Part 3

Membre étranger de la Société Royale des Sciences de Göttingue, _élu_ le 26 novembre 1892; _élu_ membre correspondant le 3 mai 1884. Membre étranger ordinaire de la Société Royale des Sciences d'Upsal, _élu_ le 27 mai 1885. Membre étranger de l'Académie Royale des Lincei, à Rome, _élu_ le 7 septembre 1888. Membre correspondant de l'Académie Royale des Sciences de l'Institut de Bologne, _élu_ le 21 décembre 1890. Membre étranger de la Société Royale de Londres, _élu_ le 26 avril 1894. Membre honoraire étranger de la Société Royale d'Édimbourg, _élu_ le 6 mai 1895. Membre correspondant de l'Académie impériale des Sciences de Saint-Pétersbourg, _élu_ le 29 décembre 1895 (v. s.). Membre correspondant de l'Académie Royale des Sciences de Prusse, à Berlin, _élu_ le 30 janvier 1896. Membre correspondant de l'Académie Royale des Sciences d'Amsterdam, _élu_ le 11 mai 1897. Membre étranger de l'Académie Royale des Sciences physiques et mathématiques de Naples, _élu_ le 20 novembre 1897. Membre correspondant de l'Institut Royal Vénitien des Sciences, Lettres et Arts, à Venise, _élu_ le 27 février 1898. Membre associé étranger de l'Académie Nationale des Sciences de Washington, _élu_ le 22 avril 1898. Membre étranger de la Société Royale des Sciences de Danemark, à Copenhague, _élu_ le 21 avril 1899. Membre étranger de l'Académie Royale des Sciences de Suède, à Stockholm, _élu_ le 6 juin 1900. Membre correspondant de l'Académie Royale des Sciences de Bavière, à Munich, _élu_ le 18 juillet 1900. Membre associé de l'Académie Royale des Sciences, des Lettres et des Beaux-Arts de Belgique, à Bruxelles, _élu_ le 15 décembre 1902. Membre étranger de l'Académie Royale des Sciences de Turin, _élu_ le 14 juin 1903. Membre honoraire de l'Académie Royale des Sciences de Vienne, _élu_ le 7 août 1908, _élu_ Membre correspondant le 3 août 1903. Membre étranger de l'Académie Royale des Sciences de Hongrie, à Budapest, _élu_ le 23 mars 1906. Membre honoraire de l'Académie Royale d'Irlande, à Dublin, _élu_ le 16 mars 1907. Membre d'honneur étranger de l'Académie Nationale de Roumanie, à Bucarest, _élu_ le 11 juin 1909. Membre correspondant de l'Académie des Sciences, des Arts et des Belles-Lettres de Caen, _élu_ le 24 juin 1881. Membre associé lorrain de l'Académie de Stanislas, à Nancy, _élu_ le 17 février 1893.

Président du Congrès des Mathématiciens tenu à Paris du 6 au 12 août 1900. Vice-Président du Bureau et Secrétaire général du Congrès de Physique tenu à Paris du 6 au 12 août 1900. Président de la 36e Assemblée générale de la Société amicale de secours des anciens Élèves de l'École Polytechnique, le 25 janvier 1903. Président de la Commission des finances de l'Association Géodésique internationale, _élu_ à la Conférence générale tenue à Budapest du 26 au 28 septembre 1906; _élu_ Membre de cette Commission à la Conférence générale tenue à Copenhague du 4 au 13 août 1903. Président de la Société mathématique de France, en 1886 et en 1900. Président de la Société astronomique de France, en 1901-1902 et en 1902-1903. Président de la Société Française de Physique, en 1902.

Docteur honoraire de l'Université de Cambridge, _élu_ le 12 juin 1900. Docteur _honoris causa_ en Mathématiques de l'Université Royale Frédéricienne de Christiania, _élu_ le 6 septembre 1902. Docteur honoraire en Philosophie de l'Université de Kolozsvár (Hongrie), _élu_ le 8 janvier 1903. Docteur honoraire en Sciences de l'Université d'Oxford, _élu_ le 24 juin 1903. Docteur honoraire en Loi de l'Université de Glascow, _élu_ le 23 avril 1907. Docteur _honoris causa_ de l'Université libre de Bruxelles, _nommé_ le 19 novembre 1909. Docteur _honoris causa_ en Philosophie de l'Université de Stockholm, _nommé_ le 7 décembre 1909. Docteur _honoris causa_ en Médecine et en Chirurgie de l'Université de Berlin, _nommé_ le 12 octobre 1910.

Membre honoraire de la Société philosophique de Cambridge, _élu_ le 24 novembre 1890. Membre du Conseil directeur du Cercle mathématique de Palerme, _élu_ le 18 janvier 1891. Membre honoraire de la Société mathématique de Londres, _élu_ le 14 avril 1892. Membre honoraire de la Société de Littérature et de Philosophie de Manchester, _élu_ le 26 avril 1892. Membre étranger de la Société Hollandaise des Sciences de Harlem, _élu_ le 21 mai 1892. Membre associé de la Société Royale astronomique de Londres, _élu_ le 9 novembre 1894. Membre de la Société philosophique Américaine, à Philadelphie, _élu_ le 19 mai 1899. Membre étranger de la Société Italienne des Sciences (_dite_ des Quarante), à Rome, _élu_ le 2 janvier 1900. Membre honoraire de la Société des Sciences de Finlande (_Societatis Scientiarum Fennicæ_), à Helsingfors, _élu_ le 15 avril 1903. Membre honoraire de la Société mathématique de Kharkow, _élu_ le 12 octobre 1903 (v. s.). Membre honoraire de la Société physico-mathématique de Kasan, _élu_ le 14 février 1904 (v. s.). Membre honoraire de la Société des Sciences physiques et médicales d'Erlangen, _élu_ le 27 juin 1908. Membre du Comité d'organisation du Congrès international de Bibliographie des Sciences mathématiques (Exposition universelle internationale de 1889), _nommé_ par le Ministre du Commerce et de l'Industrie le 9 novembre 1888.

Président du Bureau du Comité d'organisation du Congrès international de Bibliographie, _élu_ le 16 novembre 1888. Président du Congrès international de Bibliographie, _élu_ le 16 Juillet 1889. Président du Bureau de la Commission permanente internationale du _Répertoire bibliographique des Sciences mathématiques_, _élu_ le 19 juillet 1889. Président du Comité de rédaction du _Bulletin Astronomique_ publié par l'Observatoire de Paris, _nommé_ le 4 janvier 1897. Pour la publication de l'_International Catalogue of Scientific Literature_: Membre du Conseil international, _élu_ le 12 juin 1900; Membre du Comité exécutif, _élu_ le 12 décembre 1900. Rapporteur de la Commission du IIIe Concours du Prix LOBATSCHEWSKIJ _décerné_ le 14 février 1904 (v. s.). Membre de la Commission de la Médaille GUCCIA, _décernée_ en 1908. Membre du Comité d'honneur de la Ligue pour la Culture Française, fondée par M. JEAN RICHEPIN le 3 juin 1911.

Prix d'honneur au Concours général en Mathématiques élémentaires (Lycée de Nancy), le 12 août 1872. Prix d'honneur au Concours général en Mathématiques spéciales (Lycée de Nancy), le 4 août 1873. Mention très honorable de l'Académie des Sciences, dans le Concours pour le Grand Prix des Sciences mathématiques, le 14 mars 1881. Prix PONCELET de l'Académie des Sciences de Paris, pour l'ensemble de ses Travaux mathématiques, _décerné_ le 21 décembre 1885. Prix JEAN REYNAUD de l'Académie des Sciences de Paris, _décerné_ le 21 décembre 1896. Médaille d'Or de l'Association Française pour l'Avancement des Sciences, _votée_ le 1er avril 1909, _décernée_ le 2 août 1909.

Prix fondé par S. M. le Roi de Suède et de Norvège OSCAR II, à l'occasion de son 60e anniversaire, _décerné_ le 21 janvier 1889. Médaille d'Or de la Société Royale astronomique de Londres, _décernée_ le 9 février 1900. Médaille SYLVESTER de la Société Royale de Londres, _décernée_ le 30 novembre 1901. Prix BOLYAI de l'Académie Hongroise des Sciences, à Budapest, _voté_ le 13 octobre 1901, _décerné_ le 18 avril 1905. Médaille d'Or LOBATSCHEWSKIJ de la Société physico-mathématique de Kasan, DÉCERNÉE le 14 février 1904 (v. s.).

Officier d'Académie, _nommé_ le 23 avril 1881. Officier de l'Instruction publique, _nommé_ le 13 juillet 1889. Chevalier de la Légion d'honneur, _nommé_ le 4 mars 1889. Officier de la Légion d'honneur, _promu_ le 16 mai 1894. Commandeur de la Légion d'honneur, _promu_ le 14 janvier 1903.

Chevalier de l'Étoile Polaire de Suède, _nommé_ le 14 novembre 1883. Commandeur de première classe de l'Étoile Polaire de Suède, _promu_ le 15 juin 1905.

QUELQUES-UNS DES ÉCRITS SUR M. HENRI POINCARÉ, PUBLIÉS APRÈS SON ÉLECTION COMME MEMBRE DE L'ACADÉMIE FRANÇAISE.

Par GUSTAVE LE BON: _L'Opinion_, Paris, 1er a., 7 mars 1908, in-4, p. 13-14.

Par CHARLES LAHM: _Illustrirte Zeitung_, Leipzig, in-4, 130 Bd., Nr. 3376, 12. März 1908, S. 442.--134 Bd., Nr. 3484, 7. Apr. 1910, S. 2.

Par le Vicomte ROBERT D'ADHÉMAR: _La Revue hebdomadaire_, Paris, 17e a., 21 mars 1908, in-16, p. 366-373.

Par JEHAN SOUDAN: _La Revue illustrée_, Paris, 23e a., 5 avril 1908, in-4, p. 241-246.

Par MARCEL PRÉVOST: _Le Figaro_, Paris, 55e a., 3e s., 24 janvier 1909, in-fol., p. 1.

Par JULES SAGERET: R I, 6e a., 15 juin 1909, gr. in-8, p. 485-505. _Les Hommes et les Idées_: HENRI POINCARÉ. Paris, Mercure de France, 1911, in-16, avec portrait et autographe, 80 p.

Par JACQUES LUX: R B, 47e a., 2e sem., 9 octobre 1909, p. 480.

Par ÉMILE BOREL: _La méthode de M._ POINCARÉ. R M, t. 7, 10 mars 1909, p. 360-362.

Par le Dr TOULOUSE: _Enquête médico-psychologique sur la supériorité intellectuelle_: HENRI POINCARÉ. Paris, E. F., avril 1910, avec portrait et autographe, in-18 jésus, v-204 p.

Par JULES TANNERY: B S M, 2e s., t. 34, 1e p., août 1910, p. 204-205.

Par EDWIN E. SLOSSON: _Twelve Major Prophets of Today_--III: HENRI POINCARÉ. _The Independent_, New York, v. 71, October 5, 1911, in-8, avec 2 portraits, p. 729-741.

SECTION II.

ANALYSE MATHÉMATIQUE.

_EXTRAIT DU_ RAPPORT SUR LE PRIX BOLYAI PRÉSENTÉ PAR M. GUSTAVE RADOS A L'ACADÉMIE HONGROISE DES SCIENCES.

Henri Poincaré est incontestablement le premier et le plus puissant chercheur du temps présent dans le domaine des Mathématiques et de la Physique mathématique. Son individualité fortement accusée nous permet de reconnaître en lui un savant doué d'intuition, qui sait puiser à la source intarissable des intuitions géométriques et mécaniques les éléments et le point de départ de ses profondes et pénétrantes recherches, en apportant d'ailleurs la rigueur logique la plus admirable dans la mise en oeuvre de chacune de ses conceptions. A côté des dons éclatants de l'invention, il faut reconnaître en lui une aptitude à la généralisation la plus fine et la plus féconde des relations mathématiques, qui lui a souvent permis de reculer, bien au delà du point où elles étaient arrêtées avant lui, les limites de nos connaissances dans les différentes branches des Mathématiques pures et appliquées.

C'est ce que montrent déjà ses premiers travaux sur les fonctions automorphes, par lesquels il a ouvert la série de ces brillantes publications qui doivent être rangées au nombre des plus belles découvertes de tous les temps.

En cherchant à obtenir, pour les solutions des équations différentielles, des développements uniformes et toujours convergents, il s'adressa en premier lieu à la classe la plus simple de toutes celles qui avaient été étudiées jusque-là, aux équations linéaires à coefficients rationnels ou algébriques. Il fut ainsi conduit à de nouvelles transcendantes qui peuvent être regardées comme une généralisation très étendue des fonctions elliptiques et de la fonction modulaire, et qui jouent dans la solution des équations différentielles linéaires le même rôle que les fonctions elliptiques ou abéliennes pour les intégrales des différentielles algébriques. Ces nouvelles fonctions transcendantes sont caractérisées par cette propriété qu'elles demeurent invariantes quand on soumet la variable dont elles dépendent à toutes les substitutions linéaires faisant partie d'un même groupe discontinu. Si, dans ces substitutions (z, (az + b)/(cz + d)) de déterminant ad - bc = 1, tous les coefficients sont des nombres réels, elles laissent fixe l'axe de la variable réelle. En composant les substitutions de ce genre avec une autre dont le déterminant est toujours égal à 1, mais dont les coefficients sont des nombres complexes quelconques, on obtient des substitutions résultantes qui laissent invariant un cercle désigné par M. Poincaré sous le nom de _cercle fondamental_. Les groupes ainsi caractérisés sont ceux que M. Poincaré nomme _groupes fuchsiens_, tandis qu'il réserve le nom de _groupes kleinéens_ aux groupes discontinus les plus généraux formés de substitutions linéaires. En employant avec une extrême pénétration des notions métriques empruntées à la Géométrie non-euclidienne, M. Poincaré parvient d'une manière intuitive à la détermination et à la description de tous les groupes ainsi définis. Chacun d'eux donne naissance à une division régulière du plan ou de l'espace; et le problème de la recherche de tous les groupes fuchsiens et kleinéens se ramène à la détermination de toutes les divisions régulières du plan ou de l'espace. Après avoir introduit ce qu'il appelle des _cycles_, M. Poincaré a pu distribuer tous les domaines fondamentaux relatifs aux groupes fuchsiens en sept familles différentes, et aussi déterminer effectivement, pour chacune des divisions régulières obtenues, les groupes correspondants. Il s'agissait maintenant de donner la solution du problème important qui consiste à déterminer toutes les fonctions demeurant invariables, quand on soumet la variable dont elles dépendent à toutes les substitutions d'un groupe fuchsien. C'est ce que M. Poincaré appelle les _fonctions fuchsiennes_. Pour les trouver, il se laisse encore guider par l'analogie avec les fonctions elliptiques. On sait que les fonctions thêtaelliptiques ne sont pas doublement périodiques, mais qu'elles se reproduisent multipliées par un facteur exponentiel, quand l'argument s'augmente d'une période; M. Poincaré construit des séries dont la forme permet de reconnaître avec évidence l'effet des substitutions du groupe et qui se comportent d'une manière semblable aux fonctions thêtaelliptiques. Elles sont de la forme

[Greek: Theta] [z, H(z)] = [somme] H (( a_{i}z + b_{i})/(c_{i}z + d_{i}))(c_{i}z + d_{i})^{2m}, m>1,

où la somme est étendue à toutes les substitutions du groupe et où H est le signe qui désigne une fonction rationnelle, d'ailleurs quelconque. Les fonctions analytiques définies par ces séries sont celles que M. Poincaré appelle _thêtafuchsiennes_. Elles satisfont à l'équation fonctionnelle

[Greek: Theta](a_{k}z + b_{k})/(c_{k}z + d_{k}) = [Theta](z) 1/(c_{k}z + d_{k})^2m,

la substitution (z, (a_{k}z + b_{k})/(c_{k}z + d_{k})) étant une quelconque de celles du groupe fuchsien considéré. Comme le montre M. Poincaré par une fine analyse, il y a deux espèces différentes de fonctions thêtafuchsiennes. Pour la première espèce, le cercle fondamental est une _limite naturelle_ et la fonction existe seulement à l'intérieur de ce cercle. Pour la seconde espèce, les fonctions ont seulement des points isolés sur le cercle fondamental, et elles peuvent être prolongées analytiquement au delà de ce cercle, dans toute l'étendue du plan.

En suivant la même marche que dans la théorie des fonctions elliptiques, et prenant le quotient de deux fonctions thêtafuchsiennes de même degré m, M. Poincaré obtient des fonctions qui demeurent inaltérées par toutes les substitutions du groupe fuchsien considéré. Ce sont les fonctions fuchsiennes, qui jouissent de propriétés analogues à celles des fonctions elliptiques. Le nombre des zéros et celui des infinis situés à l'intérieur d'un polygone fondamental sont toujours les mêmes pour chaque fonction. Deux fonctions fuchsiennes d'un même groupe sont toujours liées par une équation algébrique dont le genre coïncide avec le genre géométriquement défini du groupe. Le point d'attache ainsi obtenu avec la théorie des fonctions algébriques n'a pas été négligé par M. Poincaré; il lui a permis de donner la démonstration de ce théorème important que les coordonnées des points d'une courbe algébrique définie d'une manière quelconque peuvent toujours être exprimées par des fonctions uniformes d'un paramètre. Les fonctions fuchsiennes se sont aussi révélées comme un instrument puissant de recherche dans la théorie des intégrales abéliennes, et les études de M. Poincaré sur la réduction de ces intégrales à d'autres d'un genre moindre doivent être rangées au nombre de celles qui pénètrent le plus profondément au coeur de cette difficile question.

Par l'introduction des fonctions appelées _zétafuchsiennes_, qui sont définies comme quotients d'une série à termes rationnels et d'une série [Greek: Theta], il a été enfin donné à M. Poincaré de démontrer que les solutions des équations différentielles linéaires dont les coefficients sont des fonctions algébriques de la variable indépendante peuvent être exprimées à l'aide de ces nouvelles transcendantes. Il a obtenu ce résultat capital en suivant une marche analogue à celle qui donne les intégrales de différentielles algébriques exprimées par des fonctions thêtaabéliennes.

C'est ainsi que M. Poincaré a ouvert un champ étendu pour l'étude des fonctions automorphes et de leurs applications, et qu'en mettant en évidence les rapports de cette théorie avec celle des équations différentielles linéaires, il a doté cette ancienne discipline de méthodes nouvelles et fécondes.

Parmi ses travaux ultérieurs sur la théorie des fonctions, il y a lieu de mettre à part le Mémoire _Sur un théorème de la théorie générale des fonctions_, qui a été publié en 1883 dans le _Bulletin de la Société mathématique de France_. L'Auteur s'y proposait de ramener d'une manière générale la théorie des fonctions analytiques à déterminations multiples à celle des fonctions uniformes. Et, en fait, il est parvenu au théorème fondamental suivant, qui est d'une grande généralité:

_Si y est une fonction analytique quelconque de x à déterminations multiples, on peut toujours déterminer une variable z de telle manière que x et y deviennent des fonctions uniformes de z._

Signalons également le travail important, paru dans le même Volume du _Bulletin de la Société mathématique_, qui se rapporte à la notion de genre introduite par Laguerre dans la théorie des fonctions transcendantes. Le résultat le plus remarquable établi par M. Poincaré consiste dans la condition

lim_{n = [infinité]} A_n [(p+1)ème racine](n!) = 0

à laquelle doit satisfaire toute fonction F(x) = [somme] A_n x^n de genre p, et en outre dans le théorème d'après lequel le maximum du module de F(x) reste inférieur à e^(a|x|^{p+1}), a étant un nombre réel et positif quelconque, théorème qui joue un rôle essentiel dans d'importantes recherches ultérieures.

Il était de la plus haute importance, pour la théorie générale des fonctions analytiques, de déterminer quelle est la puissance de l'ensemble des valeurs que peut prendre une fonction analytique à déterminations multiples en un point quelconque du domaine où elle existe.

M. Poincaré a pu établir que la détermination complète d'une fonction analytique peut toujours être obtenue à l'aide d'un ensemble dénombrable d'éléments de fonctions et, par suite, que l'ensemble des valeurs de la fonction pour tout point de son domaine est toujours dénombrable.

Comme on sait aujourd'hui que les séries divergentes peuvent, sous certaines conditions, être très légitimement et très utilement employées dans la recherche mathématique, il convient de faire remarquer que M. Poincaré a employé dans la mesure la plus large les représentations auxquelles il a donné le nom d'_asymptotiques_, aussi bien dans ses recherches sur les solutions irrégulières des équations différentielles linéaires que dans son célèbre Mémoire _Sur le problème des trois corps et les équations de la Dynamique_, et qu'il a ainsi provoqué de nombreuses recherches sur ce sujet.

Il a transformé la théorie des nombres complexes en signalant ses rapports avec la théorie des groupes de Lie, éclairant ainsi d'un jour tout nouveau cette théorie des unités complexes et lui permettant d'utiliser, pour la solution de ses principaux problèmes, les méthodes et les résultats de la théorie des groupes.

Signalons encore la théorie des systèmes linéaires composés d'un nombre infini d'équations à un nombre infini d'inconnues dont il doit être considéré comme le fondateur, car il est le premier qui se soit occupé des déterminants infinis et des critères de convergence qui s'y rapportent.

Je dois me borner à signaler rapidement les travaux de M. Poincaré qui se rapportent aux premiers fondements d'une théorie générale des fonctions analytiques de plusieurs variables indépendantes. Il faut mentionner en premier lieu le Mémoire _Sur les résidus des intégrales doubles_. Entre la théorie des fonctions d'une variable et celle des fonctions de plusieurs variables se montrent dès le début des différences profondes. L'extension des propositions de l'une des théories à l'autre n'avait pu se faire que dans un très petit nombre de cas. M. Poincaré a montré ce que deviennent les théorèmes fondamentaux de Cauchy, relatifs aux résidus, dans la théorie des intégrales multiples; et il a appliqué les propositions ainsi généralisées à l'étude des modules de périodicité des intégrales multiples et des fonctions thêtaabéliennes.

Dans cet ordre d'idées, il convient aussi de mettre à part les recherches sur l'_Analysis situs_ des variétés à un nombre quelconque de dimensions. M. Poincaré est parvenu à ce résultat important qu'une telle variété ne peut être définie, dans le sens de l'_Analysis situs_, par la seule connaissance de ses nombres de Betti; en réalité, à chaque système de tels nombres correspondent une infinité de variétés qui ne sont pas déformables les unes dans les autres. Signalons, en particulier, l'extension du théorème d'Euler sur les polyèdres aux polyèdres d'un nombre quelconque de dimensions et de la connexion la plus étendue....

Parmi les travaux que M. Poincaré a consacrés à la théorie des nombres, je signalerai d'abord son Mémoire _Sur un mode nouveau de représentation géométrique des formes quadratiques définies ou indéfinies_, où il a développé une arithmétique des réseaux à l'aide de laquelle il a pu développer géométriquement, sous une forme neuve et originale, la théorie que Gauss avait donnée pour la composition des formes quadratiques. L'extension des méthodes données dans ce premier travail l'a conduit plus tard à une intéressante généralisation de l'algorithme des fractions continues. A signaler aussi ses travaux sur les invariants arithmétiques, qu'il exprime à l'aide de séries et d'intégrales et qu'il a su appliquer à la solution des problèmes d'équivalence. Par la considération de ces groupes linéaires discontinus de substitutions qui laissent invariable une forme quadratique ternaire indéfinie, il a apporté une contribution nouvelle à la théorie des fonctions automorphes. Chacun de ces groupes est isomorphe à un groupe fuchsien spécial. Les fonctions dénommées _arithmétiques fuchsiennes_ relatives à ce groupe se distinguent en ce qu'elles possèdent un théorème d'addition, ce qui n'a pas lieu pour les fonctions fuchsiennes les plus générales. Les relations multiples qui existent entre les fonctions arithmétiques fuchsiennes ont ouvert à la théorie des nombres et à l'Algèbre des perspectives nouvelles sur un champ encore inexploré. C'est encore à l'Algèbre et à la théorie des nombres qu'il faut rattacher les publications de M. Poincaré sur l'équivalence des formes de degré supérieur, travaux qui doivent être regardés comme le prolongement le plus essentiel des recherches correspondantes d'Hermite et de M. Jordan.

B S M, 2e s., t. 30, 1re p., avr. 1906, p. 105-112

1.

ANALYSE PURE.

OUVRAGES.

+1.+ CALCUL DES PROBABILITÉS.

Leçons professées à la Sorbonne pendant le second semestre 1893-1894, rédigées par A. QUIQUET. C P A.

Paris, G. C., 1896, gr. in-8, 275 p.