Chapter 3

L'enthousiasme avec lequel il parla à ses amis de la magnifique loi qu'il venait de trouver ne fit sur eux qu'une faible impression; ils lui dirent qu'ils ne croyaient pas à l'existence d'une méthode arithmétique qui permît d'exprimer en nombres une quantité composée d'une infinité de parties. L'un d'eux crut même le mettre dans un grand embarras en lui demandant s'il évaluerait le nombre des grains de sable qui sont au bord de la mer. Archimède lui répondit que non-seulement il exprimerait le nombre des grains de sable qui sont au bord de la mer, mais encore celui des grains dont on pourrait remplir tout l'espace compris entre la terre et les étoiles fixes; et il prouva ce qu'il avançait, en faisant voir que le cinquantième terme d'une progression décuple croissante satisfaisait à son engagement.

Il fit plus: afin de ne laisser sur ce sujet aucune ressource à l'imagination la plus féconde, il imagina un corpuscule dix mille fois plus petit qu'un grain de sable; il l'appela grain de pavot, et en forma sa première mesure. Le grain de pavot pris cinq fois fit un grain d'orge, ou sa seconde mesure, et avec ces mesures, le grand homme établit une suite de nombres qui se perdent dans l'infini.

* * * * *

On connaît la petite historiette racontée par Alsephadi, auteur arabe, d'un roi indien qui, voulant récompenser magnifiquement Sessa, qui avait inventé, pour le distraire, le jeu que d'autres attribuent à Palamède, le jeu des échecs, l'invita à demander tout ce qu'il pourrait désirer. Sessa demanda seulement autant de grains de blé qu'il y a de cases dans l'échiquier, en doublant à chaque case, c'est-à-dire 64 fois.

Le roi se scandalisa d'une demande qui semblait si peu digne de sa munificence. Sessa insista, et le roi ordonna qu'on le satisfît. On n'était pas arrivé au quart du nombre des cases, qu'on fut effrayé de la quantité de blé qu'on avait déjà; un peu plus loin, on trouva que le blé du monde entier n'aurait pas suffi pour répondre à l'exigence de Sessa.

Cette singulière demande a suffi pour rendre immortel le nom de Sessa, et l'on trouvera sans doute que c'est là de l'immortalité obtenue à bon marché, si l'on sait que ce même Sessa avait longtemps enseigné les mathématiques à Alexandrie, où l'ouvrage d'Archimède, _De numero arenae_, était certes bien connu.

* * * * *

Le génie des anciens, qui fut si heureux dans presque toutes les autres sciences, comme nous le voyons par la grandeur de leurs monuments, qui supposent une connaissance profonde de la plupart de celles que nous possédons nous-mêmes, ce génie ne se révéla que d'une manière extrêmement modeste pour ce qui regarde l'arithmétique.

* * * * *

Nous ne savons pas assez comprendre combien l'invention de l'alphabet est au-dessus de toutes les découvertes que l'homme a pu faire. Cette invention est fort ancienne chez la plupart des peuples; et ce qu'il y a de plus remarquable, c'est qu'elle se fit de prime-abord avec de tels caractères de simplicité, de perfection, que tous les siècles se la sont successivement transmise sans y rien ajouter, sans en rien retrancher.

Mais si les civilisations historiques possédaient, pour la langue proprement dite, des alphabets aussi parfaits que les nôtres, elles étaient loin d'avoir, pour exprimer les nombres, des caractères aussi simples que ceux que nous possédons. Les Orientaux, les Assyriens, les Hébreux, les Grecs, n'avaient pour signes de numération que les lettres de leur alphabet; les neuf premières marquaient les unités, les neuf suivantes les dizaines, et les autres, enfin, les centaines. Les signes exclusivement numériques étaient à peu près nuls; un point ou petit trait à la suite des lettres leur donnait seul leur valeur numérique. Dès que le nombre s'élevait dans des proportions un peu considérables, il fallait employer une quantité de lettres dont la lecture elle-même exigeait un calcul.

On dit que les Romains imitèrent les Grecs et se servirent aussi de leur alphabet pour exprimer les nombres. Telle n'est pas notre opinion. Les signes numériques romains I, V, X, L, C, D, M ne ressemblent aux caractères alphabétiques que par hasard; ils ne viennent pas de l'alphabet, ils sont nés des petites lignes que l'homme primitif dut tracer sur la pierre, sur le bois, quand il commença à soulager sa mémoire par des signes matériels.

Dans le principe, les Romains n'eurent que trois chiffres: I, pour exprimer les unités; X, pour exprimer les dizaines; [, qui devint plus tard C, pour exprimer les centaines. V, ou cinq, n'exprima ce nombre que comme étant une moitié de dix, X, et fut employé assez tard. De même, plus tard, on se servit de L pour exprimer cinquante ou moitié de cent, [ ou C. Avant de se servir de M pour exprimer mille, on employait le signe (I) ou ( I ); pour exprimer cinq cents, on prit la moitié du signe (I), mille, c'est-à-dire CI, qui devint bientôt D.

Les caractères romains, qui étaient encore plus compliqués que les caractères grecs, rendaient les opérations de l'arithmétique très-difficiles, ainsi que l'on peut s'en rendre compte en essayant la plus simple opération avec ces caractères. Aussi les Romains ne se distinguèrent-ils nullement comme mathématiciens. Lorsque l'administration des finances de l'État eut pris de larges développements, ainsi que le commerce, on fut obligé de recourir à des calculateurs grecs, qui devinrent, pour ainsi dire, les maîtres de la fortune publique et des fortunes privées, Rome manquant d'hommes capables pour contrôler leurs chiffres.

Les abus que quelques-uns d'entre eux commirent furent cause que l'on força ces étrangers à enseigner leur science aux citoyens romains. Le trésor se chargea du traitement de ces professeurs, qui furent installés dans un vaste édifice dont l'unique ameublement se composait de longues tables, couvertes de sable, et munies de petites baguettes pour écrire les chiffres, et de rouleaux pour niveler le sable, à mesure que les opérations numériques se renouvelaient. Cet emploi économique du sable, pour enseigner l'arithmétique, avait fait donner aux professeurs grecs le nom d'_arenarii_, nom qui fut en si grand honneur pendant toute la durée de l'empire. C'est parmi ces _arénaires_ qu'étaient ordinairement choisis les hauts fonctionnaires du département des finances.

* * * * *

Mais ce n'est pas à Rome que la vraie science s'était réfugiée en abandonnant la Grèce. C'est dans quelques villes de l'Asie centrale et de l'Égypte qu'elle s'était choisi des asiles. Alexandrie fut le plus célèbre. C'est là que Diophante, en cherchant à simplifier, à rendre mécaniques les opérations arithmétiques, trouva la méthode qui l'a fait regarder par plusieurs comme le vrai inventeur de l'algèbre. Cette méthode, c'est celle de l'analyse indéterminée, dont nous avons fait des applications si curieuses et si utiles, soit dans l'arithmétique pure, soit dans l'algèbre et dans la géométrie transcendante. On sait que cette arithmétique universelle de Diophante fut commentée par la célèbre Hypathia, et fut la source où l'Arabe Mohammed-ben-Musa puisa son algèbre.

Les mathématiques étaient dans l'état le plus florissant, depuis l'Égypte jusqu'aux Indes, lorsque Mahomet et ses successeurs commencèrent à exercer dans tout l'Orient les immenses dévastations qui ont voué leurs noms à l'éternelle exécration des siècles.

* * * * *

On suppose généralement que les fanatiques compagnons des califes n'étaient qu'un misérable assemblage de tribus barbares, complétement étrangères aux sciences et aux arts civilisateurs. C'est là une erreur contre laquelle la saine critique a depuis longtemps protesté. Les sciences mathématiques, entre autres, étaient aussi familières aux Arabes qu'aux Égyptiens et aux habitants de l'Asie occidentale. L'incendie de la grande bibliothèque d'Alexandrie, eût-il véritablement été ordonné par Omar, au lieu d'être un simple accident de guerre, puisque cet événement eut lieu au moment où la ville fut emportée d'assaut, il faudrait voir dans cet ordre, non la volonté d'anéantir les monuments des sciences proprement dites, mais celle de faire disparaître les livres des philosophes, des théologiens, les livres, en un mot, qui pouvaient contenir des principes contraires à ceux de l'absurde Coran.

Lorsque les diverses nations que les premiers califes avaient réunies sous un étendard commun se furent fatiguées à ravager l'Asie et l'Afrique, et ne virent plus devant elles de but matériel digne de leur activité immédiate, elles se ressouvinrent des sciences et des arts, dont elles n'avaient oublié ni les principes ni la langue pendant les longs travaux de la guerre.

Il est à peine besoin de rappeler que c'est à ces compagnons des califes, qui ne méritent le nom d'Arabes que parce que l'Arabie fournit le noyau de l'agglomération guerrière qui se fit en quelques années une si large place dans le monde, il est à peine besoin de rappeler, disons-nous, que c'est aux Arabes que nous devons la connaissance et peut-être la conservation des ouvrages d'Aristote, d'Euclide, de Ptolémée, de Galien, d'Apollonius, de l'ouvrage d'Archimède, _De humido insidentibus_, etc., etc.

L'astronomie fut d'abord la science que les Arabes s'efforcèrent de faire refleurir; le besoin d'avoir des mesures exactes du temps dirigea ensuite leurs études vers la mécanique. Pour se faire une idée des succès qu'ils avaient obtenus dans cette dernière science, il suffit de dire un mot de la fameuse clepsydre que le savant calife Haroun, petit-fils du non moins savant calife Almanzor, envoya en présent à notre roi Charlemagne en 799. Cette clepsydre ou horloge d'eau était d'un mécanisme véritablement merveilleux, s'il faut s'en rapporter à la description qu'en ont donnée plusieurs auteurs.

Sur le cadran de cette horloge étaient pratiquées douze portes, qui marquaient la division des heures; chacune d'elles s'ouvrait à l'heure qu'elle indiquait pour donner passage à de petites boules tombant sur un timbre d'airain frappant les heures. Elles demeuraient ouvertes jusqu'à la douzième heure, et alors douze petits cavaliers sortaient ensemble, faisaient le tour du cadran, refermaient les portes, etc., etc.

Les Arabes ne se servirent longtemps que de caractères grecs pour exprimer les nombres, et ils comprenaient, comme l'avaient compris tous les anciens mathématiciens, qu'un bon alphabet manquait encore à la science des nombres. On suppose qu'ils n'inventèrent les chiffres que vers la fin du VIIIe siècle.

Après avoir réduit la langue des nombres à dix signes, ils essayèrent, à l'aide de diverses combinaisons, de faire mécaniquement les principales opérations de l'arithmétique; mais ils paraissent avoir échoué dans ces tentatives. On suppose cependant que le célèbre Alfraganus, qui écrivit des éléments d'astronomie autrefois classiques, même dans l'Occident, et est auteur des _Traités sur les horloges solaires et sur l'astrolabe_, conservés en manuscrits dans quelques bibliothèques, avait réussi à composer une machine à calcul. L'emploi d'une machine de ce genre, en effet, paraît seule pouvoir expliquer la rapidité avec laquelle il faisait les calculs les plus longs et les plus compliqués. C'est cette rapidité à faire les calculs qui l'avait fait surnommer _le calculateur_.

Quoi qu'il en soit, ce furent les récits merveilleux que l'on faisait de la science des Arabes dans l'art de combiner les nombres qui nous valurent l'inestimable importation des chiffres.

* * * * *

Gerbert, avant d'être moine, archevêque de Reims, chancelier de France et pape sous le nom de Silvestre II, avait gardé, sur les montagnes d'Auvergne, les troupeaux de son père. Le jeune pâtre, qui dépassa le génie de son siècle, au point que la masse de ses contemporains lui donna le nom de nécromancien, ne songeait qu'à se livrer aux distractions de son âge, lorsque lui vinrent tour à tour l'idée de son horloge à poids et l'idée de son orgue hydraulique, inventions qui seules auraient suffi pour immortaliser son nom.

Pendant que ses compagnons se contentaient de souffler dans leurs chalumeaux, formés de l'écorce des jeunes rameaux, il avait, lui, trouvé le moyen de se servir de l'eau d'une fontaine pour produire le vent qui devait faire rendre des sons variés aux siens.

Le soleil était son horloge, lorsqu'il brillait sur l'horizon; mais quand le jour était sombre, il arrivait parfois au jeune pâtre de se tromper sur l'heure où il devait conduire son troupeau à l'abreuvoir et sur celle où il devait le ramener à l'étable.

Les réprimandes paternelles que lui attiraient ces erreurs mirent en travail l'imagination de l'enfant des montagnes, et quelques jours après il avait fabriqué avec son petit couteau une ingénieuse combinaison de cordelettes, d'axes et de poids qui lui mesurait le temps avec une exactitude satisfaisante, et devenait le point de départ de la savante horloge qu'il devait construire plus tard à Magdebourg.

Géraud de Saint-Céré, prieur des bénédictins d'Aurillac, entendit parler des merveilleux jouets, fut curieux de les connaître, et pressentit en les voyant, la haute destinée à laquelle était réservé leur jeune auteur.

Accueilli dans la célèbre abbaye fondée par saint Géraud, Gerbert fit de si rapides progrès dans toutes les sciences, que, quelques années après, ses supérieurs, jugeant qu'ils ne pourraient plus rien lui apprendre, lui permirent d'aller suivre en Espagne les leçons de quelques professeurs dont la célébrité était alors universelle.

Recommandé à Borel, comte de Barcelone, il étudia dans cette ville les mathématiques pendant quinze ou dix-huit mois. Là, comme à Aurillac, le disciple était bientôt devenu plus savant que ses maîtres, et pourtant sa soif de tout connaître était aussi ardente que jamais.

On ne parlait en Espagne qu'avec une admiration profonde de la science des docteurs musulmans, qui donnaient des leçons publiques à Cordoue et à Séville. Malheureusement, le séjour de ces villes était alors interdit aux étrangers. Le jeune bénédictin français ne tint aucun compte des dangers dont on le menaçait. Il quitta momentanément son habit de religieux, couvrit sa tête d'un turban, et suivit tour à tour les cours des universités de Séville et de Cordoue avec tant d'ardeur qu'au bout d'une année, en 968, il revint à Barcelone, l'esprit rempli de toute la science des docteurs arabes.

On nous pardonnera ces détails si l'on songe que c'est de ce dangereux voyage que Gerbert rapporta les chiffres.

On ne commente pas de semblables conquêtes.

* * * * *

Gerbert, non content d'avoir fait à l'Europe un aussi magnifique présent, se livra aux plus incessantes recherches pour rendre ce présent plus précieux encore. Il avait donné les chiffres et révélé l'art de les combiner, une plume à la main, le travail de l'esprit aidant; il eut l'ambition d'épargner à l'esprit le soin de faire ces combinaisons, et voulut confier à une machine le soin de les faire. Il savait que les Arabes avaient échoué dans toutes les tentatives qu'ils avaient faites pour créer une machine à calcul; mais les insuccès de ses maîtres stimulaient son ardeur, bien loin de le rendre timide dans ses efforts.

Le désir impatient d'arriver à la découverte de l'introuvable machine le porta, pendant son séjour à Rome, à devenir apprenti tourneur. Il lui semblait que tout lui deviendrait possible, lorsqu'il pourrait façonner de ses propres mains ses cylindres, ses poulies, ses roues à dents, etc., etc.

Espérances vaines! Son habileté dans l'art du tourneur ne lui servit que pour la construction de ses sphères, de son horloge, et pour le percement des tubes dont il avait besoin pour ses observations astronomiques et pour ses orgues hydrauliques.

Nous ignorons comment étaient combinées les diverses machines à calcul que Gerbert essaya de construire. Cependant il est très-supposable que sa _rhytmomachie_ et son _abacus_ étaient des éléments qui devaient intervenir dans les machines dont il avait à coeur d'enrichir le domaine de la science. Son livre sur la multiplication, adressé à son ami Constantin, moine de Fleury, et son livre sur la division paraissent de même n'être que des combinaisons imaginées pour être exécutées mécaniquement.

* * * * *

Le premier essai de machine à calculer que nous trouvons après celui de Gerbert est ce qu'on a appelé _la tête parlante_ d'Albert surnommé le Grand.

On avait trouvé dans quelques manuscrits que ce laborieux dominicain avait fait une tête d'airain qui répondait sans hésiter à toutes les questions qu'on pouvait lui adresser, et les critiques ont dit avec raison que c'était là un conte absurde, attendu qu'une tête artificielle ne peut pas avoir de raisonnement suivi. S'ils avaient eu un peu plus d'érudition, ces critiques auraient su que le fait de la tête d'airain est vrai; seulement, au lieu de répondre à toutes les questions, elle se bornait à répondre à des questions sur les nombres; seulement encore, au lieu de prononcer ses réponses, elle les présentait écrites entre ses lèvres entr'ouvertes, à l'aide de rubans mus par un mécanisme intérieur. En d'autres termes, la tête d'airain, construite par Albert le Grand, était tout simplement une machine à calculer, exécutant quelques additions et quelques multiplications composées d'un petit nombre de chiffres.

Roger Bacon, contemporain d'Albert le Grand, construisit, lui aussi, une tête d'airain qui répondait à certaines questions. Elle a été ridiculisée comme celle du religieux allemand. C'est avec aussi peu de fondement; car cette tête de Roger Bacon n'était qu'une machine à calculer, faite en rivalité de celle d'Albert le Grand.

Il est presque inutile de dire qu'en enfermant dans une tête le mécanisme à l'aide duquel se déroulaient les rubans numérateurs, on avait pour unique but de faire paraître plus extraordinaires les réponses arithmétiques qui venaient apparaître entre les lèvres de la tête d'airain, dont le mécanisme était mû par quelque pédale cachée sans doute.

Si nous mentionnons ces essais de machines à calculer, c'est qu'il importe de montrer que, dans tous les âges, le désir de faire mécaniquement les opérations de l'arithmétique a été l'une des ambitions des savants les plus éminents.

* * * * *

Ayant hâte d'arriver à nos temps modernes, nous ne raconterons pas les tentatives que firent, pour découvrir une machine calculatrice, des savants d'un ordre élevé, à Pise, à Milan, à Lisbonne, à Constantinople, à Ollmütz, à Erfurt, à Halle, à Bergame, à Tubingen, à Zurich, à Stralsund, à Odensée, à Leyde, à Aberdeen, etc., etc.

Insuccès partout et toujours, et espérance d'arriver à la découverte sans cesse vivante: voilà le résumé de l'histoire dont nous esquissons les principaux traits.

Vers l'an 1460, un célèbre mathématicien allemand, Jean Muller, plus connu sous le nom de Régiomontan, avait découvert l'art de substituer aux fractions ordinaires la division des nombres par 10e, 100e, 1000e et donné à sa méthode le nom d'arithmétique décimale.

Cette heureuse simplification ne fit pas disparaître l'ancienne manière d'opérer avec les parties de l'unité; mais elle resta dans la mémoire des savants, et quelques-uns en comprirent les avantages.

De ce nombre fut le baron Néper, seigneur écossais. Comprenant tout le parti que l'on pouvait tirer du calcul décimal, ce savant entreprit d'en faire la base d'une machine à l'aide de laquelle il espérait pouvoir exécuter sans effort d'esprit toutes les opérations de l'arithmétique. Le mécanisme de cette machine est inconnu. On sait seulement que l'appareil avait la forme d'une caisse carrée; que cette caisse contenait dix rangées de petits cylindres, et que, sur chacun de ces cylindres était enroulé un ruban sur lequel étaient tracés les neuf chiffres significatifs et le zéro.

Le fonctionnement de cette machine ne répondit pas aux espérances de l'inventeur; mais celui-ci ne fut nullement découragé par cet échec. Il chercha des combinaisons mécaniques nouvelles, et arriva à la découverte de la méthode qu'il nomma _rabdologie_ (du grec _rabdos_, baguette, planchette). Elle consiste à faire des calculs avec de petites baguettes en forme de pyramides rectangulaires, dont chaque face contient une partie de l'abaque ou table ordinaire de la multiplication. Cette table est divisée en neuf petites lames, dont chacune a neuf cellules. La première de ces cellules contient l'un des caractères simples, depuis 1 jusqu'à 9. Les autres cellules renferment les produits des multiplications du chiffre qu'elles portent en tête par chacun des nombres simples; en combinant ensemble ces baguettes, on fait les principales règles de l'arithmétique.

Cette combinaison n'est pas difficile à faire. Ce qu'il y a d'embarrassant, c'est la recherche de la baguette dont on a besoin pour l'opération que l'on veut faire.

C'est cet inconvénient qui fit regarder la _rabdologie_ de Néper comme une chose purement ingénieuse.

* * * * *

Le savant écossais avait fait exécuter tous les plans de ses machines à calculer par un très-habile constructeur d'instruments de mathématiques, Juste Byrge, qui était en même temps un très-savant géomètre, et qui fut l'inventeur du compas de proportion.

Ce Juste Byrge était un homme simple, et d'une si grande modestie, qu'il ne jugeait pas que ses productions fussent dignes de voir le jour. Ce fut bien timidement qu'il avoua au baron écossais qu'il attachait un certain prix à une découverte qu'il avait faite depuis quelque temps. Quelle était cette découverte? C'était celle des logarithmes.

On ne dit pas si Néper félicita Byrge de son bonheur; mais on sait du moins qu'il sut apprécier la valeur d'une semblable invention, puisque, quelque temps après, il en fit sa propriété, et publia sous son propre nom le livre intitulé: _Mirifici logarithmorum canonis descriptio_.

La priorité de Juste Byrge comme inventeur des logarithmes étant un fait depuis longtemps constaté par les témoignages les plus puissants et les plus irrécusables, il est vraiment étrange que tant d'écrivains modernes continuent d'attribuer au grand seigneur écossais la découverte de l'humble constructeur d'instruments de mathématiques allemand. Pour notre part, nous n'avons pas cru, puisque nous avions à parler de Néper, pouvoir nous dispenser de rappeler les circonstances, malheureusement trop peu connues, qui lui ont valu sa gloire imméritée.

Un honneur que nous ne refuserons pas à Néper, c'est celui d'avoir eu l'idée du point de départ, assez éloigné, il est vrai, de la célèbre machine à calculer de Pascal. Voici comment:

* * * * *

Nous avons dit que le système rabdologique du baron écossais avait été abandonné, à cause de la difficulté de trouver promptement la baguette qui est nécessaire pour l'opération que l'on veut faire. Un homme de mérite, Petit, intendant des fortifications, qui avait étudié avec beaucoup d'attention la méthode de Néper, vit avec peine que l'on abandonnât cette invention et chercha à la ramener à une pratique plus facile.

Quelques années auparavant, un savant jésuite allemand, Gaspard Schott, avait eu l'idée de coller les bâtons de Néper sur plusieurs cylindres oblongs, et mobiles autour de leur axe. Le principe qui avait présidé à la construction de la machine de Schott n'était peut-être pas mauvais; mais les cylindres, qui fonctionnaient bien isolément, donnaient des résultats inexacts lorsqu'ils devaient marcher ensemble; l'inventeur désespéra de pouvoir perfectionner sa machine et l'abandonna.