Part 3

Toiset muuttaa mureheni vieläi mustemmaksi, Minusta he mielellänsä tekisivät kaksi.

Uniki se murehista levottavi monta, Minä en saa silmihini pienintäkään unta.

Itkull' alan päiväni ja päätän murehilla, Yksin istun iltasilla, yksin aamusilla.

Sepä mua murehuttaa, sepä itkun tuottaa, Kun on kultani kaukana ja täytyy aina uottaa.

Mont' on huolta muutenki ja se on suurin huoli, Kun en tieä kullastani, elikö vai kuoli.

Päiv' on pitkä ja ikävä ja itku aina mulla, Kun en kuule kullaistani, eikä taia tulla.

Wappu.

Ei nyt enää, ei nyt enää kesämarjat auta, Minun kultani rakkaus on ruostunut kun rauta.

Kultani käypi Suomen maita poikki sekä pitkin, Kylän naiset naurovat ja minä raukka itkin.

Minun kultani nipottaa ja nappaa muillen suuta, Minä raukka rakastan, enkä taia muuta.

Miksis kultani kylmenit, et ole niinkun ennen, Yli selän soutelit ja tulit aina tänne.

Oisko keli parempi ja järvet oisi jäässä, Tokko vielä tulisitki korkia hattu päässä.

Katsos kultaketale kun sato sakiata lunta, Monta yötä vieressäni makasit makiata unta.

Katsos kultaketale kun aurinkoinen paistaa, Anna suuta kultaseni, makialta maistaa.

Katsos kultaketale, kun kuu ja tähet loistaa, Walkiapaita neito nuori se on vasta toista.

Kaisu.

Tämän kylän pojat ompi pahoja tervaspäitä, Yhä käyvät kihloillaan ja ei piä konsa häitä.

Minä olen ryytimaassa keskimmäinen kukka, Empä minä tähän kylään kunniatani hukkaa.

Kunpa tarkon tietäisin, että kultani pitää vihaa, Kärryt tielle laittaisin ja lautamiehen pihaan.

Enkä sure, enkä huoli, jos yksi poika jätti Wielä minä toisen saan kun olen nuori ja nätti.

Minä menen kaupunkiin ja kaupungist' on pesti. Tulen sieltä kotihin, kun paras herran leski.

Ei oo likoilla surua, eik' oo yhtään hiukkaa, Poikia käypi kylissä että liivit liuhkaa.

Laskuopista.

Niin laskuoppi, kun kaikki muutki maalliset opit ovat vasta myöhemmin alkunsa saaneet. Sitä ennen tapahtui kaikki lasku päässä, ikäskun oppimattomilta ja oppineiltaki usein pienemmät laskut vielä päässä toimitetaan. Ainoastansa pienempiin laskuhin onki päässälaskeminen sopiva, suurempihin se millään muotoa ei kykene. Sillä kenpä taitaisi päässään laskea auringon, kuun ja tähtien suuruudet, saada tarkimman tiedon kuun ja tähtien kulkumatkasta, edeltä määrätä kuun ja auringon pimenemiset, tietää niiden nousu- ja laskuajat itsekussaki maanpaikassa ynnä muita semmoisia? Ilman omaa suurta arvoansa on Laskuopilla vielä siitä tuleva erityinen arvo, kun on apuna ylen monessa muussa opissa ja keinossa. Milloin ja missä maassa se ensin lienee mietitty, siitä ei ole tarkkaa tietoa. Sen kuitenki tiedämmä, että se jo oli monta vuossataa ennen Kristuksen syntymää Greikalaisilla voimassa. Siitä ajasta asti on sitä kuitenki paljo parannettu, niinkun nykyset laskimetki eli numerot ovat vasta myöhemmin tulleet tavallisiksi. Ne ovat saatu Arabilaisilta, jotka taas itse olisivat arvelua myöten ne Indialaisilta perineet.

Kaikesta kirjaopista pidetään laskuoppia, maiden tietoja ja historiata ensimmäisinä tarpeina. Suomalaisten on tähän asti täytynyt niitä, kun muitaki, vierailla kielillä oppia. Toivottava olisi kuitenki, että saataisi omakielisiä opetuskirjoja näissäki aineissa. Seuraavan kokeeni neljästä tavallisimmasta laskukeinosta lähetän myös sillä toivolla pränttiin. Jos siitä muuta hyvää ei lienekään, niin taitaa kuitenki siitä jotain apua olla sille, joka vasta ja paremmin laskuopista kirjoittaa.

* * * * *

_Laskuopiksi_ mainitaan sitä taitoa, jolla kahden eli usiamman tietyn luvun avulla löydetään joku muu ennen tietämätöin. Jos esimerkiksi yhdeksän ruplaa tulisi jaettavaksi viiteen yhtäsuureen osaan, niin olisi 9 ja 5 ne kaksi tiettyä lukua, joiden avulla kolmas pitäisi löyttämän, merkitsevä, kuinka suuri kukin näistä osista on.

_Luvuksi_ laskuopissa nimitetään sitä, joka osottaa, kuinka monta jostakusta lajista löytyy, jos yksi eli usiampi.

_Laskimiksi_ eli numeroiksi nimitetään niitä erityisiä merkkejä, joilla kaikki luvut harjoitetaan. Ne ovat:

1. Yksi. 6. Kuusi. 2. Kaksi. 7. Seitsemä. 3. Kolme. 8. Kahdeksa. 4. Neljä. 9. Yhdeksä. 5. Wiisi. 0. Tyhjykkä.

_Tyhjykällä_ (0) itsestänsä ei ole mitään arvoa. Kuitenki on se tarpeellinen usiampia muita lukuja kirjoittaissa.

* * * * *

Lukujen kirjoittamisesta ja lausumisesta.

_Kymmeneen_ asti kirjoitetaan luvut jo nimitetyillä laskimillansa 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9; _kymmenestä sataan_ asti kirjoitetaan niitä kahdella laskimella, joista edellinen merkitsee, kuinka monta _kymmentä_ ja jälkimmäinen, kuinka monta _yksikkää_ semmoisessa luvussa löytyy, esimerk. 45, _sano_: 4 kymmentä ja 5 yksikkää taikka tavallisesti: _neljäkymmäntä ja viisi_.

Muistutus. Yhteisellä nimellä sanotaan kaikkia täysiä lukuja kymmeneen asti _yksiköksi_.

_Sadasta tuhanteen_ asti vaativat luvut kolme laskinta, joista ensimmäinen merkitsee _satoja_ ja niistä seuraavista edellinen _kymmeniä_, jälkimmäinen _yksiköitä_, aivan kun kaksilaskimellisissaki luvuissa, taikka toisin: kolmilaskimellisissa luvuissa merkitsee loppupäästä lukien ensimmäinen laskin _yksiköitä_, toinen _kymmeniä_, kolmas _satoja_, esimerk. 356 _sano_: 3 sataa, 5 kymmentä ja 6 yksikkää s.o. _kolmesataa viisikymmentä ja kuusi_.

_Tuhannesta kymmenen tuhanteen asti_, on kaikilla luvuilla neljä laskinta, joista niillä kolmella jälkimmäisellä on sama arvo, kun kolmilaskimellisissaki luvuissa, vaan ensimmäinen merkitsee _tuhansia_, esimerk. 9734, _sano_: 9 tuhatta, 7 sataa, 3 kymmentä ja 4 yksikkää s.o. _yhdeksäntuhatta seitsemänsataa kolmekymmentä ja neljä_. Kymmeniä tuhansia sataan tuhanteen asti kirjoitetaan viidellä, satoja tuhansia tuhanteen tuhanteen (miljuunaan) asti _kuudella_ laskimella. Neljällä jälkimmäisellä niistä on jo sanottu arvonsa, viides loppupäästä merkitsee _kymmeniä tuhansia_ ja kuudes _satoja tuhansia_, esimerk. 999999, _sano_: 9 satatuhatta, 9 kymmentätuhatta, 9 tuhatta, 9 sataa, 9 kymmentä ja 9 yksikkää s.o. _yhdeksänsataa yhdeksänkymmentä ja yhdeksän tuhatta, yhdeksänsataa yhdeksänkymmentä ja yhdeksän_. Jos tähän lukuun lisätään yksi ainua, niin tulee jo täysi miljuuna ja kirjoitetaan seitsemällä laskimella; kymmeniä miljuunia kirjoitetaan kahdeksalla, satoja miljuunia yhdeksällä, - - -satoja tuhansia miljuunia kahdellatoista laskimella. Laskinten määrä luvuissa kasvaa siis sitä myöten, kun itse luvut tulevat kymmentä kertaa suuremmaksi, sillä 1, 10, 100, 1000, 10000, 100000 s.o. yksi, kymmenen, sata (eli 10 kymmentä), tuhat (eli 10 sataa), 10 tuhatta, 100 tuhatta ovat juuri 10 kertaa toinen toisiansa suuremmat. Niinkun ensin _satatuhatta_ tarvitsi 6 laskinta, niin tarvitsee satatuhatta miljuunia toista 6 laskinta, niin tarvitsee _satatuhatta miljuunia_ toista 6 laskinta taikka yhteensä 12. Kahtatoista laskinta suuremmissa luvuissa ovat taas ne 6 edellistä _toisikoita_ (billion) ja sitäki eli kahdeksantoista laskinta suuremmissa merkitsevät ne 6 edellistä laskinta _kolmikoita_ (trillion). Niin vieläki suuremmissa luvuissa ovat aina kuusi ja kuusilaskinta erinimellä _neljiköltä_ (qvadrillion), _viisiköitä_ (qvintillion) j.n.e. Niinkuin niillä kuudella ensimmäisellä laskimella loppupäästä lukien oli itsekussaki siassa oma arvonsa, nimittäin ensimmäisellä lupustapäin _yksikön_, toisella _kymmenen_, kolmannella _sadan_, neljännellä _tuhannen_, viidennellä _kymmenen tuhannen_, kuudennella _sadan tuhannen_, niin tulee suuremmissa luvuissa seuraavillenki joka kuudelle laskimelle yhdenniminen arvo keskenänsä, kuitenki sillä erotuksella, että toisessa kuudenluokassa lopustapäin merkitsevät yksiä, kymmeniä, satoja, tuhansia, kymmeniä tuhansia, satoja tuhansia _miljuunia_, kolmannessa _toisikoita_, neljännessä _kolmikoita_ j.n.e.

Siitä että itsekullaki sialla on määrätty, jo nimitetty arvonsa, seuraa välttämättömästi, että yksiköitä merkitsevä laskin pitää pantaman _viimeiseksi_ ja että kymmeniä merkitsemän pitää olla seurattuna _yhdeltä_, satoja merkitsevän _kahdelta_, tuhansia _kolmelta_, kymmeniä tuhansia _neljältä_, satoja tuhansia _viideltä_, miljuunia _kuudelta_, muulta laskimelta. Se laskin itse, joka miljuunia merkitsee, tulee siis viimeiseksi toiseen kuudenluokkaan ja siinä luokassa pitää ensimmäisen luokan järjestystä myöten kymmeniä miljuunia merkitsevän laskimen oleman seurattu _yhdeltä_ laskimelta, satoja miljuunia _kahdelta_, tuhansia milj. _kolmelta_ jne. Aina sama järjestys on joka uudessa luokassa toisikoita, kolmikoita j.n.e. merkitsevien laskinten välillä. Jos siis pitäisi laskimilla kirjoittaa _viisikymmentä tuhatta_, niin muistettakoon kohta, että tässä on puhe _kymmenistä tuhansista_ ja että sen laskimen, joka 10:niä tuhansia merkitsee, pitää olla seurattuna _neljältä_ muulta, taikka itsensä _viidentenä_ lopustapäin, joka aina on kymmenien tuhansien sia. Sentähden kirjoitetaan 5 ja pannaan neljä tyhjykkää (0) jälkeen, jolla tavalla tämä luku tulee seuraavan muotoiseksi 50000, Jos olisi ollut 5 _kymmentä tuhatta_ ja 3 (yhtä) _tuhatta_ kirjoitettavana, niin olisi 3 pitänyt pantaman _tuhansien_ s.o. _neljänteen_ siaan lopustapäin taikka näin 53000; _5 kymmentä tuhatta ja 3 sataa_ näin 50300; _5 kymmentä tuhatta ja 3 kymmentä_ näin 50030; _5 kymmentä tuhatta ja 3_ (yksikkää) näin 50003. Tästä on nähtävä, että kun koska tahansa yksiköitä, kymmeniä, satoja j.n.e. ei löydy, merkitään niiden siat tyhjykällä. Jos lukuun 50300 (5 kymmentä tuhatta, 3 sataa) lisätään yksi tyhjykkä lopulla, niin tulee sekä 5:delle että 3:melle kymmenen kertaa suurempi arvo taikka 503000 (5 sataa tuhatta, 3 tuhatta) ja kahdesta lisätystä tyhjykästä olisi tullut 5030000 (5 miljuunaa, 3 kymmentä tuhatta), kolmesta tyhjykästä 50300000 (5 kymmentä milj., 3 sataa tuhatta). Syy semmoiseen arvokorkenemiseen jo on selvitetty.

Wielä muutamia esimerkkejä lukujen kirjoittamisesta ja lausumisesta:

1. 259. 2 sataa 5 kymmentä yhdeksän. 2. 3333. 3 tuhatta 3 sataa 3 kymmentä kolme. 3. 30574. 3 kymmentä tuhatta - 5 sataa 7 kymmentä neljä. 4. 500060000. 5 sataa miljuunaa - - - 6 kymmentä tuhatta - - - -. 5. 370406890. 3 sataa 7 kymmentä miljuunaa 4 sataa tuhatta - 6 tuhatta 8 sataa 9 kymmentä -. 6. 7304260028. 7 tuhatta ja 3 sataa miljuunaa - 4 miljuunaa 2 sataa ja 6 kymmentä tuhatta - - 2 kymmentä kahdeksan.

Pitempiä lukuja on paras leikata _kuudenluokkihin_ s.o. kuusi laskinta joka luokkaan lopusta pitäin, joista sitte se viimeinen luokka tiettävästi on _yksiköitä_, sen edellinen _miljuunia_ ja senki edelliset _toisikoita, kolmikoita, neljiköitä_ jne.

Esimerk. 7304260018905 s.o. 7 kolmikkoa 304260 miljuunaa, 18905.

31,551,372,292,708,003,000 s.o. 31 neljikköä, 551372 kolmikkoa, 292708 miljuunaa, 3000; taikka: kolmekymmentä yksi neljikköä, viisisataa viisikymmentä yksi tuhatta kolmesataa seitsemän kymmentä kaksi _toisikkoa_, kaksisataa yhdeksänkymmentä kaksi tuhatta seitsemänsataa kahdeksan _miljuunaa_ ja kolme tuhatta.

Ylimiljuunaisia lukuja harvoin tavallisissa laskuissa tarvitaan. Sillä eipä seinäkellokaan, jos löisi 60 kertaa minuutassa, olis sitte maailman luomisen s.o. 5838 vuodensisässä lyönyt kuin 184,107,168,000 sano: sata kahdeksankymmentä neljä tuhatta, sata seitsemän miljuunaa, sata kuusikymmentä ja kahdeksan tuhatta kertaa, nimittäin Krist. Syntymään asti s.o. 4000 vuoden sisässä 126,144,000,000 sano: sata kaksikymmentä kuusi tuhatta sata neljäkymmentä neljä miljuunaa kertaa ja siitä vuoden 1838 loppuun asti 57,963,168,000 _sano_: viisikymmentä seitsemän tuhatta yhdeksänsataa kuusikymmentä kolme miljuunaa sata kuusikymmentä ja kahdeksan tuhatta kertaa; joka vuonna 31,536,000 _sano_, kolmekymmentä yksi miljuunaa, viisisataa kolmekymmentä ja kuusi tuhatta kertaa; joka vuorokautena 86,400 _sano_: kahdeksankymmentä kuusi tuhatta ja neljä sataa; joka tiimassa 3600 _sano_: kolme tuhatta kuusi sataa kertaa.

* * * * *

Neljästä tavallisimmasta laskukeinosta.

Tavallisimmia, tarpeellisimmia ja sentähden ensiksi opittavia laskukeinoja ovat seuraavat neljä: _Luotto, Otto, Kerto, Jako_ (additio, subtractio, multiplicatio, divisio).

_Luotolla_ lasketaan kaksi eli usiampaa lukua yhdeksi, esimerk. mitä 364, 123 ja 12 ruplaa yhteensä tekevät. Luotolla on merkkinä pystöristi + joka siis kahden luvun välillä merkitsee, että ne pitää yhteenlaskettaman eli _luotettaman_, esimerk. 30 + 12 + 6, joka osottaa, että luvut 30, 12, 6 ovat luotettavia.

_Otolla_ poislasketaan yksi luku toisesta, esimerk. 450:sta ruplasta 320 ruplaa. Sillä on merkkinä viiva -, joka kahden luvun välillä osottaa, että jälkimmäinen tulee edellisestä pois otettavaksi, esimerk. 40 - 18 merkitsee sitä että 40:stä pitää 16 otettaman:

_Kerroksi_ nimitetään sitä laskukeinoa, millä joku luku saadaan monikertaseksi. Jos esimerk. ihminen kulkisi 12 penikuormaa joka päivä, montako penikuormaa tulisi vuodessa s.o. 365 päivän ajassa kulkemaan. Siinä pitäisi 12 saada 365 kertaiseksi joka kertolaskulla helposti saadaanki. Winoristi x on kerrolla merkkinä ja osottaa lukujen välillä löytyvä sitä, että samat luvut pitää kerrottaman esimerk. 24 x 6 s.o. 24 saataman 6 kertaseksi.

_Jako_ opettaa, kuinka joku luku saadaan usiampaan yhtäsuureen osaan jaetuksi esimerk. 300 leiviskätä tasatuksi 15 hengen välillä. Sillä on kaksospisto (:) merkkinä, joka osottaa kahden luvun välillä, että pitää edellinen jaettaman niin moneen yhtäsuureen osaan, kun koko jälkimmäinen luku on, esimerk. 125:15 s.o. 125 jaettaman 15 yhtäsuureen osaan.

Kaikki luvut ovat taikka _yksimääraisiä_, taikka _sekamääräisiä_, taikka _murtoja_. Yksimääräisiä lukuja esimerk. ovat 5 (riksiä), 12 (leiviskää), 8 (päivää); sekamääräisiä: 5 riksiä 16 killinkiä, 12 leiviskää 4 naulaa 8 luotia, 8 päivää 6 timaa 16 minuutaa; murtoja: 2/3, _sano_: kaksikolmatta osaa, 4 3/4, sano: neljä ja kolme neljättä osaa, 8 1/2, sano: kahdeksan ja puoli.

* * * * *

Luotosta yksimääräisissä.

Kun kaksi eli usiampaa lukua luotetaan (yhteenlasketaan), niin kirjoitetaan ne toinen toistensa alle, loppulaskimet loppulaskinten ja edelliset edellisten alle, sitte vedetään kaikkein alle yhteinen viiva ja sen alle kirjoitetaan summa eli se uusi luku, minkä ne yhteensä tekevät. Jos esimerk. tahdottaisi tietää, mitä 472 ja 326 ruplaa yhteensä tekevät, niin asetetaan luvut ensin seuraavalla tavalla:

472 326 Summa 798

Sitte sanotaan: 6 ja 2 on 8; 2 ja 7 on 9; 3 ja 4 on 7, jotka laskimet 8, 9, 7 sitä myöten, kun syntyvät, kirjoitetaan kohdastansa viivan alle. Niin saadaan summa 798.

1. Muistutus. Kaikki luotosluvuissa löytyvät tyhjykät mennään sivu, esimerkiksi:

250 308 Summa 558.

Sano: 8 on 8; 5 on 5; 3 ja 2 on 5, jotka 8, 5, 5 tekevät summan 558

2. Muist. Jos jonkun raidon eli pystyrivan (columna) laskimet yhteensä tekevät kahdella laskimella kirjoitettavan luvun, niin pannaan ainoastansa jälkimmäinen suorastansa viivan alle, mutta edellinen pidetään muistossa siksikun se edellisen raidon laskinten kanssa luotetaan, paitsi kaikkein perimmäisessä raidossa, jossa molemmat suorastansa viivan alle kirjoitetaan. Sama laki on, jos tulisi kolmilaskimellinen luku. Jälkimmäinen ainoastansa pistetään viivan alle summaan, edelliset luotetaan edelliseen raitoon, esimerk.

7899 976 84585 32150 Summa 125610

Sano: 5 ja 6 on 11, sihen 9 on 20; 0 alle 2 muistoon -- 5 ja 8 on 13, siihen 7 on 20, sihen 9 on 29, sihen 2 muistosta on 31; 1 alle, 3 muistoon -- 1 ja 5 on 6, sihen 9 on 15, sihen 8 on 23, sihen 3 muistosta on 26; 6 alle, 2 muistoon -- 2 ja 4 on 6, sihen 7 on 13, sihen 2 muistosta on 15; 5 alle, 1 muistoon -- 3 ja 8 on 11, sihen 1 muistosta on 12; molemmat suorastansa alle.

3. Muist. Jälkimmäisestä esimerkistä on seki nähtävä, kuinka eripituisia luotoslukuja asetetaan luotettavaksi, nimittäin viimeiset eli loppulaskimet tasan toisensa alle, samate edellisetki niin kauas, kun niitä kestää. Kun loppuraidon laskimet yhteensä tekevät tasalleen 20, niin kirjoitettaan ainoastansa 0 alle ja niin tehdään ainaki tyhjykällä päätyvissä, esimerk.

3097 5980 94870 5993 80 Summa 110020

Sano: 3 ja 7 on 10 0 alle, 1 muistoon -- 8 ja 9 on 17, sihen 7 on 24, sihen 8 on 32 sihen 9 on 41, sihen 1 muistosta on 42; 2 alle, 4 muistoon -- 9 ja 8 on 17, sihen 9 on 26, sihen 4 muistosta on 30; 0 alle, 3 muistoon -- 5 ja 4 on 9, sihen 5 on 14, sihen 3 on 17, sihen 3 muistosta on 20; 0 alle, 2 muistoon 9 ja 2 muistosta on 11, 11 alle.

4. Muist. Tarkemmaksi visseydeksi siitä, että on luotos tullut oikein lasketuksi, taitaan, sitte kun raidot esinnä ovat alapäästä ruveten luotetut ja sillä summa saatu, niitä toistamiseen, yläpäästä ruveten luottaa. Jos niinki saadaan yksi summa, niin on melkein vissi, ettei ole erehdytty, esimerk.

3097 5980 94870 5993 80 Summa 110020

Sano: 7 ja 3 on 10; 0 alle, 1 muistoon -- 9 ja 8 on 17, sihen 7 on 24, sihen 9 on 33, sihen 8 on 41, sihen 1 muistosta on 42; 2 alle, 4 muistoon -- 9 ja 8 on 17, sihen 9 on 26, sihen 4 muistosta on 30; 0 alle, 3 muistoon -- 3 ja 5 on 8, sihen 4 on 12, sihen 5 on 17, sihen 3 muistosta on 20; 0 alle, 2 muistoon 9 ja 2 muistosta on 11; 11 alle.

Wielä parempi visseys eli _todistaja_ saadaan, jos seuraavan ottolaskun avulla yksi luotosluku pois otetaan summasta. Sen, mikä jääpi, pitää sitte olla yhtäsuuren, kun se toinen luotosluku eli kaikki toiset yhtehensä, jos niitä on usiampia. Sillä 3+5=8 ja 8-5=3, 8-3=5, s.o. koska 3 ja 5 on 8, niin jääpi, jos otetaan 5 8:sasta 3 jäljelle ja jos otetaan 3 8:sasta 5 jälille. -- Kaksosviivat = ovat aina yhtäsuuruuden merkkinä.

Nyt seuraa muutamia esimerkkejä luoton tarpeellisuudesta, joista vasta-alkaja paremmaksi harjaantumiseksensa kokekoon selvän saada.

1) Antin on saamista Eskolta 175 ruplaa, Heikiltä 1550, Laurilta 84, Matilta 345, niin laskepa paljoko nämät saamiset yhtenä summana tekemät. -- Wastaus: 2154 ruplaa.

2) Wiisi osallista ovat yhteisen laivan teettäneet. Sihen menetti yksi 2405 riksiä, toinen 3050, kolmas 900, neljäs 1790, viides 775; paljoko maksaa koko laiva? -- W. 8920 riksiä.

3) Suota ojittaessa meni 75 päivätyötä, kuokkiessa 120, polttaessa 8, aidatessa 102, kyntäessä 9; montako päivätyötä kaikkinansa? -- W. 314.

4) Rikas mies testamenttasi sisarellensa 49500 ruplaa, sisarensa pojalle 12000, veljellensä 19050, kahdelle veljensä pojalle, kummallenki 5000, uudeksi koulunrakennukseksi 4500, vaivaisille 350, kolmelle trengillensä, kullenki 75, kolmelle piiallensa, kullenki 45; paljoko tekee kaikki tämä yhteensä? W. 95760.

5) Huoneen rakennuksessa makso hirret 340 ruplaa, perustus 112, salvos 106, sisällys 283, muurit 175, maalaus 89; paljoko maksaa koko semmoinen huone? W. 1105 ruplaa.

6) Kuningas luki armeiansa sodasta palaten ja sitä oli 435907 jalkamiestä, 68840 hevosniekkaa, 29088 laivamiestä ja siukkoja 750; paljoko oli vielä sotaväkeä elossa? -- W. 534585 henkeä.

* * * * *

Otosta yksimääräisissä.

Otossa on kolme lukua, _vähettävä_ (minuendus), josta jotain otetaan, _otettava_ (subtrahendus), se joka siitä otetaan, _jääpä_, (rest) se joka ylijääpi. Näistä kirjoitetaan esinnä _vähettävä_, sen alle _otettava_, niiden alle vedetään viiva ja viivan alle kirjoitetaan _jääpä_. Samate kun luotossaki asetetaan ottolaskussa vähettävän ja otettavan laskimet loppupäästä pitäen kohdalleen toinen toistensa alle niin kauas, kun niitä kestää. Jos esimerkiksi jollain olisi 648 tynnyriä eloa ja siitä pitäis pois annettaman 324 tynn., niin kysytään paljoko hänelle itselle jääpi. Tässä esimerkissä on 648 vähettävä, 324 otettava, vaan jääpä on haettava. Tämä löytään sillä tavalla, että edellä annetun neuon jälkeen vähettävä 648 ja otettava 324 kirjoitetaan alatusten, vedetään viiva ja ruvetaan jääpää hakemaan, niinkun seuraavasta esimerkistä on nähtävä.

vähettävä 648 otettava 324 jääpä 324

Sano: 4 pois 8:sasta jääpi 4; 2 pois 4:stä jääpi 2; 3 pois 6:sta jääpi 3. Nämät jääneet 4, 2, 3 kirjoitetaan suorastaan viivan alle niiden laskinten kohdalle, joista saatiin. Sillä tavalla saadaan jääpä 324.

1. Muistutus. Syy sihen, että loppulaskimet ja sen edelliset niin kauas, kun niitä kestää, sekä luotossa että otossa, asetetaan kohdalleen toinen toistensa alle, on se, että ainoastaan sillä tavalla yksikät tulevat yksikkäin, kymmenet kymmenien, sadat satojen, tuhannet tuhanten jne alle. Sillä, niinkun siitä jo ennen on mainittu, merkitsee itsekunki luvun loppulaskin yksiköitä, sen edellinen kymmeniä, kolmas lopusta pitäen satoja, neljäs tuhansia, viides kymmeniä tuhansia jne.

2. Muist. Jos otettavassa luvussa joku laskin on suurempi, kun sen kohdallinen laskin vähettävässä, niin on mahdoton asia sitä siitä ottaa, koska ei mistään taita enempätä ottaa, kun siinä itsessä löytyy. Sentähden täytyy sihen lainata 1 edellisestä laskimesta, joka 1 tähän siaan muutettuna tekee 10, koska itsekunki edellisen sian laskimilla on kymmenen kertaa suurempi arvo, kun laskimilla kohta jälkeen seuraamassa siassa. Jos esimerk. 4236:sta riksistä otetaan 467 riksiä, niin toimitetaan lasku tällä tavalla:

vähettävä 4236 otettava 467 jääpä 3769

Sano: 7 pois 6:sta on mahdoton. Sentähden lainaa edellisestä laskimesta 1 ja merkitse samassa, että se nyt on yhtä pienempi. Tämä 1 tekee jälkeisessä siassa 10 ja kun siinä ennestään oli 6, niin on siinä nyt lainan kanssa yhteensä 16, josta kun otat 7, jääpi 9 viivan alle pantavaksi. Sano sitte 6 pois 2:sta (ei 3:sta, koska siitä on 1 lainattu), on mahdoton, sentähden lainaa edellisestä laskimesta 1 s.o. 10 ja sano 6 pois 12:sta jääpi 6; pane 6 viivan alle. Sitte: 4 pois 1:stä (ei 2:sta) on mahdoton. Sentähden lainaa sihenki 1 s.o. 10 edellisestä ja sano 4 pois 11:sta jääpi 7, joka 7 taas pannaan viivan alle. Ensimmäinen laskin vähettävässä tulisi nyt sillänsä viivan alle muutettavaksi, koska otettavassa ei ole yhtään laskinta sen alla, vaan kun samasta laskimesta 4 oli 1 pois lainattu, niin käypi se nyt 3:na ja muutetaan niin viivan alle. Jos olisi vielä usiampataki laskinta vähettävässä, niin muutettaisi neki viivan alle.

3. Muist. Kullaki kerralla, kun jostaan edellisestä laskimesta 1 lainataan jälkeiseen, pitää laina merkittämän muistoksi, että sama edellinen laskin, kun sihen tullaan, on yhtä pienempi. Merkitseminen tehdään näin:

vähetää 3245 otettava 1338 jääpä 1907

Sano: 8 pois 15:sta jääpi 7 viivan alle; 3 pois 3:sta jääpi 0; 3 pois 12 jääpi 9; 1 pois 2:sta jääpi 1. Syy sihen, minkätähden sanottin 15:sta 3:sta, 12:sta, 2:sta, eikä 5:sta 4:stä, 2:sta, 3:sta, kun laskimet muuten ovat vähettävässä luvussa, on nähtävä 2:sta muistutuksesta.

4. Muist. Jos vähettävässä löytyy joku tyhjykkä (0) ja siitä tulisi joku muu laskin otettavaksi, niin arvattavasti pitää sihenki 1 edellisestä laskimesta lainattaman, jonka kautta se tulee 10:ksi, esimerk.

vähettävä 306 otettava 234 jääpä 72.

Sano: 4 pois 6:sta jääpi 2; 3 pois 10:stä jääpi 7.

5. Muist. Koska jostain tyhjäykästä tulisi jälkeiseen laskimeen 1 lainattavaksi, niin pitää esinnä sihen itseen 1 sen edellisestä laskimesta lainattaman, niin että tulee 10:ksi, josta sitte taitaan laina antaa. Jos tyhjyköitä taas on usiampia perätysten, niin lainataan sihen ensimmäiseen niistä vieressä olevasta arvollisesta laskimesta, siitä sitte toiseen, siitä kolmanteen jne viimeiseen asti. Niin tulevat tyhjykät merkityksi ja semmoisina tekevät ne 10-1 s.o. 9. Se on siitäki nähtävä, että niin tapahtuu, jos esimerk. otat 1:den pois 1000:sta ja sanot 1 pois O:stä on mahdoton, jonkatähden lainaat sihen edellisestä laskimesta. Waan kun seki ja vielä senki edellinen on 0, niin lainaat sihen ensimmäiseen 1:den ja merkitset 1'000, siitä sitte toiseen 0:kään 1'0'00, siitä kolmanteen ja merkitset 10'0'0, taikka

vähettävä 1000 otettava 1 jääpä 999