Part 3

Nous signalerons tout d'abord un Mémoire important sur les fonctions discontinues, où M. DARBOUX soumet à une analyse approfondie les principes de la théorie des fonctions, et établit, entre autres, une proposition remarquable, qui permet de définir de la manière la plus nette la condition d'intégrabilité d'une fonction.

Plusieurs autres Mémoires sont consacrés aux développements en série. M. DARBOUX y donne une démonstration nouvelle de la convergence des développements suivant les fonctions de LAPLACE, ou les polynomes de LEGENDRE. Il a établi un peu plus tard d'autres développements plus généraux suivant les polynomes de JACOBI, en se fondant sur l'expression asymptotique qu'il avait trouvée pour ces polynomes.

Les équations différentielles où les variables se trouvent mêlées, et qui ne se ramènent pas à la forme homogène ou linéaire, ont été jusqu'à ce jour peu étudiées. Une équation remarquable, intégrée par JACOBI, était restée jusque-là isolée. M. DARBOUX a montré qu'elle constitue le premier terme d'une classe étendue d'équations différentielles, dont on pourra écrire l'intégrale générale toutes les fois qu'on aura réussi à obtenir des intégrales particulières algébriques en nombre suffisant. Cette importante proposition permet de construire une foule d'équations différentielles dont l'intégrale générale s'obtienne, pour ainsi dire, à la simple vue.

M. DARBOUX a fait cette remarque simple, mais importante, qu'une équation différentielle n'admet d'intégrale singulière que dans des cas exceptionnels, et que la méthode indiquée avant lui pour déterminer l'intégrale singulière en partant de l'équation différentielle fournit en général le lieu des points singuliers des courbes intégrales, et non leur enveloppe.

Il a encore montré que, si un système d'équations linéaires admet une intégrale algébrique, il admettra également comme intégrale tous ses covariants.

L'Académie avait proposé, il y a quelques années, comme sujet du grand prix de Mathématiques, l'étude des solutions singulières des équations aux dérivées partielles du premier ordre. Le Mémoire transmis par M. DARBOUX en réponse à cette question et couronné par l'Académie est une œuvre considérable. Il contient, entre autres résultats, la fixation précise des caractères des solutions singulières; la détermination des règles qui permettent de les déduire directement de l'équation différentielle; l'étude des relations de contact qui existent entre cette solution et les autres intégrales complètes ou générales; enfin l'extension aux équations aux dérivées partielles de la méthode d'intégration par différentiation.

Dans un travail antérieur, sur les équations aux dérivées partielles du second ordre, M. DARBOUX avait indiqué un procédé nouveau d'intégration qui supplée à la méthode de MONGE lorsque celle-ci n'est pas applicable, et permet de déterminer l'intégrale, toutes les fois qu'elle ne contient pas de signe d'intégration....

C R, t. 98, 5 mai 1884, p. 1159, 1160-1162.

OUVRAGES.

=1.= NOTICE SUR LES TRAVAUX SCIENTIFIQUES DE M. GASTON DARBOUX.

Rédigée par lui-même à l'appui de sa candidature comme membre de l'Académie des Sciences, dans la Section de Géométrie.

Paris, G.-V., in-4; 1881, 46 p.; 2e édit., 14 oct. 1884, 69 p.

=2.= SUR LE PROBLÈME DE PFAFF.

La méthode que PFAFF a fait connaître en 1814, pour l'intégration d'une équation aux dérivées partielles à un nombre quelconque de variables indépendantes, a été longtemps négligée....

Cependant, la méthode de PFAFF, qui est, d'ailleurs, la généralisation de celle qu'on doit à LAGRANGE pour le cas de deux variables indépendantes, offre de sérieux avantages....

Je me suis proposé d'expliquer la solution du problème de PFAFF sans rien emprunter à la théorie des équations aux dérivées partielles, et je me suis surtout attaché à mettre en évidence les propriétés d'invariance qui jouent un rôle fondamental dans cette solution. G. D.

La première Partie de ce Mémoire a été écrite en 1876 par M. G. DARBOUX et exposée en janvier 1877 par M. J. BERTRAND au Collège de France.

Paris, G.-V., 1882; gr. in-8, IV-42p.

C R, t. 94, 27 mars 1882, p. 835-837.

B S M, 2e s., t. 6, 1re p., janv., fév. 1882, p. 14-36, 49-68.

Analyse par HAMBURGER: J F M, Bd. 14, J. 1882, S. 294-298.

MÉMOIRES. NOTES.

=Analyse pure.=

=1.= _Sur la série de_ LAPLACE.

LAGRANGE a donné une importante série servant au développement en série convergente des racines d'une certaine équation. LAPLACE a exposé une formule plus générale, mais moins simple que celle de ce géomètre. M. G. DARBOUX est parvenu à simplifier la formule de LAPLACE et a ainsi trouvé un résultat analogue à celui de LAGRANGE.

C R, t. 68, 8 fév. 1869, p. 323-327.

=2.= _Sur les séries dont le terme général dépend de deux angles et qui servent à exprimer des fonctions arbitraires entre des limites données._

J L, 2e s., t. 19, janv. 1874, p. 1-18.

Analyse par HOPPE: J F M, Bd. 6, J. 1874, S. 290-294.

Titre sans développement: _Sur les séries trigonométriques. Sur les séries ordonnées suivant les fonctions Y_{_n_} de_ LAPLACE _et X_{_n_} de_ LEGENDRE: B S P, 6e s., 22 mars 1873, p. III.

=3. 4.= _Mémoire sur l'approximation des fonctions de très grands nombres et sur une classe étendue de développements en série._

C R, t. 82, 7, 14 fév., 1876, p. 365-368, 404-406.

J L, 3e s., t. 4, janv., fév. 1878, p. 5-56, 377-416.

Analyse par F. MÜLLER: J F M, Bd. 8, J. 1876, S. 304-305;--Bd. 10, J. 1878, S. 279-280.

Analyse: B S M, 2e s., t. 3, 2e p., janv. 1879, p. 5-6, 18-19.

=5.= _Sur les développements en série des fonctions d'une seule variable._

J L, 3e s., t. 2, sept. 1876, p. 291-312.

Analyse par STOLZ: J F M, Bd. 8, J. 1876, S. 124-127.

Analyse par J. TANNERY: B S M, 2e s., t. 1, 2e p., déc. 1877, p. 333-335.

=6.= _Sur les différentielles des fonctions de plusieurs variables indépendantes._

B S M, 2e s., t. 5, 1re p., sept., oct. 1881, p. 376-384, 395-417.

=7.= _Note sur une fonction numérique._

B S M, 2e s., t. 5, 1re p., oct. 1881, p. 417-424.

=8.= _Sur les différentielles successives des fonctions de plusieurs variables indépendantes._

C R, t. 93, 26 déc. 1881, p. 1123-1125.

=9.= _Sur les différentielles successives des fonctions de plusieurs variables et sur une propriété des fonctions algébriques._

C R, t. 94, 27 fév. 1882, p. 575-577.

=10. 11.= _Mémoire sur les fonction discontinues._

Je reprends, en donnant tous les développements nécessaires, la définition de l'intégrale définie d'après RIEMANN, et je montre comment cette définition doit conduire à une infinité de fonctions continues n'ayant pas de dérivée.

Laissant ensuite de côté la définition des fonctions continues comme intégrales, j'expose quelques principes sur les séries dont les termes sont des fonctions de la variable indépendante. G. D.

A S E N, 2e s., t. 4, 1875, 20 janv. 1874, p. 57-112.

A S E N, 2e s., t. 8, juin 1879, p. 195-202.

Analyse par STOLZ: J F M, Bd. 7, J. 1875, S. 243-247;--Bd. 11, J. 1879, S. 274-275.

Analyse: B S M, t. 10, fév. 1876, p. 76-82;--2e s., t. 4, 2e p., janv. 1880, p. 21-24.

Titres sans développements: _Sur les fonctions discontinues et sur les fonctions continues qui n'ont pas de dérivées; Sur la théorie des fonctions:_ B S M F, t. 1, 1872-1873, 19 mars 1873, p. 121;--t. 2, 1873-1874, 28 janv. 1874, p. 66.

=12. 13.= _Sur les solutions singulières des équations aux dérivées ordinaires du premier ordre._

Dans le second Mémoire, M. G. DARBOUX complète les résultats indiqués dans le premier, et donne un théorème précis faisant connaître dans quelles circonstances une équation différentielle peut admettre une intégrale ou solution singulière.

I, n. s., 1re a., nº 6, 5 fév. 1873, p. 49-50.--B S P, 6e s., 23 nov. 1872, p. 180-186.

B S M, t. 4, mars 1873, p. 158-173.

=14.= _Mémoire sur les solutions singulières des équations aux dérivées partielles du premier ordre._

M S A S, t. 27, nº 2, 1880, 243 p.

Ce Mémoire, présenté au Concours pour le grand prix des Sciences mathématiques (Géométrie), a été couronné.

Rapport de M. J. BERTRAND: C R, t. 84, 23 avr. 1877, p. 804.

=15.= _Sur les équations aux dérivées partielles du second ordre._

Dans l'état actuel de la Science, on connaît peu de choses sur les équations aux dérivées partielles du second ordre....

Je me propose d'exposer les principes seulement d'une nouvelle méthode qui, sans donner la solution complète du problème, me paraît constituer un progrès dans la théorie des équations aux dérivées partielles. G. D.

C R, t. 70, 28 mars 1870, p. 675-678.

=16.= _Sur la théorie des équations aux dérivées partielles._

C R, t. 70, 4 avr. 1870, p. 746-749.

=17.= _Sur les équations aux dérivées partielles du second ordre._

Dans ce Mémoire, qui contient les Notes n^{os} =15= et =16=, M. G. DARBOUX développe une troisième application de la méthode qu'il a proposée.

A S E N, t. 7, 1870, p. 163-173.

Appréciation par ÉMILE PICARD: R O, t. 1, 30 nov. 1890, p. 705.

Ce Mémoire a été traduit en allemand et forme la Note III de l'Ouvrage intitulé _Theorie der Partiellen Differentialgleichungen erster Ordnung_ von Dr. M. PAUL MANSION, Herausgegeben von H. MASER: Berlin, JULIUS SPRINGER, 1892, gr. in-8, S. 471-482.

=18.= _Sur l'existence de l'intégrale dans les équations aux dérivées partielles d'ordre quelconque._

C R, t. 80, 1er fév. 1875, p. 317-319.

=19. 20.= _Sur les équations aux dérivées partielles._

M. G. DARBOUX montre que l'on peut adjoindre à une équation quelconque aux dérivées partielles une _équation auxiliaire_, linéaire, dont l'étude conduit à des résultats très importants se rapportant à l'équation proposée; puis il applique cette méthode à deux problèmes de Géométrie: l'un se rapporte à une famille d'un système triple orthogonal, l'autre à la recherche des surfaces applicables sur une surface donnée.

C R, t. 96, 19 mars 1883, p. 766-769.

L T S D, IVe P., n. X, 1896, p. 497-504.

Analyse par J. HADAMARD: R O, t. 7, 15 oct. 1896, p. 835.

=21.= _Sur l'équation auxiliaire._

Voir n^{os} =19= et =20=.

L T S D, IVe P., n. XI, 1896, p. 505-516.

Analyse par G. KŒNIGS: B S M, 2e s., t. 22, 1re p., juin 1898, p. 157-158.

Analyse par J. HADAMARD: R O, t. 7, 15 oct. 1896, p. 835.

=22. 23.= _Sur une équation différentielle du quatrième ordre._

C R, t. 141, 28 août 1905, p. 415-417.

C R, t. 141, 11 sept. 1905, p. 483-484.

=24.= _Application d'une méthode de_ M. HERMITE _à l'équation linéaire à coefficients constants avec second membre._

B S M, 2e s., t. 3, 1re p., juil. 1879, p. 325-328.

=25. 26.= _Sur les systèmes formés d'équations linéaires à une seule variable indépendante._

C R, t. 90, 8 mars 1880, p. 524-526.

C R, t. 90, 15 mars 1880, p. 596-598.

Analyse par HAMBURGER: J F M, Bd. 12., J. 1880, S. 271-273.

=27.= _Remarque sur une Lettre de_ LAPLACE _à_ CONDORCET.

M. G. DARBOUX rectifie une règle pour l'intégration des équations différentielles linéaires, donnée par LAPLACE dans une Lettre à CONDORCET.

B S M, 2e s., t. 3, 1re p., mai 1879, p. 209-216.

=28.= _Sur une proposition relative aux équations linéaires._

C R, t. 94, 29 mai 1882, p. 1456-1459.

Analyse par HAMBURGER: J F M, Bd. 14, J. 1882, S. 264-266.

=29.= _Sur une équation linéaire._

C R, t. 94, 19 juin 1882, p. 1645-1648.

=30.= _Sur une équation linéaire aux dérivées partielles._

C R, t. 95, 10 juil. 1882, p. 69-72.

=31.= _Sur les équations linéaires à deux variables indépendantes._

C R, t. 105, 25 juil. 1887, p. 199-201.

=32.= _Sur certains systèmes d'équations différentielles linéaires._

C R, t. 148, 4 janv. 1909, p. 16-22.

=33. 34.= _Sur les systèmes d'équations différentielles homogènes._

C R, t. 148, 15 mars 1909, p. 673-679.

C R, t. 148, 22 mars 1909, p. 745-754.

Reproduction des Notes n^{os} =32=, =33= et =34=: A S E N, 3e s., t. 25, 1909, p. 449-472.

=35.= _Sur la première méthode donnée par_ JACOBI _pour l'intégration des équations aux dérivées partielles du premier ordre._

C R, t. 79, 21 déc. 1874, p. 1488-1489;--t. 80, 18 janv. 1875, p. 160-164.--B S M, t. 8, mai 1875, p. 249-255.

=36.= _Mémoire sur l'existence de l'intégrale dans les équations aux dérivées partielles contenant un nombre quelconque de fonctions et de variables indépendantes._

C R, t. 80, 11 janv. 1875, p. 101-104.

=37.= _Note sur deux intégrales elliptiques qui se présentent sous forme indéterminée._

M S S B, 2e s., t. 3, 1880, 13 nov. 1879, p. 373-376.

=38.= _Remarque sur une Note de_ M. CH. MÉRAY,

Intitulée _Sur des systèmes d'équations aux dérivées partielles qui sont dépourvues d'intégrales, contrairement à toute prévision_.

C R, t. 106, 5 mars 1888, p. 651-652.

=39.= _Sur les équations différentielles du premier ordre et du premier degré._

C R, t. 86, 25 fév. 1878, p. 533-536.

=40.= _Mémoire sur les équations différentielles algébriques du premier ordre et du premier degré._

B S M, 2e s., t. 2, 1re p., fév., mars, avr. 1878, p. 60-96, 123-144, 151-200.

=41.= _De l'emploi des solutions particulières d'une équation différentielle du premier ordre et du premier degré dans la recherche de l'intégrale générale._

C R, t. 86, 4 mars 1878, p. 584-586.

Analyse par TŒPLITZ des Notes n^{os} =40= et =41=: J F M, Bd. 10, J. 1878, S. 214-219.

=42.= _De l'emploi des solutions particulières algébriques dans l'intégration d'un système d'équations différentielles algébriques._

C R, t. 86, 22 avr. 1878, p. 1012-1014.

=43.= _Sur l'intégration de l'équation dx^2 + dy^2 = dz^2 et de quelques équations analogues._

J L, 2e s., t. 18, juil. 1873, p. 236-240.

=44.= _Sur la résolution de l'équation dx^2 + dy^2 + dz^2 = ds^2 et de quelques équations analogues._

Dans ce Mémoire, M. G. DARBOUX complète les résultats qu'il a indiqués en 1873 (nº =43=) et en déduit de nouvelles conséquences.

J L, 4e s., t. 3, f. 3, 1887, p. 305-325.

Analyse par HAMBURGER: J F M, Bd 19, J. 1887, S. 343-344.

=45.= _Sur l'équation de_ RICCATI.

Ce Mémoire est inséré dans _In Memoriam_ DOMINICI CHELINI _Collectanea Mathematica_.

C M C, Paris, juin 1880, p. 199-204.

Analyse: B S M, 2e s., t. 5, 1re p., nov. 1881, p. 433.

Analyse par HAMBURGER: J F M, Bd. 13, J. 1881, S. 273.

=46.= _Sur l'application du théorème fondamental d'_ABEL _relatif aux intégrales algébriques à la recherche de systèmes complètement orthogonaux dans un espace à n dimensions._

Ce Mémoire est inséré dans le premier des deux Tomes des _Acta mathematica_ imprimés NIELS HENRIK ABEL _in Memoriam_.

A M, t. 26, 30 juin 1902, p. 227-240.

Analyse par HESSENBERG: J F M, Bd. 33, J. 1902, S. 640-641.

=Analyse appliquée à l'Algèbre.=

=1.= _Sur la résolution de l'équation du quatrième degré._

J L, 2e s., t. 18, juil. 1873, p. 220-235.

Analyse par F. MÜLLER: J F M, Bd. 5, J. 1873, S. 80-81.

=2.= _Mémoire sur la théorie algébrique des formes quadratiques._

J L, 2e s., t. 19, oct., nov. 1874, p. 347-396.

Analyse par NETTO: J F M, Bd. 6, J. 1874, S. 68-70.

Titre sans développement: _Sur divers points relatifs aux formes quadratiques, sur leur décomposition en carrés la plus générale, et sur les questions de même nature relatives à deux formes quadratiques. Application à la démonstration du théorème fondamental de l'Algèbre:_ B S P, 6e s., 28 fév., 14 mars 1874, p. III.

SECTION III.

GÉOMÉTRIE INFINITÉSIMALE.

RAPPORT DE MICHEL CHASLES SUR LA THÈSE INTITULÉE «SUR LES SURFACES ORTHOGONALES», SOUTENUE EN SORBONNE PAR M. GASTON DARBOUX LE 14 JUILLET 1866.

Cette Thèse est un travail étendu et fort important sur les surfaces orthogonales. Elle comprend trois Parties.

La première, intitulée: _Étude d'un système remarquable de coordonnées orthogonales_, contient différentes propriétés des coordonnées curvilignes formées par le triple système orthogonal auquel l'auteur et M. MOUTARD ont été conduits, chacun de son côté. La seconde Partie renferme des _Recherches sur les surfaces orthogonales en général_. M. DARBOUX, prenant pour point de départ le théorème de M. DUPIN, d'après lequel dans tout système triple de surfaces orthogonales les courbes d'intersection des surfaces sont leurs lignes de courbure, auquel il ajoute comme complément l'énoncé suivant: _Quand deux systèmes de surfaces orthogonales se coupent suivant les lignes de courbure de ces surfaces, il existe un troisième système orthogonal aux deux premiers_, donne d'abord une démonstration simple de ce théorème de M. OSSIAN BONNET, que la recherche de tous les systèmes orthogonaux revient à l'intégration complète d'une équation aux différences partielles du troisième ordre à trois variables indépendantes. Puis il fait connaître une _Nouvelle méthode de recherche des systèmes orthogonaux_, fondée sur l'emploi d'une certaine fonction auxiliaire V. La troisième Partie contient des _Applications_ de la méthode exposée dans la deuxième Partie. L'auteur considère d'abord une classe particulière de systèmes orthogonaux dans lesquels les surfaces d'un même système s'obtiennent en déplaçant l'une d'elles parallèlement à elle-même par une simple translation sans altération de forme. La détermination de la fonction V dépend alors de l'intégration d'une équation aux différences partielles du troisième ordre à deux variables indépendantes. Le second cas traité par M. DARBOUX est celui des surfaces pour lesquelles les lignes de courbure sont planes dans les trois systèmes. Les intégrations s'effectuent alors complètement, et le résultat, d'une forme très simple, contient trois fonctions arbitraires; ces surfaces sont, dans certains cas, un exemple des systèmes orthogonaux étudiés dans le paragraphe précédent, c'est-à-dire que _chacun des trois systèmes est formé par une surface de forme invariable qui se déplace parallèlement à elle-même_. Le troisième et dernier cas se rapporte aux systèmes pour lesquels chaque surface peut être partagée en carrés infiniment petits par ses lignes de courbure. M. DARBOUX avait déjà observé, dans la première Partie, que les surfaces du triple système orthogonal antérieurement découvert par M. MOUTARD et par lui jouissent de la propriété dont il s'agit. Par une analyse savante et extrêmement ingénieuse, il fait voir maintenant que ce dernier système est le seul qui réponde à la question.

R P G C, 1870, p. 363-364.

ANALYSE PAR JULES HOÜEL DE L'OUVRAGE INTITULÉ «SUR UNE CLASSE REMARQUABLE DE COURBES ET DE SURFACES ALGÉBRIQUES ET SUR LA THÉORIE DES IMAGINAIRES», LUE A LA SÉANCE DU 13 JUIN 1870 DE LA SOCIÉTÉ SCIENTIFIQUE DE BORDEAUX.

Dans le travail actuel, notre Correspondant s'est proposé d'étudier une classe remarquable de courbes et de surfaces du quatrième ordre, qui se rapprochent par leurs propriétés des courbes et des surfaces du second degré. Ces propriétés ont fait l'objet des études de plusieurs géomètres; M. DARBOUX les soumet à une revision d'ensemble, dans laquelle il expose, en même temps que des propriétés nouvelles, des propriétés connues et qui ont déjà été publiées soit par d'autres géomètres, soit par lui.

Ces courbes et ces surfaces jouissent de la propriété de se transformer les unes dans les autres quand on les soumet à une transformation par rayons vecteurs réciproques. Aussi l'Auteur a-t-il consacré la première Partie de son travail à l'étude analytique et détaillée de cette transformation dans ses rapports avec la théorie des imaginaires et avec celle des focales des surfaces, qui lui est due pour les surfaces du degré supérieur, et qu'il a développée pour la première fois dans un travail inséré aux _Annales de l'École Normale_ en 1865. Nous signalerons dans cette Partie la définition des foyers des courbes planes et sphériques, celle des focales des courbes gauches et des surfaces, et la théorie complète d'une classe importante de surfaces développables imaginaires circonscrites au cercle de l'infini, et que l'Auteur a appelées _développables focales_. On remarquera, dans cette Partie du travail, un moyen simple de trouver l'équation différentielle des surfaces applicables sur une surface donnée, et l'explication des solutions singulières de cette équation, la démonstration du théorème que, _lorsque les lignes de courbure d'une surface ont une enveloppe, cette enveloppe, en laissant de côté un cas exceptionnel, se compose d'une suite de droites isotropes_, etc.

Dans la deuxième et la troisième Partie de cette étude, se trouve comprise l'étude détaillée des _cycliques_. C'est ainsi que l'Auteur nomme les courbes sphériques, intersections de la sphère et d'une surface du second degré, et les courbes planes qui en sont les transformées par rayons vecteurs réciproques. Les classifications de ces courbes, leur mode de génération, leurs propriétés métriques et focales sont successivement examinés. Il est facile de comprendre l'intérêt qui s'attache à cette étude, si l'on remarque que les coniques sphériques, les ovales de DESCARTES, la cissoïde de DIOCLÈS, les spiriques de PERSEUS, les ovales et l'ellipse de CASSINI, les podaires de coniques, le limaçon de PASCAL, la fenêtre de VIVIANI font partie de cette classe très générale de courbes, et sont réunis ici dans une étude commune. Quelques-unes d'entre elles, analogues à l'ellipse de CASSINI, ont des propriétés semblables à celles du cercle, et l'Auteur donne pour toutes des propriétés analogues à celle de l'angle inscrit dans le cercle. En même temps l'étude de ces courbes fournit à l'Auteur une occasion d'appliquer des principes généraux relatifs à la transformation des relations où entrent les imaginaires. Je signalerai en particulier un procédé nouveau pour déduire, des théorèmes généraux sur les coniques planes et sphériques, les propriétés focales de ces courbes.

Les cycliques sont, après les courbes du troisième degré, les courbes les plus simples, dont l'étude se ramène à celle des fonctions elliptiques. L'Auteur signale rapidement ce lien, qui a été déjà étudié complètement à un point de vue général par M. CLEBSCH.

Les surfaces analogues aux courbes cycliques sont les surfaces du quatrième ordre, ayant le cercle de l'infini pour ligne double, et les surfaces du troisième ordre qui contiennent le cercle.

Elles ont d'abord été étudiées en 1864 par M. MOUTARD, mais déjà en 1863 M. KUMMER avait étudié d'une manière générale les surfaces du quatrième ordre à ligne double, qui comprennent les précédentes comme cas particulier. On sait que ces surfaces donnent lieu à un système de coordonnées curvilignes orthogonales tout à fait analogue au système des coordonnées elliptiques, qui a rendu à la Science de si grands services entre les mains de LAMÉ et de JACOBI.

L'Auteur étudie les propriétés analytiques et géométriques, la classification des sections planes des surfaces que nous venons de définir, et qu'il appelle des _cyclides_, parce qu'elles comprennent comme cas très particulier la cyclide de M. DUPIN qu'on pourra distinguer sous le nom de _cyclide à lignes de courbure circulaires_. En un mot, on a un exposé complet de la théorie de ces surfaces si importantes, qui trouveront sans aucun doute de belles applications, et qui paraissent être en quelque sorte l'intermédiaire par lequel on étendra aux surfaces de degré supérieur une foule de propositions de la théorie des surfaces du second degré.

M S S B, t. 8, 13 juin 1870, p. CXX-CXXII.

_EXTRAIT DU_ RAPPORT LU PAR M. CAMILLE JORDAN, EN DÉCERNANT A M. GASTON DARBOUX, AU NOM DE L'ACADÉMIE DES SCIENCES, LE PRIX PETIT D'ORMOY POUR LES SCIENCES MATHÉMATIQUES, LE 5 MAI 1884.