Part 15

[271.] Lo que acabo de explicar no puede comprenderse bien si no se recuerdan algunos caractéres de nuestra inteligencia, en los cuales se encuentra la razon de tamañas anomalías. Nuestro entendimiento tiene la debilidad de no poder percibir muchas cosas sino sucesivamente, y de que aun en las ideas mas claras, no ve lo que en ellas se contiene, sino con mucho trabajo. De esto resulta una necesidad á la cual corresponde con admirable armonía una facultad que la satisface: una necesidad de concebir bajo varias formas no solo distintas sino diferentes, aun las cosas mas simples; una facultad de descomponer un concepto en muchas partes, multiplicando en el órden de las ideas lo que en realidad es uno. Esta facultad de descomposicion seria inútil si al pasar el entendimiento por la sucesion de conceptos, no tuviese medio de enlazarlos y retenerlos, en cuyo caso iría perdiendo el fruto de sus tareas escapándosele de la mano tan pronto como lo acababa de coger. Afortunadamente, este medio le tiene en los signos escritos, hablados ó pensados; expresiones misteriosas que á veces designan no solo una idea, sino que son como el compendio de los trabajos de una larga vida y quizás de una dilatada serie de siglos. Al presentársenos el signo, no vemos ciertamente con entera claridad todo lo que por él se expresa, ni las razones de la legitimidad de la expresion; pero sabemos en confuso el significado que allí se encierra, sabemos que en caso necesario nos basta tomar el hilo de las percepciones por las cuales hemos pasado, volviendo así con paso retrógrado hasta los elementos mas simples de la ciencia. Al hacer los cálculos, el matemático mas eminente no ve con toda claridad lo que significan las expresiones que va empleando, sino en cuanto se refieren al objeto que le ocupa; pero está cierto que aquellas expresiones no le engañan, que las reglas por las cuales se guia son enteramente seguras; porque sabe que en otro tiempo las afianzó en inconcusas demostraciones. El desarrollo de una ciencia puede compararse á una serie de colunas en las cuales se han marcado las distancias de un camino; el ingeniero que ha hecho las operaciones se sirve de los guarismos de las colunas, sin necesidad de recordar las operaciones que le condujeron á marcar la cantidad que tiene á la vista; bástale saber que las operaciones fueron bien hechas y que el resultado de ellas se escribió bien.

[272.] La prueba de esta necesidad de descomposicion, á mas de tenerla ampliamente consignada en los ejemplos anteriores, se la encuentra en los elementos de toda enseñanza, donde se hace preciso explicar bajo una forma de demostracion proposiciones que nada mas dicen que las definiciones ó axiomas que se han asentado. Por ejemplo, en las obras elementales de geometría se encuentra este teorema: todos los diámetros de un círculo son iguales; y si se quiere que los principiantes le comprendan, es necesario dar la forma de demostracion á lo que no es ni puede ser mas que una explicacion, y casi un recuerdo de la idea del círculo. Cuando se traza la circunferencia se fija un punto en torno del cual se hace girar una línea que se llama radio; pues bien, no siendo el diámetro otra cosa que el conjunto de los dos radios continuados en una misma línea, parece que debiera bastar la enunciacion del teorema para que se le viese evidentemente contenido en la idea del círculo y como una especie de repeticion del postulado en que se funda la construccion de la curva; sin embargo no sucede así, y es necesario explicar, haciendo como que se prueba, y mostrar el diámetro igual á dos radios, y recordar que estos son iguales, y á veces repetir que así se supone en la misma construccion; en una palabra, emplear una porcion de conceptos para convencer de una verdad que debiera ser conocida con la simple intuicion de uno solo, como sucede cuando las fuerzas geométricas del entendimiento han adquirido cierta robustez.

[273.] Ahora podrémos apreciar en su justo valor la opinion de Dugald-Steward en sus _Elementos de la filosofía del espíritu humano_, cuando dice: «es lícito dudar que aun esta ecuacion aritmética 2 x 2 = 4 pueda ser representada con exactitud por la fórmula A = A. Esta ecuacion es una proposicion que enuncia _la equivalencia de dos expresiones diferentes_, equivalencia cuyo descubrimiento puede ser de la mayor importancia en una infinidad de casos. La fórmula es una proposicion del todo insignificante y frivola que no puede en ningun caso recibir la menor aplicacion práctica; ¿qué pensaremos pues de esta proposicion A = A, si se la compara con la fórmula del binomio de Newton á la cual en tal caso representaria? sin duda cuando se la aplica á la ecuacion 2 x 2 = 4 (que por su extrema simplicidad y vulgaridad puede pasar por un axioma) la paradoja no presenta tan de bulto su monstruosidad; pero en este segundo caso parece del todo imposible que tenga ni aun significacion» (2. p. cap. 2. seccion 3. § 2.). Este filósofo no advierte que la pretendida monstruosidad nace de la errada interpretacion que él mismo da á la opinion de sus adversarios. Nadie ha pensado en negar la importancia de los descubrimientos en que se prueba la equivalencia de expresiones diferentes; nadie dudará de que la fórmula del binomio de Newton sea un gran progreso sobre la fórmula A = A; pero la cuestion no está aquí, está en ver si la fórmula del binomio de Newton es mas que la expresion de cosas idénticas, y si aun el mérito mismo de la expresion, es ó no el fruto de una serie de percepciones de identidad. Si la cuestion se presentase bajo el punto de vista de Dugald-Steward, seria hasta indigna de ser ventilada: en buena filosofía no puede disputarse sobre cosas no solo absurdas sino ridiculas.

CAPÍTULO XXVIII.

CONTINUACION.

[274.] Expliquemos ahora cómo la doctrina de la identidad se aplica en general á todos los raciocinios, versen ó no sobre objetos matemáticos; para esto examinaremos algunas de las formas dialécticas en las cuales está consignado el arte de raciocinar.

Todo A es B; M es A, luego M es B. En este silogismo encontramos en la mayor, la identidad de todo A con B, y en la menor la de M con A, de lo cual sacamos la de M con B. En las tres proposiciones hay afirmacion de identidad, y por consiguiente percepcion de ella: veamos lo que sucede en el enlace que constituye la fuerza del raciocinio.

¿Por qué digo que M es B? porque M es A, y todo A es B. M es uno de los A, que estaba expresado ya en las palabras: todo A; luego cuando digo M es A, no digo nada nuevo sobre lo que habia dicho por todo A; ¿qué diferencia hay pues? hay la diferencia de que en la expresion todo A, no hacia atencion á uno de sus contenidos M, del cual sin embargo afirmaba que era B, por lo mismo que decia todo A es B. Si en la expresion todo A hubiese visto distintamente á M, no hubiera sido necesario el silogismo, pues por lo mismo que decia todo A es B, hubiera entendido M es B.

Esta observacion es tan verdadera y exacta, que en tratándose de relaciones demasiado claras se suprime el silogismo y se le reemplaza por el entimema. El entimema es ciertamente la abreviacion del silogismo; pero en esta abreviacion debemos ver algo mas que un ahorro de palabras; hay un _ahorro de conceptos_, porque el entendimiento ve intuitivamente lo uno en lo otro sin necesidad de descomposicion. Es hombre, luego es racional; callamos la mayor y ni aun la pensamos, porque en la idea de hombre y en su aplicacion á un individuo, vemos intuitivamente la de racional, sin gradacion de ideas ni sucesion de conceptos.

Supongamos que se trata de demostrar que el perímetro de un polígono inscrito en un círculo es menor que la circunferencia, y que se hace el siguiente silogismo: todo conjunto de rectas inscritas en sus respectivas curvas es menor que el conjunto de las mismas curvas; es así que el perímetro del polígono es un conjunto de rectas, y la circunferencia un conjunto de arcos ó curvas; luego el perímetro inscrito os menor que la circunferencia. Pregunto ahora, si quien sepa que el conjunto de rectas es menor que el conjunto de curvas no verá con igual facilidad que el perímetro es menor que la circunferencia circunscrita, con tal que entienda perfectamente el significado de las palabras; es evidente que sí. ¿Para qué pues se necesita el recuerdo del principio general? ¿es para añadir nada al concepto particular? nó por cierto; porque nada puede haber mas claro que las siguientes proposiciones: el perímetro del polígono es un conjunto de rectas; la circunferencia es un conjunto de arcos ó curvas; lo que se hace pues con el principio general es llamar la atencion sobre una fase del concepto particular, para que con la reflexion se vea en este lo que sin la reflexion no se veia. La certeza de la conclusion no depende del principio general; pues que si se hubiese pensado en las relaciones de mayoría y minoría, solo con respecto á las rectas del perímetro y á los arcos cuyo conjunto forma la circunferencia, se hubiera inferido lo mismo.

Con este ejemplo se confirma que el entimema no es una simple abreviacion de palabras, y se explica por qué le empleamos en los raciocinios que versan sobre materias familiares al entendimiento. Entonces, en uno cualquiera de los conceptos vemos lo que necesitamos para la consecuencia, y por esto tenemos bastante con una premisa, en la cual incluimos la otra, mas bien que no la sobreentendemos. El principiante dirá: el arco es mayor que la cuerda, porque la curva es mayor que la recta; pero cuando se haya familiarizado con las ideas geométricas dirá simplemente, el arco es mayor que la cuerda, viendo en la misma idea del arco la idea de curva, en la de cuerda la de recta, sin ninguna descomposicion. ¿Por ventura es verdad que el arco sea mayor que la cuerda porque toda curva es mayor que su recta? nó, de ninguna manera; si no existiese la idea abstracta de curva y la única curva pensada fuese la particular arco de círculo; si no existiese tampoco la idea abstracta de recta y la única recta pensada fuese la cuerda, seria verdad como ahora que el arco es mayor que la cuerda.

[275.] En tratándose de las relaciones _necesarias_ de los objetos, los principios generales, los términos medios, y cuantos recursos nos ofrece la dialéctica para auxiliar el raciocinio, no son mas en el fondo que invenciones del arte para inducirnos á reflexionar sobre el concepto de la cosa, haciéndonos ver en él lo que antes no veíamos. De esto se sigue que todos los juicios sobre los objetos necesarios, son en cierto modo analíticos; equivocándose Kant cuando afirma que los hay sintéticos prescindiendo de la experiencia. Si esta no existe, no tenemos ningun dato de la cosa, solo poseemos su concepto; de lo extraño á este nada podemos saber. No quiero decir que todas las proposiciones expresen tal relacion del predicado al sujeto, que el concepto de este sea suficiente para que descubramos aquel; pero sí que la razon de la insuficiencia está en que el concepto es incompleto ó en sí ó con respecto á nuestra comprension; y que suponiéndole completo en sí mismo y la debida capacidad en nuestro entendimiento para comprender todo lo que él nos dice, encontraríamos en el mismo todo lo que puede formar materia científica.

[276.] Un ejemplo geométrico aclarará mis ideas. El triángulo tiene muchas propiedades cuya explicacion, demostracion y aplicaciones ocupan largas páginas en los libros de geometría. En el concepto del triángulo entran el de rectas y el de los ángulos que estas forman: pregunto ahora ¿en todas las explicaciones y demostraciones de las propiedades de los triángulos en general, ¿se sale jamás de las ideas de ángulo y de recta? nó, jamás, ni se sale, ni se puede salir; de lo contrario flaquearia cuanto se dijese fundado en nuevos elementos que se hubiesen introducido en el concepto. Estos elementos serian ajenos al triángulo, y por consiguiente le quitarían su naturaleza. En las relaciones necesarias no cabe mas ni menos, ni añadiduras, ni sustracciones de ninguna clase: lo que es es, y nada mas. Cuando se pasa del triángulo en general á sus varias especies, como equilátero, isósceles, rectángulo, oblicuángulo etc. etc., es de notar que la demostracion se atiene rigurosamente á lo contenido en el concepto general modificado con la propiedad determinante de la especie, es decir, á la igualdad de los tres lados, ó de dos, ó á la desigualdad de todos, ó á la suposicion de un ángulo recto etc. etc.

[277.] En la aplicacion del álgebra á la geometría, se ve con mas claridad lo que estoy explicando. Una curva se expresa por una fórmula que contiene el concepto de la misma curva; es decir, su esencia. Para demostrar todas las propiedades de la curva, el geómetra no necesita salir de la fórmula; en todas las cuestiones que se suscitan lleva la fórmula en la mano como la piedra de toque, y en la misma encuentra todo cuanto ha menester. Es verdad que traza triángulos ú otras figuras dentro de la misma curva, que de la misma tira rectas á puntos fuera de ella, pero jamás sale del concepto expresado en la fórmula; lo que hace es descomponerle y descubrir en él cosas que antes no habia descubierto.

En esta ecuacion z² = e²/E² (2 Ex - x³) se encuentra la expresion de las relaciones constitutivas de la elipse, expresando E el semieje mayor, e el semieje menor, z las ordenadas, y x las abscisas. Con esta ecuacion desenvuelta y transformada de varias maneras, se determinan las propiedades de la curva; ¿y cómo? haciendo ver con la ayuda de las construcciones, que la nueva propiedad está contenida en el concepto mismo, y que basta analizarle para encontrarla en él.

Si suponemos un entendimiento que concibe la esencia de la curva, con inmediata intuicion de la ley que preside á la inflexion de los puntos, sin necesidad de referirla á ninguna línea, ó bien bastándole un eje en vez de necesitar dos, ó de algun otro modo que nosotros no podemos ni siquiera imaginar, resultará que no habrá menester dar los rodeos que nosotros para demostrar las propiedades de la curva, pues las verá claramente pensadas en el mismo concepto de ella. Esta suposicion no es arbitraria: hasta cierto punto la vemos realizada todos los dias, aunque en escala menor; un geómetra vulgar tiene el concepto de una curva como lo tenia Pascal: en este mismo concepto el geómetra vulgar ve las propiedades de la misma con largo trabajo, y limitándose á las comunes; Pascal veia las mas recónditas poco menos que de una ojeada. Kant, por no haberse hecho cargo de esta doctrina, no puede dar solucion al problema filosófico de los juicios sintéticos puros: profundizando mas la materia hubiera visto que hablando en rigor, no hay tales juicios, y en vez de cansarse por resolver el problema se hubiera abstenido de suscitarle (XXVI).

CAPÍTULO XXIX.

SI HAY VERDADEROS JUICIOS SINTÉTICOS _à priori_, EN EL SENTIDO DE KANT.

[278.] La mucha importancia que da el filósofo aleman á su imaginado descubrimiento exige que le examinemos con detencion. Júzguese de esta importancia por lo que él mismo dice: «si algun antiguo hubiese tenido la idea de solo proponer la presente cuestion, ella hubiera sido una barrera poderosa contra todos los sistemas de la razon pura hasta nuestros dias, y habria ahorrado muchas tentativas infructuosas que se han emprendido _ciegamente sin saber de qué se trataba._» (Crítica de la razon pura. Introduccion). El pasaje no es nada modesto, y excita naturalmente la curiosidad de saber en qué consiste un problema cuyo solo planteo habria sido bastante á evitar los extravíos de la razon pura.

Hé aquí sus palabras: «en los juicios sintéticos á mas del concepto del sujeto debo tener alguna otra cosa (x) sobre la cual el entendimiento se apoye para reconocer que un predicado no contenido en este concepto, no obstante le pertenece.

»Tocante á los juicios empíricos ó de experiencia, no hay ninguna dificultad; porque esta x es la experiencia completa del objeto que conozco por un concepto _a_, el cual no forma mas que una parte de esta experiencia. En efecto: aunque yo no comprenda en el concepto de cuerpo en general el predicado pesadez, este concepto indica no obstante una parte total de la experiencia; puedo por consiguiente añadirle otra parte de la misma experiencia como perteneciente al primer concepto. De antemano puedo reconocer analíticamente el concepto de cuerpo por los caractéres de extension, impenetrabilidad, figura etc., caractéres concebidos todos en este concepto. Pero si extiendo mi conocimiento volviendo la atencion del lado de la experiencia de donde he sacado este concepto; entonces hallo siempre la pesadez unida á los caractéres precedentes. Esta x que está fuera del concepto _a_ y que es el fundamento de la posibilidad de la síntesis del predicado pesadez, con el concepto _a_, pertenece pues á la experiencia.

»Pero en los juicios sintéticos _à priori_, este medio falla absolutamente. Si debo salir del concepto _a_ para conocer otro concepto _b_ como unido con aquel, ¿dónde me apoyaré y cómo será posible la síntesis, cuando no me es dable volverme hácia el campo de la experiencia?

»Hay pues aquí un cierto misterio, cuya explicacion puede solo asegurar el progreso en el campo ilimitado del conocimiento intelectual puro» (ibid.).

[279.] La razon de esta síntesis, la encontramos en la facultad de nuestro entendimiento para formar conceptos totales, en los que descubra la _relacion_ de los parciales que los componen; y la legitimidad de la misma síntesis, se funda en los principios en que estriba el criterio de la evidencia.

La síntesis de que se habla en las escuelas, consiste en la reunion de conceptos, y no se opone á que se tengan por analíticos los conceptos totales, de cuya descomposicion resulta el conocimiento de las relaciones de los parciales.

Si Kant se hubiese ceñido á los juicios de experiencia, no habria inconveniente en su doctrina; pero extendiéndola al órden intelectual puro, ó es inadmisible, o cuando menos está expresada con poca exactitud.

[280.] Afirma Kant que los juicios matemáticos son todos sintéticos, y que esta verdad que en su juicio es «ciertamente incontestable y muy importante por sus consecuencias, parece haber escapado hasta aquí á la sagacidad de los analistas de la razon humana, haciendo muy contrarias sus conjeturas;» yo creo que lo que falta aquí no es la sagacidad de los analistas, sino la de su Aristarco. Lo demostraré.

«Tal vez se podria creer á primera vista que la proposicion 7 + 5 = 12, es una proposicion puramente analítica que resulta de la idea de siete mas cinco, segun el principio de contradiccion; pero bien mirado se encuentra que el concepto de la suma de siete y de cinco, no contiene otra cosa que la reunion de dos números en uno solo, lo que de ningun modo trae consigo el pensamiento de lo que es este número único compuesto de los otros dos.»

Si se dijese que quien oye siete mas cinco, no siempre piensa doce, porque no ve bastante bien que un concepto es el otro, aunque bajo diferente forma, se diria verdad; pero no lo es que por esta razon el concepto no sea puramente analítico. La simple explicacion de ambos es bastante á manifestar su identidad.

Para que se comprenda mejor, tomemos la inversa 12 = 7 + 5. Es evidente que quien no sepa que 7 + 5 = 12, tampoco sabrá que 12 = 7 + 5; y pregunto ahora, examinando el concepto 12, ¿no veo contenido en él el 7 + 5? es cierto: luego el concepto de 12 se identifica con el de 7 + 5; luego asi como de que oyendo 12 no siempre se piensa 7 + 5 no se puede inferir que el concepto de 12 no contenga el 7 + 5, tampoco de que quien oiga el 7 + 5 no siempre comprenda 12, no se puede deducir que el primer concepto no incluya el segundo.

La causa de la equivocacion está en que dos conceptos idénticos están presentados al entendimiento bajo diferente forma; y hasta que quitándoles la forma se ve el fondo, no se descubre la identidad. No hay propiamente _raciocinio_ sino _explicacion._

Lo que añade Kant sobre la necesidad de apelar en este caso á una intuicion, con respecto á uno de los dos números, añadiendo al siete el cinco expresado sucesivamente por los dedos de la mano, es sobre manera fútil. 1.º Añádase como se quiera el cinco, nunca será mas que el cinco añadido, y por tanto nada dará ni quitará á 7 + 5. 2.º La sucesiva adicion por _los dedos_ equivale á decir 1 + 1 + 1 + 1 + 1 = 5. Lo que trasforma la espresion 7 + 5 = 12, en esta otra 7 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 = 12; es asi que la misma relacion tiene el concepto 1 + 1 + 1 + 1 + 1 con 5, que 7 + 5 con 12; luego si de estos el uno no está contenido en el otro, tampoco lo estarán los de Kant. Se replicará que Kant no habla de identidad sino de intuicion; pero esta intuicion no es la sensacion, sino la idea; si es la idea, es el concepto explicado, nada mas. 3.º Este método de intuicion vemos que no es necesario ni aun para los niños. 4.º Dicho método es imposible en los números grandes.

[281.] Añade Kant que esta proposicion: «entre dos puntos, la línea recta es la mas corta» no es puramente analítica, porque en la idea de _recta_ no entra la de _mas corta_. Prescindiré de que hay autores que demuestran ó pretenden demostrar esta proposicion; y me ceñiré únicamente á la razon de Kant. Este autor olvida que no se trata de la recta sola, sino de la recta _comparada_. En la recta sola, no entra ni puede entrar lo de _mas_, ni de _menos_, pues esto supone comparacion; pero desde el momento en que se comparan la recta y la curva, con respecto á la _longitud_, en el concepto de la curva, se ve el exceso sobre la recta. La proposicion pues resulta de la simple comparacion de dos conceptos puramente analíticos, con un tercero que es _longitud_.

[282.] Sí la razon de Kant fuese de algun valor, se inferiria que ni aun el juicio «el todo es mayor que su parte» es analítico; porque en la idea de _todo_, no entra la de _mayor_, hasta que se la compara con la de _parte_. Tampoco seria juicio analítico este: 4 es mayor que 3; porque en el concepto de 4, no entra la idea de mayor, hasta que se le compara con el de 3.

El axioma: cosas iguales á una tercera son iguales entre si, tampoco seria juicio analítico: porque en el concepto de _cosas iguales á una tercera_, tampoco entra la igualdad entre sí, hasta que se reflexiona que la igualdad del medio implica la de los extremos.

Esa _x_ de que nos habla Kant, se encontraría en casi todos los juicios, si no pudiésemos formar conceptos totales en que se envolviese la comparacion de los parciales: en cuyo caso no tendríamos mas juicios analíticos que los puramente idénticos, ó los comprendidos directamente en esta fórmula A es A.

[283.] La comparacion de dos conceptos con un tercero no quita al resultado el carácter de juicio analítico, así como el que un predicado no pueda verse desde luego en la idea del sujeto sin el auxilio de dicha comparacion. Esta la necesitamos muchas veces, porque pensamos solo muy confusamente lo que se halla en el concepto que ya tenemos, y hasta sucede que no lo pensemos de ningun modo. A cada paso estamos viendo que una persona dice una cosa y sin notarlo se contradice luego, por no advertir que lo que añade se opone á lo mismo que habia dicho. Son comunes en la conversacion las siguientes réplicas: ¿no ve V. que supone lo contrario de lo que ahora dice? ¿no ve V. que en las mismas condiciones antes asentadas, se implica lo contrario de lo que ahora establece?