Chapter 2

el ^ BAL = 94ºº donde 2 ángulos rectos = 360ºº el ^ BAL = 47º donde 4 ángulos rectos = 360º. Similarmente, donde la línea AL = 38;12p, LΘ [= BK] = 1;33p, y AL² + LΘ² = AΘ², entonces AΘ = 38;14p. Por lo tanto, donde la hipotenusa AΘ = 120p, LΘ = 4;52p, y el ángulo de la desviación en latitud, el ^ ΘAL = 4;40ºº donde 2 ángulos rectos = 360ºº el ^ ΘAL = 2;20º donde 2 ángulos rectos = 360º.

Estos [2;20º] es lo que entraremos en la cuarta columna de la tabla opuestos al mismo '135º'.

Nuevamente, si, con el fin de comparar las ecuaciones en longitud, establecemos el diagrama [Fig. 13.11] sin las inclinaciones, en la mínima distancia (donde la diferencia necesariamente debe ser mas notable),

AG / GK (= KΘ) = 54 / 27;56. Por consiguiente, por sustracción, AK = 26;4p, y la hipotenusa AΘ [= (AK² + KΘ²) ^ 0,5] = 38;12p en las mismas unidades.

Por consiguiente, donde la hipotenusa AΘ = 120p,

ΘK = 87;45p nuevamente [como BL en los cálculos previos], y el ángulo de la ecuación en longitud, el ^ ΘAK = 94ºº donde 2 ángulos rectos = 360ºº el ^ ΘAK = 47º donde 4 ángulos rectos = 360º.

center|379px|Fig. 13.11

Pero este [ángulo] es del mismo tamaño como fue demostrado por medio de los cálculos incluyendo las inclinaciones. Por lo tanto la ecuación en longitud para Marte calculada de acuerdo a las inclinaciones de los círculos [del epiciclo y de la excéntrica] no difiere del todo.

Lo que se ha requerido para examinar.

Demostración de la máxima desviación en Latitud para las Máximas y Mínimas distancias de Mercurio y Venus

La cuarta columna en las dos tablas para Venus y Mercurio contendrá las posiciones en latitud producidas por las máximas oblicuidades de sus epiciclos, que ocurren en el apogeo y en el perigeo de la excéntrica. No obstante, las hemos calculado separadamente, sin el efecto debido a la inclinación de la excéntrica, dado que esta podría haber requerido un mayor número de tablas y un método más complicado de cálculo [desde las tablas]: para las posiciones [latitudinales correspondientes] como estrella de la mañana y de la tarde que no van a ser iguales una con la otra, e incluso no siempre sobre el mismo lado [por ej. al Norte o al Sur] de la eclíptica; y en cualquier caso, dado que la inclinación de la excéntrica no es constante, las diferencias en la cantidad a ser disminuidas con respecto a la máxima inclinación [del epiciclo] podrían no corresponder a las diferencias en la cantidad a ser disminuidas con respecto a la máxima oblicuidad . Sin embargo, si separamos los efectos, podemos determinar cada elemento por un camino más conveniente, como llegará [a ser] claro desde los presentes procedimientos que vamos a brindar.

Sea AB [ver la Fig. 13.12] la intersección de los planos de la eclíptica y del epiciclo. Sea A el punto tomado como el centro de la eclíptica, y B como centro del epiciclo, y sea GDEZH el epiciclo descrito alrededor de su oblicuidad al plano de la eclíptica , por ej. de modo que las líneas rectas dibujadas en los [dos planos] perpendiculares a la sección común GH todos forman ángulos iguales en los puntos sobre GH. Dibujar AE tangente al epiciclo, y AZD intersecando el epiciclo en un punto arbitrario, y eliminar desde los puntos D, E y Z las perpendiculares DΘ, EK y ZL hasta GH, y las perpendiculares DM, EN y ZX hasta el plano de la eclíptica. Unir ΘM, KN, LX, y también AN y AXM (dado que AXM estará en una línea recta, dado que los tres puntos [A, X y M todos] se ubican en dos planos, el plano de la eclíptica y el plano a través de AZD perpendicular a la eclíptica.

center|379px|Fig. 13.12

Es obvio que, con la oblicuidad descrita, las ecuaciones en longitud del planeta [en los puntos D y E respectivamente] estarán representadas por los ángulos ΘAM y KAN, y las [posiciones] en latitud por los ángulos DAM y EAN. Primero, debemos demostrar que la posición en latitud en el punto tangente, el ^ EAN, es el máximo, justamente como la ecuación en longitud [es la máxima en este punto].

center|558px|Fig. U

[Demostrar:] Dado que el ^ EAK es el máximo,

KE / EA > ΘD / DA = LZ / ZA. Pero EK / EN = ΘD / DM = LZ / ZX,

ya que, como dijimos, los triángulos formados por ellos [EKN, DΘM y ZLX] tienen ángulos iguales [en GH] y ángulos rectos en M, N y X.

En consecuencia NE / EA > MD / DA = XZ / ZA.

Y, nuevamente, los ángulos DMA, ENA y ZXA son rectos.

Inmediatamente es obvio que, cuando uno considera el efecto sobre las ecuaciones en longitud causado por la oblicuidad, la máxima diferencia es producida en las máximas desviaciones en latitud en E. Porque las diferencias [en la ecuación causadas por la oblicuidad] están representadas por los ángulos subtendidos por (ΘD - ΘM), (KE - KN) y (LZ - LX) [cuando el planeta esta en D, E y Z respectivamente], y dado que las proporciones de esas líneas [ΘD / ΘM, etc.] entre sí con la diferencia entre ellos [(ΘD - ΘM), etc.] se mantienen iguales, sigue que

(EK - KN) / EA > (ΘD - ΘM) / AD, etc. .

Y también es inmediatamente claro que, mientras la proporción entre la máxima ecuación en longitud con la máxima desviación en latitud [debido a la oblicuidad], esta proporción mantiene la ecuación en longitud para cualquier posición [del planeta] sobre el epiciclo y la posición [correspondiente] en latitud.

Dado que KE / EN = LZ / ZX = ΘD / DM,

Y así sucesivamente para los otros puntos [sobre el epiciclo] .

Lo que se ha requerido para examinar.

Habiendo establecido estos puntos preliminares, examinemos primero el tamaño del ángulo que esta contenido por la oblicuidad de los planos para cada uno de los dos planetas. Damos por garantizado que esto fue señalado al comienzo (de la discusión al principio del Libro XIII Capítulo 3), de que ambos planetas, cuando [están] a medio camino entre las máximas y mínimas distancias, visualizan una máxima diferencia [en latitud] entre las posiciones opuestas sobre el epiciclo por 5º hacia el Norte o hacia el Sur: por lo que para Venus parece variar levemente por más de 5º en el perigeo y [variar] levemente por menos que 5º en el apogeo, mientras que para Mercurio varía alrededor de ½º [más o menos respecto de los 5º en los 180º desde el apogeo [(¿apogeo? = perigeo)] y del apogeo respectivamente].

Sea nuevamente ABG la intersección de la eclíptica con el epiciclo [Fig. 13.13]. Describir el epiciclo GDE alrededor del centro B, oblicuo al plano de la eclíptica por el camino [ya] descrito. Desde A, el centro de la eclíptica, dibujar AD tangente al epiciclo, y desde D eliminar la perpendicular DZ encima de GBE, y la perpendicular DH al plano de la eclíptica. Unir BD, ZH y AH, y sea el ^ DAH tomado como comprendiendo la mitad de la desviación en latitud anterior (de arriba) para cada uno de los dos planetas (en consecuencia este [^ DAH] es de 2 ½º).

center|395px|Fig. 13.13

Sea nuestro problema, encontrar para cada uno la cantidad de la oblicuidad entre los planetas, a saber el tamaño del ^ DZH.

Para Venus, ya que, donde el radio del epiciclo es de 43;10p, la máxima distancia es de 61;15p, la mínima 58;45p, y la media entre ellas de 60p,

AB / BD = 60 / 43;10. Y desde que AB² - BD² = AD², AD = 41;40p en la mismas unidades. Similarmente, dado que BA / AD = BD / DZ, DZ = 29;58p en las mismas unidades.

Además, dado que, por hipótesis,

el ^ DAH = 2;30º donde 4 ángulos rectos = 360º el ^ DAH = 5ºº donde 2 ángulos rectos = 360ºº, en el círculo alrededor del triángulo rectángulo ADH, arco DH = 5º y la correspondiente cuerda DH = 5;14p donde la hipotenusa AD = 120p. Por lo tanto, donde la línea AD = 41;40p, DH = 1;50p. Y DZ fue demostrado ser de 29;58p en las mismas unidades. Por lo tanto, donde la hipotenusa DZ = 120p, DH = 7;20p, y el ángulo de la oblicuidad, el ^ DZH = 7ºº donde 2 ángulos rectos = 360ºº el ^ DZH = 3;30º donde 4 ángulos rectos = 360º .

Pero dado que la cantidad por la que el ^ DAZ excede al ^ HAZ representa la diferencia resultante en la ecuación en longitud, debemos inmediatamente calcular esto también, encontrando las cantidades de esos ángulos. Ya que demostramos que, donde la línea DH = 1;50p, la hipotenusa AD = 41;40p y DZ = 29;58p;

y AD² - DH² = AH² mientras ZD² - DH² = HZ²; entonces AH = 41;37p y HZ = 29;55p en las mismas unidades. Por lo tanto, donde la hipotenusa AH = 120p, ZH = 86;16p, y el ^ ZAH = 91;56ºº donde 2 ángulos rectos = 360ºº y el ^ ZAH = 45;58º donde 4 ángulos rectos = 360º. Similarmente, dado que DZ = 86;18p donde la hipotenusa AD = 120p, el ^ DAZ = 91;58ºº donde 2 ángulos rectos = 360ºº el ^ DAZ = 45;59º donde 4 ángulos rectos = 360º.

De este modo la ecuación en longitud calculada de acuerdo a la oblicuidad fue menor que un minuto.

Para Mercurio [ver Fig. 13.14], donde el radio del epiciclo es de 22;30p, la máxima distancia, como demostramos, es de 69p, y la distancia diametralmente opuesta a ella [69p] de 57p; la media entre esas dos es calculada como en 63p en las mismas unidades.

Entonces AB / BD = 63 / 22;30. Y dado que AB² - DB² = AD², AD = 58;51p.

center|379px|Fig. 13.14

Similarmente, dado que AB / AD = BD / DZ, DZ = 21;1p en las mismas unidades. Nuevamente, dado que, por hipótesis, el ^ DAH = 5ºº donde 2 ángulos rectos = 360ºº,

en el círculo alrededor del triángulo rectángulo ADH,

arco DH = 5º, y la cuerda correspondiente DH = 5;14p donde la hipotenusa AD = 120p. Por lo tanto, donde la línea AD = 58;51p, DH = 2;34p. Pero demostramos que DZ = 21;1p en las mismas unidades. Por lo tanto, donde la hipotenusa DZ = 120p, DH = 14;40p,

y el ángulo de la oblicuidad,

el ^ DZH = 14ºº donde 2 ángulos rectos = 360ºº el ^ DZH = 7º donde 4 ángulos rectos = 360º .

Por el mismo camino [como para Venus], con el fin de comparar los ángulos de la ecuación [en longitud]:

nuevamente, donde DH = 2;34p, demostramos que la hipotenusa AD = 58;51p y DZ = 21;1p. y DA² - DH² = AH², DZ² - DH² = HZ², entonces AH = 58;47p y ZH = 20;53p en las mismas unidades.

Por lo tanto, donde la hipotenusa AH = 120p, HZ = 42;38p,

y el ^ ZAH = 41;38ºº donde 2 ángulos rectos = 360ºº y el ^ ZAH = 20;49º donde 4 ángulos rectos = 360º.

En el mismo sentido, donde la hipotenusa AD = 120p, DZ es calculada como 42;50p,

y el ^ DAZ = 41;50ºº donde 2 ángulos rectos = 360ºº y el ^ DAZ = 20;55º donde 4 ángulos rectos = 360º.

Entonces en este caso la ecuación en longitud debido a la oblicuidad fue menor que 6' .

Lo que se ha requerido para examinar.

Seguidamente examinemos, si tomamos las cantidades anteriores de la oblicuidad como dadas, encontramos las máximas latitudes en las máximas y en las mínimas distancias [derivadas desde ellas] de acuerdo con aquellas derivadas desde nuestras observaciones. En la misma figura [fig. 13.15], ahora tomemos como base la máxima distancia de Venus, por ej.

center|379px|Fig. 13.15

AB / BD = 61;15 / 43;10. Por consiguiente, dado que AB² - BD² = AD², AD = 43;27p. Pero AB / AD = BD / DZ. Entonces DZ = 30;37p en las mismas medidas.

Nuevamente, dado que, por hipótesis, el ángulo de la oblicuidad,

el ^ DZH = 7ºº donde 2 ángulos rectos = 360ºº y [por consiguiente] DH = 7;20p donde la hipotenusa DZ = 120p, por lo tanto, donde la línea DZ = 30;37p, y AD = 43;27p, DH = 1;52p. Entonces donde la hipotenusa AD = 120p, DH = 5;9p,

Y la máxima desviación en latitud,

el ^ DAH = 4;54ºº donde 2 ángulos rectos = 360ºº el ^ DAH = 2;27º donde 4 ángulos rectos = 360º.

Pero en la mínima distancia, donde el radio del epiciclo,

BD = 43;10p, AB es dado como de 58;45p. Y AB² - DB² = AD², entonces AD = 39;51p en las mismas unidades. Similarmente, dado que AB / AD = BD / DZ, DZ = 29;17p en las mismas unidades. Pero DZ / DH es dada como 120 / 7;20. Por lo tanto, donde DZ = 29;17p y AD = 39;51p, Pero DH = 1;47p.

Por lo tanto, donde la hipotenusa AD = 120p, DH = 5;22p, y la máxima desviación en latitud,

el ^ DAH = 5;8ºº donde 2 ángulos rectos = 360ºº el ^ DAH = 2;34º donde 4 ángulos rectos = 360º.

En consecuencia [la máxima latitud] difiere 2 ½º de la [máxima] desviación en latitud asumida para la media, siendo menor en el apogeo y mayor en el perigeo, pero [en ambos casos] por una cantidad que es insignificante a los sentidos; dado que para la máxima distancia, esta fue menor solamente por tres minutos, y en la mínima distancia por cuatro minutos más. Tales [pequeñas diferencias] no pueden ser del todo fácilmente detectadas desde las observaciones.

Seguido, [Fig. 13.16] tomemos la máxima distancia de Mercurio como base, a saber

AB / BD = 69 / 22;30. Por consiguiente, por el mismo procedimiento como el anterior, AD [= (AB² - BD²) ^ 0,5] = 65;14p, y DZ [= AD * BD / AB] = 21;16p en las mismas unidades.

Pero en este caso el ángulo de la oblicuidad,

el ^ DZH es dado como de 14ºº donde 2 ángulos rectos = 360ºº. Por consiguiente tenemos DH = 14;40p donde la hipotenusa DZ = 120p. Por lo tanto, donde la línea DZ = 21;16p, y AD = 65;14p, DH = 2;36p. Por lo tanto, donde la hipotenusa AD = 120p, DH = 4;47p, y la desviación máxima en latitud, el ^ DAH = 4;34ºº donde 2 ángulos rectos = 360ºº el ^ DAH = 2;17º donde 4 ángulos rectos = 360º.

center|379px|Fig. 13.16

Pero en la distancia mínima , AB / BD es dada como de 57 / 22;30, y entonces, por el mismo procedimiento nuevamente,

AD = 52;22p en las mismas unidades y DZ = 20;40p. Y la oblicuidad es la misma como la anterior,

y por consiguiente ZD / DH es dada como 120 / 14;40,

entonces donde DZ = 20;40p y AD = 52;22p, DH = 2;32p.

Por lo tanto, donde la hipotenusa AD = 120p, DH = 5;48p.

el ^ DAH = 5;32ºº donde 2 ángulos rectos = 360ºº el ^ DAH = 2;46º donde 4 ángulos rectos = 360º.

Por lo tanto, la diferencia desde la máxima desviación en latitud sobre la media (aquí también fue tomada como de 2 ½º) fue de 13' en la dirección negativa en el apogeo y de 16' en la dirección positiva en el perigeo. Para representar esto, usaremos una corrección de ¼º con respecto a la media en los cálculos [desde la tabla], de acuerdo con la diferencia perceptible derivada desde las observaciones.

Ahora que hemos demostrado lo de arriba, y también demostrado que la proporción entre la máxima ecuación en longitud con la máxima desviación en latitud también se mantiene [muy] bien en otros puntos en el epiciclo para la proporción entre las ecuaciones individuales en longitud y las [correspondientes] posiciones individuales en latitud , inmediatamente tenemos un método conveniente para calcular las posiciones en latitud debido a la oblicuidad a ser entradas en la cuarta columna de las tablas para Venus y Mercurio. No obstante, como mencionamos, esas posiciones están basadas solamente sobre la oblicuidad de los epiciclos en la distancia media: la diferencia debido a la inclinación de las excéntricas, y también a la diferencia debido a [la aproximación hasta] el apogeo o el perigeo para Mercurio serán halladas [desde las tablas] por medio de un procedimiento de corrección en el cómputo, para una conveniencia en el cálculo.

Dado que, en las distancias medias establecidas anteriormente, la máxima desviación debida a la oblicuidad fue demostrada ser de 2;30º a ambos lados de la eclíptica para ambos planetas; y la máxima ecuación en longitud es de aproximadamente 46º para Venus y 22º para Mercurio ; y ya, hemos establecido en las tablas para la anomalía de esos planetas, las ecuaciones correspondientes a las posiciones individuales en el epiciclo. Entonces formamos las proporciones entre esto último y la máxima ecuación, tomando la misma proporción de 2 ½º, separadamente para cada planeta, y entramos los resultados en la cuarta columna de las tablas de latitud opuestos a los argumentos correspondientes.

(En cada tabla) hemos producido [(agregado)] la quinta columna con el fin de corregir las posiciones en latitud para otras posiciones [del epiciclo] sobre la excéntrica, utilizando las sexagésimas entradas [en esa columna]. Porque, como dijimos, dado que el incremento y la disminución en la inclinación y en la oblicuidad del epiciclo, a través de la acción de los pequeños círculos unidos, precisamente tienen un período correspondiente al período de una vuelta sobre la excéntrica, y dado que las cantidades de todas las inclinaciones y oblicuidades no son muy diferentes de aquellas asociadas con la órbita inclinada de la Luna, y las desviaciones individuales en latitud, para tales pequeñas inclinaciones, son, nuevamente, también proporcionales, y ya que tenemos las entradas correspondientes para la Luna calculadas geométricamente, multiplicamos por 12 cada una de las entradas en esta tabla (porque la máxima allí es de alrededor de 5º, y aquí la máxima la estamos haciendo de 60), y entramos los resultados opuestos al argumento apropiado en la quinta columna de cada tabla.

El diseño de las tablas es el siguiente.

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Notas de referencia

Categoría:Almagesto