Chapter 1

{| class="wikitable" |- |align="center" | Ir a: Astrónomos en el Almagesto ||align="center" | Contenidos || align="center" | Ir a: Catálogo de Estrellas de Ptolomeo. Datación en el Almagesto |- |}

Ejemplos de Cálculos según el Almagesto

Ejemplo 1 - a) Calcular la distancia desde el Sol hasta el solsticio de verano y b) Hallar la latitud terrestre

(a). Libro II Capítulo 4. Dada la latitud terrestre (φ), calcular (Δλ) la distancia desde el Sol hasta el solsticio de verano medido a lo largo de la eclíptica.

Ejemplo: φ = 4;15º (cf. Libro II Capítulo 6, característica nro. 2, segundo paralelo). Desde la Tabla de las Inclinaciones:

{| class="wikitable" style="text-align:center;" ! λ Arco de la Eclíptica !! δ Arco del Meridiano |- bgcolor = "#FEF1CA" |align="center" | 10°|| 4;1,38º |- bgcolor = "#FEF1CA" |align="center" | 11°|| 4;25,32º |} Por consiguiente, para una declinación [declinación solar = latitud terrestre φ] de 4;15º le corresponde una longitud eclíptica (contada desde el equinoccio de primavera) de 10;33,33º. Por lo tanto, la distancia desde el solsticio de verano, Δλ = (90º - 10;33,33º) = 79;26,27º (en el texto: 79 ½º).

{|class="wikitable" style="text-align:left;" |- bgcolor = "#e5ebd5" |Ver Fig. 1.15 en el Libro I Capítulo 14. HΘ = δ es el arco del meridiano que aquí es igual a 4;15°, es decir la declinación del Sol e igual a la latitud terrestre, por lo tanto el Sol en el cenit. Estos 4;15° se entrarán entre los dos valores de la segunda columna (δ) de la tabla y se interpolará para hallar λ = EH el arco de la eclíptica, medido desde la intersección de la eclíptica con el ecuador (equinoccio de primavera) hasta su intersección con el meridiano ZHΘ. Δλ = HB es la distancia desde H hasta el solsticio B, aunque B es el solsticio de invierno, pero la figura es válida, simplemente cambiar la posición del ZHΘ de manera opuesta. Nota del traductor al español |}

(b). Libro II Capítulo 6 Característica nro. 34. Hallar la latitud terrestre (φ) en la que el Sol no se pone para un período de tiempo dado.

Ejemplo: dado el período de un mes. Tomando un mes de 30 días, y asumiendo que el Sol se mueve 1 °/día sobre la eclíptica, hallamos que el paralelo en cuestión corta 30º de la eclíptica, o 15º a ambos lados del solsticio de verano. Desde la Tabla de las Inclinaciones:

{| class="wikitable" style="text-align:center;" ! λ Arco de la Eclíptica !! δ Arco del Meridiano |- bgcolor = "#FEF1CA" |align="center" | 90º - 15º = 75º||22;59,41º |} Por consiguiente φ = 90º - δ = 90° - 22;59,41º = 67;0,19º (en el texto: 67º).

[Se entra con 75° en la columna λ de la Tabla y se halla directamente el valor de δ, aquí 22;59,41º].

Ejemplo 2 - Hallar la longitud del día o de la noche

Libro II Capítulo 9. Dadas la longitud del Sol (λ☉) y la latitud terrestre (por ej. el "clima"), hallamos la longitud del día o de la noche y la longitud de la hora de estación.

Ejemplo: λ☉ = ♐︎ 28;18º. Lugar: Babilonia (cf. primer eclipse del Libro IV Capítulo 11). ¿Cuál es la longitud de la noche?

Utilizamos la Tabla de los Tiempos de Salida para Rodas (M = 14 ½ horas).

(a) Primer método. Dado que es de noche, tomamos los grados opuestos al Sol, ♊︎ 28;18º. Desde la Tabla:

{| class="wikitable" style="text-align:center;" ! Interpolar .

{| class="wikitable" style="text-align:center;" |- bgcolor = "#FEF1CA" |align="left" |cf. Ejemplo 2. Longitud de 1 nocturna (λ☉ = ♏︎ 13;17º, M = 14 hs.)||16;38º |- bgcolor = "#FEF1CA" |align="left" |Tiempo desde la Puesta del Sol: 8 ¼ * 16;38°:||137;14º |- bgcolor = "#FEF1CA" |align="left" |Desde la Tabla de los Tiempos de Salida para el Clima III (Soene): ρ (♉︎ 13;17°) tomamos el punto opuesto al Sol, dado que es de noche|| 31;4º |- bgcolor = "#FEF1CA" |align="left" | Suma Total (137;14º + 31;4º)|| 168;18º |}

168;18º es el tiempo de salida (en Clima III - Soene) del horóscopo: ρ (♍︎ 19;51º) (en el texto: "alrededor de ♍︎ 22 ½º").

Ejemplo 5 - Hallar el punto de la culminación superior según los datos del ejemplo anterior

Desde la mitad hasta el final del Libro II Capítulo 9. Dados los mismos datos como en el Ejemplo 4, hallar el punto de la culminación superior. Total de horas de estación desde el último mediodía: 6 horas diurnas mas 8 ¼ horas nocturnas.

{| class="wikitable" style="text-align:center;" |- bgcolor = "#FEF1CA" |align="left" |Longitud de 1 hora diurna:||13;22º |- bgcolor = "#FEF1CA" |align="left" |Longitud de 1 hora nocturna:||16;38º |- bgcolor = "#FEF1CA" |align="left" |6 * 13;22º + 8 ¼ * 16;38º = 80;12º + 137;14º = ||217;26º |- bgcolor = "#FEF1CA" |align="left" |Tabla de los Tiempos de Salida en la esfera recta del grado del Sol: α (♏︎ 13;17º): || 220;46º |- bgcolor = "#FEF1CA" |align="left" |Suma total (217;26º + 220;46º): ||78;12º |}

El punto de la culminación superior es 78;12º = α (♊︎ 19;11º) (en el texto: ♊︎ 22 ½º).

{|class="wikitable" style="text-align:left;" |- bgcolor = "#e5ebd5" | En Suma total realizar el siguiente cálculo: ((Suma total / 360) - Entero(Suma total / 360)) * 360 , y todo quedará reducido a un ángulo de un giro (0º a 360º), aquí 78;12º. La Suma total debe estar expresada en un número decimal, entonces: a° + b'/60 + c"/3600. Número de Signo del Zodíaco: Entero(Suma total * 12 / 360) , donde 0 es Aries, 1 es Taurus, ..., 11 es Pisces. Posición del Sol en el Signo del Zodíaco: ((Suma total * 12 / 360) - Entero(Suma total * 12 / 360)) * 30 , en (°). Nota del traductor al español |}

Ejemplo 6 - Hallar el punto de la culminación superior dada la longitud del "horóscopo"

Desde la mitad hasta el final del Libro II Capítulo 9. Dada la longitud del horóscopo en un lugar dado, hallar el punto de culminación superior.

Ejemplo: los mismos datos como en el Ejemplo 4.

{| class="wikitable" style="text-align:center;" |- bgcolor = "#FEF1CA" |align="left" |Tiempo de salida del horóscopo en el Clima III (Soene): (♍︎ 19;51º):||168;18º |- bgcolor = "#FEF1CA" |align="left" | Menos (-):|| 90;0º |- bgcolor = "#FEF1CA" |align="left" |Diferencia: ||78;18º |}

El punto de culminación superior: 78;18º = α (♊︎ 19;16º) (en el texto:♊︎ 22 ½º).

La discrepancia del resultado con el Ejemplo 5 se debe al redondeo a minutos de las tablas y en cada paso del cálculo.

Ejemplo 7 - Calcular la posición del Sol

Libro III Capítulo 9. Dada la fecha, calcular la posición del Sol. Ejemplos (cf. Libro IV Capítulo 11 2° eclipse lunar del segundo conjunto de tres eclipses). Fecha: 548° año de la era de Nabonassar, 9/10 de Mechir [VI], 1 ⅓ horas equinocciales después de la medianoche [20 de Marzo de –199].

De la Tabla del Movimiento Medio del Sol:

{| class="wikitable" style="text-align:center;" ! Tiempo!! Δ seg. λ☉ |- bgcolor = "#FEF1CA" |align="left" |540 años||228;42,48º |- bgcolor = "#FEF1CA" |align="left" |7 años|| 358;17,53º |- bgcolor = "#FEF1CA" |align="left" |150 días ||147;50,43º |- bgcolor = "#FEF1CA" |align="left" |8 días ||7;53,6º |- bgcolor = "#FEF1CA" |align="left" |13 horas ||0;32,2º |- bgcolor = "#FEF1CA" |align="left" |0;20 horas ||0;0,49º |- bgcolor = "#FEF1CA" |align="left" |Suma total = 547ª 158d 13 ⅓h ||743;17,21º → 23;17,21º |- bgcolor = "#FEF1CA" |align="left" |más seg. κ (época: 1° de Thoth del 1° año de Nabonassar):||+ 265;15º |- bgcolor = "#FEF1CA" |align="left" |seg. κ:|| 288;32,21º |}

De la Tabla de la Anomalía del Sol, para el argumento 288;32º, (por interpolación , como se muestra seguidamente.

Los movimientos medios diarios en anomalía de Ptolomeo (Libro IX Capítulo 3) son:

{| class="wikitable" style="text-align:center;" |+ Libro IX Capítulo 3 (2° Tabla) ! Planeta !! Movimientos Medios Diarios en Anomalía [º/d] !! Referencia |- bgcolor = "#FEF1CA" |♄||0;57,7,43,41,43,40 ||[1] |- bgcolor = "#FEF1CA" |♃||0;54,9,2,46,26,0 ||[2] |- bgcolor = "#FEF1CA" |♂||0;27,41,40,19,20,58 ||[3] |- bgcolor = "#FEF1CA" |♀||0;36,59,25,53,11,28||[4] |- bgcolor = "#FEF1CA" |☿||3;6,24,6,59,35,50 ||[5] |}

{| class="wikitable" style="text-align:center;" |+ Movimientos Medios Diarios en Anomalía [º/d] ! Libro - Capítulo!! Planeta !! en n Días [d] !! recorre m Grados [º] !! Grados recorridos por día [º/d] !!Referencia |- bgcolor = "#FEF1CA" | align="left" |final del Libro XI Capítulo 7||♄||36;57,59,45d ||35,11,51;27º || 0;57,7,43,41,44,18º/d ||[1a] |- bgcolor = "#FEF1CA" |align="left" |final del Libro XI Capítulo 3||♃||38,15,32;57,30d ||34,31,45;45º || 0;54,9,2,45,8,48º/d ||[2a] |- bgcolor = "#FEF1CA" |align="left" |final del Libro X Capítulo 9||♂||41,38,1;40d ||19,13,1;43º || 0;27,41,40,19,28,7º/d ||[3a] |- bgcolor = "#FEF1CA" |align="left" |final del Libro X Capítulo 4||♀||41,30,52d ||25,35,38;25º || 0;36,59,25,49,8,51º/d ||[4a] |- bgcolor = "#FEF1CA" |align="left" |final del Libro IX Capítulo 10||☿||40,50,13;33,45d ||2,6,52,6;53º || 3;6,24,6,58,39,48º/d ||[5a] |}

La peor de estas discrepancias, aquella la de Júpiter , no produce en 400 años un error mayor a un minuto de arco. Por consiguiente esta claro que Ptolomeo aquí no tuvo ningún motivo para "eludir" (y también que es estrictamente ilegítimo derivar un movimiento medio al sexto lugar fraccionario sexagesimal desde las observaciones separadas por solo 400 años). Aunque, también sus observaciones están esencialmente de acuerdo con los movimientos medios diarios que él utiliza, esto último no puede ser derivado desde ellas, al menos no por el método que establece .

Una posible alternativa es sugerida por el camino de la derivación de los movimientos medios establecidos en el Libro IX Capítulo 3. Allí Ptolomeo las expresa en la forma de "correcciones" para las relaciones de los períodos, por ej. "para Saturno, 57 vueltas en Anomalía corresponden a 59 años tropicales más 1 ¾ días". Estas son reducidas a grados y días, por ej. "Saturno recorre (en anomalía) 20520º en 21551;18d". Es válido suponer que los recientes [valores] son en realidad primarios, por ej. las correcciones de "más 1 ¾ días", etc. son derivadas de las equivalencias entre días y grados en conjunto con el parámetro de "un año tropical es igual a 365;14,48d" . Estas equivalencias pueden ser derivadas de los pares de observaciones en el Libro IX Capítulo 10, etc., combinadas con las relaciones del período Babilónico, tal como en el siguiente [ejemplo].

Ejemplo: Saturno. Por Hiparco, Ptolomeo conoce que la razón del período Babilónico, de 57 vueltas en anomalía toma lugar en 59 años, por ej. este planeta recorre (57 * 360)º en aproximadamente (59 * 365;14,48)d. Él reconoce desde su par de observaciones, que este recorre 35,11,51;27º en 36,57,59;45d. De la última equivalencia pudo derivar una "corrección" para el período de días en la más antigua [observación], multiplicando 36,57,59;45 por (57 * 360)º y dividiendo el resultado por 35,11,51;27. Esto da 5,59,11;17,59,55...d, ó (redondeado a la sexagésima [parte] más cercana) 21551;18d, como en el Libro IX Capítulo 3. Los cálculos correspondientes para los otros planetas son:

{| class="wikitable" style="text-align:center;" ! Planeta !! Cálculos !! Resultado [d]!! Descripción |- bgcolor = "#FEF1CA" |♃||align="left" |38,15,32;57,30 * (65 * 360º) / 34,31,45;45 ||align="left" |7,12,7;36,42,19...d || align="left" |ó (redondeado) 25927;37d, como en el Libro IX Capítulo 3 |- bgcolor = "#FEF1CA" |♂||align="left" |41,38,1;40 * (37 * 360º) / 19,13,1;43 ||align="left" |8,0,57;40,45,50...d||align="left" | ó (redondeado) 228857;41d . En el texto en el Libro IX Capítulo 3 tiene 28857;53, enmendado por mí a 28857;53 (cf. en este Ejemplo 16 nota de referencia nro. 10 ) |- bgcolor = "#FEF1CA" |♀||align="left" |41,30;52 * (5 * 360º) / 25,35,38;25||align="left" |48,39;40,5,19...d || align="left" |ó (redondeado) 2919;40d, como en el Libro IX Capítulo 3 |- bgcolor = "#FEF1CA" |♀||align="left" |1800º en 2919;40d deriva a 0;36,59,25,53,11,27,36...º/d||align="left" | de acuerdo con [4] |- bgcolor = "#FEF1CA" |☿||align="left" |52200º en 16802;24d deriva a 3;6,24,6,59,35,49,55...º/d ||align="left" |de acuerdo con [5] |}

Por lo tanto, este procedimiento puede parecer muy adverso, puede ser utilizado para derivar los movimientos medios de Ptolomeo para Saturno, Venus y Mercurio. Sin embargo, falla con mucha pena para Júpiter y Marte, arrojando dudas sobre la validación de esta explicación en general.

Supongamos, en cambio, que Ptolomeo encuentra sus movimientos medios diarios con algún otro método. Entonces, las equivalencias "Saturno recorre 20520º en 21551;18d", etc., pueden ser derivadas directamente por la división de 20520 por 0;57,7,43,41,43,40, etc. , y los pares de las observaciones en el Libro IX Capítulo 10, etc.,simplemente están utilizadas como chequeo. Por ej. Ptolomeo encuentra en las observaciones para Saturno un incremento de 351;27º en 364 años 219 ¾ días.

En las Tablas de los Movimientos Medios en Longitud y en Anomalía de los cinco Planetas uno encuentra 351;26,59º para el intervalo recientemente [calculado]. Los números correspondientes para cada uno de los otros planetas son:

{| class="wikitable" style="text-align:center;" ! Planeta !! Período de Tiempo !! Observado [º]!! Calculado según las Tablas [º] |- bgcolor = "#FEF1CA" |♃||align="left" |377 años 128 días -1 hora ||105;45º || 105;45,48º |- bgcolor = "#FEF1CA" |♂||align="left" |410 años 231 ⅔ días ||61;43º ||61;42,55º |- bgcolor = "#FEF1CA" |♀||align="left" |409 años 167 días ||338;25º ||338;27,48º |- bgcolor = "#FEF1CA" |☿||align="left" |402 años 283 días 13 ½ hora ||246;53º ||246;53,28º |}

Por lo tanto, en cada caso, las observaciones pueden ser consideradas justificando los movimientos medios utilizados, dentro de la precisión lograda. Sobre esta asunción, Ptolomeo ha derivado sus movimientos medios desde alguna otra fuente, y simplemente no se molestó en cambiarlas sobre la base de las observaciones que dió (sobre esto fue justificado absolutamente, dado que, como se observó anteriormente, un intervalo de 400 años es suficiente para garantizar mas de 4 lugares de fraccionarios sexagesimales; por supuesto no estuvo justificado en ocultárselo a sus lectores).

Esto todavía deja sin explicar las bases de los actuales movimientos medios. Uno podría conjeturar que ellos fueron derivados desde las observaciones realizadas en un período [de tiempo] más corto (por ej. entre Hiparco y Ptolomeo). Es fácil encontrar, por [medio del] análisis de Diofanto, intervalos de tiempo y de longitud verosímiles que generen números exactos, por ej. para Marte un movimiento en 274 años 189;16 días de 128 revoluciones mas 169;32º derivan a un movimiento medio diario de 0;27,41,40,19,20,57,59º/d. Pero en ausencia de cualquier evidencia de tales observaciones de Hiparco, esto sigue siendo un falso cálculo aritmético, y debemos admitir que el origen de esos números se mantiene [aún] desconocido , al menos para Júpiter y Marte, y probablemente para todos los planetas.

{| class="wikitable" |- |align="center" | Ir a: Astrónomos en el Almagesto ||align="center" | Contenidos || align="center" | Ir a: Catálogo de Estrellas de Ptolomeo. Datación en el Almagesto |- |}

Notas de referencia

Categoría: Almagesto