Part 1

Produced by Barbara Tozier, Constanze Hofmann, Bill Tozier and the Online Distributed Proofreading Team at https://www.pgdp.net

Transcriber's Note:

The spelling in this text has been preserved as in the original. Obvious printer's errors have been corrected. You can find a list of the corrections made at the end of this e-text.

Italic text has been enclosed in _underscores_, bold text has been surrounded by +plus signs+.

* * * * *

German Science Reader

An Introduction To Scientific German For Students of Physics, Chemistry and Engineering

By Charles F. Kroeh, A. M.

Professor of Modern Languages in Stevens Institute of Technology.

Copyright 1907 by Charles F. Kroeh

Hoboken. N. J.

Published by the Author.

PREFACE.

The aim of this Reader is not merely to afford the student a certain amount of experience in reading scientific German, but to attack the subject systematically. The selections are not chosen at random. They are arranged progressively and consist of fundamental definitions, descriptions, processes and problems of Arithmetic, Algebra, Geometry, Physics and Chemistry. These are linguistically the most important subjects for scientific and engineering students to read first, because they contain the terms and modes of expression which recur in all subsequent reading, and because they contain these terms in the simplest possible connections. A student who has mastered these pages will find no difficulty in reading _any_ scientific German he may meet in his professional work.

_To the Student._--Do not be content with simply translating these selections. Let your object be to acquire first a good working vocabulary for all future time and secondly the ability to understand German by merely reading it. Both ends are gained by reading over the German several times after you have translated it. The best way is to read it aloud, observing pauses and emphasis, as if you were communicating the thoughts of the book to another person. Pronouncing words, phrases and sentences is a great help to the memory.

A GERMAN SCIENCE READER.

Study carefully the notes (beginning page 97) to which the small numbers in the text refer.

1.

ARITHMETIK UND ALGEBRA.

Arithmetik ist ein Fremdwort, das auf deutsch Zahlenlehre bedeutet.

1 + 2 = 3 wird gelesen: eins und zwei (oder eins plus zwei) ist drei.

25 - 13 = 12 wird gelesen: 25 weniger (oder minus) 13 ist 12.

2 × 3 = 6 wird gelesen: 2 mal 3 ist 6.

72 ÷ 6 = 12 wird gelesen: 72 dividiert durch 6 ist 12.

Alle Posten[1] zusammengenommen sind der Summe gleich.

Die Differenz kann als diejenige Zahl betrachtet werden, welche übrig bleibt, wenn man den Subtrahend vom Minuend wegnimmt; oder als diejenige Zahl, welche man zum Subtrahend addieren muss, um den Minuend zu erhalten; oder auch als diejenige Zahl, welche man vom Minuend abziehen muss, um den Subtrahend zu erhalten.

Besteht[2] eine Zahl aus zwei Faktoren, so ist der eine Faktor gleich dem Produkt dividiert durch den anderen Faktor.

Der Divisor ist die teilende, der Dividend die zu teilende Zahl.

Der Quotient ist gleich dem Dividend, wenn man denselben durch den Divisor dividiert.

Der Dividend ist ein Produkt aus dem Quotienten und dem Divisor.

Wievielmal[3] grösser man den Dividend macht, sovielmal grösser wird dadurch auch der Quotient.

Multipliziert man den Dividend und ebenso den Divisor mit einer und derselben Zahl, so bleibt der Quotient unverändert.

Je kleiner man den Divisor macht, desto grösser wird der Quotient.

Um[4] einen n mal grösseren Quotienten zu erhalten, kann man entweder den Dividenden n mal grösser oder aber[5] den Divisor n mal kleiner machen.

_Brüche._ In je mehr Teile ein bestimmtes Ganzes geteilt wird, desto kleiner werden die Teile.

Je grösser der Zähler eines Bruches bei gleichem Nenner ist, desto grösser ist sein Wert.

Um einen Bruch seinem Werte nach[6] n mal kleiner zu erhalten, kann man entweder einen Zähler durch n dividieren oder seinen Nenner mit n multiplizieren.

Wird eine Zahl mit 10 multipliziert, so erhält jede Art der Einheiten[7] derselben den zehnfachen früheren Wert, und daher den Namen der nächst höheren Art von Einheiten.

Schriftlich[8] wird dies angedeutet, indem[9] man jede Ziffer in die nächst höhere Stelle rückt, welches dadurch bewirkt wird, dass man das Dezimalzeichen um eine Stelle von der Linken gegen die Rechte rückt.

Ist die Zahl eine ganze Zahl, so wird die[10] dadurch leer werdende Stelle der Einer mit einer Null ausgefüllt.

Um einen gegebenen Dezimalbruch mit einer ganzen Zahl zu multiplizieren, betrachte man ihn als eine ganze Zahl und schneide sodann vom Produkte soviele Dezimalstellen ab, als deren der gegebene Dezimalbruch enthält.

2.

Eine Zahl enthält den Faktor 9 und ist daher durch 9 teilbar, wenn die Quersumme[1] der Ziffern, mit welcher die Zahl geschrieben wird, durch 9 teilbar ist.

Eine Zahl enthält den Faktor 11 und ist also[2] durch 11 teilbar, wenn die Quersumme der ersten, dritten, fünften, siebenten etc. (d. h.[8] der ungeradstelligen[3]) gleich der Quersumme der 2., 4., 6., 8., etc. (d. h. der geradstelligen) Ziffern, von der Rechten gegen die Linke gezählt, ist, oder die Differenz dieser beiden Quersummen 11 oder ein Mehrfaches[4] von 11 beträgt.

Nur Brüche mit gleichen Nennern[5] können addiert und subtrahiert werden.

Gleichnamige Brüche werden addiert, indem man ihre Zähler[5] addiert.

Brüche mit ungleichen Nennern werden addiert oder subtrahiert, indem man[6] sie zuerst in Brüche mit gleichen Nennern verwandelt, und diese sodann addiert oder subtrahiert.

Man zerlege die Nenner der gegebenen Brüche in ihre Grundfaktoren,[7] d. h. in ihre kleinsten Faktoren.

Man nehme aus der Reihe dieser Grundfaktoren zur Bildung des gemeinschaftlichen Nenners so viele als zur Darstellung jedes einzelnen Nenners, an und für sich[9] betrachtet, nötig sind.

Aus den auf diese Weise ausgewählten Grundfaktoren bildet man sodann ein Produkt; dieses ist alsdann der kleinste gemeinschaftliche Nenner.

Unter Brüchen von gleichen Nennern und ungleichen Zählern ist derjenige der grössere und beziehungsweise[10] der grösste, welcher den grösseren bezw. den grössten Zähler hat, und umgekehrt; und zwar: wievielmal grösser oder kleiner der Zähler eines Bruches als der Zähler eines anderen Bruches ist, sovielmal grösser oder kleiner ist auch der Wert des einen als der Wert des anderen Bruches.

Ein Bruch wird mit einer ganzen Zahl multipliziert, entweder (a) indem man den Zähler mit der ganzen Zahl multipliziert; oder (b) indem man den Nenner durch die ganze Zahl dividiert.

Ein Bruch wird durch einen andern Bruch dividiert, indem man den Disivor umkehrt, (d. h. indem man dessen Nenner zum Zähler macht) und alsdann mit demselben multipliziert.

Das Verfahren, den grössten gemeinschaftlichen Faktor zweier Zahlen zu finden, besteht darin[11], dass man mit der kleineren der beiden Zahlen in die grössere, mit dem hierbei erhaltenen Reste in den vorigen Divisor, mit dem hierbei bleibenden Reste in den nächst vorhergehenden Divisor etc. dividiert. Erhält man endlich keinen Rest mehr, so zeigt dies an, dass der letzte Divisor der grösste gemeinschaftliche Faktor der beiden betreffenden[12] Zahlen ist.

Man findet das vierte Glied[12] einer geometrischen Proportion, indem man das Produkt des zweiten und dritten Gliedes durch das erste Glied dividiert.

Das Produkt der äusseren Glieder ist gleich dem Produkt der inneren Glieder. Das erste Hinterglied[13] verhält sich zum ersten Vorderglied[13], wie das zweite Hinterglied zum zweiten Vorderglied.

Eine Progression heisst steigend, wenn jedes folgende Glied derselben grösser; fallend, wenn jedes folgende Glied kleiner ist als das vorhergehende.

3.

AUFGABEN.

1. Die Zahl 5 soll[1] erhoben werden: a) ins Quadrat[2], b) in den Kubus, c) ins Biquadrat, d) in die fünfte Potenz.

2. Aus 64 soll ausgezogen werden: a) die Quadratwurzel, b) die Kubikwurzel.

3. Bei einem Geschäfte verdienen 5 Arbeiter in 42 Tagen bei 8stündiger Arbeit $210. Was würden 9 Arbeiter in 35 Tagen bei 10stündiger Arbeit verdienen?

Auflösung. Je mehr Arbeiter, desto mehr Verdienst; also setzt man 5:9. Je weniger Tage, desto weniger Verdienst; also 42:35. Je mehr Stunden, desto mehr Verdienst; also 8:10. Nun multipliziert man $210 mit dem Produkt aus den Hintergliedern und dividiert durch das Produkt aus den Vordergliedern, was man dadurch vereinfacht[3], dass man erst die gemeinschaftlichen Faktoren herausnimmt.

4. Ein Kaufmann findet, dass er durch einen glücklichen Handel mit seinem angelegten Kapital 15 Prozent gewonnen hat und dass dasselbe dadurch auf $15,571 angewachsen ist. Was war sein angelegtes Kapital? Antwort: $13,540.

5. Ein Vater sagt zu seinem Sohne: Gegenwärtig bin ich gerade sechsmal so alt als du; nach zwölf Jahren werde ich nur dreimal so alt sein als du; wie alt ist der Vater und wie alt der Sohn?

Auflösung. Es sei[4] x das gegenwärtige Alter des Sohnes; also ist 6x das des Vaters.

In 12 Jahren ist der Sohn x+12 und der Vater 6x+12 Jahre alt.

Da des Vaters Alter dann 3mal das des Sohnes beträgt[5], so muss man das des Sohnes mit 3 multiplizieren, um die Gleichung 6x+12=3x+36 zu erhalten.

Indem man nun die x zur linken und die Zahlen zur rechten des Gleichheitszeichens sammelt, erhält man 3x=24, oder x (das gegenwärtige Alter des Sohnes)=8, woraus 6x (das gegenwärtige Alter des Vaters)=48.

_Beweis._ Die Rechnung stimmt[6], denn in 12 Jahren hat der Sohn 8+12=20 und der Vater 48+12=60 Jahre, ist also dreimal so alt.

6. Zwei Kapitalisten berechnen ihr Vermögen. Es ergiebt sich, dass der eine doppelt so reich ist als der andere und dass sie zusammen $38,700 besitzen. Wie reich ist nun jeder?

7. Alle meine Reisen zusammen, erzählt ein Reisender, belaufen[7] sich auf 3040 Meilen; davon machte ich 3-1/2 mal so viel zu Wasser als zu Pferde, und 2-1/3 mal so viel zu Fuss als zu Wasser. Wie viele Meilen reiste dieser Mann auf jede von den drei erwähnten Arten? (240, 840, 1960).

8. Unter 3 Personen, A, B, C, sollen $1170 nach Verhältnis ihres Alters verteilt werden. Nun ist B um den dritten Teil älter, C aber doppelt so alt als A. Wie viel erhält jeder? (A 270, B 360, C 540).

9. Es werden 3 Zahlen von der folgenden Beschaffenheit[8] gesucht. Wenn man von der ersten 4 abzieht und ebensoviel der zweiten zusetzt, so verhält[9] sich der Rest zur Summe wie 1 zu 2. Zieht[10] man von der zweiten 10 ab und setzt zur dritten ebensoviel zu, so verhält sich der Rest zur Summe wie 3 zu 10. Zieht man aber von der ersten 5 ab und setzt diese der dritten zu, so verhält sich der Rest zur Summe wie 3 zu 11. Welche Zahlen sind es? (20, 28, 50).

4.

10. Eine Wittwe soll[1], nach dem Testamente ihres verstorbenen Ehemannes, mit ihren 2 Söhnen und 3 Töchtern eine Summe von $7500 teilen; und zwar[2] soll jeder Sohn doppelt so viel bekommen wie jede Tochter, sie selbst aber gerade so viel[3] wie ihre Kinder zusammengenommen und noch überdies[4] $500. Wie viel wird die Wittwe und jedes ihrer Kinder bekommen? (4000, 1000, 500).

11. Aus einem gewissen Orte wird ein Bote abgeschickt, der alle 5 Stunden 7 Meilen zurücklegt[5]. 8 Stunden nach seiner Abreise wird ihm ein zweiter nachgeschickt, und dieser muss, um jenen einzuholen, alle 3 Stunden 5 Meilen machen. Wann werden sie sich begegnen? (Antwort: 42 Stunden nach der Abreise des zweiten Couriers).

12. Um Zwölfe stehen beide Zeiger einer Uhr über einander. Wann und wie oft werden diese Zeiger in den nächsten 12 Stunden wieder übereinander stehen? (Antwort: 11 mal, 5-5/11 Minuten nach Eins und in jeder folgenden Stunde 5-5/11 Minuten später).

13. Drei Maurer sollen eine Mauer aufführen. Der erste kann 8 Kubikfuss in 5 Tagen, der zweite 9 Kubikfuss in 4 Tagen, und der dritte 10 Kubikfuss in 6 Tagen zu Stande bringen[6]. Wie viel Zeit werden diese 3 Maurer brauchen, wenn sie gemeinschaftlich arbeiten, um 756 Kubikfuss von dieser Mauer aufzuführen? (137-13/331).

14. Ein Hund verfolgt einen Hasen. Ehe der Hund zu laufen anfängt, hat der Hase schon 50 Sprünge gemacht. Wenn nun der Hase in eben[7] der Zeit 6 Sprünge macht, in welcher der Hund 5 Sprünge tut, und 9 Hasensprünge gleich 7 Hundesprüngen sind, wie viele Sprünge wird der Hase noch machen können, ehe der Hund ihn einholt? (700).

15. Ein Kaufmann ist genötigt,[8] um eine dringende Schuld zu bezahlen, eine gewisse Waare auf den Einkaufspreis herabzusetzen.[9] Wegen schlechter Buchführung kennt er weder das Gewicht noch den Einkaufspreis. Er erinnert sich nur so viel, dass er, wenn er das Pfund für .30 verkauft hätte, $12 daran gewonnen, und wenn er es für .22 verkauft hätte, $36 daran verloren haben würde. Wie gross war nach diesen Angaben[10] das Gewicht der Waare und der Einkaufspreis? (600 Pfund, .28).

16. Eine Bäuerin bringt Eier zu Markte, mehr als 100 aber weniger als 200. Sie ist unschlüssig, ob sie dieselben nach Mandeln[11] oder Dutzenden verkaufen soll; denn im ersten Fall bleiben ihr 4, im zweiten 10 Eier übrig. Wie viele Eier hat sie demnach? (154.)

17. Es soll eine Zahl gefunden werden, deren Quadrat diese Zahl um[12] 306 übertrifft. Welche Zahl ist es? (18.)

18. 37 Pfund Zinn verlieren im Wasser 5 Pfund, und 23 Pfd. Blei verlieren im Wasser 2 Pfd.; eine Komposition von Zinn und Blei, welche 120 Pfd. wiegt, verliert im Wasser 14 Pfd. Wie viel Zinn und wie viel Blei befinden sich darin? (74 Zinn, 46 Blei.)

19. Es werden zwei Zahlen gesucht, deren Summe 70 und deren Differenz 16 ist. Welche Zahlen sind es? (43, 27.)

20. Zwei Zahlen sind durch folgende Merkmale[13] gegeben: Vergrössert man die erste um 4, so wird sie 3-1/4 mal so gross als die zweite; vergrössert man aber die zweite um 8, so wird sie erst halb so gross als die erste. (48, 16.)

21. Ein König in Indien, Namens Sheran, verlangte, nach dem Berichte[14] des arabischen Schriftstellers Asephad, dass Sessa, der Erfinder des Schachspiels, sich selbst eine Belohnung wählen sollte. Dieser erbat sich hierauf die Summe der Weizenkörner, die herauskommt, wenn eins für das erste Feld[15] des Schachbretts, 2 für das zweite, 4 für das dritte, und so immer für jedes der 64 Felder doppelt so viele Körner als für das vorhergehende gerechnet werden. Als gerechnet wurde, fand man, zum Erstaunen des Königs, eine ungeheure Summe. Welche? Antwort: 18,446,744,073,709,551,615, eine Summe, welche auf der ganzen Erde, nach einer mässigen Berechnung, erst in mehr als 70 Jahren gewonnen werden könnte, wenn man auch[16] alles feste Land zum Anbau von Weizen benutzte.

5.

GEOMETRIE.

Eine gerade Linie ist diejenige, welche nicht aus ihrer Lage kommt, wenn sie sich um zwei in ihr liegenden festen Punkte, z. B.[1] um ihre Endpunkte, dreht.

Die[2] beiden einen Winkel bildenden Linien BA, BC, heissen die Schenkel, und der Punkt B, in welchem sie zusammenstossen, der Scheitel (der Scheitelpunkt, die Spitze) des Winkels.

Zwei Winkel, welche einen Scheitel gemein haben und deren beiden andern Schenkel eine gerade Linie bilden, heissen Nebenwinkel.

Alle Winkel, welche an einerlei[3] Seite einer geraden Linie liegen und einen Scheitel in derselben gemein haben, betragen zusammen zwei rechte Winkel.

Wenn zwei gerade Linien sich schneiden, so sind je zwei gegenüber liegende Winkel, welche man Scheitelwinkel nennt, einander gleich.

Alle Winkel, welche rings um einen gemeinschaftlichen Scheitelpunkt liegen, betragen zusammen immer vier rechte.

Zwei Dreiecke sind kongruent[4], wenn sie zwei Seiten und den[5] von denselben eingeschlossenen Winkel wechselweise gleich haben.

_Aufgabe._ Es[6] sind alle drei Seiten, a, b, c, eines Dreiecks gegeben; es soll das dadurch bestimmte Dreieck gezeichnet werden.

_Auflösung._ Man stecke[7] eine der gegebenen Seiten, z. B. a in der Linie BC ab, beschreibe aus dem einen Endpunkt B mit der Seite _c_ als Radius einen Bogen _mn_, ebenso aus C mit der Seite _b_ als Radius einen zweiten Bogen _pq_, und ziehe von dem Durchschnittspunkt A der beiden Bögen Gerade nach B und C, so ist ABC das verlangte Dreieck.

_Aufgaben._ 1. Auf einer Linie BH in einem bestimmten Punkte D eine Senkrechte zu errichten.

2. Eine gegebene Linie zu halbieren.

3. Von einem ausserhalb einer Linie GH gegebenen Punkte A eine Senkrechte auf dieselbe zu fällen.

* * * * *

Wenn zwei Parallelen von einer dritten Linie geschnitten werden, so entstehen acht Winkel:

I. Auf einerlei Seite der Schneidenden:

1. Innere Winkel innerhalb der Parallelen.

2. Aeussere Winkel ausserhalb der Parallelen.

3. Korrespondierende oder gleichliegende Winkel (oder Gegenwinkel) auf einerlei Seite der Parallelen, beide unterhalb oder beide oberhalb.

II. Auf verschiedenen Seiten der Schneidenden:

Wechselwinkel: innere, äussere, korrespondierende.

* * * * *

Wenn zwei Linien gegen eine dritte eine solche Lage haben, dass die inneren Wechselwinkel gleich sind, so sind die Linien parallel.

In jedem Dreieck ist die Summe aller Winkel gleich zwei rechten.

Ein Dreieck kann also[8] nur einen rechten oder nur einen stumpfen Winkel enthalten; die beiden andern müssen alsdann[9] spitz sein.

Der Aussenwinkel am Dreieck ist gleich der Summe der beiden innern gegenüber liegenden Winkel.

Unter Aussenwinkel ist derjenige gemeint, den die Verlängerung einer Seite mit der daran stossenden[10] bildet.

6.

Der Kreis ist eine[1] von einer krummen Linie so begrenzte ebene Figur, dass alle ihre Punkte von einem innerhalb liegenden Punkte, den man Mittelpunkt oder Centrum (Zentrum) nennt, gleich weit entfernt sind.

Die[2] vom Mittelpunkt des Kreises auf eine Sehne[3] gefällte Senkrechte halbiert die Sehne und den dazu gehörigen[4] Bogen.

_Aufgabe._ Durch 3 ganz beliebig[5] gegebene, jedoch nicht in gerader Linie liegende Punkte A, B, C, einen Kreis zu beschreiben.

_Auflösung._ Man verbinde zwei und zwei Punkte AB und BC, so kann man die Linien AB und BC als Sehnen des zu beschreibenden Kreises betrachten. Errichtet man also auf deren Mittel Perpendikel, so muss jedes derselben durch den gesuchten Mittelpunkt gehen.

Der Centriwinkel[6] ist immer doppelt so gross als der auf demselben Bogen stehende Peripheriewinkel[7].

Jeder Winkel im Halbkreise ist ein rechter Winkel.

* * * * *

In jedem Parallelogramm sind die gegenüber liegenden Seiten und Winkel einander gleich, und eine Diagonale teilt es in zwei kongruente Dreiecke.

Parallelogramme von gleicher Grundlinie und Höhe sind inhaltsgleich.[8]

Der Inhalt eines Dreiecks ist gleich dem halben Produkt aus Grundlinie und Höhe.

DER PYTHAGORAEISCHE LEHRSATZ.

_Der Pythagoräische Lehrsatz._ In jedem rechtwinkligen Dreieck ist das Quadrat der Hypotenuse so gross wie die Quadrate der beiden Katheten[9] zusammengenommen.

_Beweis._ Sei[10] CAB ein bei A rechtwinkliges Dreieck, und seien über seinen drei Seiten Quadrate errichtet, so soll die Fläche des auf der Hypotenuse BC stehenden Quadrats allein so gross sein wie die Flächen der[11] beiden auf den Katheten AC und AB stehenden Quadrate zusammengenommen. Aus dem Scheitel A des rechten Winkels sei AL parallel zu CH gezogen, so ist dadurch das Quadrat der Hypotenuse in zwei Rechtecke CHLK und LKBJ geteilt, und es lässt[12] sich nun zeigen, dass jedes der beiden Rechtecke seinem benachbarten Quadrate an Inhalt gleich ist. Zieht man nämlich noch die Hülfslinien[13] AJ und CG, so haben die beiden Dreiecke ABJ und CBG zwei Seiten und den eingeschlossenen Winkel gleich, nämlich JB=CB.

(Man denke sich das Dreieck CBG um den Punkt B gedreht, so fällt der Punkt C auf J und G auf A.)

Das Dreieck ABJ hat nun mit dem Rechteck LKBJ einerlei Grundlinie BJ und gleiche Höhe KB; ebenso haben das Dreieck CBG und das Quadrat ABGF einerlei Grundlinie BG und gleiche Höhe AB, daher: Dreieck ABJ=1/2 Rechteck KBJL und CBG=1/2 Quadrat ABGF. Da nun die beiden Dreiecke ABJ und CBG gleich gross sind, so ist auch 1/2 Rechteck KBJL=1/2 Quadrat ABGF, also auch das ganze Rechteck so gross wie das ganze Quadrat.

Ebenso zeigt man an der andern Seite, indem man[14] die Hülfslinien AH und BD zieht, dass auch das Rechteck CHLK dem Quadrat ACDE an Fläche gleich ist, und folglich auch beide Rechtecke zusammen, d. i.[15] das Quadrat der Hypotenuse, so gross ist, wie die Summe der Quadrate der beiden Katheten.

_Zusatz._ Das Quadrat der einen Kathete ist so gross wie das Quadrat der Hypotenuse weniger dem Quadrat der andern Kathete.

7.

_Parallellinien._ Zwei gerade Linien, welche in einerlei Ebene liegen und nach keiner Seite hin[1] zusammentreffen, wie weit[2] man sie auch verlängert denken mag, heissen parallel (gleichlaufend[3]).

Wenn man auf dem einen Schenkel eines Winkels gleiche Stücke abschneidet und durch die Teilpunkte Parallele an den andern Schenkel zieht, so schneiden diese auch auf dem andern Schenkel gleiche Stücke ab.

Parallelen zwischen den Schenkeln eines Winkels schneiden auf denselben proportionale Stücke ab.

Zwei Figuren heissen ähnlich, wenn sie gleichwinklig sind und die[4] in gleicher Ordnung zwischen gleichen Winkeln liegenden Seiten dasselbe Verhältnis zu einander haben.

In ähnlichen Dreiecken sind die[5] den gleichen Winkeln gegenüber liegenden Seiten proportional.

Die Umfänge ähnlicher Figuren verhalten sich[6] wie zwei ähnlich liegende Seiten, ihre Inhalte aber wie die Quadrate ähnlich liegender Seiten.

Wenn in einer Proportion die beiden innern Glieder gleich sind, wie in 2:6=6:18, so heisst eines der gleichen mittlern Glieder die mittlere Proportionale oder das geometrische Mittel der beiden äussern.

Das Perpendikel von einem beliebigen Punkte der Peripherie eines Kreises auf den Durchmesser ist die mittlere Proportionale zwischen den beiden Abschnitten des Durchmessers.

Die[7] vom Scheitel des rechten Winkels eines rechtwinkligen Dreiecks auf die Hypotenuse gefällte Senkrechte ist das geometrische Mittel zwischen den Abschnitten der Hypotenuse.

Jede der beiden Sehnen ist die mittlere Proportionale zwischen dem anliegenden[8] Abschnitt des Durchmessers und dem ganzen Durchmesser.

Jede Kathete ist das geometrische Mittel zwischen dem anliegenden Abschnitt der Hypotenuse (begrenzt durch die Höhe auf derselben) und der Hypotenuse selbst.

_Aufgabe._ Ein Quadrat zu zeichnen, welches so gross ist wie ein gegebenes Rechteck; mit anderen Worten, ein gegebenes Rechteck PBDE in ein an Inhalt gleiches Quadrat zu verwandeln.

_Auflösung._ Es kommt nur darauf an,[9] zu den beiden gegebenen Seiten des Rechtecks PE und PB die mittlere Proportionale x zu finden, so dass PE:x=x:PB, denn dann ist x²=PE.PB.

Man füge also PE geradlinig an PB, so dass AP=PE, beschreibe über AB, als Durchmesser, einen Halbkreis, errichte in P auf AB das Perpendikel MP, so ist das über dieses Perpendikel konstruierte Quadrat MPQR das verlangte, weil MP²=AP.PB=PE.PB.

8.

Ein Vieleck heisst regelmässig, wenn alle Seiten und alle Winkel gleichgross sind.

Um um[1] einen Kreis ein regelmässiges Viereck zu beschreiben, dessen Seiten mit denen des eingeschriebenen parallel sind, halbiere[2] man einen Bogen in M, ziehe durch M eine Tangente, welche die verlängerten Radien CB, CD in T und H schneidet, dann ist HT eine Seite des umschriebenen Vierecks, welche man nur in dem mit CT als Halbmesser beschriebenen zweiten Kreise herumzutragen[3] braucht.

* * * * *

Der Inhalt eines[4] um den Kreis beschriebenen regelmässigen Vielecks ist gleich der Fläche[5] eines Dreiecks, dessen Grundlinie gleich dem Umfang des Vielecks, und dessen Höhe gleich dem halben Radius des Kreises ist.

Der Flächeninhalt eines Kreises ist so gross wie der eines Dreiecks, dessen Grundlinie gleich dem Umfange und dessen Höhe gleich dem Halbmesser des Kreises ist.

KOERPERLICHE[6] GEOMETRIE.

So wie man eine gerade Linie nach beiden Enden hin bis in's Unendliche[7] verlängert denken kann, so kann man sich auch eine Ebene nach allen Seiten hin bis ins Unendliche ausgedehnt denken.