Chapter 11

.36651292058166432701243915823266946945426344783710526305367771367056161531935 273854945582285669890835830252304536483476556634251719406466348146550305627921 387302556189226997176722860418008326130199421895328554633938904615831328063710 408093693844171143967478468991705264226741840273910350046311904221893236804840 957722768754358035596648711491884558132023331639659768082499364529335846684623 574263437565253698610956952159177357201065013422224499941535070781422978330296 377743119702939743503626331562446876550886089941354907099089430394945825668449 468115227170631943254890446975649362234698192704667228041009029618868802182017 491019923610554905353248775853399980970743779162782181934419963190210504293301 242415059279268097540561402920991761582248023420901884127368122693212840349330 525077289091675757913935886266719087864681159566395944299795802063954813959230 279378674693155920271933093224151240077317162470589936907038275335137392318007 010419557221304563325866289473260701848823391100394107328066534014994695730210 827482741897152875253930306881389072913952011284420830343238504866857365878601 190465284347941981959538527516075714884787745270712517536149184711555374580933 501476344855689822357324218830557986891108083551035175426573698361264322026343 115299594227880362178756321039238401475311641419391888550299063392194019786380 699715464067242520949120024266549954436249466858160040981594217436885386512021 604072269424181483000915687305164387694737281901935916941408480035782907353488 307611185501000617441320718653608681267977410426445808179494847004384504009330 405535140614775145038048303614763630318479359673814223230902118107800177274264 210818656122969187369118689382050536042394269815560177525349171142132855949034 100553883795898327918010260094014333325283859699408123711860074284226847041345 049345789235874120085949073626871893573109110848363179526917077695085066923713 696243058862086805613028965326048016127350910020944965629549560018447387238456 668466998830683373478492430931052375224007892721665

1/2 ln(1/2 + 1/2 5 ) and here is 2000 digits of it

.48121182505960344749775891342436842313518433438566051966101816884016386760822 177441200942912272347499723183995829365641127256832372673762275305924186440975 418241700721183715022382393746918727524327919301879707900356172679694454575230 534543418876528553256490207399693496618755630102123996367930820635997798850998 015682579785264932866665111624171380827259278847902609653311324722751493140649 850889321763660025666619532106796817576618473073515986039848457545412056323413 570047800639487224315261789680045093639052503490478543352197865370437193903357 677241670370417641767978031965232099656758795421613175997885741759883069252399 717590046453960557551254692968807903367049621356294492555120383931774697654826 977541909002148287591795010410315009172040285181976301883343507599305507581267 421313032934991077388766751780351352387576508756665097521115192509805325161772 335414969051191031376000829815753239644609931361117839554965237333780624451158 972538538125625324467105392756233692811966537796197589176667110958463736359845 597437135943592053489075726261345821454327659167799080629243972731468565536314 092311391895063108539696637577527511079577705177124842749437409823450126791364 958219681888381115601710967123335538333939270275009967204943917336889395799674 130763597728326095101756364120387680017229574545727080162869726194293372934966 548187257084227073667108151143278740184115332931445134747747519570047997464676 573641483610494903280902249776225702986230973608580845275935793406227236160751 971088461984502310559538051316421863947239859494645234070234046955383565216388 882407729962183950603296536936010628310600983980249842603128194607404195468678 698754289980250108751726295370872829184831419012990151954975813462049581615570 765362754084555825696012212173496741080404051978451915071512814910182254675129 624858581222722255988561112107929352729069072128826890998825768857977503070665 560540491091499109395002416249253602970873298576618011862110489015088164984777 470696739474116453343444463404706900064984082377102

log(Pi) natural logarithm of Pi to 2000 places.

1.1447298858494001741434273513530587116472948129153115715136230714721377698848 260797836232702754897077020098122286979891590482055279234565872790810788102868 252763939142663459029024847733588699377892031196308247567940119160282172273798 881265631780498236973133106950036000644054872638802232700964335049595118150662 372524683433912698965797514047770385779953998258425660228485014813621791592525 056707638686028076345688975051233436078143991414426429596712897781136526452345 041059007160818570824981188183186897672845928110257656875172422338337189273043 288217348651042761532375161028392221340143696717585616442473718780506046692056 283377310133621627451589875201512996545465739691528252391695852453793594601400 379956519666036538000112659858500129765699060744667455472671045084950668558743 390774251341592412652317771784917799588095767880510296444750901508911403278080 768337337938949488075152890091875363766086707435833345108139232535574067684327 431198049633999761803046221286361595859836404758009861799938264629277646275948 484896414107483132593462053635073046055030768215494444154778884559535228440047 850918217255915179900785243523837112867132342905566964492585582623118824223244 661476739136153339414264534600881979155478967757529878307593230499751706785370 666315222134751026417324918906534257373051835228316776877311442944368108997522 287634554909933469253981028398378467695079971965163008386496663274223886761392 944112379606529081463545502415193643368404005225615575618053680459613160686367 226297126848055518038239624057983138433955882483556816617339018195508924667782 042898879384623081953507082523699065543916029676565349509487102686726405036344 889957813954840804697878603723560031033518890166410542245140400821480026071893 924502077785635698810693233664357379481092927781936265980614204270094398298364 733767922501305495445975380037647617519082652294857728828349379913418698964043 483457091550460629912859614271432256377699794328889523074041463529466113313641 884192574888189320796571991444939402534883228262813

The Madelung constant (in absolute value).

(for the NaCl)

References :

Richard E. Crandall, Topics in Advanced Scientific Computation, Springer , Telos books, 1996. pages 73-79.

Andre Hautot, New applications of Poisson's summation formula, J of Phys, A vol. 8 #6, 1975 pp 853-862.

David H. Bailey, personal communication,

1.7475645946331821906362120355443974034851614366247417581528 253507650406235327611798907583626946078899308325815387537105932820299441838280 130369330021565993632823766071722975686592380371672038104106034214556064382777 786832173132243697558773426250474787821285086056791668167573992447684129703678 251857628109371313372076707193197424971581157230969923096692739496577811072226 715205474090115068915716583082820050184892117803134673122964985828828184357133 159143170054956325334887536302670425627486948438002800259270026847557436497550 492246136239920400157506303972146648111512373640102950660119390467194373312530 445102911514639759331918047977946099333746429426562908969344779296885419044079 142558327219971840906746802376153893544565503602730285440849344302806267044182 412004397418676617724475639534442306853849527943580751895490309305073843954464 206438717926390780392074428209795791773699230408221437464566804310569266319755 045922443248074894080624749361070936309149224368986933140903796823240790046284 487394

The gamma function has a minumum at this point.

1.461632144968362341262659542325721328468196204006446351295988409

is the solution of the equation : Psi(x)*GAMMA(x)=0

the point y of that function is

0.8856031944108887002788159005825887332079515336699034488712001659

Minimal y of GAMMA(x),

The gamma function has a minumum at this point.

1.461632144968362341262659542325721328468196204006446351295988409

is the solution of the exquation : Psi(x)*GAMMA(x)=0

the point y of that function is

0.8856031944108887002788159005825887332079515336699034488712001659

BesselI(1,2)/BesselI(0,2);

0.6977746579640079820067905925517525994866582629980212323686300828 1653085276464111299696565418267656872398282187739641339311319229 6119532583948267154023368572077084687931653259676802609699344773 5279134807392866925472877889269341631325163541360922351694910777 6671270197989917890435512998227488474178151185828274743128000168 8397357503158963055814845672281277378531389353796457494911144399 5739496545408641490244407439658462383405191698214657075454152356 1619789277021570199808441532569484324720553204382546010895369539 5675614108617595161315382073293136443905115788991399794118453170 7255433214244317404753282387468232949778600917592531885601921774 7449173024758275105885300397998919614286772988729202691184797255 4158448910383265324626150602695958039517132533551829053986426116 0122414588261244351825022559389263137501312747096674905266754096 5360402524508385488358940164115563648340734549714076368827296266 5134246462433258344593103771627997645494162129529126660817978430 0381978775455761063199246771331988090510227282881824758312010616 -----------------------------------------------------------------------------

The omega constant or W(1).

0.5671432904097838729999686622103555497538157871865125081351310792 2304579308668456669321944696175229455763802497286678978545235846 5940072995608516439289994614311571492959803594376698474635606134 2268461356989570453977624855707865877337063566333012384304556354 2978608509015429081920856055752374819658465950807273089050157336 1831596070667108039283918360149499646349348448317465915933636893 3680971490856983717510093546792166747552889731475588925030572822 4604865124854109688318448770433467727016574464765200627013360494 8057883875774914635983034808686985627342099151198306130250270223 7292838727216542426572698430693890685874829642167823425504200307 1966795220895590936913343950051154949542716768789494702443830337 8784002606637609098563645828787818795338304237475555696975428665 6135480540090110477123732473016808842009334259193374301935466235 3076567270975761218841385994442828002635250684447525596225061138 7848128978427693880472920268889238516484753423844953902789609971 1060547842212061361983111973376227976096491011771088137407049732

1/(one-ninth constant)

0.10765391922648457661532344509094719058797

The Parking or Renyi constant.

0.74759792025341143517873094363652421026172

Pi/2*sqrt(3) to 2000 digits.

2.7206990463513267758911173864632335984260993721391108633548274030821847716895 308255261874823180902532843336217215997883561940787410516122246973780471945928 074272151105071606069926407320631215050260199436490411738611994573104634564097 276251425400592337791384867496792738531503755908688294159392930817350006553434 105356116752769892544162138120764758932680400960448160574491309596803480585543 534970781437557797530573104924990842174305955365341922005452803161699025970771 025521173408012537984272114454694894037585991508686216831576021038048514103191 563504020401188548314412282035224115988825835545717429691325531600376513919561 019710037879836953583879901983392966634781510062500750756944690533333707348100 039222314716346524885715551854825024485691037579685679693038369707885725177104 783247588661153444463427387859212832429279247448410169983512035228487431086946 359808564858159787685162879186164433753334576814659887581309409558887064246861 421259503383020983023174436454225936586618158636979284521950970630746419121908 923081201542756378309298996229447185580881264591539469858458740661651509142538 794755404627240173080387592375699778205320713962567715219470572493857701378055 651612330089104621562535503293796318749220344258295905168829438348497792425069 965232798395101160887116725143361470643578026381152996572241488892468259982047 719368012173188900662946509655974598048346528979686976958888804076209361166540 704371609471365658085340968039713604386497802875757765485851456902692930178553 526336770293386901221522831898204546414170768297808208403723684204215427401316 902549740082060396161935441001000042327260835241627100691542183693970238796767 421706031793419565345410469549027373119213813026406577379804785073767429451804 666337697136947502388991025107668294693700271592474273898844052457144153342167 385800911617768074294556500450374678259995000280226355161352143259600644716783 216865021466013908629559836007620301423861196436445664580994458272741704107342 793660030280520213415008028445591430514626020556462

1/2 1/6 Pi 3 to a precision of 5000 digits.

.90689968211710892529703912882107786614203312404637028778494246769406159056317 694184206249410603008442811120724053326278539802624701720407489912601573153093 580907170350238686899754691068770716834200664788301372462039981910348781880324 254171418001974459304616224989309128438345853028960980531309769391166688511447 017853722509232975147207127069215863108934669868160535248304365322678268618478 449902604791859325101910349749969473914353184551139740018176010538996753235903 418403911360041793280907048182316313458619971695620722771920070126828380343971 878346734670628494381374273450747053296086118485724765637751772001255046398536 732366792932789845279599673277976555449271700208335835856482301777779024493666 797407715721155082952385172849416748285636791932285598976794565692952417257015 944158628870511481544757959530709441430930824828033899945040117428291436956487 866028549527199292283876263953881445844448589382199625271031365196290214156204 737531677943403276743914788180753121955393862123264281739836568769154730406363 076937338475854594364329987431490618602937548638464899528195802205505030475129 315851348757467243601291974585665927351069046541892384064901908312859004593518 838707766963682071875118344312654395830734480860986350562764794494992641416899 884109327983670536290389083811204902145260087937176655240804962974894199940159 064560040577296335543155032186581993494488429932289923196296013587364537221802 347905364904552193617803226799045347954992676252525884952838189675643100595178 421122567644623004071742772994015154713902560992694028012412280680718091337723 008499133606867987206451470003333474424202784138757002305140612313234129322558 072353439311398551151368231830091243730712710088021924599349283579224764839348 887792323789825007963303417025560982312334238641580912996146841523813844473891 286003038725893580981855001501248927533316667600754517204507144198668815722610 722883404886713028765199453358734338079537321454818881936648194242472347024475 978866767601734044716693428151971435048753401854871978498171578797862574705055 586118480974544127839248838014963419252344251830539387345286023806694607504484 080699475624505200207655323792600572889555014667273281155797489419762824871884 385791643672348212893972728665478979118115392675063032572810519042832281433674 735643323719280793738316082322206416519190295943581796522481636008924890101073 666519661501290429787243208904403012876626194449044016157378609712734956779582 031482137001916370540383857568261585661103574743525068448269778512883738443557 674524034077728878998702772569096453262689728629595424298723115594455484988359 010996281935717965626127656826745836674377041052621490122494450710658034350390 431689408929848679398272748137079245045045352548317805547044624078231091684741 214551839785876185742803899708541173837262223533010862959657624385190705542791 062996139957266756355730572410532673631201130374518368873305443371849574899901 355948479321460897476868132910430034376703324787393202743638664455860101309881 764610136862267602037066772046106877964951317277861046920902714653888182807814 211213671222758284028943874586162736956875149461136669984139029006187320003023 603149621185767235947463797853592787185161453556788800249111109656608976028424 163662393594652233107578878380185674326918648747303549997207146531236431569535 514976826794247564611217912173100469724161417810355646977690411235395124173047 735617068484130728553131996986496032025652271018367018304070329314662192787524 250815852548957073875543590846436778174981977871990477635089689845408160906027 428588816122021189171750762664766966248165008305097122278220744089713381058759 034675750002441516101207527950026880912289356909667956760984198265010450061816 712805215933533403503064411352281629175957132823423118163582966751223518682190 426023391469836041317483992586163095745244902060262616676518788160617561276810 288662404852029213590791859971956608582285614197257237879064017826369197652915 393301883781294192630721563157800432396160460581288794934892643018107634786319 789508201469398876369446495040257822648044684428828823858111165183209987470961 598253969205023701557453003267966995272063889368816075123662092981757722714868 536171903801585121645471566102595699431873637886388075821329235378499067725385 652153956681815060912640455178789386570759994447393989304270939277910530904936 223570528841084571875793004902564358037853197231847877219137872737686044355208 905974233521071758132943419441361661663712116370387547622103164339601887104133 091142788987634285896311863484505113811056267796267398961137929634371383758288 012470538401837922115034863779118548544172814751594556642469518173170686208163 621752594966990780958005390460080252530314021376527471457740983685683475225373 972279766587932996788971006143471503590204712318787919809849211378056472569967 209648491698544346609469779020329096977538214167731836506277664471251247141518 596158833853805286990113176619956161666106388384993161422475470958917955383964 028680736703122374121895175286549688306643381126803222735828420690127416301092 516148748

Pi**exp(1) to 2000 digits.

22.459157718361045473427152204543735027589315133996692249203002554066926040399 117912318519752727143031531450073148896372716654162727200036841245878483825780 197399927516270911185238671352940834892162337692496730536751662599601668725547 775888060873742920118171661161372246197209044896331314599273279140914840576764 889753784885344102006492593490357594763469165286294007847395407755298019829026 131224029511379990688652442931146335939285716073329541491532530137722767555183 068793043622842319088286797578297967264718164000704357181058364260641458021223 969069744749885161613318405106216364559561084133094289928312637557836158743046 929164246018335319342336420036127263824523624703549571835049073419630023545342 564129097921194303116908001292522770494403698852612861911839515968731591698101 911513070221704547646617959225224684510983208759621594421483998747447264175934 025693668265035580476642374237061708505644664324457496738884193688683115925200 555602645705059320117009362760553595826641201998120042761370192174862031910519 905506816571425870811340528853808629975276085614460926314249761823361686869406 515266685962413229106796479209792454561359400328316215872353548736449613197898 651307023062935703537082846360598423157484945238146522934841939651220934032766 631221216839837299037626473546428923658982018887142263051892244637286989688952 629932221082170328499564646586884098400854477924636623980341662609379906902596 890092791699406503118363879200217974924860319354120458999797010669295391213233 516672591218324888062076891463762345298253525351404898329971337436517350003961 883125449684954203283005442012232052307716980668470945979870907851778445856606 483290848480861820758755919609039050305827913278716879189191452266911950355455 869776770198226974316621958022717872653726612167154548315173292985803868104995 405043526449458038171403377697461873928491691112281324245397651802020663132788 881315151831992999654261917159535830028527474699812892854833574079721772874399 120441167663005232606009645213664966955702763587607

Pi^2 to 10000 digits.