Part 33

Le souvenir de la coupole a évidemment inspiré le tracé de ces voûtes (6). Un cercle dont le centre est en C et dont le rayon est CA a d'abord été tracé. Ce cercle a été divisé en neuf parties. Des points 2 et 7, deux lignes parallèles au grand axe AA' ont été tirées. Ces deux lignes 2B, 7D sont les nûs des murs du haut choeur au-dessus des piles. On voit que les deux segments du cercle 2--3, 6--7 débordent le nû des deux murs. Les points 2 et 7 ont été réunis par une ligne qui est la projection horizontale de l'arc doubleau du sanctuaire. Des lignes E3, E4, E5, E6, réunissant le milieu de l'arc doubleau 2--7 aux points diviseurs de la circonférence, sont les projections horizontales des arcs ogives, nerfs de la voûte du sanctuaire. Les lignes 3E, 6E, prolongées jusqu'à leur rencontre avec les lignes de nûs 7D, 2B, sont les projections horizontales des branches d'ogives contrebutant les arcs rayonnants. Une ligne FG, perpendiculaire au grand axe et tangente au cercle, donne la projection horizontale du dernier arc doubleau des grandes voûtes d'arêtes. Ayant pris sur le grand axe une longueur 9H égale à 9E, on a obtenu le centre, la clef de la voûte en arcs d'ogives FGBD. Mais de même que le triangle GE6 est divisé par l'arc doubleau E7, on a cru devoir diviser le triangle DHG par un arc doubleau IHK. Voilà pour les projections horizontales. Pour le tracé des arcs, la méthode suivie est celle-ci: l'arc doubleau BD, ou celui FG, ou celui 2--7, sont engendrés par un triangle dont la base est quatre et la hauteur deux et demi. Sur le milieu de la base ou naissance BD divisée en quatre, on a élevé la perpendiculaire _ab_. Celle-ci ayant deux parties et demie égales à chacune des divisions de la base, on a tracé le triangle BD_b_. Portant sur la ligne de base de D en _e_ une épaisseur égale à celle des claveaux de l'arc doubleau on a réuni le point _e_ au sommet _b_. Du milieu de cette ligne _eb_, élevant une perpendiculaire jusqu'à sa rencontre avec la ligne BD, on a obtenu en _t_ le centre de l'une des branches de l'arc doubleau. Quant aux arcs-ogives, arcs-diagonaux qui sont comme les derniers témoins de la coupole, ils sont plein-cintres, ainsi que l'indique notre rabattement; leur point de centre étant relevé en _g_, au-dessus du tailloir des chapiteaux, afin que la clef _h_ de ces arcs se trouve à un niveau plus élevé que celui des clefs _b_ des arcs doubleaux, car on tenait à avoir une pente dans la section de la voûte, de H en _a_. Dès lors, il fallait que la clef des arcs doubleaux intersecteurs IK se trouvât au niveau de la clef des arcs ogives. On a donc relevé en _p_ le centre des branches de cet arc doubleau rabattu sur notre figure. La projection verticale de l'arc doubleau 2--7 du sanctuaire est exactement celle des arcs doubleaux BD, FG. Mais comme les branches d'ogives rayonnantes du sanctuaire doivent aboutir à la clef E de cet arc doubleau 2--7, ces branches sont excentriques, ne sont pas les rayons du cercle dont le centre est C; donc la branche 3E est plus courte que la branche 4E. Il a donc fallu un tracé particulier à chacune de ces deux branches. Ces tracés sont rabattus sur notre figure; les clefs _l_ et _m_ de ces branches atteignent, bien-entendu, le niveau de la clef E de l'arc doubleau 2--7.

De tout ceci il résulte que les arcs ogives BG, FD, F6, G3, et les branches 4E, 5E sont bien réellement des côtes de coupoles entre lesquelles on a percé des formerets et des arcs doubleaux affectant la courbe aiguë. Les architectes n'osaient même encore s'affranchir de la configuration concave de la coupole, bien que le système admis l'eût permis, car ils avaient le soin de tenir les clefs des arcs doubleaux et des formerets plus basses que celles des arcs diagonaux, afin de conserver à la structure cette forme de calotte qui leur semblait nécessaire à la solidité.

Le principe de la coupole considérée comme génératrice des voûtes en arcs d'ogives nous paraît trop important pour que nous n'insistions pas. Ainsi (7), soit une voûte absidale en quart de sphère, et dont le plan est ponctué en _aa_, voûte appelée _cul-de-four_ et si fréquemment employée par les Romains et pendant la période romane. Supposons que nous divisions ce cul-de-four en cinq parts (voir le plan A), que réservant seulement des côtes _cbd_, nous enlevions, entre ces côtes, les triangles _edb_, _ebb_, etc.; nous aurons la figure perspective tracée en B. Il est clair que nous pouvons voûter les triangles vides, soit au moyen d'un formeret plein-cintre _c_, soit au moyen d'un formeret aigu D dont la clef E est en contre-bas de la clef F, soit au moyen d'un formeret aigu dont la clef G est au niveau de celle F. Ce que nous indiquons ici dans une seule figure, il a fallu quelques années pour le faire. Les hautes voûtes de l'abside de l'église abbatiale de Vézelay sont faites conformément au figuré C; elles datent de 1190 environ. Celles de la cathédrale de Paris sont faites d'après le tracé D (1180). Celles des églises du commencement du XIIIe siècle, conformément au tracé G[257]. Comme l'arc ogive (plein-ceintre) _bd_ est plus long que l'arc doubleau _cd_, lorsqu'on a voulu avoir les clefs de ces arcs doubleaux au niveau de celles des arcs ogives, il a fallu prendre la forme aiguë pour les premiers, ainsi qu'on le voit en H. Il est évident que sur ces côtes conservées de la coupole, on n'a pas immédiatement osé faire porter tout le poids des voûtains. Les architectes, en laissant les clefs des formerets à un niveau plus bas que celui des clefs des arcs ogives, pensaient ainsi faire porter une partie du poids des voûtains ou remplissages triangulaires sur les murs, et ils ne se trompaient pas; mais ils reconnurent bientôt que cette structure avait des inconvénients: elle tendait à déverser les formerets en dehors. C'était un compromis entre la structure antique et celle nouvellement inaugurée qui devait arrêter quelque temps les développements de l'art du XIIIe siècle; d'ailleurs, il était plus simple de considérer les arcs réservés de la coupole comme les points résistants, destinés à transmettre les pesanteurs des voûtes, et de maintenir alors solidement la poussée de ces côtes; c'est ce que l'on fit bientôt: 1º en adoptant l'arc brisé pour les formerets; 2º en élevant les clefs de ceux-ci au niveau des clefs des arcs ogives, comme l'indique la figure 7 en G.

Les projections des grandes voûtes du choeur de la cathédrale de Paris que nous avons tracées (fig. 6) nous montrent en BDFG one voûte presque carrée, composée de deux arcs ogives BG, DF, de deux arcs doubleaux BD, FG, d'un arc doubleau intermédiaire KI et de quatre formerets BK, KF, DI, IG. Ayant la disposition des voûtes sur plan carré des collatéraux, des points d'appuis en B, K, F, D, I, G d'une part, et la tradition de la coupole de l'autre, les constructeurs, cherchant à conserver de cette coupole deux tranches diagonales BG, DF, sur lesquelles devaient reposer les remplissages ou voûtains, ne pensaient pas que ces diagonales dussent ne point se couper suivant des angles très-rapprochés de l'angle droit, sinon droits. Ils franchissaient ainsi deux travées, faisant porter ces arcs ogives ou diagonaux sur les points d'appuis, de deux en deux; mais autant pour diminuer la surface des remplissages que pour répartir leur poids sur toutes les piles, ces constructeurs recoupaient la voûte en arcs d'ogives par un arc doubleau intermédiaire KI.

Voici donc ce que donnait cette combinaison (8). La coupole à projection horizontale circulaire était encore la génératrice de cette voûte. En effet (voir la projection horizontale A), les arcs ogives _ab_, _cd_, ne sont autre chose que les tranches réservées de la coupole; seulement, les murs de la nef étant sur les deux parallèles _ad_, _cb_, un arc doubleau intermédiaire bandé de la pile _e_ à la pile _f_ permettait de voûter chacun des triangles _adg_, _cbg_ au moyen de deux voûtains _aeg_, _edg_, _cfg_, _fbg_. Au lieu de deux formerets _ad_, _cb_, on obtenait quatre formerets _ae_, _ed_, _cf_, _fb_. Le figuré perspectif B explique ce système. Là, le plan fictif de la coupole est visible. Les deux arcs ogives CD, EF en sont les dernières traces; l'arc doubleau intermédiaire GH, au lieu d'être, comme les arcs ogives, une tranche séparée de la coupole, a été reporté de G' en G et de H' en H; son sommet atteint le niveau de la clef I des arcs ogives; puis, l'ossature ainsi établie, dans les triangles K restés vides on a bandé les voûtains K', qui portent sur les arcs ogives, les arcs doubleaux, et qui sont tracés par les formerets L. Ce système offrait encore l'avantage de prendre des jours latéraux sous les formerets dans la hauteur même de la voûte.

Mais il était peu logique, ayant des points d'appuis égaux en force, en _aed_, de faire porter deux arcs ogives et un arc doubleau sur les piles _ad_, tandis qu'on ne chargeait la pile _e_ que d'un seul arc doubleau. On prit donc, vers 1230, le parti de faire des grandes voûtes par travées, très-barlongues, et de charger également toutes les piles. C'est ainsi que sont construites les voûtes hautes des nefs des cathédrales d'Amiens et de Reims; la coupole en est cependant le principe générateur comme pour les voûtes précédentes. Dans la cathédrale d'Amiens les arcs diagonaux ou ogives sont des plein-cintres, ou très-peu s'en faut; mais dans celle de Reims la coupole génératrice des arcs ogives est tracée sur un triangle équilatéral, et l'épure de ces voûtes est aussi simple que profondément raisonnée.

En A (9) est donnée la projection horizontale d'une de ces voûtes hautes; les piles étant en _abcd_, l'axe de ces piles donne les points de départ des deux arcs ogives _ad_, _bc_, ou plutôt les arcs ogives sont les diagonales d'un parallélogramme rectangle dont les angles tombent sur les axes des piles. Ces arcs ogives sont les tranches réservées d'une coupole dont la trace horizontale est donnée par le cercle _iji'j'_ et dont la section verticale est la courbe brisée _klk'l'_, inscrivant un triangle dont la base est à la hauteur comme 13 est à 10.--On remarquera que le tracé est donné par l'extra-dos.--L'extra-dos des arcs doubleaux rabattus en _efg_ inscrit un triangle équilatéral; l'extra-dos des formerets rabattus en _hmn_ inscrit de même un triangle équilatéral; la clef _n_ de ces formerets atteint le niveau de la clef _g_ des arcs doubleaux, de sorte que leur naissance est relevée en _mh_. Ces formerets sont d'ailleurs les archivoltes des fenêtres. Ainsi donc les conséquences du principe de la voûte d'arête dite gothique se simplifiaient rapidement. Les épures pouvaient être indiquées déjà vers 1230 par une simple formule. Le triangle équilatéral est toutefois rarement employé pour tracer les grands arcs doubleaux des voûtes, il est plutôt adopté pour les formerets dont il fallait relever les naissances (voy. CONSTRUCTION).

Villars de Honnecourt[258], parmi ses croquis, trace la figure 10, sous laquelle il inscrit cette légende: «Par chu fait om trois manires dars, a compas ovrir one fois.» Ce qui veut dire: «Par ce moyen l'on fait trois manières d'arcs avec une seule ouverture de compas.» En effet, soit le rayon AB, nous traçons le demi-cercle (plein-cintre) CBD. Posant la pointe du compas en C, avec le même rayon nous traçons l'arc brisé ACE, inscrivant un triangle équilatéral. Abaissant du point E une perpendiculaire sur la ligne de base, le point de rencontre F divise le rayon AC en deux parties égales. Posant la pointe du compas sur F, toujours avec le même rayon nous tracerons l'arc GCH. Les centres de l'arc brisé GCH seront posés sur les points FA qui divisent la base CG en trois parties égales. C'est cet arc auquel quelques auteurs ont donné le nom de _tiers-point_[259]. Or, les architectes du moyen âge ne trouvaient pas toujours des aires assez étendues pour pouvoir tracer entièrement les épures des arcs de leurs voûtes grandeur d'exécution; on comprend en effet que lorsqu'il s'agissait d'élever une cathédrale comme celles d'Amiens ou de Reims, il eût fallu pour tracer, grandeur d'exécution, toutes les épures simultanément nécessaires, un emplacement plus vaste que n'était la surface occupée par le monument lui-même. Force était alors de chercher des moyens de tracés occupant peu de place et présentant cependant une exactitude rigoureuse. L'album de Villars de Honnecourt indique plusieurs procédés propres à tracer des panneaux de claveaux d'arcs sans le secours d'une épure d'ensemble, et ce défaut d'espace pour faire les épures obligea les architectes à adopter certains arcs brisés tracés d'après une formule géométrique. Ainsi, ces architectes ont-ils admis de préférence, à dater du milieu du XIIIe siècle, trois arcs brisés: 1º l'arc brisé engendré par le triangle équilatéral; 2º l'arc brisé tiers-point, et 3º l'arc brisé quinte-point. Le tracé des ogives obtenu en posant les centres sur deux points diviseurs de la base, en trois, en quatre, en cinq, en six, en sept et en huit, permettait de faire une épure rigoureuse, sans qu'il fût nécessaire de tracer l'ensemble d'un demi-arc. Soit (11) en A un arc brisé engendré par un triangle équilatéral, il est évident que le rayon _ab_ est égal à la base _ad_; que si nous traçons le quart de cercle _do_, le segment _bo_ sera la moitié du segment _db_, puisque le triangle équilatéral divise le cercle en six parties égales. La clef _b_ est donc le troisième point du quart de cercle divisé en trois segments égaux; c'est la raison qui a fait donner parfois le nom d'_arc en tiers-point_ à l'arc équilatéral, c'est-à-dire d'arc dont la clef tombe sur le troisième point du quart de cercle divisé en trois parties égales. Soit en B l'arc brisé auquel le nom de tiers-point doit être appliqué de préférence à tout autre, la base _ce_ étant divisée en trois parties égales, cette base pourra être divisée en six parties égales, et la perpendiculaire abaissée du sommet de l'arc sur la base divisera celle-ci en deux parties égales; donc le rayon _fe_ ayant quatre de ces parties, le rayon _fg_ en contiendra également quatre. Or, supposons que pour tracer l'épure des claveaux de l'arc brisé B nous n'ayons que l'espace _f_B_g_, la base _ce_ étant connue, nous en prendrons le sixième que nous tracerons en B'_f'_ (voir le figuré C); sur la base B'_f'_, du point B' nous élèverons une perpendiculaire B'_g'_; prenant alors un rayon _f'g'_ ayant quatre fois la longueur de B'_f'_ qui est le tiers du demi-diamètre de l'arc, et posant la pointe du troussequin en _f_, la rencontre de la ligne _f'g'_ avec la perpendiculaire B'_g'_ donnera le point _g'_, sommet de l'arc brisé. Nous pourrons tracer une portion d'arc _g'i_, donner l'épaisseur des claveaux _i_K et tracer les joints d'un de ces claveaux. Tous les claveaux de l'arc seront donc donnés par celui _lmno_, et nous pourrons, sur ce panneau, en faire tailler des milliers. Reste à tracer la clef ou plutôt la contre-clef, puisque les arcs brisés ont un joint à la clef. Le prolongement de la perpendiculaire B'_g'_ nous donnera le panneau de cette contre-clef, comme l'indique notre figure. Mais nous avons encore un autre moyen d'obtenir son panneau (voir le tracé D). Soit la ligne _pq_ l'épaisseur des claveaux, nous la divisons en quatre parties; traçant du point _q_, au moyen d'une sauterelle, un angle _qrs_ égal à l'angle _f'ut_, nous prendrons sur le côté _qs_ une longueur _qv_ égale à l'une des quatre parties de la ligne d'épaisseur _pq_; nous réunirons le point _p_ au point _v_, et nous aurons tracé le triangle _pqv_ à ajouter aux claveaux pour former le panneau de la contre-clef. Pour tracer les panneaux des claveaux de l'arc quinte-point figuré en G, on procèdera de la même manière; seulement, la base de l'arc étant divisée en cinq parties égales, nous prendrons une de ces parties et demie pour commencer l'opération et nous en prendrons quatre pour le rayon. Ce n'était donc pas au hasard que les constructeurs du moyen âge, dans le tracé de leurs arcs brisés, posaient les centres sur la ligne de base ou de naissance de ces arcs, et comme preuve de leur méthode de tracé d'épures partielles, on peut observer que les claveaux ayant été taillés sans connaître exactement le nombre nécessaire à chacune des branches de l'arc, ou la largeur de douelle, il arrive souvent qu'au moment de fermer l'arc, on pose une contre-clef très-large ou un dernier claveau beaucoup plus mince que les autres.

Mais une figure singulière, tracée dans l'Album de Villars de Honnecourt, nous donne la clef de tout un système de tracés d'arcs pour un édifice entier et permettant, comme dans l'exemple précédent, de faire des épures partielles avec une rigoureuse exactitude et sans avoir besoin d'aires d'une surface considérable[260]. La planche XXXIX de cet album nous montre une clef de tiers-point tracée d'après la méthode précédente, puis une spirale coupée par une ligne droite passant par son oeil. Au-dessous de ce croquis, on lit: «Par chu tailon one clef del quint point» (Par ce moyen taille-t-on une clef de quinte-point). Le texte ne se rapporte qu'au trait de la clef, mais la présence de cette spirale, dessinée là comme un simple souvenir, se rapporte évidemment aux tracés d'arcs engendrés par une division du diamètre en cinq. Ce croquis est celui reproduit exactement par le trait plein de notre figure 12[261]. Sur une base AB, divisée en cinq parties égales et donnant six points, du milieu C comme centre on a tracé le demi-cercle AB.--On observera que ce point C sépare la division 3--4 en deux parties égales.--Prenant alors le point 3 comme centre et 3A comme rayon, on a tracé le second demi-cercle A5. Reportant la pointe du compas sur C et prenant C5 comme rayon, on a tracé le troisième demi-cercle 2--5. Reportant la pointe du compas sur 3 et prenant 3--2 comme rayon, on a tracé le quatrième demi-cercle 2--4. Reportant enfin la pointe du compas sur C et prenant C4 comme rayon, on a tracé le cinquième demi-cercle 3--4. Si des deux centres 3 et C, qui ont servi à tracer tous les demi-cercles, nous élevons les deux perpendiculaires 3_a_, C_b_, nous coupons ces demi-cercles en _a_, en _c_, en _b_ et en _d_. En supposant que les arcs ogives d'une grande voûte barlongue de nef soient le plein-cintre dont AB est le diamètre, les arcs doubleaux ayant une base comprenant quatre parties ou la longueur A5, ces arcs doubleaux se composeront d'une branche d'arc A_a_ et d'une seconde branche d'arc 5_a_ dont le centre sera _e_ point milieu de la partie 2--3. L'arc doubleau sera tracé au moyen de deux arcs de cercle dont le rayon sera CA et dont les centres C_e_ seront des points diviseurs du diamètre A5 en huit parties égales. Le diamètre de l'arc ogive ayant cinq parties et l'arc doubleau quatre (voir la projection horizontale H), l'arc formeret aura trois parties, car l'arc formeret _lm_ formant un angle droit sur l'arc doubleau _ln_, si nous donnons à la base de cet arc doubleau 4, à la base de l'arc formeret 3, l'hypothénuse _mn_, ou base d'un des arcs ogives, aura 5 par la raison que le carré de 4 est 16, le carré de 3, 9, que 16 + 9 = 25 carré de 5. Donc AB étant la base de l'arc ogive d'une voûte dont l'arc doubleau est A5, le formeret aura pour base 3B comprenant trois parties, et nous aurons tracé l'arc ogive de cette voûte, son arc doubleau et son arc formeret avec la même ouverture de compas; les points diviseurs de la base AB nous ayant donné en C le centre des arcs ogives, en C_e_ les centres de l'arc doubleau, en C_f_ les centres de l'arc formeret. Par conséquent, les mêmes arcs de cercle servant pour tracer ces trois arcs, tous les panneaux des claveaux de ces arcs pourront être taillés sur une seule épure ou portion d'épure, en supposant que nous appliquions le procédé indiqué en D (11). Si c'est une voûte plus étroite que nous voulions tracer, c'est-à-dire une voûte dont la base des formerets soit la moitié de la base de l'arc doubleau, nous aurons alors en projection horizontale le tracé _lpqn_ (voir le figuré H). Alors l'arc ogive _np_ aura pour diamètre 4 parties 1/2. Cet arc ogive sera donc la courbe brisée dont le diamètre est A_f_ et dont les centres sont les points 3 et C. L'arc doubleau aura pour diamètre comme précédemment A5 et pour points de centre _e_C, et l'arc formeret aura pour diamètre soit 2--4, soit 3--5, et pour points de centre soit _e_C, soit _ef_: dans le premier cas cet arc formeret sera tracé avec une ouverture de compas plus courte que celle qui a servi à tracer l'arc ogive et l'arc doubleau; dans le second, il sera tracé avec la même ouverture de compas. Si nous divisons le tympan sous l'arc formeret en deux baies jumelles, chacune aura une partie de la base AB soit 3--4; et le centre de chacun de ces arcs dont la clef est _d_ sera en 3 et en 4, cet arc sera équilatéral. Si l'arc formeret de la voûte barlongue _lnmr_, ayant pour base 3B et pour centres C _f_, nous paraît trop aigu, nous pouvons lui substituer l'arc dont la base est 2--5, dont la clef est _b_ et dont les centres sont 3--4. On comprend donc qu'à l'aide de cette figure, les bases de tous les arcs de la voûte donnant toujours des divisions égales connues ainsi que les rayons de ces arcs, ils peuvent être taillés à l'aide d'une épure partielle prenant très-peu de surface. Et en effet, si nous examinons des églises gothiques bâties pendant le XIIIe siècle, nous reconnaissons que tous les arcs ogives, doubleaux, formerets, que les archivoltes, travées de galeries, etc., sont tracés au moyen de points de centres posés sur des divisions égales en cinq ou dix d'un seul diamètre de cercle. Il ne nous paraît pas nécessaire d'insister davantage sur l'importance de la figure spirale contenue dans l'Album de Villars de Honnecourt, mais il n'est pas hors de propos de faire remarquer que la voûte barlongue _lnmr_, dont la projection horizontale est tracée en H, dérive du triangle donné par Plutarque comme étant le triangle parfait des Égyptiens, et que l'arc doubleau, dont le diamètre est A5 divisé en quatre, possède une flèche 3_a_ divisée en 2 1/2 moins une très-minime fraction, c'est-à-dire qu'il inscrit un triangle à très-peu près semblable à celui que donne la section verticale de la grande pyramide de Chéops. L'arc dit _ogive_ mérite donc quelque attention: ce n'est pas seulement un motif de solidité qui l'a fait adopter, mais aussi un sentiment des proportions et un accord harmonique entre toutes les courbes des voûtes; c'est une nécessité résultant de la pratique dans le tracé des épures; c'est surtout un besoin de liberté dans la construction de ces voûtes dont on ne saurait trop étudier à fond le principe excellent, puisqu'il permet toutes les combinaisons.

Depuis vingt ans on a fait beaucoup de pastiches de la structure gothique; bien rarement ces imitations satisfont les yeux: c'est qu'en effet ceux qui les élèvent, en admirant fort d'ailleurs nos anciens monuments, ne se sont probablement pas donné la peine d'en rechercher les savants et judicieux éléments. En architecture, le goût, le sentiment sont beaucoup; mais pour les appuyer il faut nécessairement se servir du compas et de la géométrie. On voit qu'au moyen de la formule (12) il n'est qu'un des arcs brisés qui ait ses centres en dehors de ses naissances.