Part 4

Les premières recherches de M. DARBOUX ont eu pour objet la théorie des surfaces orthogonales, question sur laquelle les beaux théorèmes de DUPIN et les travaux de MM. BONNET et SERRET avaient fortement attiré l'attention des géomètres. On connaissait depuis longtemps un système de ce genre, formé de surfaces homofocales du second ordre. La découverte d'un système analogue, faite simultanément par M. DARBOUX et par M. MOUTARD, excita un vif intérêt. Un peu plus tard, M. DARBOUX, généralisant le problème pour l'étendre aux fonctions d'un nombre quelconque de variables, forma les équations aux dérivées partielles analogues à celle que M. BONNET avait donnée pour le cas des surfaces, et qui sont la condition nécessaire et suffisante pour que la question admette une solution. Il fit voir en outre que d'un système orthogonal à _n_ variables on peut déduire un système analogue à _n_ − 1 variables; théorème important, qui permettait de tirer du système déjà connu à cette époque une infinité de systèmes nouveaux. Enfin, comme corollaire de ces recherches, il détermina les lignes de courbure des surfaces tétraédrales de LAMÉ.

Dans un autre Mémoire, _Sur les systèmes linéaires de coniques et de surfaces de second ordre_, il a également déterminé les lignes asymptotiques d'un grand nombre de surfaces (surfaces de STEINER, surface des centres de l'ellipsoïde, surfaces tétraédrales, etc.).

Les théorèmes célèbres de PONCELET et de CHASLES sur les polygones inscrits et circonscrits à des coniques ont été pour M. DARBOUX l'occasion d'une nouvelle et importante série de recherches. Il en donne une démonstration nouvelle, montre leur liaison avec la théorie de la transformation des fonctions elliptiques, et enfin les étend aux polygones inscrits dans un ellipsoïde.

Nous devons citer encore, parmi les travaux géométriques de M. DARBOUX, un Mémoire justement remarqué sur les groupes de points, de cercles et de sphères; une élégante application des fonctions elliptiques à l'étude des déformations d'un quadrilatère articulé; un Ouvrage sur les théorèmes d'IVORY; un autre Livre plus étendu, intitulé: _Sur une classe remarquable de courbes et de surfaces algébriques et sur la théorie des imaginaires._ Ce dernier Ouvrage et les notes qui l'accompagnent ont été très favorablement appréciés par les géomètres les plus éminents, et contiennent une foule de résultats remarquables. Nous nous bornerons à signaler une méthode nouvelle et très simple pour former l'équation différentielle des surfaces applicables sur une surface donnée, et cette proposition que les coordonnées d'une surface du troisième ordre (et plus généralement d'une surface cyclide) peuvent s'exprimer par des fonctions hyperelliptiques de deux paramètres variables. L'analogie de ce dernier résultat avec le célèbre théorème de CLEBSCH sur les courbes du troisième ordre suffit à en faire ressortir l'importance.

Enfin, M. DARBOUX a publié récemment de nombreuses recherches sur la théorie des surfaces, et notamment sur la détermination des surfaces qui admettent une représentation sphérique donnée....

C R, t. 98, 5 mai 1884, p. 1159-1160.

OUVRAGES.

=1.= SUR LES THÉORÈMES D'IVORY RELATIFS AUX SURFACES HOMOFOCALES DU SECOND DEGRÉ.

Je me propose d'exposer, dans ce travail, certaines propriétés focales des surfaces du second ordre, et aussi des surfaces du quatrième ordre ayant le cercle de l'infini pour ligne double. G. D.

Paris, G.-V., 1872, gr. in-8, IV-84 p.

M S S B, t. 8, 1870, 12 janv. 1872, p. 197-280.

Analyse par J. HOÜEL: M S S B, t. 8. 1870, 25 janv. 1872, p. CIII-CIV.

Analyse par AUGUST: J F M, Bd. 4, J. 1872, S. 392, 398, 420-422.

=2.= SUR UNE CLASSE REMARQUABLE DE COURBES ET DE SURFACES ALGÉBRIQUES ET SUR LA THÉORIE DES IMAGINAIRES.

Cet important travail comprend:

La transformation, par rayons vecteurs réciproques, des foyers et des focales;

L'étude d'une classe remarquable de courbes du quatrième ordre, de certaines propriétés des imaginaires en Géométrie, d'une classe générale de courbes algébriques;

L'étude analytique et géométrique des surfaces cyclides;

Plusieurs Notes importantes.

Paris, G.-V., 1873, gr. in-8, XIII-340 p.

M S S B, t. 8, 1870, p. 291-350;--t. 9, 1873, oct. 1872, p. 1-280.

Paris, Hn., 1896, 2e éd. conforme à la 1re.

Préface et Table: B S M, t. 5, août 1873, p. 52-57.

Analyse par J. HOÜEL: M S S B, t. 8, 13 juin 1870, p. CXX-CXXII.

Analyse par AUGUST: J F M, Bd. 5, J. 1873, S. 323, 371, 399-408.

Analyse par R. A. ROBERTS: B A M S, v. 2, 1895-1896, May 1896, p. 249-255.

=3.= LEÇONS SUR LA THÉORIE GÉNÉRALE DES SURFACES ET LES APPLICATIONS GÉOMÉTRIQUES DU CALCUL INFINITÉSIMAL.

Cours de Géométrie de la Faculté des Sciences de Paris.

Ire Partie: _Généralités. Coordonnées curvilignes. Surfaces minima._

IIe Partie: _Les congruences et les équations linéaires aux dérivées partielles. Des lignes tracées sur les surfaces._

IIIe Partie: _Lignes géodésiques et courbure géodésique. Paramètres différentiels. Déformation des surfaces._

IVe Partie: _Déformation infiniment petite et représentation sphérique._

Paris, G.-V., gr. in-8: Ire P., 1887, VI-513 p.; IIe P., 1889, VI-522 p.; IIIe P., 1894, VIII-512 p.; IVe P., 1896, VIII-548 p.

Présentation par M. G. DARBOUX de la IVe Partie à l'Académie des Sciences: C R, t. 122, 11 mai 1896, p. 1042.

Analyse de la Ire Partie par E. R.: N A M, 3e s., t. 6, août 1887, p. 394-395.

Analyse par WEINGARTEN: J F M, Bd. 19, J. 1887, S. 746-751;--Bd. 25, J. 1893, S. 1159-1165.

Analyse par G. KŒNIGS des 4 Parties et des 8 Notes: B S M, 2e s., 1re p., t. 12, janv. 1888, p. 8-17;--t. 13, oct. 1889, p. 241-252;--t. 22, juin 1898, p. 132-158.

Appréciation de la 3e Partie, Ier f., par ÉMILE PICARD: R O, t. 1, 30 nov. 1890, p. 708.

Analyse par J. HADAMARD: R O, t. 2, 30 sept. 1891, p. 617;--t. 6, 30 juil. 1895, p. 76;--t. 7, 20 fév., 15 oct. 1896, p. 225-226, 835.

Analyse par H. WILLGROD des 4 Parties et des 8 Notes: Z M P, 39. J., 1894, Abt., 1., 2. Ht., S. 24-30, 69-79;--43. Bd., 1898, Abt., 4. u. 5 Ht., S. 152-164.

Analyse par GOMES TEIXEIRA: J S T, v. 13, 1897, p. 22-26.

=4.= LEÇONS SUR LES SYSTÈMES ORTHOGONAUX ET LES COORDONNÉES CURVILIGNES.

Cours de Géométrie de la Faculté des Sciences de Paris.

Tome I.

Paris, G.-V., gr. in-8, 1898, vi-338 p.

Préface et Table: Ms, 2e s., t. 8, 1898, p. 67-68.

Analyse par J. HADAMARD: R O, t. 9, 15 août 1898, p. 623-624.

Analyse par E-I: L C D, J. 1898. 3 Dec., S. 1892-1893.

Analyse par WEINGARTEN: J F M, Bd. 29, J. 1898, S. 515-517.

Analyse par EDGAR ODELL LOVETT: B A M S, v. 5, 1898-1899. Jan. 1899, p. 185-202.

Analyse par ED. WEYR: C M F, R. 28, 1899, p. 285-286.

Analyse par TAUBER: M M P, 10. J., 1899, Lit., S. 44-46.

Analyse par H. WILLGROD: Z M P, 45. Bd., 1900, Abt., 1. Ht., S. 25-26.

Analyse par G. KŒNIGS: B S M, 2e s., t. 31, 1re p., déc. 1907, p. 319-336.

MÉMOIRES. NOTES.

=1.= _Note sur une classe de courbes du quatrième ordre et sur l'addition des fonctions elliptiques._

A S E N, t. 4, 1867, p. 81-91.

Dans son _Traité de Calcul intégral_, M. JOSEPH BERTRAND a reproduit la méthode d'intégration par l'Analyse de l'équation différentielle de cette classe de courbes: Paris, G.-V. 1870, in-4, p. 571-572.

=2.= _Sur un nouveau système de coordonnées et sur les polygones inscrits et circonscrits aux coniques._

I, 40e a., n^{os} 1962, 1972, 5 juin, 14 août 1872, p. 180-182, 239-263.--B S P, 6e s., t. 9, 25 mai, 8 juin 1872, p. 100-107, 128-142.

Analyse par MAYNZ: J F M, Bd. 4., J. 1872, S. 319-321.

=3.= _Sur une série de lignes analogues aux lignes géodésiques._

A S E N, t. 7, 1870, p. 175-180.

Analyse par BRUNS: J F M, Bd. 2, J. 1869 und 1870, S. 548-550.

=4.= _Sur les cercles géodésiques._

C R, t. 96, 2 janv. 1883, p. 54-56.

Analyse par AUGUST: J F M, Bd. 15, J. 1883, S. 665-667.

=5.= _Remarque au sujet d'une Note de_ M. JAMET,

Intitulée _Sur une propriété des courbes à double courbure_.

C R, t. 100, 25 mai 1885, p. 1335.

=6.= _Sur la torsion des courbes gauches et sur les courbes à torsion constante._

L T S D, IVe P, n. IV, 1896, p. 423-432.

=7. 8.= _Sur un théorème relatif à la théorie des courbes gauches._

On sait trouver tous les couples de surfaces qui se correspondent point par point, de telle manière que les deux plans tangents en ces points et la droite qui joint les points de contact forment un système invariable. Je me suis proposé de traiter le problème analogue de la théorie des courbes, c'est-à-dire de rechercher deux courbes qui se correspondent point par point, de telle manière que les tangentes aux points correspondants et la droite qui joint ces points forment un système invariable. G. D.

C R, t. 146, 27 avr. 1908, p. 881-885.

M A S, t. 50, 2e s., 1908, nº 3, p. 1-31.

=9.= _Sur la rectification des ovales de_ DESCARTES.

C R, t. 87, 22 oct., 11 nov. 1878, p. 595-597, 741.

=10.= _Sur la rectification d'une classe de courbes du quatrième ordre._

C R, t. 87, 28 oct. 1878, p. 692-695.

=11.= _Sur le contact des coniques et des surfaces._

C R, t. 91, 13 déc. 1880, p. 969-971.

=12.= _Sur le contact des courbes et des surfaces._

B S M, 2e s., t. 4, 1re p., oct. 1880, p. 348-384.

Analyse par AUGUST: J F M, Bd. 12., J. 1880, S. 590-595.

=13.= _Remarques sur la théorie des surfaces orthogonales._

Extrait d'une Lettre adressée à M. J.-A. SERRET par M. G. DARBOUX, élève de 3e année à l'École Normale supérieure.

C R, t. 59, 1er août 1864, p. 240-242.

Analyse par MICHEL CHASLES: R P G C, 1870, p. 360-362.

M. SERRET avait présenté le Mémoire de M. G. DARBOUX à l'Académie des Sciences dans la séance où M. BONNET présentait une Note de M. MOUTARD, établissant aussi le résultat obtenu par M. G. DARBOUX. Dans la séance suivante, M. SERRET a ainsi terminé ses _Observations relatives aux Communications de MM._ DARBOUX _et_ MOUTARD: «Il est certain qu'aucun des deux auteurs n'a pu avoir connaissance du travail de l'autre, mais il est de mon devoir de déclarer à l'Académie que M. DARBOUX m'a remis son Mémoire _in extenso_ dans le courant du mois de juin»: C R, t. 59, 8 août 1864, p. 269-270.

=14.= _Recherches sur les surfaces orthogonales._

M. G. DARBOUX donne quelques propriétés nouvelles des surfaces formant un système triple orthogonal, puis indique un système de surfaces orthogonales du quatrième degré qui admettent pour ligne double le cercle imaginaire de l'infini. Il rappelle la Note nº =13=.

A S E N, t. 2, 1865, p. 55-69.

=15.= _Sur les surfaces orthogonales._

Depuis les travaux de MM. DUPIN et LAMÉ sur les surfaces orthogonales, le problème de la recherche des systèmes orthogonaux a pris une grande importance. ... M. O. BONNET, en 1861, a montré que le problème se ramène à l'intégration d'une équation aux dérivées partielles du troisième ordre linéaire par rapport aux dérivées d'ordre supérieur. ... Je me propose de démontrer ce résultat en suivant une voie tout à fait différente. G. D.

I, 34e a., nº 1680, 14 mars 1866, p. 84-86.--B S P, 17 fév. 1866, p. 16-18.

=16.= _Sur les coordonnées orthogonales._

C R, t. 60, 20 mars 1865, p. 560-562.

=17.= _Sur les surfaces orthogonales._

Thèse pour le grade de Docteur ès Sciences mathématiques, soutenue devant la Faculté des Sciences de Paris le 14 juillet 1866.

Cette Thèse comprend l'_Étude d'un système remarquable de coordonnées orthogonales, des Recherches sur les surfaces orthogonales en général et des Applications_.

Paris, G.-V., 1866, in-4º, 45 p.

A S E N, t. 3, 1866, p. 97-141.

Analyse par J. BERTRAND: R P A B, 1867, p. 24.

Analyse par MICHEL CHASLES: R P G C, 1870, p. 363-364.

=18.= _Sur les systèmes de surfaces orthogonales._

C R, t. 67, 30 nov. 1868, p. 1101-1103.

Analyse par MICHEL CHASLES: R P G C, 1870, p. 365-366.

=19.= _Sur une nouvelle série de systèmes orthogonaux algébriques._

C R, t. 69, 9 août 1869, p. 392-394.

=20. 21.= _Sur l'équation du troisième ordre dont dépend le problème des surfaces orthogonales._

C R, t. 76, 6 janv. 1873, p. 41-44.

C R, t. 76, 13 janv. 1873, p. 83-86.

Analyse par KLEIN: J F M, Bd. 5, J. 1873, S. 213, 374.

=22.= _Sur le problème des surfaces orthogonales._

C R, t. 76, 20 janv. 1873, p. 160-163.

=23.= _Sur une classe de systèmes orthogonaux comprenant comme cas particulier les systèmes isothermes._

C R, t. 84, 12 fév. 1877, p. 298-301.

=24.= _Sur les systèmes orthogonaux comprenant une famille de surfaces du deuxième degré._

C R, t. 84, 19 fév. 1877, p. 336-339.

Analyse par AUGUST: J F M, Bd. 9, J. 1877, S. 533-535.

=25.= _Mémoire sur la théorie des coordonnées curvilignes et des systèmes orthogonaux._

A S E N, 2e s., t. 7, 1878, 2 mars 1877, p. 101-150, 227-260, 275-348.

Analyse par HOPPE: J F M, Bd. 10, J. 1878, S. 500-504.

Analyse: B S M, 2e s., t. 3, 2e p., déc. 1879, p. 224-225, 226-228, 230-232.

=26.= _Sur l'équation aux dérivées partielles du troisième ordre des systèmes orthogonaux._

M. G. DARBOUX montre que la théorie de LAMÉ conduit à un moyen simple de former l'équation dont il s'agit, et même de l'écrire avec un système de variables quelconques.

A M, t. 4, 15 mai 1884, p. 93-96.

=27.= _Note sur une Communication de M._ S. CARRUS,

Intitulée _Sur les familles de surfaces à trajectoires orthogonales planes_.

C R, t. 140, 23 janv., 29 mai 1905, p. 211-216, 1496.

=28.= _Sur les trajectoires orthogonales d'une famille de surfaces._

C R, t. 140, 6 mars 1905, p. 618-622.

=29.= _Sur un problème relatif à la théorie des systèmes orthogonaux et à la méthode du trièdre mobile._

C R, t. 147, 3, 10, 17, 24 août 1908, p. 287-293, 325-333, 367-373, 399-405.

=30. 31.= _Détermination des systèmes triples orthogonaux qui comprennent une famille de cyclides de_ DUPIN _et, plus généralement, une famille de surfaces à lignes de courbure planes dans les deux systèmes._

C R, t. 147, 14 sept. 1908, p. 484-488.

M A S, t. 51, 2e s., 1910, nº 1, 20 août 1908, p. 1-24.

=32. 33.= _Second Mémoire sur la détermination des systèmes triples orthogonaux qui comprennent une famille de cyclides de_ DUPIN.

C R, t. 147, 21 sept. 1908, p. 507-510.

M A S, t. 51, 2e s., 1910, nº 2, p. 1-26.

=34.= _Théorèmes sur les surfaces cyclides._

I, 40e a., nº 1945, 7 fév. 1872, p. 45-46.--B S P, 6e s., 27 janv. 1872, p. 9-12.

=35.= _Mémoire sur les surfaces cyclides._

A S E N, 2e s., t. 1, 1872, p. 273-292.

=36.= _Détermination des lignes de courbure de la surface de quatrième classe, corrélative de la cyclide, qui admet le cercle de l'infini comme ligne double._

C R, t. 92, 3 janv. 1881, p. 29-31.

=37= à =43=. _Sur la représentation sphérique des surfaces._

M. G. DARBOUX donne la solution du problème suivant, qu'il a posé le premier dans toute sa généralité: _Trouver toutes les surfaces qui ont une représentation sphérique donnée_, après avoir fait remarquer que le problème de la recherche des surfaces à lignes de courbure planes et sphériques en est un cas particulier.

C R, t. 68, 1er fév. 1869, p. 253-256.

C R, t. 94, 16 janv. 1882, p. 120-122.

C R, t. 94, 23 janv. 1882, p. 158-160.

C R, t. 94, 8 mai 1882, p. 1290-1293.

C R, t. 94, 15 mai 1882, p. 1343-1345.

C R, t. 96, 5 fév. 1883, p. 366-368.

A S E N, 3e s., t. 5, mars 1888, p. 79-96.

Analyse par G. JUNG et OHRTMANN: J F M, Bd. 2, J. 1869 und 1870, S. 550-551.

Analyses par AUGUST: J F M, Bd. 14, J. 1882, S. 662-666;--Bd. 15, J. 1883, S. 645-647;--Bd. 20, J. 1888, S. 764.

Analyse: B S M, 2e s., t. 14, 2e p., oct. 1890, p. 192-195.

=44.= _Des courbes tracées sur une surface et dont la sphère osculatrice est tangente en chaque point à la surface._

C R, t. 73, 18 sept. 1871, p. 732-736.

=45.= _Détermination des lignes de courbure d'une classe de surfaces et en particulier des surfaces tétraédrales de_ LAMÉ.

C R, t. 84, 26 fév. 1877, p. 382-384.

Analyse par AUGUST: J F M, Bd. 9, J. 1877, S. 523-525.

=46.= _Sur la forme des lignes de courbure dans le voisinage d'un ombilic._

L T S D, IVe P., n. VII, 1896, p. 448-465.

=47.= _Observations sur une Note de M._ EUGÈNE COSSERAT,

Intitulée _Sur les surfaces qui peuvent, dans plusieurs mouvements différents, engendrer une famille de_ LAMÉ.

C R, t. 124, 21 juin 1897, p. 1428-1431.

=48.= _Sur les familles de_ LAMÉ _engendrées par le déplacement d'une surface qui demeure invariable de forme._

C R, t. 148, 11 janv. 1909, p. 65-70.

=49. 50.= _Détermination d'une classe particulière de surfaces à lignes de courbure planes dans un système et isothermes._

C R, t. 96, 23, 30 avr. 1883, p. 1202-1205, 1294-1297.

B S M, t. 7, sept. 1883, p. 257-276.

Analyse par AUGUST: J F M, Bd. 15, J. 1883, S. 726-731.

=51.= _Sur la surface des centres de courbure d'une surface algébrique._

C R, t. 70, 20 juin 1870, p. 1328-1333.--B S M, 2e s., t. 3, fév. 1879, Note, p. 59.

=52.= _Réponse aux Observations de M._ CATALAN,

Contenues dans sa Note intitulée _Remarques sur une Note de M._ DARBOUX, _relative à la surface des centres de courbure d'une surface algébrique_.

Il s'agit d'une proposition que M. G. DARBOUX a énoncée et d'après laquelle une équation différentielle prise au hasard n'a pas de solution singulière.

C R, t. 71, 25 juil. 1870, p. 267-270.

=53.= _Sur la surface des centres de courbure de l'ellipsoïde et sur les coordonnées elliptiques._

B S M, t. 3, avr. 1872, p. 122-128.

Analyse par HOPPE: J F M, Bd. 4, J. 1872, S. 402.

=54.= _Sur les surfaces dont la courbure totale est constante._

C R, t. 96, 15 oct. 1883, p. 848-850.

=55.= _Sur les surfaces à courbure constante._

C R, t. 97, 22 oct. 1883, p. 892-894.

=56.= _Sur l'équation aux dérivées partielles des surfaces à courbure constante._

C R, t. 96, 29 oct. 1883, p. 946-949.

Analyse par AUGUST des Notes n^{os} =54=, =55= et =56=: J F M, Bd. 15, J. 1883, S. 644-645.

=57.= _Sur les lignes géodésiques de l'ellipsoïde._

C M D, t. I, n. VI, 1884, p. 395-398.

=58.= _Sur la théorie des surfaces minima._

C R, t. 102, 28 juin 1886, p. 1513-1519.

Analyse par AUGUST: J F M, Bd. 18, J. 1886, S. 778.

=59.= _Sur un problème relatif à la théorie des surfaces minima._

C R, t. 104, 14 mars 1887, p. 728-733.

Analyse par AUGUST: J F M, Bd. 19, J. 1887, S. 822-824.

=60.= _Sur les surfaces dont la courbure totale est constante._

La théorie des surfaces dont la courbure totale est constante a les rapports les plus étroits avec celle des surfaces minima, bien qu'elle soit certainement de beaucoup plus difficile. G. D.

A S E N, 3e s., t. 7, janv. 1890, p. 9-18.

=61.= _Sur les surfaces à courbure constante positive._

C R, t. 128, 24 avr. 1899, p. 1018-1024.

=62. 63.= _Sur la déformation des surfaces du second degré._

C R, t. 128, 27 mars 1899, p. 760-766.

C R, t. 128, 4 avr. 1899, p. 854-859.

=64.= _Sur la déformation des surfaces générales du second degré._

C R, t. 128, 23 mai 1899, p. 1264-1270.

=65.= _Sur les transformations des surfaces à courbure totale constante._

C R, t. 128, 17 avr. 1899, p. 953-958.

=66.= _Sur la déformation des surfaces du second degré et sur les transformations des surfaces à courbure totale constante._

Ce Mémoire est l'ensemble des Notes n^{os} =62=, =63=, =65= et =61=.

A S E N, 3e s., t. 16, nov. 1899, p. 465-490.

=67.= _Sur les déformations finies et sur les systèmes triples de surfaces orthogonales._

P L M S, v. 32, June 14, 1900, p. 377-383.

Analyse par HESSENBERG: J F M, Bd. 31, J. 1900, S. 604-605.

=68.= _Sur les transformations conformes de l'espace à trois dimensions._

M. G. DARBOUX donne une démonstration très simple du théorème suivant, dû à J. LIOUVILLE: _Toutes les transformations conformes de l'espace se ramènent à une inversion ou à une homothétie, précédée ou suivie d'un déplacement._

A M P G, d. R., 1. Bd., 1901, 20 nov. 1900, p. 34-37.

Analyse par SOMMER: J F M, Bd. 32, J. 1901, S. 678-679.

=69.= _Sur les surfaces isothermiques._

Je voudrais étudier une classe spéciale de surfaces isothermiques (c'est-à-dire à lignes de courbure isothermes) qui interviennent dans la théorie de la déformation des surfaces les plus générales du second degré. G. D.

C R, t. 128, 29 mai, 26 juin 1899, p. 1299-1305, 1538.

Analyse: B S M, 2e s., t. 25, 2e p., mai, juin 1901, p. 132-133.

=70.= _Sur une classe de surfaces isothermiques liées à la déformation des surfaces du second degré._

C R, t. 128, 19 juin 1899, p. 1483-1487.

Reproduction des trois Notes n^{os} =64=, =69= et =70=: A S E N, 3e s., t. 16, déc. 1899, p. 491-508.

=71.= _Des surfaces applicables sur le paraboloïde de révolution._

C R, t. 140, 13 mars 1905, p. 697-702.

=72.= _Sur les surfaces applicables sur le paraboloïde de révolution._

B S M, 2e s., t. 29, 1re p., avr. 1905, p. 109-119.

M. E. ESTANAVE a construit en plâtre des modèles, qui sont à la Sorbonne, des deux surfaces applicables sur la paraboloïde de révolution et définies par M. G. DARBOUX dans ses Mémoires n^{os} =71= et =72=: B S M, t. 29, 1re p., août 1905, p. 225-246.

=73.= _Sur la Géométrie Cayleyenne et sur une propriété des surfaces à génératrice circulaire._

L T S D, 4e P., n. IX, 1896, p. 489-496.

=74.= _Sur une équation différentielle et sur les surfaces spirales._

L T S D, IVe P., n. VI, 1896, p. 442-447.

=75.= _Sur les congruences de courbes et sur les surfaces normales aux droites d'un complexe._

M. G. DARBOUX a publié en 1870 (B S M, t. 1, p. 348) une Note _Sur les systèmes linéaires de coniques et de surfaces du second ordre_ où se trouvent énoncés sans démonstration un grand nombre de résultats. Dans cette nouvelle Note, il revient sur la proposition suivante: _Étant données les normales à une famille de surfaces, on peut déterminer sans intégration toutes les familles de surfaces normales aux mêmes droites_, l'énonce autrement, la démontre et lui adjoint quelques autres propositions relatives aux congruences de courbes.

C R, t. 149, 15 nov. 1909, p. 817-821.

SECTION IV.

MÉCANIQUE ANALYTIQUE, MÉCANIQUE CÉLESTE ET PHYSIQUE MATHÉMATIQUE.

_EXTRAIT DE L'_ANALYSE DUE A PHILIPPE GILBERT DES NOTES INSÉRÉES PAR M. GASTON DARBOUX DANS LE «COURS DE MÉCANIQUE PAR M. DESPEYROUS».

Ce qui donne au _Cours de Mécanique_ de DESPEYROUS une valeur et un intérêt particuliers, ce sont les nombreuses _Notes_ qu'y a jointes M. G. DARBOUX, en les extrayant de ses propres travaux parus dans les _Mémoires de la Société des Sciences de Bordeaux_, le _Bulletin des Sciences mathématiques_, etc. Arrêtons-nous un instant sur ces Notes, aussi remarquables par la forme que par le fond.

Le but de la Note I est d'examiner à fond les démonstrations purement statiques du parallélogramme des forces (DANIEL BERNOULLI, D'ALEMBERT, CAUCHY, etc.), d'indiquer les postulats qu'il est nécessaire d'introduire pour rester rigoureux et ne rien emprunter à la théorie du mouvement. L'Auteur discute avec beaucoup de finesse et de rigueur tous les points, et prouve que les postulats nécessaires et suffisants peuvent se réduire à _quatre_: 1º la résultante de plusieurs forces appliquées à un même point doit être unique et déterminée, indépendante de l'ordre dans lequel on les compose; 2º indépendante de l'orientation du système des forces dans l'espace; 3º la loi de la composition des forces doit se réduire à l'addition algébrique dans le cas de forces de même direction; 4º une certaine fonction φ(P) doit être continue (ou être toujours positive)....

La Note VII contient la solution complète de ce joli problème: _Trouver la figure d'équilibre d'un fil flexible parcouru par un courant, sous l'action d'un pôle d'aimant._ La tension du fil est constante; la figure d'équilibre est une ligne géodésique d'un cône de révolution qui a son sommet au pôle. M. DARBOUX donne le moyen de construire ce cône, connaissant la longueur du fil et ses extrémités.