Part 7

Mit den Metalloxyden setzt sich die Schwefelsäure unter meist sehr heftiger Einwirkung[1] zu schwefelsauren Salzen, Sulfaten oder Vitriolen um, von welchen sich viele oft massenhaft in der Natur finden; so z. B. das Kaliumsulfat oder das schwefelsaure Kali, das Natriumsulfat oder das schwefelsaure Natron (Glaubersalz), das Bariumsulfat oder der schwefelsaure Baryt (Schwerspat), das Strontiumsulfat oder der schwefelsaure Strontian (Cölestin), das Calciumsulfat oder der schwefelsaure Kalk[2] (Gips, Anhydrid), das Magnesiumsulfat oder die schwefelsaure Magnesia (Bittersalz[3]), das Bleisulfat oder das schwefelsaure Bleioxyd (Bleivitriol) und viele andere. Die Schwefelsäure ist eine der unentbehrlichsten chemischen Verbindungen und wird bei chemischen Operationen massenhaft[4] und zu den verschiedensten Zwecken gebraucht. Ausser der englischen Schwefelsäure, welche man auch nur kurzweg als Schwefelsäure bezeichnet, erhält man im Handel noch die sogen. Nordhäuser- oder rauchende Schwefelsäure, rauchendes Vitriolöl, neuerdings Oleum genannt, eine bräunliche, ölige, äusserst ätzende, an der Luft weisse, stechend saure Dämpfe ausstossende Flüssigkeit von 1,88 bis 1,93 Dichte, die eine Mischung der gewöhnlichen Schwefelsäure mit Schwefelsäureanhydrid ist. Dieses Oleum findet in der chemischen Technik[5] eine immer steigende Verwendung, z. B. in der Farbenfabrikation, zur Lösung des Indigos, zur Reinigung gewisser Mineralöle etc. Wird das Oleum auf 80° erwärmt, so destilliert Schwefelsäureanhydrid ab, das auf diese Weise leicht in geringen Mengen dargestellt werden kann.

_Natron._ Was man im Handel Natron oder Aetznatron[6] nennt, ist stets Natriumhydroxyd oder Natronhydrat NaOH. Es wird im kleinen[7] dargestellt, indem man[8] zu einer siedenden Lösung von 4 Teilen krystallisierter Soda in 24 Teilen Wasser allmählig und unter Umrühren einen aus 1-1/2 Teilen gebranntem Kalk und 4 Teilen Wasser bereiteten Kalkbrei[9] hinzufügt und so lange kocht, bis eine herausgenommene filtrierte Probe beim Versetzen[10] mit verdünnter Salzsäure nicht mehr aufbraust. Der Kessel, in welchem diese Zersetzung vorgenommen wird, wird hierauf bedeckt, und nachdem sich das gebildete Calciumkarbonat zu Boden gesetzt hat, zieht man mit einem Heber die klare Natronhydratlösung, die sogen. ätzende Lauge, Seifensiederlauge, Aetznatronlauge, Natronlauge ab und dampft[11] sie in eisernen Kesseln oder silbernen Schalen[12] so weit ein, bis ein Tropfen der Flüssigkeit auf einer kalten Glastafel sogleich erstarrt. Im grossen[13] gewinnt man zur Zeit das Natriumhydroxyd hauptsächlich auf elektrolytischem Wege. Das Aetznatron ist eine weisse, undurchsichtige, faserige oder körnige Masse von 2,13 Dichte. In der Rotglühhitze schmilzt es zur farblosen Flüssigkeit; in der Weissglühhitze ist es flüchtig. Es zieht aus der Luft mit Begierde[14] Feuchtigkeit und Kohlensäure an, löst sich im Wasser unter Erhitzung in fast jedem Verhältnisse auf, wirkt äusserst ätzend (zerstörend) auf organische, namentlich tierische Substanzen ein. Seine wässerige Lösung, die Natronlauge, benutzt man zur Seifenfabrikation, zum Bleichen, Reinigen und Waschen von Stoffen und in der Chemie zur Darstellung vieler chemischer Präparate oder Einleitung[15] chemischer Zersetzungen.

Die Natronsalze sind mit Ausnahme des Natriumantimonats, antimonsauren Natrons, in Wasser sämtlich[16] löslich und meistens aus ihren Lösungen leicht krystallisierbar. Sie zeichnen sich dadurch aus[17], dass sie, mit Salzsäure befeuchtet und mit Weingeist übergossen, wenn dieser entzündet wird, der Flamme eine lebhafte gelbe Farbe erteilen.

52.

_Soda._ Das neutrale kohlensaure Natron Na_{2}CO_{3} + 10 H_{2}O ist eines der wichtigsten Salze und wird daher im grossartigsten Massstabe[1] fabriziert. Am häufigsten benutzt man zu seiner Fabrikation das Kochsalz. Zu diesem Behufe wird nach dem Verfahren von Leblanc das Kochsalz zunächst durch Erhitzen mit Schwefelsäure zersetzt und in Glaubersalz übergeführt. Diese Erhitzung findet in besonderen Oefen statt, die so konstruirt sind, dass alles[2] bei der Zersetzung des Kochsalzes durch die Schwefelsäure frei werdende Chlorwasserstoffgas behufs[3] seiner Verdichtung durch Wasser und Ueberführung in verkäufliche Salzsäure abgeleitet werden kann. Zuletzt wird das entstandene Glaubersalz bis zum Glühen erhitzt und dann in den Sodaschmelzöfen mit ungefähr seinem gleichen Gewicht von Calciumkarbonat und zwei Dritteilen Anthracit oder Steinkohle unter fortwährendem Durcharbeiten der Masse bis zum Schmelzen erhitzt, wobei zunächst infolge der reduzierenden Einwirkung des Kohlenstoffs das Glaubersalz zu Schwefelnatrium reduziert wird, welches sich mit dem Calciumkarbonat zu Natriumkarbonat (Soda) und zu Calciumoxysulfid umsetzt.[4] Aus der geschmolzenen Masse wird durch Wasser das Natriumkarbonat ausgezogen und durch Verdunsten dieser Auflösung in Krystallen bereitet[5], muss aber dann durch nochmaliges[6] Umkrystallisieren weiter gereinigt werden.

Nach dem seit 1870 im grossen zur Anwendung gekommenen Verfahren[7] von Solvay, löst man in konzentriertem, aus Gaswasser dargestelltem Aetzammoniak Kochsalz auf und leitet in diese Lösung unter einem Drucke von 2 Atmosphären Kohlensäuregas, wobei sich Natriumdikarbonat bildet, das herauskrystallisiert, während Salmiak[8] in Lösung bleibt. Durch Erhitzen wird das Natriumdikarbonat in Soda übergeführt und die dabei entweichende Kohlensäure wieder von neuem verwendet. Den gleichzeitig entstandenen Salmiak zersetzt man immer wieder durch Kalk, um von Neuem Ammoniak daraus abzuscheiden, wobei sich als letztes Produkt Chlorcalcium bildet. Bei diesem Verfahren erspart man die mühevollen Schmelzoperationen; aber man gewinnt keine Salzsäure, die zu den unentbehrlichsten Chemikalien gehört und beim Leblanc-Verfahren als billiges Nebenprodukt entsteht.

In neuester Zeit stellt[9] man auch aus dem elektrolytisch gewonnenen Natriumhydroxyd Soda her, indem man[10] durch Einleiten von Kohlensäure zunächst Natriumdikarbonat (doppeltkohlensaures Natron) erzeugt.

53.

_Das Eisen_ findet sich nur in den aus dem Weltraume auf die Erde gefallenen Meteoriten gediegen[1], sonst mit Sauerstoff oder Schwefel verbunden. Wir kennen kaum ein Gestein, das nicht mindestens Spuren von Eisen enthält, und kaum eine Pflanze, die bei der Verbrennung nicht eine eisenhaltige[2] Asche hinterlässt. Auch findet es sich im tierischen und menschlichen Körper. Im chemisch reinen Zustand ist es fast silberweiss, metallisch glänzend, sehr weich, geschmeidig und hämmerbar, von 7,844 Dichte, schmilzt erst bei über 1600°, hält sich[3] in trockener Luft; in feuchter Luft dagegen beginnt es unter Aufnahme von Sauerstoff zu rosten. Es löst sich leicht in verdünnter Salpetersäure, Salzsäure und Schwefelsäure auf. Im konzentrierten Zustande dagegen greifen[4] diese Säuren, namentlich die Schwefelsäure das Eisen selbst in der Hitze nicht an. Es wird vom Magnete angezogen. Da es von allen Metallen das wichtigste ist, wird es aus seinen Erzen, namentlich dem natürlichen Eisenoxyd, Eisenoxydhydrat, Magneteisen und Eisenkarbonat, hüttenmännisch[5] in grossartigstem Massstabe abgeschieden.

Das Roheisen[6] ist die unreinste Eisensorte. Es wird durch den sogen. Hochofenprozess[7] abgeschieden. Zur Gewinnung des Roheisens werden nötigenfalls die Eisenerze behufs[8] Austreibung von Wasser, Schwefel, Arsen u. dergl.[9] zunächst geröstet. Dann werden die Eisenerze mit Koks[10] (seltener mit Holzkohle) und einem die Schmelzung vermittelnden[11] Gestein (Kalkstein, Quarz u. dergl.) von oben in den glühenden Hochofen aufgeschüttet, während von unten erhitzte Luft zuströmt. Die Kohle reduziert die Eisenoxyde zu metallischem Eisen, das sich unter der Schlacke[12], dem geschmolzenen Gestein sammelt, während glühende Gase, die sogen. Gichtgase[13], oben aus dem Ofen entweichen. Die Schlacke fliesst beständig ab; das Roheisen wird von Zeit zu Zeit abgelassen. Der Hochofen wird ununterbrochen, Tag und Nacht im Betriebe[14] erhalten. Das weisse Roheisen lässt sich nicht mit Werkzeugen verarbeiten. Es schmilzt bei 1000 bis 1200°, ist aber im geschmolzenen Zustande dickflüssig[15] und zum Giessen nicht geeignet; dagegen ist es das Hauptmaterial zur Schmiedeisen- und Stahlfabrikation. Zur letzteren benutzt man besonders eine grossblätterige[16], lebhaft glänzende, 5 bis 20 Prozent Mangan enthaltende Sorte, welche unter dem Namen Spiegeleisen bekannt ist.

Das graue Roheisen ist von körnigem[17], nicht krystallinischem Gefüge[18], ziemlich weich und zähe, bricht jedoch, wie das weisse Roheisen, unter den Schlägen des Hammers, lässt sich dagegen feilen, bohren, drehen, überhaupt mit den verschiedensten Werkzeugen verarbeiten. Es schmilzt bei etwa 1100°, ist im geschmolzenen Zustande dünnflüssig und daher zum Giessen geeignet, weshalb man es gewöhnlich Gusseisen nennt.

Das Schmiedeeisen[19] oder Stabeisen[20] ist das reinste Eisen, das zur technischen Verwendung kommt. Es enthält nur 0,2 bis 0,5 Prozent Kohlenstoff, besitzt eine Dichte von 7,5 bis 7,85 und ist weich, geschmeidig und zäh. Sowohl im kalten wie besonders im glühenden Zustand ist es hämmerbar und streckbar[21] und lässt sich mit den verschiedensten Werkzeugen bearbeiten. In der Weissglühhitze erweicht es und wird schweissbar[22], d. h. es können mehrere durch Glühhitze erweichte Stücke durch Druck und Schlag, z. B. unter einem Dampfhammer zu einem Stück verbunden, zusammengeschweisst werden. Auch kann dies erweichte glühende Eisen unter Walzen und Hämmern zu Schienen, Blechen etc. ausgewalzt oder in die verschiedenartigsten Formen gebracht werden.

54.

Das Schmiedeeisen schmilzt erst bei 1600° und lässt sich nicht giessen. Es wird nicht direkt aus den Eisenerzen, sondern aus dem Roheisen dargestellt, indem[1] man letzteres einem oxydierenden Schmelzprozesse, entweder nach alter Art, dem sogenannten Frischen oder Puddeln, oder nach neuer Art, dem Bessemer- oder Martinverfahren unterwirft, wobei[2] die im Roheisen enthaltenen Stoffe bis auf einen kleinen Teil des Kohlenstoffs verbrennen und sich als Schlacke ausscheiden, während Schmiedeeisen zurückbleibt.

Der Stahl enthält 0,6 bis 1,9 Prozent Kohlenstoff, der fast vollständig chemisch mit dem Eisen verbunden ist. Seine Dichte ist 7,7 bis 7,85. Es ist licht grauweiss, erscheint auf dem Bruche stets körnig, jedoch dichter und gleichmässiger als das Stabeisen; er lässt sich schmieden und walzen und bleibt dabei immer körnig, wird also nicht sehnig[3] wie das Schmiedeeisen; auch mit den verschiedensten Werkzeugen lässt er sich bearbeiten und wie das Schmiedeeisen schweissen. Bei etwa 1400° schmilzt er und lässt sich giessen. Die merkwürdigste Veränderung erleidet er aber, wenn man ihn bis ungefähr zum Kirschrotglühen (800°) erhitzt und glühend in kaltem Wasser ablöscht[4]. Hierdurch wird der Stahl glashart, so dass er Glas ritzt und an Kieselsteinen Funken giebt. Man nennt dies das Härten des Stahls. Erwärmt man aber den so gehärteten Stahl, z. B. in Metallbädern, auf 221 bis 322°, so verliert er unter Annahme verschiedener Farben (hellgelb, strohgelb, hafergelb, goldgelb, orange, braun, purpurfleckig, purpurrot, hellblau oder violett, dunkelblau und schwarzblau) in dem Verhältnisse wie die Temperatur steigt, an seiner Härte, und nimmt dagegen an seiner Elastizität zu. Diese Operation nennt man Anlassen oder Adoucieren[5] des Stahls. Der gehärtete Stahl ist ungemein politurfähig und widersteht der oxydierenden Wirkung der Luft ziemlich gut. Im allgemeinen übertrifft der Stahl das Schmiedeeisen an Festigkeit sehr bedeutend und verdrängt das letztere in dem Verhältnisse als er billiger produziert werden kann mehr und mehr.

Eisen und Sauerstoff verbinden sich direkt mit einander. Man kennt mindestens drei verschiedene Oxyde.

Das Eisenoxydul, Ferrooxyd[6] FeO ist in reinem Zustande wenig bekannt. Das Eisenoxyd, Ferrioxyd[7], Eisensesquioxyd, Fe_{2}O_{3}, findet sich sehr häufig in der Natur. Wenn metallisches Eisen längere Zeit in feuchter Luft liegen bleibt, so bildet sich darauf der sogenannte Rost, der nichts anderes ist als Eisenhydroxyd.

Eisenoxyd und Eisenoxydul vereinigen sich in verschiedenen Verhältnissen mit einander, besonders zu Eisenoxyduloxyd Fe_{3}O_{4}, das in der Natur als Magneteisenstein vorkommt.

Je nachdem sich Eisenoxydul oder Eisenoxyd mit Säuren zu Salzen umsetzt, erhalten wir Ferrosalze oder Ferrisalze.

So unterscheidet man z. B. das Ferrosulfat, das schwefelsaure Eisenoxydul FeSO_{4} + 7 H_{2}O, auch Eisenvitriol, grüner Vitriol genannt, von dem Ferrisulfat, dem schwefelsauren Eisenoxyd Fe_{2}(SO_{4})_{3}.

Mit Chlor bildet das Eisen das Ferrochlorid, Eisenchlorür[8] FeCl_{2} und das Ferrichlorid, Eisenchlorid Fe_{2}Cl_{6} oder richtiger Fe_{2}Cl_{3}.

Eisen und Schwefel verbinden sich sehr leicht direkt mit einander. Man kennt mindestens drei verschiedene Eisensulfide: das Ferrosulfid, Einfachschwefeleisen[6] FeS, das Ferrisulfid, Eisensesquisulfid Fe_{2}S_{3}, und das Eisendisulfid, Zweifachschwefeleisen[9] FeS_{2}.

55.

_Benzolreihe._ Die wichtigeren[1], besonders die niedrigeren[1] Glieder der Benzolreihe findet man in dem[2] durch trockene Destillation der Steinkohlen behufs der Leuchtgasbereitung entstehenden Steinkohlenteer, zum Teil auch im Steinkohlenleuchtgas selbst, und benutzt beide Produkte zu ihrer Fabrikation, die in grossem Massstabe betrieben wird, und darauf beruht[3], dass man den Kohlenteer der fraktionierten Destillation unterwirft und die Produkte nach[4] ihren Siedpunkten trennt und durch verschiedene Manipulationen reinigt. In neuerer Zeit werden auch beträchtliche Mengen von Benzol und Homologen (Toluol, Xylol, Cumol etc.) aus dem Gase der Koksöfen gewonnen. Bei diesem Prozess entstehen bedeutende Mengen von Gas, welches durch geeignete, mit schweren Teerölen beschickte[5] Absorptionsapparate geleitet wird, wobei das Teeröl das im Gas enthaltene Benzol samt Homologen zurückhält. Durch Einblasen von gespanntem Wasserdampf entzieht man dem vorher erhitzten Oel das absorbierte Benzol wieder, da letzteres mit Wasserdämpfen leicht flüchtig ist. Die Kohlenwasserstoffe der Benzolreihe[6] lassen sich unter dem Einflusse verschiedener chemischer Agentien leicht in unbegrenzt viele neue Verbindungen überführen. Mit Chlor, Brom und Jod geben sie Additions- oder Substitutionsprodukte, mit konzentrierter Salpetersäure und konzentrierter Schwefelsäure Nitroderivate, in welchen ein oder mehrere Wasserstoffatome durch die Gruppe NO_{2} ersetzt[7] sind. Bei der Einwirkung von konzentrierter oder von rauchender Schwefelsäure bilden sich Sulfosäuren[8]: hier wird ein Wasserstoffatom, oder auch mehrere, durch die Gruppe SO_{3}H ersetzt. Diese Kohlenwasserstoffe sind infolgedessen nicht allein in wissenschaftlicher Hinsicht höchst interessant, sondern, da mehrere der aus ihnen darstellbaren Körper eine bedeutende technische[9] Anwendung gefunden haben, zugleich auch von grosser praktischer Wichtigkeit. Ganz besonders gilt[10] dies vom Benzol C_{6}H_{6}.

Das Benzol ist eine farblose, sehr lichtbrechende, leicht bewegliche Flüssigkeit von eigentümlichem, nicht sehr unangenehmem Geruch, von 0,89 Dichte, und dadurch ausgezeichnet, dass es bei 0° zu einer blätterig[11] krystallinischen Masse oder zu rhombischen Prismen erstarrt. In Wasser ist es unlöslich, lässt sich dagegen mit Alkohol, Aether, ätherischen Oelen etc. in jedem Verhältnisse mischen und ist ein vorzügliches Lösungsmittel für alle Fette, für Asphalt, Kautschuk, Guttapercha und viele andere Stoffe. Es ist leicht entzündlich und brennt mit hellleuchtender, russender[12] Flamme.

Bringt man Benzol unter Kühlung mit möglichst konzentrierter, von niederen Stickstoffoxyden freier Salpetersäure zusammen, so wird es glatt[13] in Nitrobenzol C_{6}H_{5}(NO_{2}) verwandelt. Nach Zusatz von Wasser scheidet sich das entstandene[14] Nitrobenzol als schwere Flüssigkeit ab, wird gesammelt und mit Wasser gewaschen.

Behandelt man das Nitrobenzol mit Gemischen, welche Wasserstoff entwickeln, z. B. Eisen und Salzsäure, so wird die Nitrogruppe zu der Gruppe NH_{2} (Amingruppe genannt) reduziert und es bildet sich Anilin (Amidobenzol) C_{6}H_{5}(NH_{2}), eine ölige Flüssigkeit, welche zur Fabrikation der Anilinfarben eine ausserordentliche technische Wichtigkeit erlangt hat.

NOTES.

1.

[1] +Der Posten+: item, term.

[2] Observe that this sentence begins with a verb, but is not a question, nor a command; also that the next clause begins with +so+. Under these circumstances supply _it_ at the beginning.

[3] +Wievielmal ... sovielmal+: as many times ... so many times.

[4] Before translating +um+, see if the phrase ends with +zu+ and an infinitive; if so +um+ = in order.

[5] +oder aber+: or else.

[6] +seinem Werte nach+: according to its value = as regards its value.

[7] +Jede Art der Einheiten+: each kind of units.

[8] +schriftlich+: in writing.

[9] +indem man ... rückt+ and +dadurch, dass man ... rückt+ are two German ways of saying _by moving_. Verbs following +indem man+ or +dadurch, dass man+ should be turned into the English present participle with _by_.

[10] +die ... Stelle+: the place. This is the compound adjective construction which is so common in scientific German. Observe how the phrase is built up:

+die werdende Stelle+ the becoming place +die leer werdende Stelle+ the empty-becoming place +die dadurch leer werdende Stelle+ the thereby empty becoming place

The article (+die+) or some other determining word is separated from its noun (+Stelle+) by a number of words; but in all cases the word next before the noun is an adjective or participle (+werdende+), which in turn is preceded by a word qualifying it (+leer+) and so on. In English the corresponding words follow the noun in the reverse order. This note will be frequently referred to.

2.

[1] +Die Quersumme+: sum across = sum of the digits.

[2] +also+: therefore; _never_ translate it by _also_.

[3] +geradstellig, ungeradstellig+: even, odd.

[4] +ein Mehrfaches+: a multiple.

[5] +der Nenner, der Zähler+: denominator, numerator.

[6] see 1 Note 9.

[7] +Grundfaktoren+: prime factors.

[8] +d. h. (das heisst)+: that is to say (_i. e._)

[9] +an und für sich+: by itself, _per se_.

[10] +beziehungsweise+: or as the case may be.

[11] +darin, dass man ... dividiert+: in dividing (_lit.:_ in this, namely that we divide). +Darin+ anticipates and represents the following clause.

[12] +der beiden betreffenden Zahlen+: of the two numbers in question.

[13] +das Glied, Vorderglied, Hinterglied+: term, antecedent, consequent.

3.

[1] +soll erhoben werden+: is to be raised. Very frequently +soll+ with an infinitive means _is to_.

[2] +das Quadrat+: square; +das Biquadrat+: fourth power.

[3] +vereinfachen+: to simplify.

[4] +es sei x+: let x be.

[5] +beträgt (betragen)+: amounts to.

[6] +die Rechnung stimmt+: the calculation is correct.

[7] +belaufen sich+: amount to.

[8] +die Beschaffenheit+: nature.

[9] +der Rest verhält sich zur Summe wie eins zu zwei+: the remainder is to the sum as one is to two. +Das Verhältnis+: ratio, relation.

[10] See 1 Note 2; +zieht ... ab (abziehen)+: subtracts.

4.

[1] +Soll+; see 3 Note 1.

[2] +und zwar+: and moreover.

[3] +gerade so viel+: just as much.

[4] +überdies+: in addition, to boot.

[5] +sieben Meilen zurückgelegt+: makes 7 miles. The German mile varied in different sections from 4.7 to 5.6 U. S. miles.

[6] +zu Stande bringen+: do, accomplish, finish.

[7] +in eben der Zeit+: in the same time.

[8] +genötigt+: obliged.

[9] +herabzusetzen+: to reduce.

[10] +Angaben+: data, statements.

[11] +die Mandel+: lot or set of 15.

[12] +um 306+: by 306. +Um+ often means _to the amount of, to the extent of_.

[13] +das Merkmal+: characteristic.

[14] +nach dem Berichte+: according to the report.

[15] +das erste Feld+: the first square.

[16] +wenn ... auch+: even if.

5.

[1] +z. B. (zum Beispiel)+: for example.

[2] +die ... Linien+; see 1 Note 10.

[3] +einerlei Seite+: one and the same side.

[4] +kongruent+: equal in every respect.

[5] +betragen+; see 3 Note 5.

[6] +Es+ is merely introductory; the subject is +Seiten+.

[7] +man stecke ... ab+: lay off; _lit._ let one lay off.

[8] +also+; see 2 Note 2.

[9] +alsdann = dann+: then.

[10] +daran stossenden (Seite)+: side adjacent to it.

6.

[1] +eine ... Figur+; see 1 Note 10.

[2] +die ... senkrechte+; see 1 Note 10.

[3] +die Sehne+: chord.

[4] +dazu gehörigen+: belonging to it.

[5] +ganz beliebig ... gegebene Punkte+: points given entirely at pleasure = any given points whatever.

[6] +der Centriwinkel+: angle at the centre.

[7] +der Peripheriewinkel+: angle at the cirumference.

[8] +inhaltsgleich+ equal in area; +der Inhalt+: contents.

[9] +die Kathete+: leg of a right-angled triangle.

[10] +Sei CAB ein ... Dreieck+: let CAB be a triangle.

[11] +der ... Quadrate+; see 1 Note 10.

[12] +es lässt sich zeigen+: it allowes itself to be shown = it may be shown. A common use of +lassen+.

[13] +Hülfslinien+: auxiliary lines, construction lines.

[14] see 1 Note 9.

[15] +d. i. (das ist)+: that is to say (i. e.)

7.

[1] +nach keiner Seite hin+: in no direction.

[2] +wie weit ... auch+: however far.

[3] +gleichlaufend+: German equivalent for parallel. In many cases German uses a foreign word and also a native word for the same term.

[4, 5] +die ... Seiten+; see 1 Note 10.

[6] +verhalten sich+: are to each other.

[7] +Die ... Senkrechte+; see 1 Note 10.

[8] +anliegend+: adjacent.

[9] +es kommt nur darauf an+: it is only required.

8.

[1] +Um um+: the first um means _in order_ and belongs to the infinitive +zu beschreiben+; the second +um+ means _around_.

[2] +halbiere+: bisect.

[3] +herumzutragen+: to lay off.

[4] +eines Vielecks+; see 1 Note 10.

[5] +die Fläche+: surface, area.

[6] +körperliche+: solid.

[7] +bis ins Unendliche+: to infinity.

[8] +der Körper+: body; (in Geometry) solid.

[9] +zwei ... Ebenen+; see 1 Note 10.

[10] +entsteht+: is formed.

[11] +die Grundfläche+: base (surface).

[12] +und zwar+: and moreover.

9.

[1] +inhaltsgleich+: of equal (cubic) contents = of equal volume.

[2] +die Mantelfläche+: curved surface.

[3] +dergestalt+: in such a manner.

[4] +Ein ... Abschnitt+; see 1 Note 10.

[5] +Wie verhalten sich+: in what ratio are ... to each other.

[6] +einem ... Denkmale+; see 1 Note 10.

10.

[1] +im Wesentlichen+: essentially.

[2] +allseitig+: on all sides.

[3] +die Einheit+: unit.

[4] +das ... Normalmeter+; see 1 Note 10.

[5] +Allgemeine Eigenschaften+: universal properties.

[6] +starr+: rigid, solid.

[7] +geläufig+: familiar.

[8] +selbstverständlich+: of course.

11.

[1] +das Beharrungsvermögen+: capacity for persisting = inertia.

[2] +sich gerade befindet+: just finds itself = just happens to be.

[3] +das Kausalgesetz+: law of causation.

[4] +ein ... Körper+; see 1 Note 10.

[5] +die Festigkeit+: firmness = strength.

[6] +reicht ... hin (hinreichen)+: suffices.

[7] +der Annahme widersetzt+: opposes the assumption.

[8] +infolgedessen (in Folge dessen)+: in consequence of that.

[9] +wegschnellen+: to fillip.

[10] +Beispiele+ is the object of +bieten+, and +für+ governs +Drehungsbewegungen+.

[11] +entsprechend+: corresponding, appropriate.

12.

[1] +äussert sich+: manifests itself.

[2] see 1 Note 10.

[3] +die Unterlage+: support.

[4] +übt ... aus (ausüben)+: exerts.

[5] +also+; see 2 Note 2.

[6] +das Lot (Loth)+: plumb-line.

[7] +Vielfache+: multiples.

[8] +giebt ... an (angeben)+: states.

[9] +Pyknometer+: specific gravity flask.

[10] +Es sei nun P_{1} das Gewicht+: now let P_{1} be the weight.

[11] +alsdann = dann+: then.

[12] +einer ... Marke+; see 1 Note 10.

13.

[1] +Orte und Lagen+: places and positions.

[2] see 1 Note 2.

[3] +gelegen+: situated.

[4] +fortschreitende Bewegung+: motion of translation.

[5] +die ... Wege+: the paths; see 1 Note 10.

[6] +von einem ... begriffenen Körper+: of a body engaged; see 1 Note 10.

[7] see 1 Note 2.