrit 180° depuis la première position, doit se trouver en _m_ (distant de _m"_ de 180°). Le point _m_ est précisément le centre du disque. La tache, après être restée en arrière du centre, est donc revenue à ce point; son mouvement de libration est devenu direct. Quand la lune arrive en _l'''_, le rayon vecteur a décrit 3/4 de l'ellipse; la tache qui a décrit les 3/4 de 360°, ou 270° depuis _m'''_, dans le sens _m'''nm_, est arrivé en _m_; tandis que le centre du disque est en _n_ sur le rayon vecteur, T_l'''_, qui n'a pas tourné de 270° depuis le périgée; il s'en faut de l'arc _nm_; le centre _n_ du disque ayant tourné moins vite que la tache, celle-ci a pris l'avance et nous a paru tourner, par continuation, dans le sens direct. Enfin, la lune étant revenue au périgée _l_, la tache est revenue au centre; elle a rétrogradé vers ce point. Comme la lune tourne tout d'une pièce dans le même sens, en expliquant la libration de la tache _m_, nous avons expliqué généralement la _libration en longitude_.

=307.= EXPLICATION DE LA LIBRATION EN LATITUDE. Cette libration a lieu parce que l'axe de rotation de la lune n'est pas perpendiculaire au plan de son orbite, mais fait avec une perpendiculaire à ce plan un angle _mlp_ d'environ 6° 1/2 (nº 268).

Soient _l_T_l'_ (_fig._ 103) le grand axe de l'orbite lunaire, _mm'_ une perpendiculaire à l'orbite, _pp'_ l'axe de la lune, T le centre de la terre. La lune occupant la position _l_, l'observateur, placé en T, verra l'hémisphère _mp'm'_; il ne verra donc pas le pôle _p_, qui est de l'autre côté du bord visible, à la distance sphérique _mp_; tandis qu'il verra au delà du pôle _p'_, à une distance _p'm'_. Quand la lune, après une demi-révolution, sera arrivée en _l'_, l'axe _p'p_ étant resté parallèle à lui-même, l'observateur verra le pôle _p_, et les points situés au delà , à la distance sphérique _pm_, autour de ce point; il ne verra plus que le pôle _p'_, ni aucun des points qu'il voyait précédemment autour de ce point, à la distance _p'm'_. Il y a donc eu, dans l'intervalle, un mouvement du pôle _p_ qui s'est rapproché du bord supérieur, a reparu, puis s'est avancé à quelque distance de ce bord sur la partie visible du disque, tandis que le pôle _p'_ se rapprochant du bord inférieur, a fini par disparaître de l'autre côté de ce bord. La lune tournant tout d'une pièce dans l'un ou l'autre sens, ceci explique en général la libration en latitude.

=308.= _Explication de la libration diurne._ Du centre T de la terre, _abstraction faite des autres librations_, on voit toujours la même partie de la surface de la lune, ni plus ni moins, quelque position que prenne cet astre. Cela posé, suivons (_fig._ 104) la lune d'un point A de la surface de la terre, depuis son lever en _l_ jusqu'au méridien en _l'_ puis de là jusqu'à son coucher en _l"_. Quand la lune est au méridien en _l'_, l'observateur A voit précisément la partie de l'astre que l'on aperçoit du centre T. Au lever _l_, il aperçoit, près du bord _occidental_, un fuseau _ac_ invisible du centre T, tandis qu'il ne voit pas, près du bord _oriental_, un fuseau _bd_, visible de T. Au coucher _l'_, au contraire, l'observateur voit, près du bord oriental, un fuseau _d'b'_ invisible du centre T, et ne voit plus près du bord occidental le fuseau _c'a'_, visible du point T. Or les points de la surface de la lune, invisibles du centre T dans l'une des positions de la lune, sont invisibles du même point dans toute autre position; donc, par l'effet du mouvement diurne, l'observateur A voit d'abord près du bord occidental un fuseau _ac_, puis au bord oriental un fuseau _b'd'_ qu'il ne verrait pas sans ce mouvement. Comme d'ailleurs tout arrive progressivement, du lever de la lune à son coucher, les taches du fuseau _ac_, qui auront disparu en _l'_, se rapprochent successivement du bord occidental et disparaissent les unes après les autres, tandis que les taches du fuseau _bd_ reparaissent les unes après les autres au bord oriental, s'avançant progressivement à une petite distance sur le disque. Du méridien au coucher on voit apparaître au bord oriental, et successivement, les lâches du fuseau _b'd'_ qui s'avancent un peu sur le disque; enfin, on voit celles du fuseau _a'c'_, près du bord occidental, s'avancer vers le bord et disparaître successivement. C'est dans l'apparition et la disparition successive de ces fuseaux que consiste la libration diurne.

Chacun des fuseaux _ac_, _b'd'_, _bd_, _a'c'_, a environ 1° de large. En effet, l'angle _alc_ par exemple est égal à l'angle A_l_T, qui est précisément la parallaxe horizontale de la luné, laquelle varie, comme on sait, de 54' à 1°.

NOTE III.

_Complément du chapitre des éclipses._

=309.=. PRÉDICTION DES ÉCLIPSES DE LUNE. Les anciens, qui étaient loin de connaître les lois du mouvement du la lune aussi bien qu'on les connaît aujourd'hui, étaient cependant parvenus à prédire les éclipses avec une assez grande exactitude; c'est qu'ils avaient remarqué qu'après une certaine période fixe les éclipses de lune se reproduisent dans le même ordre et sensiblement dans les mêmes circonstances. Cette période, connue des Chaldéens sous le nom de _saros_, se compose de 223 lunaisons formant environ 18 ans 11 jours; elle comprend en général 70 éclipses, dont 41 éclipses de soleil et 29 de lune. Cela admis, il suffit de tenir compte par ordre et par date, d'une manière précise et à partir d'un certain jour, des éclipses de lune qui se produisent dans l'espace de 18 ans 11 jours, pour connaître, à très-peu près:, l'époque et même les circonstances de chacune des éclipses qui se produiront dans la période suivante de 18 ans 11 jours; de même pour une troisième période, et ainsi de suite. C'est ainsi que faisaient les anciens.

Maintenant qu'on sait comment et pourquoi les mêmes ellipses se reproduisent ainsi périodiquement, on sait aussi que cette ancienne méthode de prédire les éclipses n'est pas tout à fait exacte, et ne permet de prédire ces phénomènes qu'avec une certaine approximation. Nous l'indiquons néanmoins parce qu'elle est encore de quelque utilité, et qu'elle est d'ailleurs intéressante par le rôle qu'elle a joué bien longtemps.

=309= _bis_. Voici comment on explique la reproduction périodique des éclipses. On démontre aisément, et nous l'expliquons même un peu plus loin (nº 311), que la reproduction d'une éclipse dépend de la position relative, au moment de l'opposition, du soleil et des nœuds de la lune; cela admis, on comprendra aisément, après les explications suivantes, la reproduction périodique des éclipses telle que nous venons de l'indiquer.

On appelle _révolution synodique des noeuds de la lune_ le temps qui s'écoule entre deux rencontres consécutives du soleil et de l'un de ces points. Si les noeuds de la lune étaient fixes sur l'écliptique, la durée de cette révolution serait précisément l'_année sidérale_ (nº 218). Mais à cause du mouvement rétrograde des nœuds (nº 265), en vertu duquel ces points vont constamment à la rencontre du soleil, leur révolution synodique est plus courte et ne dure que 346j,619; 19 de ces révolutions synodiques font 6585j,76, ou 18 ans 11 jours environ; d'un autre côté, 223 lunaisons font 6585j,32. Donc 19 révolutions synodiques de la lune font à peu près 223 lunaisons; c'est lu période chaldéenne. Supposons un instant que l'on ait exactement 18 ans 11 jours = 19 révolutions synodiques des nœuds de la lune = 223 lunaisons; puis, qu'à une certaine époque il y ait éclipse de lune. En ce moment la lune est à l'opposition, et le soleil et les nœuds de la lune occupent certaines positions relatives; après 18 ans et 11 jours, comme il se sera écoulé 223 lunaisons, la lune se trouvera encore à l'opposition; comme il se sera écoulé 19 révolutions synodiques des nœuds, ces points et le soleil seront revenus aux mêmes positions relatives; la même éclipse se reproduira donc exactement.

Dans notre hypothèse, la méthode des anciens serait donc parfaitement exacte; si elle ne l'est pas, cela tient aux faibles différences qui existent entre les nombres 6585j,76, 6585j,32 et 18 ans 11 jours; ces différences sont à peine sensibles, et la méthode réussit à très-peu près quand on passe d'une période à la période suivante, ou même à quelques périodes consécutives; mais elles le deviendraient si, à partir d'une première observation réelle des éclipses, on voulait faire un tableau de prédictions pour un grand nombre de périodes suivantes. Il faut donc, au bout d'un certain temps, recommencer le premier travail d'observation.

=310.= Aujourd'hui les astronomes connaissent parfaitement les lois du mouvement de la lune, et peuvent calculer à l'avance pour un temps quelconque les positions de cet astre relativement au soleil et à la terre; ils le font pour tous les jours de chaque année, et même pour des époques plus rapprochées; les résultats de leurs calculs sont insérés dans la _Connaissance des temps_ de chaque année prochaine. A l'aide de ces tables on peut prédire les éclipses et leurs principales circonstances; le lecteur peut voir dans les ouvrages spéciaux comment on arrive à un pareil résultat.

=311.= Nous essayerons seulement ici de faire comprendre comment on peut savoir s'il y aura ou s'il n'y aura pas éclipse de lune à une opposition donnée. Considérons la terre, son cône d'ombre, et la lune au moment d'une opposition; imaginons alors une sphère ayant son centre au centre T de la terre, _fig._ 112, et pour rayon la distance T_l_ qui sépare en ce moment les centres des deux globes. Cette sphère coupe la lune suivant un de ses grands cercles, cercle _l_, et le cône d'ombre suivant un cercle, cercle O_c_, qu'on appelle le _cercle d'ombre de la lune_; ce cercle O_c_ a son centre O sur l'axe de ce cône, c'est-à -dire sur les prolongement de la ligne ST qui va du soleil à la terre. La même sphère coupe le plan de l'écliptique suivant un cercle, cercle ON'S, et le plan de l'orbite lunaire suivant un autre grand cercle, cercle N'_l_N, qui se confond sensiblement avec cette orbite elle-même (dans la partie _l_N); enfin, le grand cercle de cette sphère qui passe par ST et le centre _l_ de la lune, cercle O_ls_, n'est autre que le cercle de latitude de la lune, puisque, à l'opposition, ce dernier cercle doit passer par le soleil; ce grand cercle O_ls_ (qui est vu de face), tout en passant par les centres _l_ et O, de circ. _l_ et cir. O_c_, rencontre ces circonférences elles-mêmes sur la sphère. De cette exposition il résulte qu'à l'époque considérée, _l_O est la latitude de la lune, _li_ son demi-diamètre apparent, O_c_ le demi-diamètre apparent du cercle d'ombre, TN' la direction de la ligne des nœuds. Rappelons-nous aussi (page 211) que le diamètre réel du cercle d'ombre est, à la distance moyenne, 60_r_, de la lune à la terre, à peu près égal aux 8/11 du diamètre de la terre, tandis que le diamètre réel de la lune n'est que 3/11 du même diamètre; ces deux cercles, cercle O_c_ et cercle _li_, étant toujours vus à la même distance, leurs diamètres apparents doivent être dans le même rapport moyen de 8 à 3.

Les deux circonférences, cir. _l_ et circ. O_c_, étant tracées sur la même sphère, tout se passe exactement, quant à leurs situations relatives, comme si elles étaient tracées sur le même plan, les arcs ou distances sphériques O_l_, _li_, O_c_, remplaçant exactement _la distance des centres et les rayons des circonférences_. Nos deux circonférences seront sur la sphère: intérieures, sécantes, tangentes, extérieures, dans des conditions remplies par les arcs _l_O, _li_, O_c_, parfaitement identiques avec les conditions relatives aux mêmes situations indiquées dans notre _Géométrie_ (2e livre). Dès que cercle _l_ et cercle O_c_ auront une partie commune, la lune entrera dans le cône, et il y aura éclipse; quand il y aura seulement contact extérieur, ou que les deux cercles seront extérieurs l'un à l'autre, il n'y aura pas d'éclipse. D'après cela, ayant égard à la signification astronomique ci-dessus indiquée de _l_O, _li_, O_c_, et au IIe livre de _Géométrie_, nous pouvons établir les propositions suivantes:

1º Il y aura éclipse de lune à une opposition donnée, si pour cette époque on a _l_O < O_c_ + _li_, c'est-à -dire si la latitude de la lune est moindre que la somme des demi-diamètres apparents de la lune et de son cercle d'ombre terrestre.

2º Il n'y aura pas d'éclipse de lune à une opposition donnée si, pour cette époque, on a _l_O = O_c_ + _li_ ou _l_O > O_c_ + _li_, c'est-à -dire si la latitude de la lune est égale ou supérieure à la somme des demi-diamètres apparents de la lune et de son cercle d'ombre terrestre.

On peut, dans l'expression des conditions précédentes, introduire, au lieu de la latitude _l_O, l'arc ON, ou son égal N'S qui mesure la distance angulaire STN' du soleil au second nœud N' de la lune. En effet, le triangle sphérique ON_l_, rectangle en O, fournit une relation très-simple entre _l_O, ON, et l'angle aigu ON_l_ (qui n'est autre que l'inclinaison connue de l'orbite lunaire sur l'écliptique; en moyenne 5° 9'; tang _l_O = sin ON tg. ON_l_ = sin N'S tg. ON_l_). Supposons que l'on ait remplacé _l_O par ON et l'inclinaison ON_l_ dans chacune des relations citées tout à l'heure. On connaît la limite inférieure et la limite supérieure du demi-diamètre apparent de la lune; on peut déterminer les mêmes limites du demi-diamètre apparent de son cercle d'ombre terrestre (_V._ le nº suivant); cela fait, on peut remplacer convenablement ces demi-diamètres par leurs limites dans les égalités ou les inégalités dont nous nous occupons; on arrive ainsi à établir les propositions suivantes:

1º Si à l'époque d'une pleine lune, la distance angulaire du centre du soleil à l'un des nœuds de la lune est plus petite que 9° 31', il y a certainement éclipse. 2º Si à une pareille époque la distance du soleil au nœud le _plus voisin_ surpasse 12° 3', il ne peut y avoir éclipse. 3º Enfin, si la distance du soleil au nœud le plus voisin est comprise entre 9° 31' et 12° 3', l'éclipse est douteuse; l'examen détaillé des circonstances de cette éclipse montrera seulement si elle aura lieu réellement.

_Détermination du demi-diamètre du cercle d'ombre_. Nous avons supposé connu, dans ce qui précède, le demi-diamètre apparent du cercle d'ombre terrestre de la lune; voici comment on peut le calculer: La _fig._ 113 représente une section de la sphère (circ. T_l_, ou circ. T_c_, dont nous venons de faire usage) et une section du cône d'ombre de la lune, par un même plan central conduit par ST; on voit sur cette figure l'arc _cc'_ qui mesure précisément le diamètre apparent du cercle d'ombre; _c_T est la distance de la lune à la terre 1/2_c_T_c'_ ou _c_TD est égal à l'angle B_c_T, qui est la parallaxe de la lune (nº 197), diminué de l'angle _c_DT (_c_TD = B_c_T-_c_DT); mais l'angle _c_DT est lui-même égal à l'angle B'TS, demi-diamètre apparent du soleil, diminué de l'angle BB'T, parallaxe du même astre.

2/1_c_T_c'_ = B_c_T - _c_DT = B_c_T - (B'TS - BB'T)

1/2_c_T_c'_ = B_c_T + BBT - B'TS.[114]

[Note 114: 1/2_c_T_c'_ est l'arc O_c_ des égalités ou des inégalités précédentes (1º et 2º). On peut remplacer O_c_ par B_c_T + BB'T = B'TS dans l'égalité et dans les deux inégalités.]

_Le demi-diamètre apparent du cercle d'ombre terrestre de la lune s'obtient en ajoutant la parallaxe du soleil à celle de la lune, et retranchant de la somme le demi-diamètre apparent du soleil_. Or ces trois derniers angles sont donnés dans la _Connaissance des temps_. Le diamètre apparent du cercle d'ombre varie entre 1° 15' 32" et 1° 31' 36". En raison de l'ombre et de la pénombre de l'atmosphère, l'ombre terrestre sur la lune paraît avoir un diamètre un peu plus grand que celui qu'on obtient ainsi; les astronomes augmentent pour cette raison d'un soixantième la valeur calculée.

=312.= DE LA FRÉQUENCE RELATIVE DES ÉCLIPSES DE LUNE ET DE SOLEIL. La période chaldéenne de 18 ans 11 jours, au bout de laquelle la lune reprend la même position relativement au soleil et à ses nœuds, joue le même rôle pour les éclipses du soleil que pour les éclipses de lune quand on considère les premières d'une manière générale, _et indépendamment des lieux de la terre pour lesquels elles se produisent_. Les éclipses de soleil qui ont eu lieu dans une pareille période se produisent en même nombre et à des époques correspondantes dans la période suivante. Il y a cependant quelques changements à cause des différences entre les valeurs de 223 lunaisons et de 19 révolutions synodiques des nœuds (V. nº 309 _bis_). L'observation a appris que, dans 18 ans 11 jours, il y a, en moyenne, 70 éclipses, dont 41 de soleil et 29 de lune. Il n'y a jamais plus de 7 éclipses, et moins de 2 dans la même année; quand il n'y en a que deux, ce sont deux éclipses de soleil.

=313.= Pour comprendre pourquoi il y a plus d'éclipses de soleil que de lune, il suffit de jeter les yeux sûr cône tangent extérieur DB'C' qui enveloppe à la fois la terre et le soleil (_fig._ 119). Pour qu'il y ait éclipse de lune, il faut que la lune entre dans la partie DBC de ce cône, vers le point _a_, par exemple; pour qu'il y ait éclipse de soleil, en quelque lieu de la terre, il faut et il suffit que la lune entre vers _b_ dans la partie BCC'B' de ce cône, située entre la terre et le soleil. Or les dimensions transversales du cône étant plus grande vers _b_ que vers _a_, il doit arriver plus souvent que la lune pénètre dans le cône vers le point _b_ que vers le point _a_; c'est-à -dire qu'il doit y avoir plus d'éclipses de soleil que de lune.

=314.= Observons tout de suite qu'il n'est vrai de dire que le nombre des éclipses de soleil, observées durant une certaine période, surpasse le nombre des éclipses de lune, observées dans le même temps, que s'il s'agit de la terre en entier et non d'un lieu déterminé. Quand la totalité ou une portion quelconque de la lune est éclipsée, en cessant d'être éclairée par le soleil, elle devient invisible pour tous les points de l'espace à la fois. Une éclipse de lune est donc visible, et avec les mêmes apparences, de tous les lieux de la terre qui ont cet astre à leur horizon, et même de quelques autres, par l'effet de la réfraction (nº 291); ces lieux composent plus de la moitié de la terre; une éclipse de soleil, au contraire, n'est visible que dans une partie d'hémisphère et quelquefois dans une partie assez restreinte. Cette circonstance fait que le nombre des éclipses de lune _visibles en un lieu donné_ est plus grand que le nombre des éclipses de soleil qu'on y peut observer, malgré la plus grande fréquence de celles-ci quand on ne spécifie aucun lieu de la terre[115].

[Note 115: Ajoutons qu'à la distance de la lune l'ombre de la terre a un diamètre apparent à peu près triple de celui du soleil (page 211, en note); un observateur doit donc voir la lune passer plus souvent devant ce cercle d'ombre que devant le disque du soleil.]

=315.= Les éclipses totales de soleil sont excessivement rares en un lieu donné de la terre; on le comprend aisément quand on voit sur la _fig._ 114 la petitesse de l'ombre pure portée par la lune sur la terre. La partie de la terre atteinte par cette ombre n'est évidemment qu'une très-petite partie de l'espace atteint par la pénombre, d'où le phénomène d'éclipse peut être observé. A Paris il n'y a eu qu'une éclipse totale dans le dix-huitième siècle, en 1724. Il n'y en a pas eu encore dans le dix-neuvième siècle, et il n'y en aura pas d'ici à sa fin. A Londres, on a été 575 ans sans en observer aucune, depuis 1140 jusqu'en 1715; depuis l'éclipse de 1715, on n'en a pas observé d'autre dans cette ville.

=316.= PRÉDICTION DES ÉCLIPSES DE SOLEIL. La période chaldéenne, qui servait aux anciens à prédire les éclipses de lune, ne peut pas servir à prédire les éclipses de soleil. En effet, la prédiction d'une éclipse est relative à un lieu déterminé, ou à une région restreinte de la terre. Or, comme nous l'avons déjà dit, la période chaldéenne, si l'on parvenait à observer toutes les éclipses qui se produisent pendant sa durée, ce que les anciens ne pouvaient pas faire, nous apprendrait tout au plus qu'à telle époque d'une période suivante il doit y avoir une éclipse de soleil, mais sans nous faire connaître ni les lieux de la terre desquels elle serait visible, ni les circonstances de l'éclipse relativement à ces lieux. Or c'est là justement ce qui intéresse dans la prédiction des éclipses.